Hàm có biến phân giới nội và định lý riesz

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Thùy HÀM CÓ BIẾN PHÂN GIỚI NỘI VÀ ĐỊNH LÝ RIESZ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Ngô Thị Thùy HÀM CÓ BIẾN PHÂN GIỚI NỘI VÀ ĐỊNH LÝ RIESZ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Đông Yên Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Hàm có biến phân giới nội 1.1 Khái niệm hàm có biến phân giới nội 1.2 Hàm liên tục tuyệt đối 18 Tích phân Stieltjes 34 2.1 Độ đo Stieltjes 34 2.2 Tích phân Lebesgue-Stieltjes 38 2.3 Tích phân Riemann-Stieltjes 40 2.4 Định lý Riesz 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Đông Yên, người tận tình hướng dẫn tác giả thực khóa luận tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Giải Tích thầy cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2016 Ngô Thị Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Đông Yên Nội dung khóa luận dịch tiếng Việt trình bày lại nội dung số mục – có liên quan đến hàm có biến phân giới nội Định lý Riesz – Chương 9, Chương 10 sách Introductory Real Analysis (Dover Publications, New York, 1970) A N Kolmogorov S V Formin, xây dựng số ví dụ minh họa cho phần lý thuyết, đưa lời giải số tập Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2016 Ngô Thị Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Lời mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích hàm nhánh giải tích toán học, mà hạt nhân lý thuyết không gian véctơ trang bị dạng cấu trúc có liên quan đến giới hạn (ví dụ tích vô hướng, chuẩn, tôpô, v.v ) toán tử tuyến tính tác động không gian đó, phù hợp với cấu trúc cho theo nghĩa định Nguồn gốc giải tích hàm nằm nghiên cứu không gian hàm biến đổi hàm số, ví dụ biến đổi Fourier Cách tiếp cận tỏ đặc biệt hữu ích việc khảo sát phương trình vi phân phương trình tích phân Hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes khái niệm quan trọng giải tích hàm Chúng có nhiều ứng dụng lý thuyết không gian hàm, lý thuyết xác suất, lý thuyết tối ưu Chính nhờ sử dụng tích phân Lebesgue-Stieltjes mà người ta mô tả không gian đối ngẫu không gian C[a, b] (Định lý Riesz) Với mong muốn nghiên cứu tìm hiếu sâu giải tích hàm ứng dụng, theo gợi ý thầy hướng dẫn, chọn đề tài "Hàm có biến phân giới nội Định lý Riesz" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất hàm có biến phân giới nội, tích phân Stieltjes, ứng dụng chúng Định lý Riesz Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes -Trình bày nội dung Định lý Riesz với chứng minh đầy đủ - Xây dựng số ví dụ minh họa cho phần lý thuyết - Giải số tập tiêu biểu, nhằm hiểu rõ lý thuyết hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes như: định lý hàm có biến phân giới nội, hàm liên tục tuyệt đối, độ đo Stieltjes, tích phân Lebesgue-Stieltjes, tích phân Riemann-Stieltjes, Định lý Riesz Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, so sánh; sử dụng kiến thức từ giải tích cổ điển, sở giải tích hàm, tôpô đại cương Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh sách ba tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Hàm có biến phân giới nội, Chương 2: Tích phân Stieltjes Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Hàm có biến phân giới nội Chương gồm hai mục bàn hàm có biến phân giới nội, hàm liên tục tuyệt đối Kiến thức trình bày chương lấy từ Mục 32 Mục 33 tài liệu [2] 1.1 Khái niệm hàm có biến phân giới nội Định nghĩa 1.1 Một hàm f xác định đoạn [a, b] ⊂ R gọi có biến phân giới nội (of bounded variation) tồn số C ≥ cho n |f (xk ) − f (xk−1 )| ≤ C (1.1) a = x0 < x1 < < xn = b (1.2) k=1 với phân hoạch [a, b] điểm chia x0 , x1 , , xn Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Ví dụ 1.1.1 Mọi hàm đơn điệu có biến phân giới nội Thật vậy, cho f : [a, b] −→ R hàm đơn điệu tuỳ ý Không giảm tính tổng quát, ta giả sử f (x) ≤ f (x ) với x, x ∈ [a, b] mà x < x Đặt C = f (b) − f (a) ≥ Và xét phân hoạch bất bỳ có dạng (1.2) đoạn [a, b] Ta có n n (f (xk ) − f (xk−1 )) = f (xn ) − f (x0 ) = C |f (xk ) − f (xk−1 )| = k=1 k=1 Điều chứng tỏ f hàm có biến phân giới nội [a, b] Ví dụ 1.1.2 Hiệu hai hàm đơn điệu hàm có biến phân giới nội Thật vậy, cho f , g hai hàm đơn điệu tùy ý Không giảm tính tổng quát, ta giả sử f (x) ≤ f (x ) g(x) ≤ g(x ) với x, x ∈ [a, b] mà x < x Đặt C1 = f (b) − f (a), C2 = g(b) − g(a), C = C1 + C2 Xét phân hoạch có dạng (1.2) đoạn [a, b] Ta có n |(f (xk ) − g(xk )) − (f (xk−1 ) − g(xk−1 ))| k=1 n ≤ n |f (xk ) − f (xk−1 )| + k=1 n |g(xk ) − g(xk−1 )| k=1 n (f (xk ) − f (xk−1 )) + = k=1 (g(xk ) − g(xk−1 )) k=1 = f (xn ) − f (x0 ) + g(xn ) − g(x0 ) = C1 + C2 = C Điều chứng tỏ f − g hàm có biến phân giới nội [a, b] Một hàm có biến phân giới nội chưa chắn liên tục Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Ví dụ 1.1.3 Xét hàm số thực f (x) =   x x ≤ 21 ,  x + x > Ta thấy f hàm đơn điệu tăng R Suy f hàm có biến phân giới nội [0, 1] Nhưng rõ ràng f không liên tục [0, 1] Ngược lại, hàm liên tục chưa có biến phân giới nội   x sin < x ≤ 1, x Ví dụ 1.1.4 Hàm f (x) =  x = Rõ ràng f hàm liên tục [0, 1] Để chứng minh f biến phân giới nội, ta xét phân hoạch [0, 1] có dạng = xn < xn−1 < < x1 < x0 = 1, k lẻ, π + 2kπ xk =  k chẵn  π + 2kπ    với k ∈ {1, 2, , n − 1} Ta có |f (xk ) − f (xk−1 )| = xk sin 1 − xk−1 sin xk xk−1 Nếu k chẵn, 1 − + 2kπ π + 2(k − 1)π = π + 2kπ ≥ π + 2kπ |f (xk ) − f (xk−1 )| = Footer Page 10 of 161 π Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy hay |f (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b], ∀n ≥ n0 hay fn ⇒ f [a, b] n → ∞ Mặt khác, rõ ràng hàm số fn µΦ -khả tích [a, b] Ta có n f (ξk )µΦ [xk−1 , xk ) fn (x)dΦ(x) = k=1 [a,b] (2.7) n f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] = k=1 Ngoài ra, hàm số fn bị chặn [a, b], |fn (x)| ≤ max |f (t)|, a≤t≤b với x ∈ [a, b] Như {fn } dãy hàm µΦ -khả tích, bị chặn, hội tụ đến f [a, b] Theo Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn, f khả tích [a, b] I := f (x)dΦ(x) = lim n→∞ [a,b] [a,b] fn (x)dΦ(x) (2.8) Do I tích phân Lebesgue-Stieltjes f Φ Từ (2.7) (2.8) ta có n I= f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] f (x)dΦ(x) = lim n→∞ [a,b] k=1 Vậy tích phân Riemann- Stieltjes f Φ tồn trùng với tích phân Lebesgue-Stieltjes Footer Page 46 of 161 43 Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Định lý 2.3 Nếu f liên tục [a, b], b f (x)dΦ(x) ≤ Vab (Φ) max |f (x)| a≤x≤b a Chứng minh Với phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b [a, b] điểm tùy ý ξk ∈ [xk−1 , xk ) (k = 1, 2, , n) ta có n n |f (ξk )||Φ(xk ) − Φ(xk−1 )| f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] ≤ k=1 n k=1 max |f (x)||Φ(xk ) − Φ(xk−1 )| ≤ k=1 a≤x≤b n = max |f (x)| a≤x≤b |Φ(xk ) − Φ(xk−1 )| k=1 ≤ max |f (x)|Vab (Φ) a≤x≤b Suy n f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] ≤ max |f (x)|Vab (Φ) a≤x≤b k=1 (2.9) Cho max{x1 − x0 , x2 − x1 , , xn − xn−1 } → vế trái (2.9) dần b f (x)dΦ(x) theo Định lý 2.3 Từ ta suy đến a b f (x)dΦ(x) ≤ Vab (Φ) max |f (x)| a≤x≤b a Định lý chứng minh Định lý 2.4 Cho Φ(x) hàm số có biến phân giới nội [a, b] Footer Page 47 of 161 44 Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy khác không không đếm điểm c1 , c2 , , cn (a, b) Khi đó, với hàm số f liên tục [a, b] ta có b f (x)dΦ(x) = (2.10) a b f (x)dΦ(x) Chứng minh Theo Định lý 2.3, tích phân Riemann-Stieltjes a tồn trùng với tích phân Lebesgue-Stieltjes f Φ [a, b] Trường hợp Φ khác điểm c1 Khi (2.10) Thật vậy, chọn phân hoạch I : a = x0 < x1 < < xn = b, ξk điểm tùy ý thuộc [xk−1 , xk ) cho xk = c1 với k = 0, 1, , n, n n f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] = k=1 f (ξk )(0 − 0) = (2.11) k=1 Khi cho max{x1 − x0 , x2 − x1 , , xn − xn−1 } → mà điều kiện c1 ∈ /I b f (x)dΦ(x) Do đảm bảo, vế trái (2.11) dần đến a đó, b f (x)dΦ(x) = a Trường hợp Φ khác hữu hạn điểm c1 , c2 , , cm ∈ (a, b) (m > 1) Khi Φ = Φ + + Φm , Footer Page 48 of 161 45 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học với Φk (x) = Ngô Thị Thùy   x ∈ [a, b]\{ck },  Φ(x) x = c k Ta có n f (ξk )[Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] = k=1 Khi cho max{x1 − x0 , x2 − x1 , , xn − xn−1 } → vế trái đẳng b f (x)dΦk (x) Do thức dần đến a b f (x)dΦk (x) = 0, a với k = 1, 2, , m Theo công thức (2.6) ta có b m f (x)dΦ(x) = b f (x)Φk (x) = k=1 a a Trường hợp Φ khác số đếm điểm c1 , c2 , , cn , (a, b) Vì Φ hàm có biến phân giới nội [a, b] nên tồn α > cho Vab (Φ) ≤ α Với n ∈ N, chọn phân hoạch [a, b] có dạng a = x0 < x1 < < x2n = b, x2k−1 ≡ ck , k = 1, 2, , n Với phân hoạch ta có n n |Φ(ck )| k=1 Footer Page 49 of 161 [Φ(xk ) − Φ(xk−1 )] ≤ Vab (Φ) ≤ α = k=1 46 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Suy n |Φ(ck )| ≤ k=1 α Cho n → ∞ ta ∞ |Φ(ck )| ≤ k=1 α < ∞ Với ε > bất kỳ, chọn N = N (ε) cho ∞ |Φ(cn )| < ε n=N +1 Ta có Φ = Φ∗ + Φ∗∗ ,   Φ(c ) x = c , i = 1, 2, , N i i ∗ Φ (x) =  điểm khác   Φ(c ) x = c , j = N + 1, N + 2, j j ∗∗ Φ (x) =  điểm khác Theo chứng minh Trường hợp ta có b f (x)dΦ∗ (x) = a Hơn nữa, với phân hoạch I : a = x0 < x1 < < xn = b điểm Footer Page 50 of 161 47 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy tùy ý ξk ∈ [xk−1 , xk ) ta có ∞ m ∗∗ ∗∗ Φ(cn ) ≤ 2M ε, f (ξk )[Φ (xk ) − Φ (xk−1 )] ≤ 2M n=N +1 k=1 M := max |f (x)| a≤x≤b Cho bán kính phân hoạch dần tới ta b f (x)dΦ∗∗ (x) ≤ 2M ε a Suy b b b f (x)dΦ∗ (x) + f (x)dΦ(x) = a a f (x)dΦ∗∗ (x) a b b f (x)dΦ∗ (x) + ≤ a a ≤ 2M ε Do chọn ε > nhỏ tùy ý, từ ta có b f (x)dΦ(x) = a Định lý chứng minh Footer Page 51 of 161 f (x)dΦ∗∗ (x) 48 Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.4 Ngô Thị Thùy Định lý Riesz Định lý sau mô tả tập phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C[a, b] hàm liên tục xác định [a, b] Định lý 2.5 Cho f phiếm hàm tuyến tính liên tục tập X = C[a, b] Khi đó, tồn hàm v có biến phân giới nội [a, b] cho với x ∈ X ta có b f (x) = x(t)dv(t) a ||f || = Vab (v) Ngược lại, hàm số có biến phân giới nội [a, b] xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục X theo cách Chứng minh Ta biết phiếm hàm tuyến tính xác định không gian định chuẩn liên tục toàn không gian liên tục điểm đó, điều xảy bị chặn Gọi B không gian hàm bị chặn [a, b] với chuẩn ||.||B xác định ||x||B = sup |x(t)| a≤t≤b Ta có B không gian định chuẩn X = C[a, b] không gian B Vì vậy, f phiếm hàm tuyến tính bị chặn X theo định lý Hahn-Banach, f mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính bị chặn F toàn không gian B thỏa mãn điều kiện ||F ||B = ||f ||X Với s ∈ [a, b], xác định hàm số Us cách đặt Us ≡ với s = a Footer Page 52 of 161 49 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy   a ≤ t ≤ s Us (t) =  s < t ≤ b, với a < s ≤ b Ta thấy |Us (t)| ≤ 1, với s ∈ [a, b] với t ∈ [a, b] Do đó, Us ∈ B với s Xét hàm số v [a, b], v(s) := F (Us ) Ta v(s) có biến phân giới nội [a, b] Thật vậy, ta xét phân hoạch hữu hạn [a, b] có dạng a = t0 < t1 < < tn = b Ký hiệu εi = sign [v(ti ) − v(ti−1 )] với    x > 0,   sign x := x = 0,     −1 x < Khi ta có n n |v(ti ) − v(ti−1 )| = i=1 εi [v(ti ) − v(ti−1 )] i=1 n εi [F (Uti ) − F (Uti−1 )] = i=1 n εi (Uti − Uti−1 ) =F i=1 Vì vậy, n n |v(ti ) − v(ti−1 )| ≤ ||F || i=1 Footer Page 53 of 161 εi (Uti − Uti−1 ) i=1 50 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy n εi (Uti − Uti−1 ) Với t ∈ [a, b], tồn j ∈ Xét biểu thức i=1 {1, 2, , n} để tj−1 < t ≤ tj Khi   ≤ i < j Uti (t) =  j ≤ i ≤ n Vì vậy, n εi (Uti − Uti−1 )(t) ≤ i=1 với t ∈ [a, b] Suy n εi (Uti − Uti−1 ) ≤ i=1 Từ ta có n n |v(ti ) − v(ti−1 )| ≤ ||F || i=1 εi (Uti − Uti−1 ) ≤ ||F || = ||f || i=1 Vậy v hàm có biến phân giới nội [a, b] với Vab (v) ≤ ||f || (2.12) Tiếp theo, ta chứng minh công thức biểu diễn f X Với {ti }ni=0 phân hoạch [a, b], đặt n x(ti−1 )[Uti (t) − Uti−1 (t)] z(t) := i=1 Footer Page 54 of 161 51 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Khi ||z − x||B = max max |x(ti−1 ) − x(t)| ti−1 ≤t≤ti i Do tính liên tục x [a, b], vế phải đẳng thức dần tới phân hoạch {ti }ni=0 làm mịn tùy ý (bán kính phân hoạch dần tới 0) Vì F liên tục B, nên F (z) → F (x) = f (x) Do n x(ti−1 )[v(ti ) − v(ti−1 )] F (z) = i=1 theo định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes ta có b F (z) → x(t)v(t) a Suy b f (x) = x(t)dv(t) a Theo tính chất tích phân Riemann-Stieltjes ta có b x(t)dv(t) ≤ ||x||.Vab (v) |f (x)| = a với x ∈ X Vì vậy, ||f || ≤ Vab (v) (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta có ||f || = Vab (v) Để chứng minh khẳng định thứ hai định lý, v hàm số có Footer Page 55 of 161 52 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy biến phân giới nội [a, b], ta nhận xét b x(t)dv(t) (x ∈ X = C[a, b]) f (x) = a hiển nhiên phiếm hàm tuyến tính Hơn nữa, f bị chặn ta có |f (x)| ≤ ||x||.Vab (v) với x ∈ X Sau lời giải tập [2, Problem 10, p.378] Bài tập 2.4.1 Tính tích phân Riemann-Stieltjes sau xdF (x) với (a) −1    x = −1,   F (x) := −1 < x < 2,     −1 ≤ x ≤ x2 dF (x) với (b)    −1 ≤ x < 21 ,   F (x) := 21 ≤ x < 32 ,     −2 ≤ x ≤ 2 Footer Page 56 of 161 53 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy x2 dF (x) với (c)   x, ≤ x ≤ F (x) := 1  x < x ≤ Lời giải (a) Nhận xét F hàm nhảy với điểm nhảy x1 = −1, x2 = bước nhảy tương ứng h1 = 1, h2 = −2 Vì f (x) = x hàm liên tục nên µF -đo Theo kết trình bày Ví dụ 2.2.1, ta có 3 f (x)dF (x) = f (x1 )h1 +f (x2 )h2 = (−1).1+2.(−2) = −5 xdF (x) = −1 −1 (b) Nhận xét F hàm nhảy với điểm nhảy x1 = 12 , x2 = bước nhảy tương ứng h1 = 1, h2 = −2 Vì f (x) = x2 hàm liên tục nên µF -đo Theo kết trình bày Ví dụ 2.2.1, ta có 2 x2 dF (x) = −17 f (x)dF (x) = f (x1 )h1 +f (x2 )h2 = + (−2) = 4 x2 dF (x) = (c) Ta có x2 dF (x) + Vì F (x) = với ≤ x ≤ x2 dF (x) 2 hàm liên tục, nên F (x) = x hàm khả vi liên tục [0, 21 ] Vì vậy, cách áp dụng định lý giá trị trung bình, ta thấy F (x) hàm Lipschitz [0, 12 ] Theo kết Footer Page 57 of 161 54 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Bài tập 1.2.2 ta có F (x) hàm liên tục tuyệt đối [0, 12 ] Vì thế, theo kết phát biểu Ví dụ 2.2.2 ta có 2 x2 dF (x) = x2 F (x)dx = Lại có F (x) = − x12 với x2 dx = 24 < x ≤ hàm liên tục, nên F (x) = x hàm khả vi liên tục ( 21 , 1] Vì vậy, cách áp dụng định lý giá trị trung bình, ta thấy F (x) hàm Lipschitz ( 21 , 1] Theo kết Bài tập 1.2.2 ta có F (x) hàm liên tục tuyệt đối ( 12 , 1] Vì thế, theo kết phát biểu Ví dụ 2.2.2 ta có 1 x2 dF (x) = x2 F (x)dx = Do ta có 1 )dx = − x2 2 x2 dF (x) = 1 11 − =− 24 24 Footer Page 58 of 161 x2 (− 55 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngô Thị Thùy Kết luận Bản khóa luận trình bày số tính chất hàm có biến phân giới nội, tích phân Stieltjes, ứng dụng chúng Định lý Riesz Cụ thể, - Nghiên cứu tính chất hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes -Trình bày nội dung Định lý Riesz với chứng minh đầy đủ - Xây dựng số ví dụ minh họa cho phần lý thuyết - Giải năm tập tiêu biểu, nhằm hiểu rõ lý thuyết hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes Footer Page 59 of 161 56 Header Page 60 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hải Hà, Tích phân Lebesgue-Stieltjes ứng dụng toán điều khiển tối ưu, Khóa luận tốt nghiệp đại học, Hà Nội, 2011 [2] A N Kolmogorov, S V Formin, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970 [3] D G Luenberger, Optimization by Vector Space Methods, John Wiley Sons, New York, 1969 Footer Page 60 of 161 57 ... giản hàm có biến phân giới nội Tổng hai hàm có biến phân giới nội hàm có biến phân giới nội Tích hàm có biến phân giới nội với số thực hàm có biến phân giới nội Nghĩa là, f : [a, b] −→ R hàm có biến. .. thuyết hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến hàm có biến phân giới nội tích phân Stieltjes như: định lý hàm có biến phân giới nội, hàm. .. đề tài "Hàm có biến phân giới nội Định lý Riesz" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất hàm có biến phân giới nội, tích phân Stieltjes, ứng dụng chúng Định lý Riesz Footer