Đang tải... (xem toàn văn)
• • 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song a) Ñònh nghóa: d (P) d (P) = b) Tính chaát • • • 3. Hai maët phaúng song song a) Ñònh nghóa: (P) (Q) (P) (Q) = b) Tính chaát • • • 4. Chöùng minh quan heä song song a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: • Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù ñoàng phaúng, roài aùp duïng phöông phaùp chöùng minh song song trong hình hoïc phaúng (nhö tính chaát ñöôøng trung bình, ñònh lí Taleùt ñaûo, …) • Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba. • AÙp duïng caùc ñònh lí veà giao tuyeán song song. b) Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh , ta chöùng minh d khoâng naèm trong (P) vaø song song vôùi moät ñöôøng thaúng d naøo ñoù naèm trong (P). c) Chöùng minh hai maët phaúng song song Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau laàn löôït song song vôùi hai ñöôøng thaúng trong maët phaúng kia. 1. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: a b b) Tính chaát • Giaû söû laø VTCP cuûa a, laø VTCP cuûa b. Khi ñoù . • 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: d (P) d a, a (P) b) Tính chaát • Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng maët phaúng: • • • • • • • Maët phaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng taïi trung ñieåm cuûa noù. Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn thaúng ñoù. • Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc Cho , a laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b a b a 3. Hai maët phaúng vuoâng goùc a) Ñònh nghóa: (P) (Q) b) Tính chaát • Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: • • • 4. Chöùng minh quan heä vuoâng goùc a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh , ta coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: • Chöùng minh goùc giöõa a vaø d baèng 900. • Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa a vaø d vuoâng goùc vôùi nhau. • Chöùng minh maø . • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a. • Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. • Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, …). b) Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng Ñeå chöùng minh d (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P). • Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) (P). • Chöùng minh d a vaø a (P). • Chöùng minh d (Q) vôùi (Q) (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). • Chöùng minh d = (Q) (R) vôùi (Q) (P) vaø (R) (P). c) Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc Ñeå chöùng minh (P) (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: • Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a (Q). • Chöùng minh 1. Goùc a) Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: aa, bb Chuù yù: 00 900 b) Goùc giöõa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng: • Neáu d (P) thì
BT HÌNH KHƠNG GIAN 1. Hai đường thẳng song song a) Đònh nghóa: a b P a b a b , ( ) ⊂ ⇔ ∩ =∅ P b) Tính chất • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) P Q R P Q a a b c đồng qui P R b a b c Q R c ≠ ≠ ∩ = ⇒ ∩ = ∩ = P P • ( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) P Q d d a b P a Q b d a d b a b ∩ = ⊃ ⊃ ⇒ ≡ ≡ P P P • , a b a b a c b c ≠ ⇒ P P P 2. Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chất • ( ), ' ( ) ( ) ' d P d P d P d d ⊄ ⊂ ⇒ P P • ( ) ( ) ,( ) ( ) d P d a Q d Q P a ⇒ ⊃ ∩ = P P • ( ) ( ) ( ) ,( ) P Q d d a P a Q a ∩ = ⇒ P P P 3. Hai mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ b) Tính chất • ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) P a b a b M P Q a Q b Q ⊃ ∩ = ⇒ P P P • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R P Q Q R ≠ ⇒ P P P • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q R P Q a a b P R b ∩ = ⇒ ∩ = P P 4. Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …) • Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. • Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song. b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh ( )d P P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d ′ nào đó nằm trong (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. 1 CHƯƠNG 0 ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 I. QUAN HỆ SONG SONG BT HÌNH KHƠNG GIAN 1. Hai đường thẳng vuông góc a) Đònh nghóa: a ⊥ b ⇔ ¶ ( ) 0 , 90a b = b) Tính chất • Giả sử u r là VTCP của a, v r là VTCP của b. Khi đó . 0a b u v ⊥ ⇔ = r r . • b c a b a c ⁄⁄ ⇒ ⊥ ⊥ 2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀ a ⊂ (P) b) Tính chất • Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng: , ( ), ( ) , a b P a b O d P d a d b ⊂ ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ • a b P b P a ( ) ( ) ⇒ ⊥ ⊥ P • a b a b a P b P( ), ( ) ≠ ⇒ ⊥ ⊥ P • P Q a Q a P ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ⊥ ⊥ P • P Q P Q P a Q a ( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( ) ≠ ⇒ ( ⊥ ⊥ P • a P b a b P ( ) ( ) ⇒ ⊥ ⊥ P • a P a P a b P b ( ) ) ,( ) ⊄ ⇒ ( ⊥ ⊥ P • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. • Đònh lí ba đường vuông góc Cho ( ), ( )a P b P⊥ ⊂ , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ 3. Hai mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: (P) ⊥ (Q) ⇔ · ( ) 0 90P Q( ),( ) = b) Tính chất • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( ) ( ) ( ) ( ) P a P Q a Q ⊃ ⇒ ⊥ ⊥ • ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ), P Q P Q c a Q a P a c ⊥ ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ • ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) P Q A P a P a A a Q ⊥ ∈ ⇒ ⊂ ∋ ⊥ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P R a R Q R ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ 4. Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh góc giữa a và d bằng 90 0 . • Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau. • Chứng minh d b ⊥ mà b a P . • Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. 2 II. QUAN HỆ VNG GĨC BT HÌNH KHƠNG GIAN • Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc. • Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). • Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). • Chứng minh d // a và a ⊥ (P). • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q). • Chứng minh · ( ) 0 ( ),( ) 90P Q = 1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' ⇒ ¶ ( ) · ( ) , ', 'a b a b= Chú ý: 0 0 ≤ ¶ ( ) a b, ≤ 90 0 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: • Nếu d ⊥ (P) thì · ( ) ,( )d P = 90 0 . • Nếu ( )d P⊥ thì · ( ) ,( )d P = · ( ) , 'd d với d′ là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 0 0 ≤ · ( ) ,( )d P ≤ 90 0 c) Góc giữa hai mặt phẳng · ( ) ¶ ( ) ( ) ( ),( ) , ( ) a P P Q a b b Q ⊥ ⇒ = ⊥ • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ( ), ( ), a P a c b Q b c ⊂ ⊥ ⊂ ⊥ ⇒ · ( ) ¶ ( ) ( ),( ) ,P Q a b= Chú ý: · ( ) 0 0 0 ( ),( ) 90P Q≤ ≤ d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = · ( ) ( ),( )P Q . Khi đó: S ′ = S.cos ϕ 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng: • Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. • Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 3 III. GĨC – KHOẢNG CÁCH BT HÌNH KHÔNG GIAN 4 BT HÌNH KHƠNG GIAN 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. • 2 2 2 AB AC BC+ = • 2 2 AB BC BH AC BC CH. , .= = • 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + • AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos .tan .cot = = = = b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. • Đònh lí hàm số cosin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C– . .cos ; .cos+ = + − = + − • Đònh lí hàm số sin: R C c B b A a 2 sinsinsin === • Công thức độ dài trung tuyến: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a c a b a b c m m m; ; + + + = − = − = − 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: • cba hchbhaS . 2 1 . 2 1 . 2 1 === • CabBcaAbcS sin 2 1 sin. 2 1 sin 2 1 === • R abc S 4 = • prS = • ( ) ( ) ( ) S p p a p b p c= − − − • ∆ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH. .= = • ∆ABC đều, cạnh a: 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy × cao = · AB AD sinBAD. . e) Hình thoi: · 1 2 S AB AD sinBAD AC BD. . .= = f) Hình thang: ( ) hbaS . 2 1 += (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 S AC BD.= 5 IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CƠNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG BT HÌNH KHƠNG GIAN 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V abc = với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 2. Thể tích của khối chóp: 1 3 đáy V S h. = với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3. Thể tích của khối lăng trụ: đáy V S h. = với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích bằng công thức • Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … • Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c) Tính thể tích bằng cách bổ sung Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta có thể vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có: OABC OA B C V OA OB OC V OA OB OC ' ' ' . . ' ' ' = * Bổ sung • Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên • Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng S xung quanh với diện tích các đáy. 6 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG BT HÌNH KHÔNG GIAN 1. – Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng Phương pháp: *Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng α và β *Tìm đường thẳng a ⊂ α và đường thẳng b ⊂ β sao cho a b = I, thì I là điểm chung của α và β 1. Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I. Hãy xét xem điểm I thuộc những mặt phẳng nào ?Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD). 2. Trong mp α cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt α tại điểm I khác O. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và α b) Gọi M là một điểm trên c khác I.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c. 3. Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy hai điểm A, B thuộc mặt phẳng α nhưng không thuộc d và một điểm O nằm ngoài α và β. Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt β tại A’ và B’. Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C. a) Chứng minh rằng ba điểm O,A,B không thẳng hàng. b) Chứng minh rằng ba điểm A’,B’,C thẳng hàng và từ đó suy ra ba đường thẳng AB,A’B’ và d đồng qui. 4. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không // BC, MP không //AD. Tìm các giao tuyến sau: a) (MNP) (ABC) b) (MNP) (ABD) c) (MNP) (BCD) d) (MNP) (ACD) 5. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không //BC, trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau: a) (MNI) (ABC) b) (MNI) (BCD) c) (MNI) (ABD) d) (MNI) (ACD) 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Tìm các giao tuyến sau: a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) 7. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M, N. Tìm các giao tuyến sau: a) (BMN) (ACD) b) (CMN) (ABD) c) (DMN) (ABC) 8. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J, K. Tìm các giao tuyến sau: a) (ABJ) (ACD) b) (IJK) (ACD) c) (IJK) (ABD) d) (IJK) (ABC) 9. Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC. a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau. b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD). c) Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB; N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của 2 mp (IBC) (DMN) 10. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng OA, BO, OC. Giả sử A’B’ AB = D , B’C’ BC = E , C’A’ CA = F. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L. Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc một mặt phẳng b) Gọi O 1 = BN DM; O 2 = BL DK và J = LM KN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, O 1 thẳng hàng và ba điểm C, J, O 2 cũng thẳng hàng c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC. 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’. Chứng minh rằng : c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui 7 BT HÌNH KHÔNG GIAN 13. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho ≠ . Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN, cắt CD và BD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định b) Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c) Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho = = = .Gọi I = MN ∩ BC và J = MP ∩ BD. a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và NI; H = MG ∩ BE ;K = GF ∩ mp(BCD). Chứng minh rằng các điểm H, K, I, J thẳng hàng. 2. – Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α Bước 1: Chọn một mặt phẳng β chứa a (β gọi là mặt phẳng phụ) Bước 2: Tìm giao tuyến của α và β là đường thẳng d Bước 3: Gọi M là giao điểm của a với d thì M là giao điểm của a với α 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, K. Tìm các giao điểm sau: a) CD (MNK) b)AD (MNK) 2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BC lần lượt lấy các điểm M, N, P. Tìm các giao điểm sau: a) MN (ADP) b) BC (DMN) 3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm các giao điểm sau: a) BC (DMN) b) AC (DMN) c) MN (ACD) 4. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy 1 điểm O, tìm giao điểm của AM với các mp (SBC), (SCD) 5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm P. Tìm các giao điểm sau: a) MP (ACD) b) AD (MNP) c) BD (MNP) 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm E. a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE) b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD và EF đồng qui 7. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N, K. Tìm các giao tuyến sau: a) CD (ABK) b) MK (BCD) c) CD (MNK) d) AD (MNK) 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M, N và B. a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC) b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mp (P) c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA, DC với (P). Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC a) Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD) b) Tính các tỉ số ; và 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC. a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC) b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ) 11. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các giao điểm sau: a) IJ (SBC) b) IJ (SAC) 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của: a) CD với mặt phẳng (MNP) b) AD với mặt phẳng (MNP) 13. Cho tứ diện SABC. Gọi I và H là trung điểm của SA và AB. Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK) b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC) 8 BT HÌNH KHÔNG GIAN 14. Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm M a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB) b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui 15. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong 1 mặt phẳng a) Xác định các giao tuyến sau: (AEC) (BFD); (BCE) (AFD) b) Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM (BCE) 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD c) Chứng minh rằng FK song song IJ d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK) 17. Cho tứ diện SABC. Lấy các điểm A’, B’, C’lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA’ = SA; SB’ = SB; SC’ = SC a) Tìm giao điểm E, F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mặt phẳng (ABC) b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF 18. *.Trong mặt phẳng α cho tam giác đều ABC. Gọi β là mặt phẳng cắt α theo giao tuyến BC. Trong mặt phẳng β ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với α. Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’ a) Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mp (AB’C’) và tìm giao tuyến của mp (AB’C’) với mp α b) Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = AC’. Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng α và chứng minh I là trung điểm của AD c) Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luôn luôn cắt α theo một giao tuyến cố định d) Gọi E và F là trung điểm của AB và BC. Cạnh AC cắt DE tại G. Hãy tính tỉ số và CM: AD = 2AF 19. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. 1 mp (P) cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’ a) Dựng giao điểm D’ của mặt phẳng (P) với cạnh SD b) Gọi I là giao điểm của A’C’ với SO. Chứng minh rằng: + = 2 c) Chứng minh rằng: + = + 3. – Dựng thiết diện với hình chóp Thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng α là phần chung của hình chóp với mặt phẳng α. Phương pháp: để dựng thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng α ta lần lượt làm như sau: Bước 1: Dựng giao tuyến của α với một mặt nào đó của hình chóp Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong mặt đang xét của hình chóp Tiếp tục hai bước trên với mặt khác của hình chóp cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác, đa giác ấy là thiết diện 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, CD, AD lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng (MNP) 2. Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCM) 3. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) 4. Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) 5. Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P. a) Tìm giao điểm MN (ABCD) b) Tìm giao điểm NP (ABCD) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) 6. Cho tứ diện ABCD. Trong 3 tam giác ABC, ACD và BCD lần lượt lấy 3 điểm M, N, P. a) Tìm giao điểm MN (BCD) b) Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP) 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC. 9 BT HÌNH KHÔNG GIAN a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm SD (AMN) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) 8. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy điểm M. a) Tìm giao tuyến (SBM) (SAC) b) Tìm giao điểm của BM (SAC) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM) 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh CB và CD, M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MHK) 11. *. Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC. Gọi N là trung điểm của SB, M nằm trên cạnh SA sao cho AM = 2MS. Gọi α là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN, AB, CD và PQ đồng qui tại một điểm I b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với α. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng c) Tìm α (SAC) và α (SBD) d) Gọi R = MQ NP. Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi α thay đổi 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) b) Tính diện tích của thiết diện ấy 4. – Đường thẳng song song đường thẳng Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung Định lý 1: Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song với nhau: a //c & b//c ⇒ a // b Chú ý: Khi hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta có thể sử dụng các định lý đã học để chứng minh chúng song song với nhau: * Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì // với nhau * Dùng định lý Talet: Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì chắn trên hai cạnh kia những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt có chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy β⊂α⊂ =β∩α b//a b,a d ⇒ d // a ,b 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. CM: IJKL là hình bình hành 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng HK//AB 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên các cạnh BC, SC, SD, DA sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD. Chứng minh rằng PQ//SA 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD a) Chứng minh rằng ME//AC, NF//BD b) Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng qui c) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, E, F đồng phẳng 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD) 10 [...]... Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ⇒ diện tích ∆SBD 14 BT HÌNH KHƠNG GIAN 7b – Hình chóp 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α (450 < α < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = 1 a tan α 2 1 6 ⇒ V = a3 tan α 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 Một mp (P) đi qua AB và ⊥ với... diện thì tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện = nhau 26 BT HÌNH KHƠNG GIAN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC 1 (K A -2002) - Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SA, và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp (AMN) ⊥ với mp (SBC) 2 (K B-2002) - Cho hình lập phương ABC.A'B'C'D' có cạnh là a a/ Tính theo a khoảng... trung điểm của SB a) CM: các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.Tính diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ADM) Tính diện tích thiết diện c) Thiết diện chia hình chóp làm hai hình đa diện, tính thể tích các khối đa diện ấy 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy và mặt bên SAB là các tam giác đều cạnh a Chân đường cao SH của hình chóp đối xứng với tâm O của đáy qua... và tính diện tích tam giác 2 2 AMB theo a HD: S∆ AMB = a 2 16 BT HÌNH KHƠNG GIAN 7c – Hình chóp 1 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và ·ASB = α a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) CM: chiều cao của hình chóp = c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq = a 2 cot α 2 c) V = a α cot 2 − 1 2 2 1 3 α a cot 2 − 1 6 2 2 Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) ⊥ với đáy Đáy ABC là... và ·AC ′B = β b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sinα.sinβ cos(α + β ).cos(α − β ) 21 BT HÌNH KHƠNG GIAN c) Tìm hệ thức giữa α, β để A′D′CB là hình vuông Cho d không đổi, α và β thay đổi mà A′D′CB luôn là hình vuông, đònh α, β để V lớn nhất HD: c) 2(cos2α – sin2β) = 1 ; Vmax = d3 2 khi α = β = 300 (dùng Côsi) 32 17 Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µ = 600 Chân đường... cao hình chóp b) Tính thể tích hình chóp 6 Trên 3 nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz vng góc nhau từng đơi một ta lần lượt lấy 3 điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a a) CM: OABC là hình chóp đều b) Tính diện tích tồn phần và thể tích hình chóp OABC 7 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vng tại A và B AD = 2a, AB = BC = a; SA ⊥ (ABCD); cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một góc ϕ = 60o a) CM: các mặt bên của hình. .. b) Dựng giao tuyến (AEF) (BCD) 4 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD M là 1 điểm nằm trên cạnh AB, mặt phẳng α qua M và α//(SBC) Dựng thiết diện của hình chóp với α Thiết diện là hình gì? 5 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hbh Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mp α qua M và // mp (SAB) a) Dựng thiết diện của hình chóp với α Chứng minh thiết diện là hình thang b) Chứng minh rằng CD // α... giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600 Tính thể tích tứ diện ABCD 32 Cho tứ diện ABCD Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tứ diện đều đó Tính tỉ số 20 V( H ) VABCD ? BT HÌNH KHƠNG GIAN 8 – Hình khối hộp 1 Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng AA'B'D' là khối tứ diện đều cạnh a 2 Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng 6 trung diểm của 6 cạnh AB, BC, CC', C'D',... cách giữa hai đường thẳng MN và AC HD: d= a 2 4 15 BT HÌNH KHƠNG GIAN 15 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với ·ABC = ·BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA ⊥ (ABCD), SA = a 2 Gọi H là hình chiếu ⊥ của A trên SB CM: tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD) HD: d= a 3 16 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA ⊥ (ABCD)... (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu ⊥ của A trên SB, SC Tính VA.BCMN ( HD: V = ) 3 3a3 50 18 (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc · SBC ),( ABC ) = 600 , ABC và SBC là các tam giác đều ( cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD: d = 3a 13 19 (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . MNPQ là hình thang vuông b) Tính diện tích MNPQ theo a và x c) Gọi I = MQ NP. Tìm tập hợp điểm I khi M chạy trên cạnh AD 13 BT HÌNH KHÔNG GIAN 15. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình. ∆SBD 14 BT HÌNH KHƠNG GIAN 7b. – Hình chóp 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α (45 0 < α < 90 0 ). Tính thể tích hình chóp 2 2 2 AMB S a ∆ = 16 BT HÌNH KHƠNG GIAN 7c. – Hình chóp 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và · ASB α = . a) Tính diện tích xung quanh hình chóp. b) CM: chiều cao của hình chóp = 2 1 2