BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO OLYMPIC VẬT LÝ SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVIII HỘI VẬT LÝ VIỆT NAM ðẠI HỌC THÔNG TIN LIÊN LẠC - 2015 PHẦN GIẢI BÀITẬP (180 phút không kể thời gian phát ñề) Bài Cho vành mảnh làm chất ñiện môi, bán kính R, tích ñiện Q > phân bố ñều vành Vành ñược ñặt nằm ngang trọng trường Một hạt bụi nhỏ khối lượng m, tích ñiện q > 0, nằm trục vành phía cách tâm vành khoảng z0 (xem hình vẽ) Bằng ñồ thị, khảo sát chuyển ñộng hạt bụi phụ thuộc vào vị trí ban ñầu z0 (xét tính chất chuyển ñộng: ñều, nhanh dần, chậm dần, dao ñộng , vị trí cân bằng) Giả thiết hạt bụi chịu tác dụng trọng lực lực tĩnh ñiện gây vành q g z0 Q R Bài giải Chọn trục z trùng với trục vành, hướng lên trên, ñiểm z = ñặt tâm vành Lực tổng cộng tác dụng lên hạt bụi F ( z ) = Fe + Fg =k ñó k = 4πε Fg lực hấp dẫn (R qQ +z ) 3/ z − mg , (1) = 8,99.109 Nm2/C2 , g gia tốc trọng trường, Fe lực tĩnh ñiện, Dễ thấy Fe (0) = 0, Fe → |z| → ∞ , Fe > với z > , Fe < với z < ðồ thị biểu diễn phụ thuộc Fe vào z có dạng Fe − z1 z/R Giá trị cực ñại Fe,max Fe ñạt ñược ñiểm z1 > nghiệm phương trình dFe 2qQ = Ta nhận ñược z1 = R / , Fe, max = k / 2 dz R ðồ thị lực tổng cộng F(z) có dạng giống ñồ thị Fe, nhận ñược cách tịnh tiến ñồ thị Fe ngược chiều trục z ñoạn mg • Trường hợp Fe,max < mg: Lực tổng cộng F < ñiểm, hạt bụi chuyển ñộng nhanh dần ngược chiều trục z xa vô cùng, không phụ thuộc vào vị trí ban ñầu hạt bụi • Trường hợp Fe,max = mg: F < z ≠ z1 F = z = z1 Do ñó, z0 ≠ z1 hạt bụi chuyển ñộng nhanh dần ngược chiều trục z xa vô Vị trí z = z1 vị trí cân không bền • Trường hợp Fe,max > mg: ðồ thị lực tổng cộng F(z) hàm z có dạng F(z) -mg z2 z1 z3 z Lực tổng cộng F = hai ñiểm z2 , z3 (0 < z2 < z1 < z3) F < z < z2 z > z3 , F > z2 < z < z3 Thế tổng cộng hạt bụi z z U(z) = − ∫ dz F(z) = −kqQ ∫ dz (R z +z ) 3/ + mgz 1 = kqQ − + mgz 2 R R + z (2) với ñiều kiện U(z=0)=0 ðồ thị U(z) có dạng U z z2 z3 z4 Ký hiệu z4 ñiểm mà U(z2) = U(z4) Do ñó, - Nếu z0 < z2 z0 > z4 : hạt chuyển ñộng nhanh dần ngược chiều trục z xa vô Nếu z2 < z0 < z4 , hạt dao ñộng xung quanh vị trí z3 Nếu z0 gần z3, lực tác dụng lên hạt có biểu thức gần ñúng F (z ) ≈ −αξ , (3) ñó ξ = z − z3 , dF α =− dz = −k z = z3 (R qQ + ) 3/ z32 z32 >0 1 − 2 R + z3 (4) Trong trường hợp này, hạt bụi dao ñộng ñiều hòa xung quanh vị trí z3 với tần số góc ω = α m , biên ñộ ξ = z − z3 Vị trí z2 vị trí cân không bền,vị trí z3 vị trí cân bền Bài Xét chu trình gồm hai trình ñẳng tích hai trình ñẳng áp Trên hình vẽ giản ñồ p-V chu trình Hoạt chất mol khí lý tưởng gồm phân tử hai nguyên tử ðiểm ñường ñẳng áp phía H ñiểm ñường ñẳng tích bên trái E nằm ñường ñẳng nhiệt ứng với nhiệt ñộ T1 ðiểm ñường ñẳng áp phía F ñiểm ñường ñẳng tích bên phải G nằm ñường ñẳng nhiệt ứng với nhiệt ñộ T2 a Xác ñịnh nhiệt ñộ khối khí ñiểm A, B, C, D b Xác ñịnh công khối khí thực chu trình ABCDA c Xác ñịnh hiệu suất lý thuyết máy nhiệt hoạt ñộng theo chu trình p T1 T2 F B C G E A H D V Bài giải p T1 T2 F B I G H D E A C V a Trong trình ñẳng tích, áp suất tỷ lệ thuận với nhiệt ñộ Tương tự, trình ñẳng áp, thể tích tỷ lệ thuận với nhiệt ñộ ðường EG ñường ñẳng áp, ñường FH ñường ñẳng tích Tại giao ñiểm I ñường EG FH ta có TI = TE + TG = (T1 + T2 ) 2 (1) Ta có TB TC TF = = TE TG TI TA TD TH = = TE TG TI , (2) Do ñó, TB = TE TF 2T1T2 = TI T1 + T2 TG TF 2T22 TC = = TI T1 + T2 , TD = TG TH 2T1T2 = TI T1 + T2 , , TE TH 2T12 TA = = TI T1 + T2 (3) b Công W khối khí thực chu trình diện tích hình chữ nhật ABCD Do ñó W = (p B − p A )(VD − VA ) = p B VD − p B VA − p A VD + p A VA = p C VC − p B VB − p D VD + p A VA = R (TC − TB − TD + TA ) (4) ( T2 − T1 )2 = 2R T1 + T2 c Nhiệt dung mol ñẳng tích Cv ñẳng áp Cp hoạt chất Cv = R , Cp = R 2 Hoạt chất nhận nhiệt trình AB BC Nhiệt lượng tương ứng 2T (T − T1 ) Q AB = C v (TB − TA ) = R , T1 + T2 2T (T − T1 ) Q BC = C p (TC − TB ) = R 2 T1 + T2 Nhiệt lượng tổng cộng hoạt chất nhận ñược (7T2 + 5T1 )(T2 − T1 ) Q = Q AB + Q BC = R T1 + T2 Vậy hiệu suất lý thuyết máy nhiệt W 2(T2 − T1 ) η= = Q 7T2 + 5T1 (5) (6) (7) (8) (9) Bài Sự mở rộng vạch phổ nguyên tử a ðể mô tả phổ xạ ñiện từ nguyên tử, người ta sử dụng mô hình dao ñộng tử ñiều hòa Trong mô hình này, nguyên tử ñược xem hạt có khối lượng m, ñiện tích e, dao ñộng chiều với lực phục hồi − mω 02 x Ở ñây, ω tần số góc xạ ñiện từ nguyên tử phát ðể mô tả ñộ rộng tự nhiên ∆ωTN (ví dụ, phát xạ tự phát) vạch phổ, ta ñưa vào lực ma sát tỷ lệ với vận tốc dao ñộng tử ñiều hòa, Fms = −γ x& cho t > 0, γ 0 Ta chọn hai nghiệm trên, ví dụ, nghiệm ứng với dấu + (1) (2) (3) Năng lượng dao ñộng tử ñiều hòa W tỷ lệ với |x|2, ñó W = W0 e − γ t m (4) Theo ñịnh nghĩa (ñã nêu ñầu bài), thời gian sống mức lượng kích thích nguyên tử τ= m γ (5) Tương ứng, theo nguyên lý bất ñịnh lượng thời gian, ñộ rộng mức lượng kích thích Γ thỏa mãn Γτ ≥ h , Γ= ñó hγ m (6) Do mức lượng kích thích có ñộ rộng Γ nên vạch phổ tương ứng có ñộ rộng tự nhiên Γ γ = (7) h m b Giả sử nguyên tử chuyển ñộng với vận tốc v theo phương hướng nguồn thu xạ: v > (v < 0) nguyên tử chuyển ñộng phía nguồn thu (ra xa nguồn thu) Khi ñó, hiệu ứng Doppler, nguồn thu ghi nhận xạ có tần số ∆ωTN = + v/c v ≈ ω 1 + − v/c c ω = ω0 (8) Cường ñộ xạ có tần số khoảng (ω,ω+dω) tỷ lệ với số nguyên tử có vận tốc khoảng (v,v+dv) Do ñó, − I(ω )dω = I e mc 2ω 02 kT (ω − ω ) dω , (9) ñó I(ω) phân bố phổ cường ñộ xạ, I0 giá trị cực ñại phân bố phổ Ký hiệu ∆ωD ñộ rộng Doppler Ta có I(ω0-∆ωD/2) = I(ω0+∆ωD/2) = I0 /2 (10) Từ (9) (10) rút ∆ω D = ω0 kT (2ln2) c m (11) c Biểu thức liên hệ tần số với bước sóng xạ ω= 2π c , λ (12) ñó, ứng với bước sóng λ = 2537 Å tần số ω = 7,43 1015 s-1 ðộ rộng Doppler vạch phổ ∆ωD = 6,5.109 s-1 (13) Công suất xạ A ñược cho biểu thức A = n hω , (14) ñó n số photon phát ñơn vị thời gian Vậy A = 0,78 W (15) Bài Một tia laser ñi vào môi trường có ñối xứng cầu (xem hình vẽ) Chiết suất môi trường thay ñổi theo khoảng cách r tới tâm ñối xứng O theo quy luật r n0 r0 n(r) = n , r ≥ r0 , r < r0 ðường ñi tia laser nằm mặt phẳng chứa tâm O Ở khoảng cách r1 > r0, tia laser lập góc ϕ1 với véc tơ bán kính r1 (xem hình vẽ) Tìm biểu thức xác ñịnh khoảng cách nhỏ từ tâm O ñến tia laser Tính khoảng cách nhỏ ñó với n0 = 1, r0 = 30cm, r1 = 40cm, ϕ1 = 300 ϕ1 r1 r0 O Bài giải n1 β n2 γ α R2 O R1 Chia môi trường thành lớp cầu có ñộ dày ñủ nhỏ ñể xem môi trường lớp ñồng có chiết suất Xét hai lớp kề có chiết suất n1 n2 hình vẽ Theo ñịnh luật Snell ta có n1sinβ = n 2sinγ (1) Mặt khác, ta có R sinα sinβ = → sinβ = sinα (2) R2 R1 R2 Thay (2) vào (1), ta nhận ñược n1R 1sinα = n R 2sinγ (3) Tổng quát, dọc theo ñường ñi tia laser, ta có r n(r) sinϕ (r) = const (4) ñó ϕ(r) góc tia laser bán kính ñiểm tới mặt cầu bán kính r Hằng số bên vế phải (4) chọn const = r1n(r1 )sinϕ (r1 ) (5) Thay biểu thức n(r) vào (4) (5), ta nhận ñược n0 n r sinϕ (r) = r12 sinϕ (r1 ) r ≥ r0 , (6) r0 r0 n r n sinϕ (r) = r12 sinϕ (r1 ) r < r0 (7) r0 Tại khoảng cách cực tiểu r = rmin ta có d(r2) = hay r.dr = (8) ðiều có nghĩa hướng truyền tia laser vuông góc với bán kính r, tức ϕ(rmin) = 900 Do ñó n0 n rmin = r12 sinϕ (r1 ) r0 r0 n rmin n = r12 sinϕ (r1 ) r0 rmin ≥ r0 , (9) rmin < r0 (10) Suy rmin = r1 sinϕ1 rmin r12 = sinϕ1 r0 r1 sinϕ1 ≥ r0 , (11) r1 sinϕ1 < r0 (12) r (Nếu r1 sinϕ1 < r0 , tức sinϕ1 < , góc ϕ(r0) ≡ ϕ0 hướng truyền tia r1 laser với bán kính khoảng cách r0 nhỏ 900 Tia laser ñi thẳng miền bán kính r0) Với giá trị số ñã cho, ta có r sinϕ1 = < = r1 16 Do ñó rmin ñược xác ñịnh biểu thức (12), rmin ≈ 26,7 cm 10