Chảo các vịnh Hùng bảo hấu kh ác bạt đang đúc, 6 những dòng này, tứo là các bạn đang cầm trên tay cuốn BÍ
'Tịch giúp nâng cao võ công của các hạ, làm cho nội lực ‘B 1 ngày càng uyên thâm đủ sức hành tâu trên giang hồ cũng
như tranh Slot vào Đại Học, điền mà ai cũng muốn và chỉ có chiến thẳng bằng đúng thực lực của mình mới mong giành được
Hành tấu trên giang hồ các bạ cũng đã biết, ngoài i hải cần cù siêng năng, học hành chăm chỉ để có những kĩ
năng cở bản thì cần phải có những chiêu thức độc và mạnh, cũng như vũ khí vip Thứ hỏi có cao thủ võ lâm
ảo, không năm trong tay các tuyệt thế vỡ học như Cứu h ^
Đương Thân Công, Cứu Âm chân kinh, Hàng Long Thập Ï ie
Bat Chuéng, Nou Lai Than Chudng
Hôm nay, bạn đã có 1 bí tịch như vậy và những, Skill
chỉ ong sách này mới có, bạn sẽ không tìm thấy ở
quyền sách màu mè nào khác
Và đây là 1 phiên bản đặc biệt Litnited, Hãy gối đầu wc
giường và tu luyện nó cho cân thận nhé 11! $ °
_—_ Sư Phụ : Thể Lực _
Đi kèm Bí Tịch này là tiệt Hệ thống Video bướng dẫn các Sikill và kho bài tập rèn luyện Upđate được kết nối tới hệ thông data điện toáa đám: mây
Quan hing quy ty tại đây để được hướng dẫn kết nói;hfip:/bilápthelae.comcbook Đây là ID của bạn: 4|£
Chase Qin Jhee tat 4%
videos doled foe 2k 46 @ qmo/Ä com V
Trang 2
Menu skill
(Hệ thống Video cũng được xây dựng dựa trên menu nảy) 1.Bí Kíp Phương Trình - Bat Phương Trình Hàng Long Thip Bat as Chong
1, Giới thiệu, yêu cầu và các phương pháp cơ bản cần nắm vững
2 Basic Skil
ế 2.1 Phương trình cho nghiệm đẹp à cóc co ccceceocccvcoỔ 2.2 Phương trình cho nghiệm xấu
2.3 Đánh giá sau liên hợp, truy ngược dấu ¬ 2⁄4 Một số bài khó bấm máy: thường liên quan t tới ấn phụ 26
3, Advance Skill
3.1 Super Skil ~ Ép Liên Hợp 3.2, Pro Skill — Ep Ham Số
4 Một số bài tập tự luyện có ó hướng dẫn 1 Bí Kip Hệ Cứu Dương Thần Công
Khải quát hướng giải hệ cơ bản và kiến thức cần nắm
Cách tìm mối quan hệ giữa x và y bằng máy tính từ 1 phương trình Dang hé phai kết ‘hop 2 phương trình
Một số kĩ năng bễ trợ giải hệ
„ Các bài tập rèn luyện
'_1.BíKặp Qxy Cứu Am Chan Kinh
Các kiến thức cần nhớ
Tư duy giải Ôxy
Các bộ đề phụ cần biết và cách chứng minh và ap dung Chun héa Oxy
Các bude lam 1 bài toán Ox Hệ thống bài tập rèn luyện có lời g
IV Bi Kip BDT Như Lai Thần Chưởng
1, Kiến thức cần nhớ và hướng làm chung 2 Bấm máy cây dấu =”
Trang 3` Bí Kip Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia
Giải Phương Trình, Bất Phương Trình -
Bang May Tinh Fx 570 ES, VN, Vinacal PLUS
Version 3.1 PHimate _1 Giới thiện
Xin chao các em, anh là Nguyễn Thế Lực — sinh viên ĐH Bách Khoa Hà Nội „
khi các em đáng đọc đhững đồng này là các em đang cầm trên tay bí kíp tuyệt học
giúp các em công.phá phương trình, bất phương trình hiệu quả mà ít em biết được,
fe thdy cô dạy cho cáo ea, đây là một sáng kiến kính nghiệm mới hỗ trợ đắc lựe"
cho các erủ trong học tập cũng như kì thi THPT Quốc Gia HL, Lý đo chọn đề tài
RẤt nhiều erủ hỏi anh ring : “ Sao anh lại có cách giải đó? Sao anh biết ghép căn thức đó với biểu thức đó để liên hợp, để ép nhân tử? ” Đa phần thấy cô cũng
chỉ giải cho các em ở dưới đạng là với dạng nảy thì ta làm như thế chứ chưa thực sự có cách gì tổng quát
Xeu hướng chung của BGD cũng đang ra phương trình, bất phương trình thay
, thế hệ phương tình nhưng điều đó không hễ thay đối gì trong công cuộc chính
phục điểm 9 của chúng ta Hém nay anh xin giới thiệu bí kíp giải phướng trình,
bắt phương trình bằng & 370 es, vn, vinacal plus ; đảm bảo học xong các em ở
unit Trung Binh khá chăm chỉ 1 chút cũng sẽ lâm được
Let “s gọ THỊ z
TH, Yêu cầu chúng :
1 Có tính thần Quyết tám đỗ Đại Học !Ị
Trang 4
xa-db=
Lap EO OE ae
*Phương pháp hàm số:
hầm 7 đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn [a8] và x.2~xe[a;e]mmà
THỊ: /œ)=0 nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất
TH2: /@œ)= /@-x) phương trình có nghiệm duy nhất là x=2-x
*Phương pháp đánh giá: thường là sử dụng BĐT Cô-S¡ vì BĐT này có trong SGK
lớp 10
Ta c6: Va,b20:+b 2 2vab,a" +b 22ab
3 Có 1 chiếc máy tính có tính năng SOLVE : fx 570 es, vn, vinacal plus , fx 570
MS ,
Ly do anh chon Fx 570 ES PLUS vi day là máy tính các em sử dụng nhiều và là máy tính có chứa các tính năng các máy VN PLUS va VINACAL đều có
( lý do khác là anh đang đùng máy này :Ð }
*Phân tích xu hướng ra để về phương trình, bất phương trình:
Những năm gần đây các phương trình đều ra theo xu bướng phải kết hợp 2
phương pháp: 1 là đùng liên hợp để tìm 1 nghiệm rồi san đó sẽ đùng phương pháp hàm số hoặc đánh giá sau liên hop để tìm nghiệm còn lại, đây là những đạng rất đã dâng bấm máy tính để “dò biểu thức liên hợp” và “ đánh giá sau liên hợp” hưng bên cạnh đó cũng có những bài tập với các đạng đặc trưng như đặt Ân phụ
nên khó bấm được máy tính nhưng bằng giác quan chúng ta lại dễ dàng nghĩ về hướng đặt ằn phụ boặc đưa về tổng bình phương nhưng thường những dạng không bấm được máy khá là hiểm
1V, Nội Dung
+Vất Quyết của bí tịch: Khi một phương trình có nghiệm x=a,x=6 tức là nó có thể được phân tích thành œ~a)@œ—6)/02)=0 và ft) sẽ vô nghiệm hay nó sẽ
đương hoặc âm
Trang 5Các ví dụ đầu anh sẽ trình bày chỉ tiết 1 chút về cách giải 1 phương tình bằng
- máy tính; có các bước cơ bản sa:
Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của phương tink
Bước 2: Nghiệm đẹp thì ép liên hợp hoặc ép hàm luôn , nghiệm xấu thì thường là nghiệm của phương trình bậc 2, đo đó phải dò xem đó là nghiệm của phương trình bậc 2 nào từ đó ghép-căn với biểu thức thích hop
Birớc 3: Đánh giá sau liên hợp, kết luận nghiệm
Quy ước chung: nghiệm đẹp là nghiệm hữu tị, nghiệm xấu là nghiệm vô tỉ Chú ÿ : Tài liệu có đỉnh kèm Video, các em xem video để hiểu rõ hơn nhé Để nắm được lứ bơa nữa và chắc chấn cho điểm 9, các em đọc thêm Bí Kip
HỆ nhé
“Trước khi vào từng dạng cự thể, anh sẽ hướng dẫn sơ qua cdc ki nang ding may cơ bản
1 Solve
Đây là 1 tính năng tìm nghiệm của phương trình 1 ẩn, dựa vào định lí Rolle, theo
anh biết thêm là dựa trên công thức Newton, đù phần sau anh đã viết rất chí tiết cách bấm máy nhưng anh vẫn viết thêm phần này cho các em dễ hiểu hơn nữa Vi dụ giải phương trình: 222—x~17+/Z+Í=0 ước 1: Nhập phương trình ay 282 NLL ũ : a
Trang 7Ta ép đơn giãn nkw sau: DK 2-1
2t =y=17+Jg+1=04 @32=z~18)+( Eri~a=tc@-82xxš+
Với x>~I2x+53———~>0 nên phương trình có nghiệm z=3 x+1+2 2 Table
Day a1 tính năng thông kê bảng giá trị, thường là khi ta Gm ra nghiệm xấu ta muốn đồ xem nó là nghiệm của phương trình bậc 2 não, hay căn bậc 2 ghép với đa thức Bào (2 cãi này là tương đương nhé các em)
'Ví dụ khí gidi PT! 2:7 43x~2= =x œ<I@I) em chuyển sang 1 về rồi bam Shift
Solye khi máy hỏi Solve for X? thì các em bẩm 1=
ta được nghiệm day nhất lưu vào biến À
2218-0-1-3" Anse &= 618389887
L-R= Ũ 0,6180999887
'Ta sẽ tiến hành đỏ phương trình bậc 2 tạo ra nghiệm đó, đo Í nghiệm bị loại
Bởi điền kiện nên không thể đùng Vi-et đáo, do đó phải dù tìm
‘id aie
Các em vào ie &2 và nhập biểu thức /()= 4'+Z4 nến các em ding @-370 va pÌas bay vinacal có thém bang g(x) thi nhập z@j=v1~ 4+ x4 hoặc
các em có thể ấn “=” để bỏ qua gớ) :
May hi Start các em nhập -9 , End-cic em nh4p 9=, Step các em nhập 1=
ead ñ
Ta sé quan sat F(x) va G(x) xem giá trị nào nguyên, (4 được kết quả: F@):2+A=lzz”+tx-1=0 và OGWi-d-A= 03 Vi~z~2=0 8 q ‡ Men sửa Be B18 q| lung + 4] 10} H
*Laru ý: Trong tính năng Table nó có thể tính tối đa 30 giá trị tức là thường các em có thể cho nó chạy từ -14 tới 14 nhưng anh thì muốn nhanh với thấy hệ số nó cũng thường nhỏ hơn 9 nên cho chạy từ -9 tối 9 thôi
Trang 8Do d6 ching ta làm như sau: (anh trích phương trình này từ bài giải hệ
2014 nên thực ra điều kiện chuẪn là 0<x <1) 2È irc2svfCE 902 yx-00ez—fVT=0e9 Q2 v-D 3T T=rÌ=g xế -l+/§ 2 _ x= 1 een) Với xe[0;1]-2+ en xevtes >ũox +x-l=0@ xe (loai) Các em cứ ghép đúng như ta tính toán được là nó tự hết thôi
Đây là 2 kĩ năng chính các em cần lắm được, ngoài ra còn nhiều tư đuy nâng cao, SkiIH mạnh khác sẽ được minh hea trong phần phía dưới
*Một số kinh nghiệm của anh đúc rút ra được:
+ Phương trình chờ † nghiệm đẹp đơn thì các em thay trực tiếp vào căn để
xem nó bằng bao nhiêu để ghép với số đó
(Nên kiểm tra bằng đạo hàm xem nó có phải nghiệm kép không)
+ Phương trình có nghiệm kếp thi các em có z=(/—)' de đó có ngay a va x+b tìm b thôi + Phương trình có 2 nghiệm đẹp (hữu tỉ) chỉ các em tiến hành giải hệ: lz=x =8) *h _" thay x vàn từ đó các em sẽ tìm được a,b
+ Phương trình cỗ 1 nghiệm xấu (vô f} thì đùng tahle đỏ xem x/ ~zx+-b
+ Phương trình có 2 nghiệm xấu thì xem tổng và tích cña chúng có đẹp
không? Nếu đẹp thì áp đụng Vi-et Đảo, không đẹp thi tiến hành đò biếu thức
đỗ ghép với căm
Sau đây thì chúng ta sẽ vào 1 số dạng bai cy thé
Đặng 1: Phương trình cho nghiệm đẹp
Ví Dự 1: Giải phương trình: 4(2VfG~2x- W5x~ 37)=4x`~15x—43
Các bài anh đưa ra đều lấy từ các để thì trừ để đảm bảo mức độ của nó phù hợp với kỉ thí, các ví dụ đầu anh sẽ trình bày rất kĩ từ cách bẩm từng phím ra sao nên
Trang 9Nhận xết: thoạt nhìn vào đây là 1 phương trình khá khó ăn vì sao? Cô căn bậc 2,
căn bậc 3,bình phương, sẽ rất khổ cho cáo em và thường chủng ta cũng nghĩ nó +hó những khi sử dụng máy tính thi mức độ khó của nó sẽ giảm rõ rệt vì ta kiếm soát được nó, biết KQ của nó và ta sẽ đắt mũi nó đi theo ý ta
- Bước 1 : Tìm hết nghiệm của phương trình : Sử dụng chức năng SOLVE Trước liết chúng i4 sẽ bấm máy xem phương trình có mấy nghiệm, chúng ta
chuyển hết phương trình sang Ì về tí edit tim nghiệm thứ 2 cho dễ
4(2 £ 10-2 Alpha K - shift 9 Alpha X -37)-(4 Alpha X i - 15 Alpha X -33) aes a Bowe SCARF FET) -C ie € (02-18-58 Sau khi Ẩn xong các em Ấn “=° để lưu luôn lại phương trình không nó mất Các em ấn SHIFT SOLVE
ác em nhấn ð = rồi máy sé dé nghiệm
Salve for x” sail TŨ-2K- cán
a foe Ũ
1 tạo mắy rả ln x =« 3 ( ngon ngon)
máy hỏi Solve for X 2
“ "Tiếp theo các erd nhắn mãi tên đẩy sang trái edit thành:
(42 +Ƒ' 10~2 AIpha X — shit ý 9 Alpha X -37 )— (4 Alpha X z' - 15 Alpha
` X33): (645)
wath
454-39) ) +00)
Vì phương trình có ngiệm x = -3 nên nó sẽ có nhân tử x + 3 do đó ta phải chia di
Trang 10Các em ấn SHIFT SOLVE máy hỏi Solve for X ? các em nhấn 0= rồi mấy
sẽ dò nghiệm ( thực ra là Ấn = luôn cũng được ) tataii05I-Y86 -R= a Máy báo thêm 1 nghiệm x = § rồi các em lại đẩy sang trái và sửa thành ( ):3@œ-5) cr 48))+0+8) GB)
Mãáy tính nó tu tiên thực biện nhân (X+3)QX-5) trước nhé, chứ không phải từ trái qua phải đâu, cả cái cụm đó là mẫu
Khi ta tiến hành dò nghiệm thì máy báo Can't Solve tức là hết nghiệm rồi đừng ấp bức tao rữa :D ¬ can't Solve [AG3 r:Cance1l É$ 1E #1: Gạto Vậy ta có 2 nghiệm là x = - 3 và X= 5
Nghiệm đẹp thì các em thay luôn vào căn Nếu ép lần lượt từng nghiệm thì ghép căn với 1 số, nếu ép 2 nghiệm cũng 1 lúc thì ghép căn với đa thức bậc
nhất thì mới xuất hiện nhân tử bậc 2 được
Trang 114(27+3x) 4, 6423) ° 16~419x~37+(W6y-37} #+Vi0~2z PA +Œ+3)4x~27)=0 x‡3=0ex=-3 3 “==——————::———‹‹:-::;*99 36 16 16-43Sx-37+(W6z<37) ++l0~2r
Phương trình (*) có nghiệm x = 5, chỗ này khó lòng mà đưa về nhần (ữ được
niên chỉ có dùng đánh giá hoặc hàm số, ta sẽ thử bấm mấy coi : Chúng ta sẽ sử đụng tính năng Table dé xem tính đơn điệu của nó: Các em vào Mode 7 tồi nhập
36
f@)=—— 8, + hs (ax 27)
16~446x~374(Mex-37) +tvlô-3x
Rỗi ấn “ =”" Các em dùng 570 vn thì bỏ qua gáx) bằng cách dn “=” Với Star? -9 =-, End? 5 =, Step? 1 =?
“Ta quan sát cột F(x) thấy nó tăng đân mà không có chỗ nảo tăng rồi giảm chứng 1ö hàm số này đồng biến và x =5 sẽ là nghiệm duy nhất từ đó ta có các hướng sau Cách 1: Trâu bỏ đạo hàm chứng mính đồng biến
36 16
#@=————————-:———- 16~49x374(4x-37} 4+Vl9~2x (4-27)
Ta thấy như sau: Nếu đạo hàm toàn bộ.thì khá là căng đó nên ta thử xem từng biểu thức có đồng biến không?
Các em khảo sát bằng 'Table cho từng biểu thức
Mode 7 rồi nhập nguyên phương trình vào sau đó cho Start -9 = vi End 5=, Step 1= nhé
và thấy ngay là hảm này đồng biến các giá trị nó tăng dẳn, đầu tiên ta thử cả biếu thức sau đó ta thủ từng biểu thức thấy nẻ đồng biến, việc tiếp theo là lẫn lượt
chứng minh
16-44§x-37+(V§x-37) giống như gự)=i6~4r+Z.¿<2 nó nghịch biến vì
Trang 1236 Do da —%° _ sé fi ham dng bién, cai nay chic it ngwdi day cde 16-4995 =37 +(385— 37) em ^^ Tương tự T— trinh đồng biến do 4+ VfØ~5x nghịch biển, 4x-27 thì cũng đồng biến rồi
Tổng của các hàm số đồng biến là ¡ hàm đồng biển, vậy /@) đồng biến trên (-»,3] va nếu nó có nghiệm thì sẽ là nghiệm duy nhất và nhận thấy x =5 là một
nghiệm cửa phương trình, đó đi thì trình bảy y như 'anh là được Cách 2: Dùng đánh giá 36 16 #Œ*———— ———nr:———:%-7 ` 16~ 495537 +( 9 By~37)` 4+)0~2x | Cp 27 20 ' 124(®x-37-2) 4+V10~2x
Do x5 nên rsa Baas ~27=0 Đẳng thức xảy Tả x25
Vậy phương trình có 2 nghiệm là -3 và4 —„ *Ép theo cả 2 nghiệm 1 lúc: 4(2/ñ6~2v~Ÿ9z~37)= 4x) ~15x ta có ? nghiệm là x=-3xes do đó phương frình sẽ có nhân tử: G+3lŒ-3)=zx)~2x—15 Way V[G~3z và 16x 37 ghép với bao nhiêu để được nhân tử trên? Dé thay ï6~2z sử dụng liên hợp có đạng ` xÌ~28
T0~2x~(ax + b)) =y? «2x<15 <p =(aX +)?
Trang 134[zha- 49-37 }rdrat- ax -6-z)|-(4&# v3? ~Gx~T)]}~7x~27 27-5) man (x~TỶ +4Gx=79x~37? +164(9x~ 37)” 4(2V10— 2x - Y9x= 37) ax? 155-33 # ô4[2fi62x =6s)]-(26x=5T~@x~T)è~Tx+17= 4s =Đ~60 -4G?-2x189 _ 2TG—z\G!~2x~ 15) _4 —.—.` 2 4(x? —2x~T 2ftO~ 20 +(S~x) BP oT hat) 27-5) x°=2—] op nn tae of; who~ Ee 3) @Gx-7))+43x~7)M9x~37+16/@x~37 TH Son max ng đường, tử Âm - Nên x~2z~15=0œx=-~3,x=5
Đây là 1 cách có lẽ khá kinh điễn phần đầu vì phải mỏ biếu thức liên hợp, tuy
trông khá là phức tạp đoạn đầu kì công 1 chút nhưng đoạn san lại sướng vì không phải đánh giá sau liên hợp, ngược lại ép từng nghiệm thì bước đâu có
vẽ dế nhưng bước sau lại có vẻ khoai hơn
*Trong các đề thì Đại Học phượng trình vô tỉ ít ra hơn so với hệ nên nguân bài *hông cá nhiều anh sẽ lấy từ một số đề thí thử hay nhé
'Ví dụ 2: Giải phương trình J2x"+241+y ex e1 =3x
Phan tich và hướng dẫn:
Trang 14V2x +x+1 =4 2xyx tử đó ta ghép như sau : M2»? +x+1~2x+x)=x+Í—x=0 tư +i i =0 x+l+2x v thax + _—_H el }s TP axtl+3x XY xtltx xt] 1 >0 do x>0 Quá đơn giản /@G}= vã
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Nếu không tỉnh ý mà nhận ra x > 0 thì vấn đề đánh giá biểu thức sau liên hợp kia cực kì nhức nhối, trong phương pháp nhân liên hợp vấn đề đánh giá biểu thức sau
i+2x vdự =x+tl#+zx
liên bợp luôn là 1 trở ngại không đơn giản
*Đây là 1 cách khác làm theo Ân phụ khá là trâu bò chấm com 232+xz+1>0 Về x?~z+1>0,Vy Re TXĐ: R TH 1 x<ð PT vô nghiệm TH2.x>0PT octets he Wy z V x 4-120 ts4 = (9đ~r+2)=16—xC ˆ |R#~r~7=0 › Phot «Ă Đôi chiếu với t > 0 ta được r=I=x^1 ‘Tho lai thấy x = 1 thỏa mãn pt Vậy pt có nghiệm đuy nhất x = 1 Ví dụ 3 :Trích để thi thir 2016 : X9 r1+vŠ~3xy+4+20/3+4x-4x? No —4x+3\(2+—DŸ
Câu này mả vác vào đề thí thật chắc ngóm gần hết vì nhìn nó phức tạp , ấy thế mà
ehả khó tẹo nào, cái quan trọng là các em phái nhận định xem giải nó bằng phương pháp gì
Trang 15'Ban đều có thế nhận đạng được ngay là có thể dùng đặt ân phụ
Cứ đặt điều kiện đàng hoàng đã Hered
Ta nhìn sơ Sơ sẽ thấy như sau : 3+4x~4x` =(2x+1)~ 2x)
Nói thật tới đây, học sinh mới học cũng biết là dạng nây đặt ẫn phụ ?=2x+1+5~2x cái này cơ bản rồi nhé
Mã Ê=4+245+4x—4x) 34-32
Ta bam được những nghiệm sau : xrÿ.x khi đó (=2
VT cổ dạng : £+-£ tá thể biển đổi VP về đạng bảm ø° + như vậy Xem sao
với chú ý là x-a xe Thì s=2 mà thấy cái (x—D" atone ta sẽ cổ ép
về hàm
(2x+1+x3—2x)= 7=
2002 ace 30-1) Hey pert? +
Ngon rồi, vậy là VT và VP 48 06 dang fio=2 +2 và nó hoàn toàn đồng biến với 1>0
Tướng rằng đã xong mà khó lại cảng thêm khó ta giải phương trình ABx+1+a3=2x oe
Trang 16816462 = 4° weet 880 gen
Các em vào Mode 5 rồi ấn 4 để giải phương trình bậc 3 ra 3 nghiệm là x=-3.23 ; x=2 va 1,236
Toi day dé rdi, ta cần quan tâm nghiệm đẹp x =2 thôi
Ta tiến hành chia ;?~8/+8§=0 cho @~2) ta sé được ¿—$r+§=ứ~2)0°+22~4) Tới đây các cm giải nghiệm đối chiếu điều kiện ta có ;=2
a Vistlt Vetere và nhớ kết luận nhé
Nhận xét: bài này thực sự là khó không chỉ từ chỗ ép hàm mà còn kết hợp cả đặt ấn phụ, việc ép hàm thì máy tính giúp Ích cực tết định bướng biển thức cần ép nhanh nhưng dính tới Ân phụ thì máy tính chỉ giúp được khi đã đặt ấn phụ
*#Đạng đặc biệt Phương trình cho nghiệm kép:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2@ˆ~9x+10jý>~1+z” ~8x)+6x+85=0 Tiến hành đò nghiệm của phương trình thì được: x= 5
Muén kiếm tra xem x=s có phải nghiệm kép không các em ding tinh nang tinh dao ham tai
Các em cứ hiiểu đơn gián nó có nghiệm kép tức là
Trang 17a = (i=l) t tim b thi ta Jam whe sau: 5-1 atatbesbad3— 3vx~l alee x43 Deo dé ta ghép ¢ Jx-1 véi > hay 4/x—1~(x+3} cũng được 2G ~9x+10)ý: xì ~§xÌ +ồx +85 = 0 œGŒ?~9x+10).4Vx—1+2(Ÿ Bx2 + 6x + R5) =D đ%G2~9x416)14/x~1~(@+3)]4x2ô6x?~17x+30) + 2G” — 8a” + 6x +85) =0 ¿ —G2-8x+101 —Œ-~')_ (3x°~22x2—5z+200)<0 4x-1+@œ+3) ee -9x+I0—-=5S”_—+œ-~5ƒ/0x+8) =0 +5 1+@œ+3) 97410 Lye 3 =0 oO TC Te +8) 12xVs—1+38? +17x+32%—1+24- (s2 ~9x+16) +3xtÊ= +š-1+Gœ+3) +32vx~l >0,vx>1 Do đồ x=5 Xong Dang 2: Phương trình cho nghiệm xấu { thường là 1 đẹp 1 xấu ( 1 trai 1 gái mới đẹp)]
Thường là uu tiên ép nghiệm xấu trước vì nghiệm lúc đầu bao bià cũng để ép hơn, côn nghiệm đạp thì lại dé suy ra từ xét hâm số hơn ( tức là phải nhường con gói, cồn con trai nhụ ảnh êm mình khả khăn kiểu gì cũng chiến được hế)
Ví dụ 1: Giải phương trình vô tỷ của Sở Giáo Dục Bắc Ninh (Có video đính kèm tài liệu nhé các em}
Anh nghĩ đây là đạng khó nhất người ta có thể ra rồi, chủ yếu anh đưa câu này vào để trình bày 3 kĩ thuật chính tìm phương trình chữa nghiệm xấu hoặc tìm biểu
thức ghép liên hợp
Các em cú đặt ĐK đàng hoàng đã : x ed
ác em nhập phương trình: 2/5y+4+3/Z+4 +4z` ~18x~12 này vào, bấm đấu “=° để lưu lại đã
Tiếp theo các em bam Shift Solve 0 =
15
Trang 18Máy cho ra htôn nghiệm X = 9, tì cần fìm tất cả các nghiệm
Đẩy sang trái sửa phương trình thành (3/SX+2+3/X+4 +4g2 —18x—13): X "Tiếp theo các em bấm Shift Solve = được X = 3,797
Các em lưu nghiệm nay vac A
Rỗi lại sửa thành @/5z+4+3/ZT4+4x'~I8x-12): XỞY =4)
Tiếp theo các em bam Shift Solve = = cũng hơi lâu máy báo x =1.10° nghiệm này xắp xỉ nghiệm 0, tức là vô nghiệm
Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thôi, làm sao để tìm được nghiệm lẻ nữa kết hợp với nghiệm lẻ kia để áp dụng Vi-et đáo, tìm ra phương trình bậc 2 chứa nghiệm đó?
Phương trình vô tỷ họ rất hay cho 1 nghiệm lẻ, ! nghiệm đẹp, 1 nghiệm lẻ bị loại
do điều kiện nhằm gây khó khăn cho chúng ta
*Cach 1: Mò phương trình tạo ra nghiệm lê kia :
Nghiệm đó là nghiệm của 1 phương trình bậc 2 nào đó luôn có đạng :
3X” +ấy + =Ũ
Thông thường a =1, c nguyên nên chủ yếu là ta sẽ tìm b
'Ta đã lưu nghiệm lẻ vào A,
Bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách RCL A Shift STO X
Các em nhập như sau : X°+šzY:#=#+1
Nhập như sau : Alpha X s° + Alpha B Alpha X Alpha : Álpha B Alpha = Alpha B+1 Sau đó bấm CALC : Máy hiện X? 3,79 Các em ấn = Máy hiện B? Cac em an -9 =
Trang 19Máy hiện f()= các em nhập : +4 (X sẽ chạy mà, A là nghiệm] rot dn =
_ Máy biện Start ? các em bấm -9= (bit ddu)
Máy biện End ? Các em bấm 9= — (Kết thúc)
Máy biện Step ? Các em bấm 1 = ( Bước nhảy ví dụ từ 2*33 thì bước là 1 }
Nhìn vào bảng ta thấy luôn X= -3 thi f(x) = 3 vậy /QQ =4 +34=3
'Vậy ta cổzˆ ~3z—3 =0.là nhên tử cần tim
Nếu mà không có giá trị đẹp thì các em lại sửa thành : 22+ X4, 34, THÔ mà,
keke, nhưng thường như anh nói thôi hệ số của ¿° l4 1
*Cách 2; Mà biển thức đễ ghép liên hợp : các bài toán về căn như trên thường là ghép liên hợp, nhưng vấn để là ghép với số nào?
Ay+4=ax+b dx+4=a'x+bt
“Ta có +5x+4=øœ+b ( cải này để tí ghép liên hợp đó)
Thớ Kĩ là nghiệm X =3,797 ta vừa tìm được đã lưu vào biến Á nhé, vì khi vào Table thi X sẽ thay đổi
“Ta lại mô ^/5.2+4~ X.4 khi nào nguyên thủ dừng
Đạng chính là : { ta phải đi tìm a,b,a”, b° như sau r cry Anessa fO)=5RFS KA 3 79123704? 4 Tadd duge \Sa+4-1As13 Voxtd -x-1eoVoned eat! _ Tương tự Ýz+4-z=-1 Sx+4-@2+2x+1) -_—G +âx~3) x5x+4t@œ+U V5z+4+@+D
FRA Gea Ze -h-3 zroe WredaGeal) AXtiz@+) Thấy lợi hại chưa các em, mới đầu cũng sẽ thấy hơi khó khăn
Vậy ta có VSxrad a(x t=
Ngoài ra cồn 1 dang nita'li: Jan? chive =az cv :các em tham khảo ở Bài tập chuyên Nguyẫn Trãi Hải Dương phía dưới nhé
Và nhiều kửu các em phải tiểu hành đò 2J = ax+b,3l =ax+biAllx =aa+b Chi Ú vào cải hệ số trước căn thức nhé
Trang 20*Cách 3: Đảo dấu : Mò nghiệm ngoại lai —› phương trình nhân tử Cơ sở của phương pháp này là khi ta nhân liên hợp, bình phương các kiểu Bản chất vẫn là từ 4Í2 -a tức là +e~»e cát này lầm xuất hiện nghiệm ngoại lai, muốn lọai nghiệm ngoại lai ta kết hợp với ĐK ban đầu là vì vậy
Tức là trong quá trình bình phương hay nhân liên hợp vỗ tình đã tạo ra thêm j
nghiệm mới nhưng nỗ bị loại bởi điều kién cita phương trình ban đầu ị
Tức là 2> C hiểu đơn giản là như vậy |
Bởi vay mudn tim nghiém ngoại lai đó chỉ cần
các phương trình ngoại lai, nghiệm ngoại lai chỉ có tác dụng hỗ trợ việc giải phương trình mà không phải là
nghiệm chính thống Ta có ;
vãxz+4 nose fixed Sata và - Weed xaal VEO4 aa Nghiệm ngoại lai để mà kết hợp được với nghiém X = 3,797 ra dep s8 14
iệm của Í trong số các phương trình ngoại Jai sau : | lx+4 of { |
Các em lần lượt bấm nghiệm của phương trình (1), (2), (3) ra rồi nhân với X= 3791 đã lưu ở Á xem cái nào đẹp là nhận
(1)có nghiệm : X=5,402 hưu vào B, nghiệm X = -0,5022 Lưu vào C, có 2 nghiệm đó thôi
thử tích AB, AC xem có đẹp không? Ko đẹp thì sang phương trình (2)
€2) só nghiệm X=-0,7696 lưu vào B, nghiệm X = -0,79128 Lia yao C, nghiệm X.= 6,76 lưu vảo D
hết nghiệm rồi, bây giờ ta xét các tích AB,AC,AD Thấy ngay tích AC = -3 thứ A+C = 3 (3) Không cần giải nữa
Trang 21
Vậy ta có luôn phương trình chứa 1 nghiệm của phương trình ban đầu và nghiệm
ngoại lai là x?-3x-3=0
Trong các cách này anh thấy nhanh nhất là cách 2, nhưng cầu nhạy bén 1 chút,
trâu bò nhất là cách 3 những mà chắc ăn, vừa vùa thì dùng cách 1 cũng được 'Vậy là ta đã xác định được có nhân tử +?~3x~3=0 bây giờ xác định lượng liên
hợp cần ghép với các căn để ra được biểu thức này ( đối với cách 1+3 } chữ côn cách 2 thì xác định sẵn rỗi còn đâu Dùng luôn kết quả của cách 2 ta ghép như sau : 2E sstprese se 09 «3 J5x+t4-(x+Ð]+t3fVr+#=@œ-DNI+4G°<3z~3)<0 =3(a? ~3x-3) _ ~30ˆ ~3x— 5) A2 —3x~3)= ằ -_ 3 3 =Œ'-3x-3)| 4— oe af x+lzJ5yw4 x-l+yt =————— 3x « )má— 3 ~ 3 [s@) xi +4 x > : 3 3 3 * tách thà Với x= 0 thì XIV TẾ X-VTỔ =b————*=3 Đo đó tích thành: (ep ren + — Q22 -x-aVÐxt 4 ,6—3x— By CẢ „ 0 se) SN VY TỔ a-ledard
*V6i x22,77 <0 do đó phương trình vê nghiệm
Trang 22
~œ+14šv3~3)=0 DE: 222
Bước 1: Tìm toàn bộ nghiệm của phương trình Các em nhập phương tràn vào máy như sau :
®_ trên từ các em nhập Alpha X x +2 Alpha X-8
đưới mẫu là Alpha X zˆ - 2 Alpha X +3
- (Alpha X+ D( V ` Alpha X+2-2)
ay 2 me
REs2xK-5 tae SE
SHREW IC 4G1)(RE2-2)
Au *=' để lru ngay lại cái đã
Các em gọi lệnh SOI.VE bằng cách bấm : Shift Solve *Giải thích :
Alpha X : 14 goi biến X, Solve là lệnh giải phương trình I Ân, bậc bao nhiéu cũng
được miễn là trong khả năng tính toán của máy tính
Sau khi tiến hành gọi lệnh Solve , may sẽ hiện " Solwe for X” các em nhập 0 =
ange
a= 3 302775638
L- a
Máy báo nghiệm : X = 3,302775638 Sai số R = 0 ( cái này cũng quan trọng đó)
Các em tìm nghiệm thứ 2 như sau :
+ Trước hết phải lưu phương trình lại bằng cách: Ấn sang trái, Ấn = để lưu
phương trình lại
BS ss ee ae
+ Lan nghiệm thứ 1 vào A : RCL X Shift Sto A @@eae,
Trang 23ñne>ñ 3 302775638 + Sau đó bắm đẩy lên để tìm lại phương trình sau khí tìm được thì Ấn sang trải sửa thành: XẺ +2x—Ÿ8 3x2~2x+3 € ~(Œ+])\Wx+2~2)):(X—4} Sek 42-2 ]-0-R0
Sau d6 lai bam Shift Solve dé gidi nghiém the 2 Máy hôi A? 3,30277 Các em bam =
Máy hôi Solve for X 3,30277 Các em bẩm =luôn, 10s sau máy ra nghiệm X
=2 `
mm can
= 2
L-R= Ú
Sáu đó các em tiếp tục lặp lại và tìm nghiệm thử 3 thì máy có biện tượng đơ lâu tioặc hiện can°t solve tức là vô nghiệm
Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm là X =2 và X = 3,30271
Vậy phương trình có nhân tử (X-2) và 1 nhân tử cổ đạng phương, trình bậc 2
'Ta sẽ tiến hành xử nghiệm X2 trước:
Với X =2 thì 4x<2=2 vậy ta chỉ việc liên hợp lên x28 lên Eo? =0 Poa ng xed xt ©œ-2|—= & (c5 Bes) — x-2=0@x=2 xa xl 2x3 ưt2+2
Ta thấy x= 3,30 phải là nghiệm của (*) ta sẽ dùng cách đỏ biểu thức liên hợp cách 2 thì được v*+2 =z~1 ở đây ta có thể dùng hàm số hoặc liên hợp Chỉ tiết như sau :
ÂẦ =o")
Trang 24Cách 1; Mô phương trình bậc 2: dimg Table
Hiện tại nghiệm x= 3,3 đang được lưu ở biển A Các em vào Miode 7
Nhập /G)=A?+ X44 rồi bấm = Start? Cac em bam -9 = End? Cac em bam 9 = Step ? Cac em bam la 1 =
Chúng ta nhận được † cái bằng, và ta phải Em giá trị FÓ) đẹp ta thấy tại X
=-3 thi Fa) =1 `
Vậy nghiệm vừa rồi chính là nghiệm của phương trình bậc 2 : x2~3x => x” =3x =1 =0
Cách 2: Mò biểu thức liên hợp
Dựa vào lý thuyết : vx+2 =ax+b anh trình bảy rất chỉ tiết ở ví dụ trên
Ta tiếp tục dùng tính năng TaBle
Nhập /G)=v4+2-x.4 roi bam = Start? Cac em bam -9 =
End? Cac em bam 9 = Step ? Các em bấm là 1 =
Chúng ta nhận được É cái bằng, và ta phải tìm giá trị F@) đẹp ta thấy tại X
=1 thì F@) =-k
Lam y 1a ban dau anh hướng dẫn /@)=⁄2+2+ X.4 thì cũng được đỡ bị nhằm dấu mừng mà nó không được xuôi vì đồ J~ =s+b~b=[C ~sx THÀ
Vậy : dx+2=~1x=-l©-ýšS2=x~1
Với mỗi cách ta sẽ thu được những biểu thức khác nhau nhưng cho cùng nghiệm,
Trang 25(?) trơng đương:
G+9(W+2+2)=@œ+162 -z+3)
& |, +?|(xt2+2) =[œ~p?+2]jœ-D+2]
Ta phải cố ép sao cho xuất hiện được /(/x~2)= /(¬i) khi ta đã biết được KQ
từ bấm máy rồi thì việc ép cực dễ không phải mò mãi nữa Xét hàm: 7()=(+2)0? +?) =Ẻ +2Ê t2tt4 PIER xÀ+3<2 CIẾ® LH SP +20+ 1} > 8N x21 ầm này đồng biển sủy ra: x-1=Vz+2 => = any _ 2 Cách dùng liên hợp:
Ta phải ép về +°~3x—1-tức là Vz+2 phải ghép với (x-1)
(Video anh nói khá chí tiết chỗ này)
Then bớt thoải mái đi cáo em
(x+9(JX+2~œ=0)x+⁄9œ+0=@Œ+DGˆ ~28+3)
“Tự nó sẽ xuất hiện nếu fa cứ ghép được 1 thằng thì phần thừa và thằng còn lại
ghép lại sẽ lại xuất hiện được %
as GP arti RM — sete
Ấn để l là mm x+4 2
Vấn để là làm sao ta chứng mình được hung
Trang 26Vậy 244 ;z‡t>0 je*#2x+x~] Suy ra s”=3x~Is02 x22 1 (qx>bÐ vis
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x= 2 và x
*Kĩ thuật lên hợp nâng cao: Đánh giá sau liên hợp và truy ngược dấu + Thường khí ta nhân liên hợp xong, đua được về phương trình tích thì nó có
đạng:
+ Nếu biểu thức phức tạp phía sau kia có 1 nghiệm thì thường ta đùng hàm
số chứng mính nó đơn điệu để chỉ ra đó là nghiệm duy nhất, cái này sinh ra
là đo các em tìm ra 2 nghiệm nhưng lại ép lần lượt từng nghiệm I, nếu ép cả 2 cùng lúc thì ban đầu phức tạp nhưng lúc sau lại dé
+ Nến biểu thức phức tạp đó vũ nghiệm thì ta thường dùng đánh giá để
khẳng định nó > 0 hoặc < 0, ở đây thường là dùng so sánh bình thưởng
Cả 2 trường hợp nảy muốn thành công đều phải phụ thuộc vào điều kiện chất của biến, qua các ví đụ phía trên các em thấy rằng xử lí biểu thức sau liên hợp luôn là
{ vấn đề không dễ
Ngoài ra thì còn đùng 1 cách khác là ta đánh giá ngay từ đầu thêm bớt thích hợp
để biểu thức sau liên hợp của chúng ta đương ngay, kĩ thuật này có tên lả truy ngược dấu Vi đụ 1: Giải phương tảnh : 2x2+3x` =17x~26 =2/x+ Đi kiện : x>~1
TTa bắm máy và phương trình có nghiệm đuy nhất x«3 vậy vx+i=2
Vay thơng thường ta sẽ làm như sau: 2x°+3x2~17x~30+2(2-JX+1))=0
- G~9(2'+5ezl0- 1 _
2+vx+L
Trang 27Rõ tầng tới đẩy đánh giá có vẻ khó, vậy vấn để là tại sao nó lại xuất hiện đầu "°
chứ nếu lễ đẩn *+* tì đã xong
Ở đây là ta đánh giá chưa đúng ,
Khi x cảng lớn thì 2~/x+I<0 trong khi bọn 2z'+2a”—17xz-30 nó đương,
'Vậy là chúng trái đầu nhan nên ía phải đảo ngược lại nhân từ lã ýx«Ï~2>0 "Muốn làm được điều này ta nhân thêm ⁄x+ï để đão vị trí căn cho nhan chứ giữ Tguyên có mả hòa cả “a làng, tức là: vŸT1(/š+1-2)=Œ+Ð-2vVx+T
Hay nói một cách khác là ở đây thay vì ghép vx+ï với 2 thủ ta ghép với ao Theo con dudng trie can thie eGR of = 2+vx+l Tenserg)c0 xt seme $x 49249 >0, 022 -E 2+x+l Theo con đường, ghép biểu (hức liên hợp khác : Ex? 43x? ~18x—27+(+Í~2Vx+1) =0 vx+l te = -œ- 9 SE z seesl>ø
Vay mục đích của truy ngược đấu là gì? Là làm cho biểu thức sau liên hợp nếu có _ dấu trừ sẽ biển lại thành đấu “+” và phải truy ngược từ đầu để các biểu thức cùng
đương hoặc cùng âm mà chủ yếu là biến từ thằng đang rang gông cùm thành thẳng tự do và thẳng đang yên ấm bên vợ con thì bắt nó đeo gông cùm, keke Có hiểu ý anh khổng ý chỉ, đơn giân có 2 cách biểu cho truy ngược dấu:
1 1à tráo căn thức cho nhau, 2 là ghép biểu thức liên hợp khác Thực chất chúng như nhau mà thôi
Về bản chất với x=3 ta có những cách ghép liên hợp sau:
XX#1-2 hoặc So ait) hoặc
Pat pple eer] 1ạ'+232- 33-24 1 @-3G2+352+Dx+8) 1
5 $ xitl+SVxel TT NAY HWAI 3Ó x+22 ki
Trang 28Vấn đề là em chọn biểu thức nào đề tiến hành ghép liên hợp cho phù hợp với bài
tốn, thơng thường là cách (*) đó nhé
Ví dụ 2: Giải phương trình: ⁄x+6+ ý ”T=zx?—I
Điều kiện x>1 và nghiệm là x = 2
Chúng ta chuyên hết sang 1 về và thấy như sau: “haế ¬g 1-0
ca %
Way Ja anh em cùng dòng không cùng lòng rỗi nên phải truy sát 2 em cuối để nó thay đổi tư tưởng ngay
Ta biến đổi như sau : x6 ae TS Qy x6 =4+VE=1(V571-1)=6 Đoạn này nhân 4 lên cho đẹp nhé (e2~sz~6)+Wxx5Q[x+6ˆ ~#+4w~1(Jx~1~1)=6 (+6 -64 {(x+6Ÿ +16+4Ä(x+6}` — 3x, ec _ avo +164 4y(z56) Waa, x#14 + đưx-] {+6} +l6+4jx+6}” vx-l+l =(*2/(Ax-3)+Ÿ y6 +4Vx~ ete oleae 3rừNyŠ =04x=2 Đa 4x~3+x+6 >0,vx>I
"Tổng kết: truy ngược đấu nảy áp đụng khá mạnh cho phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm hữu tỉ, còn nghiệm lẻ thì khả năng cao sẽ khó hơn nhiều
*Mật số dạng khó bắm máy, máy tính chỉ phụ giúp được phần nào thường là
dang dat phan phụ, còn máy tính nó giúp ép liên hợp xà ép hàm số và khảo sát cũng như đánh giá rất tốt nhưng mà có lẽ em Ấn phụ quá xinh đẹp
'Ví dụ 1 : Giải bất phương trình: mx rổ is > 2.(trích chuyên Hà Tinh) Loi giải:
Bài này dạng nhìn qua là biết ốp ẩn phụ, nó rất chuẩn dạng
DK 1<x<9(*) Voidk(*) tacd: (Levins + fei + {genre : ss pe
oa fi AED (2) Bat t= Won + (Tt 0,
Trang 29Ta có: §<??<8+2//@~z)-1 <8+9~x+x~1 <6,
Swi <i 4 (**) va JOG) = Khi đó BPT (2) trở thành:
F4
7-8
e» (+3)Œ-21Œ ~49>0 es >4, Kết hợp với ( ** ) ta suy ra t=4 hay Vo-x+Jx-1 = 4 œx=5 Pậy BPT đã cho có tập nghiệm T= {5} to 23 apt ~ 37-101 424 20 (do (**))
ˆVf dụ 2: Giải phương trình 42x°+I)+3@2~24)/2z~1=202 +5») ( Vinh lần 3} Lời giải: Bài nảy các em bấm máy hoàn toàn được nhé, thậm chí rất là đẹp không cần Ấn phụ luôn, nhưng mã tìm được phương trình không bám rnáy được hiểm
quá nên anh cứ đưa tạm vào vì nó có cách liên quan tới ân phụ Điều kiện : x zt Phương trình tương đương: 3x(~2)2x~1=2@` =4z?+5xz~2) ©3xŒœ+=2nl2Z~] =2œx—2)œ°—3x+ 1) .e2 ° [ae ~1=202~3s+B() Phương trinh (1) tương đương với ; dant, XÄx-T “Hà, 3 -2Gx+l)+3xz/Ãz—T—3:2 =0 >2 ~2=00) Đặt: ho Khi đó phương trình (2) trớ thành 3ấ+ó~2=0â Q1~+2)<8<2:= 230 Suy ra s~Đx+4=0âx=4#2V3 tha mãn điển kiện ‘Vay nghiệm của phương trình là z=3,x=4+2/§ Ví dụ 3: Giải phương trình 4x” ~§x++/2z+ 3 =1 (4 e R)
Lời giải: Bài này vẫn bắm máy ngon nhé các em, nhưng nó có đạng đặc biệt nên anh đưa vào
Trang 30a4? 3-421 Ta được xe vx = 4 Vi da 4: Giải phuong trink: x7 +3x+2ea.Verit@etWixs2 Các em tìm ra được nghiệm ` Continued = Me ielereen4g đãi Ixa18 KG Với nghiệm nảy thi ta có: | x«t=vSXY 2 MzzTtlsvSx+2 “Ta sẽ có những cách làm như sau: *Cách 1; Dùng bất đẳng thức Cô-si: Ta có: ĐK: ae 2 2 x fel + GrenJined steal + (e+ ire? s 2 2G2), GH CỐ Sa cax+s<PT xxx % Dấu °=” xảy ra khi: |x+l=-Vấxe2 xe UYỂ xzÐ
*Cách 2: Các em có thể đưa về tổng bình phương như ví dụ 3 phía trên Nhân 2 vào 2 về ta được: 3x” t6 +4~2x/x+1=2(x+1)/3x+2 =0 @®(@œ~=x+1ỷ' +Œœ+1~xx+2}? =0 xevx+i=0 2 —— x+1-3z+2 =0 Một ví đụ nữa tương tự: Chuyên Sư Phạm 2016 Ví dụ 5: Giải phương trình vầx°+2x'+2+v/-3x)+x” +2x—l=2x'+2x+2
Bước 1 : Ta tìm ra được nghiệm duy nhất x=—I khi tìm được nghiệm duy nhất thì
chú ý xem nó có phải nghiệm kép hay không nhé các em
Trang 31vi» 332212 =1 A 3y +x'+2x-1=l , Nhân 2 vào nhé các em
Att4x+4—-2dBx` +232+2-2 733) +3242x<1 =0
a (avsart sr nie sie aD ele (ae 4 Pea 1 ae eT} +07 +2x+=0ˆ
Teen| đo đó ta ghép các căn với 1 | BP ates) 1 ý ? (Viv? 4282-1) + (Jae ee +211} + (ral e0 od Va a 42x—l ele xet x+1=0 '3.Advanice Skill * Ép Liên Hợp — Super Skï ; Đây là phương pháp thông dụng nhất rắt hay được sử dụng : :
Nguyén if chung: Khi tim ra nhân tử ta cứ tách làm sao để khi liên hop ra được nhân tử đã fìm được từ ban đầu thì sẽ ra được phương trình tích
Vi dy 1: Giải bất phương trình sau trên tập R: ae Saal C10 8 alee 8 zat 43049 ^lz+3~49 3n 18 Điều kiện JŸÝ## ced Đầu tiên phải rút gọn đã (W+s- de —se) 22+ 3+2 8z) a+ 3 ~ V9 — Se +2jz+3>z?+2c+9 = 4dz+s+ Võ — 36 š s5 + 2p +8
Trang 32: (2h 42-2} Tey Vi L s(% xã +233) o{ ose +3 |
Do đó (*)z2+e~2<0 © ~2 <a <1 (thoả mẫn)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là # = [#1] Ví dụ 2: 0-2014) Giải bất phương trình:
Œ+ÐM12+@+6šT7>x)+7x+12 Điều Kiện : xa-2
Bấm máy thấy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 ta sẽ ghép đơn giản ritư San: ter+l(X+2~2)+Œœ+6)(E+7~3)~x”°~2x+§> 0 @£9-3,œ+6œ-3) Xx+2z+t2 ven -»{—* ) sel a aa ero 'Với x>~2 thì chưa thể khẳng định ngay được biểu thức kia nên ta sẽ đánh giá sơ ~œ-2œ+9>0 4 cập như sau: xt xi6 X†+2 xiỔ tu ưưn Œ9<59 +2 ee
Đo đó ta mới kết luận được x<2 Kết hợp với điều kiện SUY Tả -2<x<2
*ÊÉn Hàm — PRO Skili đây là 1 phương pháp rất mạnh trong khi ép liên hợp bó tay và xu hướng dùng phương pháp này ngày cảng nhiều
Li thuyét: Nếu hàm 7 đơn điệu trên {a,b] VÀ ø,y e[=.ð] mÀ /@)= /0)w=w
Nguyên lí chung: Khi tìm ra được J sax+8 ta sé chuyển hết căn sang 1 về đa
thức 1 về, rồi sắp xếp lại bậc sao cho hợp lí để có thể đưa chúng về cùng 1 hàm Các bài xét hầm số thường có đạng (ax+b).+E hoặc œ+d+m+E
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x°+9z?~6xq+2v/ốx~=1)+2a/6x~1+8= 0
BK: x24
Bấm máy phương trình có 2 nghiệm là : 4 = 0,5857.:
30
Trang 334+8=4,48=2 tiên có nhân tử X”¬4#+2=0 đo đó : Váx—1 sẽ ghép liên hợp với nhân tử trên
x1 N
Vậy kết quá là Véxci
To đó ta sẽ nghĩ về pp hàm số : ép theo liên bợp sẽ rất trâu /0lf#—D)=/70+0 3x`+6x?~6x(1+2Jấx~1)+2xốx~] +8 = 0 232 +9È~6x+8<2.6e6x—I ~2[6x—L 2 208 + 3x? 4 3x4) +3x? =12x+6=2(6x—0 (6x ~T eS Ux tif + 3h 4 224 1)-18: (6x -V6x—1 > Ux slp +304)? =2(6x~1x/6x—T1+ 6x =1) Xét hàm : 70) =22 +32 Để ý là: xe2ztlstjfr T0 nên chỉ cần xét r>0 ta có ƒ)=6£ +6r>o,vr>0 đo đó hàm đồng biến nên i _" x25 “t2 n KU e !o44+2=0 Lt? a Vidg2: Giải phương trình:(z+5)/x+†+i= 5x+4 DK: x2-1 Phương trình có nghiệm đủy nhất xe—L đo đó V771+1<3/8x+4 tp về hàm: /(4Z+Tï+0= /5x+4) @25NS+1+1=3x+4 1á+hxrf+3œ«nx3x+T+lltds3T~3œ+il=ix+4 [#fTmÏ+@Efil=@x+4+18xx4 Xét hàm : /0)=Ÿ +¡ tạ cố: Z)=32+1>0v: vậy hàm đồng biển suy ra As+lzi=tlx+4 w+l=v fe | x vat? va [w= 1 av 409 P30 467-40 3
em WHI 2744) =O velox a—Kan}
Ví dụ 3: Trích đề thí thứ chuyên Tuyên Quang: ~36)/8~x =3x+33+12z~99
Trang 34ý Ep Ham ~ PRO Skill: /ƒ@-§~z)= /(8x+5) -36Đx=1ấx+3+12x~99 âB1-2Đx+98-x)~(8~>Đxi4VEx)=(Gx+3)+ 5x+3 âằ(3~Đx)'+@-lĐ~x)= (4x+3)+2x+3 Xthõm fae +teR Z=£ +1 đo đó hàm đồng biến 29 3-V8-x =Yax+3 Dat: v=d w=v8~x 3-u=v + 2 | > vw 24-33 -vF 43.69 +5" ~ 182054 v23 Donel em = vằ-6 Ví dụ 4.Giái phương trình; œ+2(VES4x+7+1}xx( 43 +i)=0 Phương trình có nghiệm x~—1~s x+2~~ 6+2 e4x+7+1)a 3x fF +3+1}=0 œ+2(Wœ+3#+3<0)xz(f+3+i}=o œ+2(đG<3/+3+0)=Ca[VCs +3 +1) Xétham : syenJr+3+D,teR
70=6fÊsiens TC» đo đó hàm đồng biến suy ra x+2=~x > x=~L
*Eï thuật én căn với căn (Học cho biết, keke)
Bình thường chúng ta thường ghép căn với một đa thức sx+ö nhưng có những bài ta sẽ làm thêm được 1 cách nữa là căn ghép căn do đôi khi tìm ra phương trình
bậc 2 tạo ra nghiệm lẻ khó, nhưng mỗi quan hệ giữa 2 căn lại đẹp Ví dụ 1: Giải phương trình: x?=x-2=v3=x+(+ Để tìm nhanh mối quan hệ giữa 2 căn này trước hết cần tìm nghiệm của phương trình đã: x=2,618 xã~x >4 Sau đó các em lưu: 4 xxưe>»B
Sau đó vào Table nhập : ƒ@j=.4+XE néu em ding vn va vinacal sé cé thém g(x) thì các em nhập : g(x) =X4+3 rdi cho Start -9= va end 9= step 1=
Trang 353x+IN2x+I~2x” e304 Nox 41-26? =62=3)- 12x46) Eth 2V 2x41) - 20? 62-3) es LEAD ast 6-3) +2j2xxÌ = a thet 'Vậy ta có: xi GDg -@x~3 TS peg 50 (81.7 6x 32a 26K + DO ©=G-D.œ!~6x~3)[<42x+1}>2x+i - 1160 Ma 40e0)-JBTST ‹Í=4GkHin B1 + 1P -[62X21+2 Mr sy<0 Bp (x-1).07 +623} > 0 ‘Toi day thi cdc em, biéu điễn 3 nghiệm trên 2 trục số: 'Từ sơ để xét dấu và điều kiện ta có: i 1 i xa = 4 2 «>xe(3-?./3a}(3+243:+e) i r<G-ztn)vxzBme) ”
i Vậy tập nghiệm của BPT là 7 =(3-2/57)<(3+245;+»}
Đgồi ra cịn 1 cách cũng khá hay nữa đưa phương trình về bậc 4 vì bản chất
khi bình phương lên nó ra bậc 4 mà
Các em làm như phẫn ảnh hướng dẫn hệ khối B ~ 2014 để tìm 4 nghiệm ( ở
bài này có 2 thôi, sau khi tìm ra được 2 nghiệm các era sử đụng Vi-et đảo ra
phương trình bậc 2, lấy phương trình bậc 4 ban đầu chia cho phương trình
bậc 2 này là được phương trình bậc 2 vô nghiệm còn lại nhớ
Trang 36
TGOSE ”” at=yad
Do đó: V3~x~š+I=0
Biến đổi thành: (6~s-E+)(@+b8“x+zVE+ G753 1}= 0 Trông nó nguy hiểm hẳn :D
Cách này chỉ làm cho bài toán phức tạp thêm, do đó anh không giới thiệu nhiệu cho các em, nhưng cách này lại mạnh để biết mối quan hệ 2 căn nếu ép được về ham sé cụ thể thì các em tham khảo ở bài tập cuối phần giải Hệ
son ns 2 lên về + bẻ 1 1
Cách bình thường thì ép về : (x > (“th 0
Tổng kết: Các em nên làm theo cách bình thường cho dễ hiểu đễ xử lí, nếu những bài toán có 2 căn thức, khi các em bắm máy tìm nghiệm khả lề xấu mà không mỏ
ra được phương trùnh bậc 2 tạo ra nó thì các em di tìm mỗi quan hệ giữa 2 căn
thức xem có gi đặc biệt không, và sau khi tìm ra mỗi quan hệ thường ép về hàm số là chính, vì áp nhân từ thì tất kinh khủng,
*Các bài rên luyện có hướng dẫn,
Bài 1: Trích Đề thi thử THPT Chuyên Vinh lần 3 2015 ngày 17/5/2015 Giải bất phương trình ; 3@?~n/SxTT <20°~x2)
Giải - ĐK: xa-
đ)®Œ-BAG@+DN2x+T-2z?]<0
Bấm máy giải hết nghiệm của phương trình: 3z+I)2E71~3x°
3 (Alpha X+1) J 2 Alpha X+1—2 Alpha X ¢
Trang 373x20 11-2 =6 v 3(x+Ihl2x+Ï =2xˆ =9(x+Ð(2x+)= đế le 9Œ? +2x+)(2x+1)= 4ã 92x 453° 44x 4 At > hx $18) 44507 Ê36249 =0 âđ>?~6x3)(-4x?~6x3)=0 'T õy ta thẦy: 3++1J2x+1—2x2 « (x ~6x- (4x7 ~ 6-3) Vay kết hợp với đề bài ta sẽ có ®>Œ~DQ2~6x~3)(-4x) =6x~8) <0 œ (x—DGŒˆ~6x~—3) >0 'Ta kết luận tương tự như trên Bài 2: BPT Chuyên Vĩnh lần 4— 2015 : 1<./z=1(J35 -3ýx-1Ỷ >6 Gii Diéu kigns x21
Bước 1 các em tìm nghiệm của “phương trinh” ding Solve
Ta tìm được 1 nghiệm duy nhất x = 2 với nghiệm này:
Yay †a sẽ ếp thân tử để xuất hiện (x-2)( >0 hoặc O< tee “1 Ta làm như sau: 1+z=1(/2x=s/4=1Ÿ >0 - Si + h=i(Wx-3/w=1Ÿ +i|zo « 2t eErl(V-Meisi)|(JS-sý2T} -[Jx sec ]riÌxo
=-Ễ TT H(E-2ä-xe) 6l -aýe} ¬(x=ais-t]eilae
“mm (Ce ea i (Jae - ave) ~(vax- 2/z—)diÌ>e
| Ea “GES aa =i ( fix MT -Wx-eiisil
Với xš1>312xš1ešziz_——-}——-~-2 1+4x~Il V2x+2
Trang 38
eer eh ee) -(Vk- NSTI) 11 0 3 \ ng: mủ 1
eater te tes ey napa —— ledx=l Bat phương trình tương đương: 2-xa0œ14x42 33 An NguvỄ 5 _ Mật © TT age Sd Bài 3: (Chuyên Nguyễn Trãi — Hải Dương) : vx+1~2/4 ae Gợi ý Điều kiện: ~t<x<4
Bấm máy thì phương trình có các nghiệm là: x= -lư =3 x3 ta ép nghiệm x=3 trước vì VP có luôn nhân tử đó rồi
Nhân liên hợp cho em VT ta được :
AŒx—3N33Ê +18 =5(x~3)(VX31+2/4~ xì xe3
=| 2x) +18 =4x+1+2/4—x(®)
Tới đây (*) có 2 nghiệm các em có thể ép về nhân tử 2+ˆ~x~3=0 , tự cây nhé, anh thì đi trêu bò bình phương, đôi gió tí :D 222+18ĐxÊ x+1+4(4- z)+4+1)(4~ #) ô@ 4V(X+l(4<x)~2x'1~3xz~0 Anh cế tình làm theo cách bình phương này đề bê sung thêm 1 mẹo nữa là đò biểu thức liên hợp Xa? thx+e =uz+v tường tự như các ví đụ trên thôi (oF +xe+x+s)( S234 =z-l]=0
Đo cái điều kiện nên : V~x?+3xz+4+x+5>0 do đó VTv +3x+4~x-1=0 nung đối chiếu điều kiện và kết luận nhé
Bài 4 Giải phương trình: Bee = (4x7 414544307 + 2Í xe
Trang 39
“Chúng ta tìm được 2 nhân tử là (~2)œ° +x~1) - PT «b x)(2x243x<14)< (Ax*+IÁn +3.” +2)(dx+2 -3) œ¿@œ-22x+7(Jš+2 +2)=(°+a)+332+2)0—2) [ x2 SÌ2ox+?)(WE5+2)= 4+2 xây? +39)
Cd (are Ward =3x +2 th aby ta thấy ngay x>o0 nhé `
Đoạn này có 2 cach: *Cách 1: Ép liên hợp: +!Ð3x+7)Íx+2 23x7+2 ©3t+2++'ax+70(e+I=dx+2)~xˆ2x+7Jœ~I)=<0 2+x=L C++2—(25+7/x+13+z2Gx+7| ADGA Ma Ox KT, beet A leo pd 42-202) +8Qx47) “A |= 0 ™ Oa) + OD 11x TẾ + °(2x+7) +>-g02x- J0 +1á2+2z+2)4| —Z 6 olsen HN =0 xÌ\(2x+T) x+l+dx+2 eorex in Đề phân tích 1? +2~x'2x+7J+De G +z+DCs.) 3x 42-2 MEAD 6) G +z+)) _~ nhập xong bam CALC thay X=1000 vao được Thi các em xét axZ 42-3 taser) ; X +A=E 2007002002
_ Tức là phân giá trị biển thức bằng: -(2+2x+7x°+2x”) “Từ cuối lên các erà cứ lấy 3 chữ số 1 cọc được 1 hạng tử,
V6i x>0 thi