CASIO GIẢI ỨNG DỤNG của đạo hàm ( cập nhật )

CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÀI LIỆU VẬN DỤNG CASIO GIẢI NHANH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐƯỢC CẬP NHẬT TẠI FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO I TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG Tiếp tuyến đường cong chuyên đề quan trọng chương trình toán phổ thông Đặc biệt toán tiếp tuyến thường “có mặt” kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp Đa số học sinh dễ mắc sai lầm thiếu sót giải toán tiếp tuyến CHO ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) Cho M  x; y    C  M  x0 ; y0    C  Từ hình vẽ:  MM gọi cát tuyến CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Hệ số góc cát tuyến MM0 là: k  tan MM N  y  y0 x  x0 Bây để tạo thành tiếp tuyến (là đường thẳng tiếp xúc với đườg cong điểm nhất) M phải dịch chuyển đến M0 Ta có : y  y0 lim  y '  x0   k x  x0 Hệ số góc tiếp tuyến TẠI M0 là: x  x0 Đây ứng dụng đạo hàm việc xác định hệ số góc k tiếp tuyến từ viết phương trình tiếp tuyến M0: Dạng toán 1: Viết phương trình tiếp với đường cong (C): y= f(x) TẠI điểm M0(x0,y0) thuộc (C), biết hoành độ tiếp điểm, biết tung độ tiếp điểm * Phương pháp: CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI M0 (x0;y0): Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = y’(x0)( x – x0) + y0 Ta tìm x0 , y0 , y’(x0) vào phương trình Ví dụ: Cho đường cong (C): y = x3 – x a.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) điểm có hoành độ x0 = b.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) giao điểm (C) với trục hoành c.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) điểm có tung độ y0 = -6 Giải: + TXĐ: D = R + y’ = 3x2 – CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem a.Ta có + x0 = => y0= Tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) M(2;6) + y’(2) = 11 Phương trình tiếp tuyến M(2;6) là: y = y’(2) ( x – ) + = 11 ( x – ) + hay: y = 11x – 16 CASIO Tính y’(2) : NHẬP: qy máy hiện: Y Khi ta nhập: d X3  X  11  dx X 2 Vậy Phương trình tiếp tuyến M(2;6) là: y = 11 ( x – ) + 6= 11x – 16 b.Phương trình hoành độ giao điểm của(C) với trục hoành: x  x3 – x     x  1 Do (C) cắt trục hoành ba điểm A( 0;0 ), B(1;0 ), C(-1;0) * Tại điểm A(0;0) có y’(0) = -1 Nên phương trình tiếp với (C) A(0;0) là: y = y’(0)( x – ) + = -x Tương tự : Phương trình tiếp với (C) B(1;0) là: y = 2x -2 Phương trình tiếp với (C) C(-1;0) là: y = 2x +2 c Ta có: CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem y0 = -6 => 6  x3  x  x3  x    x  2 Tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) N(-2;-6) Phương trình tiếp tuyến N(-2;-6) là: y = y’(-2) ( x + ) - = 11 ( x +2 ) - hay: y = 11x +16 Dạng toán 2: Viết phương trình tiếp với đường cong (C): y= f(x) biết: +) hệ số góc tiếp tuyến +) tiếp tuyến song song hay vuông góc với đường thẳng * Phương pháp:  Tìm hệ số góc k tiếp tuyến (nếu giả thiết chưa cho)  Gọi (x0;y0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) Khi đó: y’(x0) = k (1)  Giải phương trình (1) tìm x0 ; y0  Thay vào phương trình y = y’(x0)( x – x0) + y0 Chú ý: d : y  kx  b d / / d   k  k   d ' : y  k ' x  b '  d  d   k k   1 Cho  Ví dụ: Cho hàm số y  x3 (C) Viết phương trình tiếp với (C) trường x 1 hợp sau : a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10 CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Giải : + TXĐ: D = R\{1} + y'   x  1   x  3  4 2  x  1  x  1 Gọi (x0;y0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) a Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + nên có hệ số góc k = -1 Khi đó: k  y’  x0   1  4  x0  1  1   x0  1  2  x0    x0     x0   2  x0  1 Với x0= 3=> y0 = Ta có phương trình tiếp tuyến: y = -1( x -3)+3 hay: y = -x + Với x0= -1=> y0 = -1 Ta có phương trình tiếp tuyến: y= -1( x +1)-1 hay: y = -x -3 b Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10 nên hệ số góc k tiếp tuyến thỏa mãn: k.4  1  k  1 Khi đó: k  y’  x0   1 4 1     x0  1  16  x0  1  x0    x0     x0   4  x0  3 Với x0= => y0 = Ta có phương trình tiếp tuyến: y = 1 ( x - 5)+2 CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem hay: y = Với x0= -3 => y0 = Ta có phương trình tiếp tuyến: y = 1 13 x+ 4 1 ( x + 3) hay: y = 1 x 4 Bài toán Viết phương trình tiếp với đường cong (C) : y = f (x) biết tiếp tuyến ĐI QUA (kẻ từ, xuất phát từ,…) điểm A(xA; yA ), CHÚ Ý: ( A  (C) A  (C) ) Phương pháp giải : +) Gọi d đường thẳng qua A(xA; yA ) có hệ số góc k Khi đó, d: y = k(x – xA ) + yA (*) +) d tiếp tuyến (C) d tiếp xúc (C) điểm hệ sau có nghiệm:  f  x   k  x  x A   y A   f '  x   k + Giải hệ ta tìm x, có x vào (2) tìm k + Thế k vào (*) ta phương trình tiếp tuyến d cần tìm Chú ý : - Điểm A(xA; yA ) thuộc (C) không thuộc (C) phải giải theo dạng toán Nhiều em lầm tưởng dạng toán dạng toán nên giải theo dạng toán Như vậy, dẫn đến kết không đầy đủ - Cần phân biệt: Dạng toán yêu cầu viết phương trình tiếp điểm M0 (C) nghĩa M0 tiếp điểm Còn toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(x A; yA ) không cần phải biết A có tiếp điểm hay không CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Bài toán sau minh chứng cho điều nói Ví dụ: Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = -x3 – 3x2 + 4, biết tiếp tuyến qua P(1;0) Giải : + TXĐ: D = R + y’ = -3x2 – 6x Gọi d đường thẳng qua P(1;0 ) có hệ số góc k Khi d có phương trình: y = k ( x – ) + d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  x3 – x   k  x –1 +0  3 x – x  k (1) (2) Thế (2) vào (1) ta được: x  x3  x      x  2  Với x = vào (2) => k = -9 Ta có phương trình tiếp tuyến: y = -9x +  Với x = -2 vào (2) => k = Ta có phương trình tiếp tuyến: y = Bài toán SỐ LƯỢNG TIẾP TUYẾN QUA MỘT ĐIỂM +) Với hàm số bậc phân thức: Thì số tiếp điểm số tiếp tuyến +) Với hàm trùng phương (y=ax4+bx2+c): Thì số hệ số góc số tiếp tuyến Chú ý: hệ số góc có nhiều tiếp điểm BÀI TẬP VÍ DỤ: CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Cho (C): y = x3 - 12x + 12 Tìm đường thẳng y = - điểm kẻ tiếp tuyến đến (C) GIẢI Ta có : y’= 3x2-12 Lấy M  y  4  M  m; 4  Đường thẳng ĐI QUA M có hệ số góc k là: y  k  x  m  Đường thẳng tiếp tuyến (C ) hệ sau có nghiệm: ( quay dạng viết pt tiếp tuyến qua điểm)  x  12 x  12  k  x  m    3 x  12  k (1) (2) Thế (2) vào (1) suy ra: x3  12 x  12  (3x  12)  x  m    x3  3mx  12m  16  (*) Vì số tiếp điểm số tiếp tuyến nên để kẻ tiếp tuyến với (C ) pt (*) phải có nghiệm x phân biệt Ta có: x3  3mx  12m  16    x    x    3m  x   6m   x    x    3m  x   6m  (**) Để (*) có nghiệm phân biệt (**) phải có nghiệm phân biệt x  đó:   m  4  m  4       3m   4.2   6m         m    m     f (2)  2.2    3m    6m  m    m  Chú ý: m hoành độ điểm M mà ta đặt ban đầu CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Kết luận: Vậy tất điểm thuộc đường y = - mà có hoành độ m thỏa mãn:  m  4   m  kẻ tiếp tuyến từ điểm đến (C)  m  VÍ DỤ 2: Tìm đường thẳng y = điểm kẻ tiếp tuyến đến (C): y  3x  4x  GIẢI Ta có : y’  25  x  3 Lấy M  y   M  m;  Đường thẳng ĐI QUA M có hệ số góc k là: y  k  x  m  Đường thẳng tiếp tuyến (C ) hệ sau có nghiệm: ( quay dạng viết pt tiếp tuyến qua điểm)  3x   4x   k  x  m    25  k   x  3 Thế (2) vào (1) suy ra: (1) (2) CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem 3x  25   x  m  x   x  32  3x   x  3  25 x  25m   x  32   x   4 x  16 x  5m     x   (*) Vì số tiếp điểm số tiếp tuyến nên để kẻ tiếp tuyến với (C ) pt (*) phải có nghiệm x  TH1: pt (*) có nghiệm kép x   '  82   5m     '  m       3 3  x1  x2   x1  x2   x1  x2    TH2: Pt (*) có nghiệm phân biệt ( chắn có nghiệm khác 3/4)  '   m  Vậy tất điểm thuộc đường y = mà có hoành độ m thỏa mãn: m  kẻ tiếp tuyến từ điểm đến (C) II MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN: Bài 1: Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x2 + a Qua điểm A(1;0) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Hãy lập phương trình tiếp tuyến b CMR tiếp tuyến khác đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1;0) đồ thị CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Giải : + TXĐ: D = R a Đường thẳng (d) qua A(1;0) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x – 1) (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm :  x – x 2  k  x –1  (3 x – x)  k (1) (2) Thế (2) vào (1) ta được: x3- 3x2 +2 = (3x2 – 6x)(x-1) 2x3 - 6x2 + 6x – = 0 x = 1, vào (2) ta k = -3 Vậy qua A tồn tiếp tuyến (d) tới đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (d) là: y = -3x + b Giả sử trái lại, tồn điểm B khác A có hoành độ x0  (C) cho tiếp tiếp tuyến B song song với (d): y = -3x + Khi x0 nghiệm khác phương trình: y’(x0) = -3  3x02 – x0  3  x02 – x0    x0  (loại) Vậy tiếp tuyến khác đồ thị song song với tiếp tuyến qua A đồ thị Bài : Cho đường cong (C) : y = -x3 + 3x2 +2x + Tìm (C) điểm mà tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ Giải : Gọi M0(x0 ; y0) tiếp điểm + TXĐ: D = R + y’ = 3x2 + 6x + Ta có hệ số góc tiếp tuyến là: y’  x0   3x0  x0  Đặt: g ( x)  3x02  x0  CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem g’(x0) = - 6x0 +6 Cho g’(x0) = => 6x0 + = => x0 = -1; y0 = Bảng biến thiên: x0 -∞ g’(x0) +∞ -1 - + +∞ +∞ g(x0) -1 Vậy hệ số góc tiếp tuyến nhỏ là: -1 M(-1; 3) Kết luận: M( -1; 3) điểm mà tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ III MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Cho hàm số y  x3  3x  x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (1) với : a) Đường thẳng y= 7x + b) Parabol y= - x2 + 8x - c) Đường cong (C): y  x3  x  x  Bài Cho hàm số : y  x3  3x  mx  , có đồ thị (Cm) a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0;1) ; D; E b) Tìm m để tiếp tuyến D E vuông góc với Bài 3: Cho (C ) : y  x  3x  Viết pt tiếp tuyến qua A(0;3/2) đến (C) Bài 4: CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Tìm đường thẳng x = điểm kẻ tiếp tuyến đến (C): y  2x 1 x2 ... của( C) với trục hoành: x  x3 – x     x  1 Do (C) cắt trục hoành ba điểm A( 0;0 ), B(1;0 ), C(-1; 0) * Tại điểm A(0; 0) có y (0 ) = -1 Nên phương trình tiếp với (C) A(0; 0) là: y = y (0 )( . .. x –1   (3 x – x)  k (1 ) (2 ) Thế (2 ) vào (1 ) ta được: x3- 3x2 +2 = (3 x2 – 6x)(x- 1) 2x3 - 6x2 + 6x – = 0 x = 1, vào (2 ) ta k = -3 Vậy qua A tồn tiếp tuyến (d) tới đồ thị (C) Phương trình... tiếp tuyến (nếu giả thiết chưa cho)  Gọi (x0;y 0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) Khi đó: y’(x 0) = k (1 )  Giải phương trình (1 ) tìm x0 ; y0  Thay vào phương trình y = y’(x0 )( x – x 0) + y0 Chú