Mục đích nghiên cứuLàm rõ các vấn đề sau: Trong Sách giáo khoa Hình học 10 ban cơ bản (SGK), đường tròn được trình bày như thế nào? Sự giống nhau và khác nhau giữa tri thức SGK và tri thức bác học. Dự đoán ảnh hưởng của quan hệ thể chế đến quan hệ cá nhân học sinh khi giải quyết các bài toán liên quan đến đường tròn?
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM TIỂU LUẬN ĐƯỜNG TRÒN TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 10 (BAN CƠ BẢN) Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Người thực hiện: Nhóm MỤC LỤC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Theo Lê Thị Hoài Châu Báo cáo Hội thảo lần thứ Didactic – Phương pháp dạy học Toán Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 17-18/06/2005: “Didactic, khoa học đặc biệt quan tâm đến trình xây dựng kiến thức điều kiện việc dạy-học tri thức thực hiện, mang lại công cụ lý thuyết cho phép nghiên cứu nét đặc thù tri thức tượng liên quan đến việc dạy-học tri thức đó.” [1, trang 1] Hiểu tầm quan trọng Didactic, cụ thể Didactic Toán trình giảng dạy người giáo viên Toán Dựa khung lý thuyết tham chiếu Thuyết nhân học, nhóm tiến hành nghiên cứu: “Đường tròn Sách giáo khoa Hình học 10 ban bản” Mục đích nghiên cứu Làm rõ vấn đề sau: - Trong Sách giáo khoa Hình học 10 ban (SGK), đường tròn trình bày nào? - Sự giống khác tri thức SGK tri thức bác học - Dự đoán ảnh hưởng quan hệ thể chế đến quan hệ cá nhân học sinh giải toán liên quan đến đường tròn? Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tri thức bác học giáo trình đại học tài liệu tham khảo Nghiên cứu tri thức phổ thông thông qua chương trình sách giáo khoa B NỘI DUNG Phân tích R(I,O) I: Đường tròn O: Sách giáo khoa Hình học 10 ban Vị trí: Bài Chương III sách giáo khoa Hình học 10 ban Phương trình đường tròn trình bày sau học sinh học vectơ, phép toán vectơ, độ dài vectơ hệ trục tọa độ Oxy Mục đích: giúp học sinh làm quen với toán hình học giải tích + Lập phương trình đường tròn biết tọa độ tâm bán kính + Nhận dạng phương trình đường tròn tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn - Cách tiếp cận khái niệm: Trước SGK đưa vào khái niệm phương trình đường tròn, SGK đưa hình vẽ trực quan đường tròn Hình vẽ nhằm giải thích cho bước chuyển từ hình học tổng hợp sang hình học giải tích Hình 1: Hình chụp trang 81, sách giáo khoa Hình học 10 ban Khái niệm đường tròn theo khoảng cách với tâm bán kính hình học tổng hợp học sinh tiếp cận bậc tiểu học trung học sở nên không nhắc lại, SGK sử dụng khái niệm đường tròn theo khoảng cách vectơ học chương trước làm công cụ để làm xuất cách tiếp cận khác đường tròn, phương trình ( x − a ) + ( y − b) = R “Phương trình tròn tâm I(a;b) bán kính R.” (1) phương trình đường [4, trang 81-82] Phương trình (1) thể tâm bán kính đường tròn, chưa thể rõ phương trình bậc hai ẩn Do đó, SGK tiếp tục nêu dạng khác phương trình đường tròn cách khai triển phương trình (1): ( x − a ) + ( y − b) = R “Phương trình đường tròn viết 2 x + y − 2ax − 2by + c = c = a + b2 − R dạng , ” [4, trang 82] Xuất dạng phương trình khác đường tròn: x + y − 2ax − 2by + c = “Ngược lại, phương trình (2) a +b −c >0 phương trình đường tròn (C) Khi 2 R = a +b −c đó, đường tròn (C) có tâm I (a, b) bán kính ” 2 [4, trang 82] Vậy để phương trình dạng (2) phương trình đường tròn a + b2 − c > phải thỏa , hay nói cách khác SGK không chấp 2 a +b −c =0 nhận trường hợp , tức không chấp nhận đường tròn điểm Ở hoạt động 2, SGK nêu trường hợp xảy phương trình đường tròn: “Hãy cho biết phương trình phương trình sau phương trình đường tròn: x2 + y − 8x + y − = x2 + y + 2x − y − = x + y − x − y + 20 = x + y + x + y + 10 = ” [4, trang 82] Các trường hợp hoạt động giải thích sau: + Phương trình thứ phương trình đường tròn hệ số x2 y2 không nên không đưa phương trình dạng (2) a + b2 − c > + Phương trình thứ hai phương trình đường tròn + Phương trình thứ ba không phương trình đường tròn a + b2 − c < + Phương trình thứ tư không phương trình đường tròn a + b2 − c = Đây tập minh họa nhằm nhấn mạnh cho HS cần kiểm tra điều kiện để phương trình dạng (2) phương trình đường tròn trước xác định tâm bán kính - Các tổ chức toán học kx + ky + 2ax + 2by + c = T1 : Xét phương trình dạng: phải phương trình đường tròn? • Kỹ thuật o o • τ1 : Chuyển phương 2 x + y − 2ax − 2by + c = Kiểm tra điều kiện : Công nghệ có θ1 trình dạng a + b2 − c > : x + y − 2ax − 2by + c = “Ngược lại, phương trình phương trình đường tròn (C) a + b2 − c > Khi đường tròn (C) có tâm I (a, R = a + b2 − c b) bán kính ” [4, trang 82] • Lý thuyết Θ1 : 2 ( x − a ) + ( y − b) = R2 “Phương trình đường tròn 2 x + y − 2ax − 2by + c = viết dạng , 2 c=a +b −R x + y − 2ax − 2by + c = Ngược lại, phương trình phương trình đường tròn (C) a + b2 − c > Khi đường tròn (C) có tâm I (a, R = a + b2 − c b) bán kính ” [4, trang 82] T2 : Tìm tâm x + y − 2ax − 2by + c = bán kính đường tròn: dạng • Kỹ thuật o τ2 : Chuyển phương 2 x + y − 2ax − 2by + c = o Kiểm tra điều kiện : o Tìm tâm I (a, b): trình a + b2 − c > + a hệ số x chia cho số “-2” + b hệ số y chia cho số “-2” o • Tìm bán kính Công nghệ θ2 R = a + b2 − c : x + y − 2ax − 2by + c = “Ngược lại, phương trình phương trình đường tròn (C) a + b2 − c > Khi đường tròn (C) có tâm I (a, R = a + b2 − c b) bán kính ” [4, trang 82] • Lý thuyết Θ2 : 2 ( x − a ) + ( y − b) = R2 “Phương trình đường tròn 2 x + y − 2ax − 2by + c = viết dạng , 2 c =a +b −R x + y − 2ax − 2by + c = Ngược lại, phương trình phương trình đường tròn (C) a + b2 − c > Khi đường tròn (C) có tâm I (a, R = a + b2 − c b) bán kính ” [4, trang 82] T3 : Lập phương ( x − a )2 + ( y − b )2 = R • • Kỹ thuật τ 31 trình tròn : biết tâm I(a,b) qua điểm o Tâm I (a, b) o Tìm bán kính R Công nghệ đường θ31 (C) dạng A ( xA , y A ) : R = IA o Ta có : o Phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 đường tròn có dạng: • Lý thuyết Θ13 : ( x − a ) + ( y − b) = R “Phương trình (1) phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.” [4, trang 81-82] • • τ 32 Kỹ thuật : biết tâm I(a,b) tiếp xúc đường thẳng ∆ : Ax + By + C = o Tâm I (a, b) o Tìm bán kính R Công nghệ θ32 : R = d ( I , ∆) = • o Ta có : o Phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 Lý thuyết Θ32 A.a + B.b + C A2 + B đường tròn có dạng: : o Đường thẳng đường tròn tiếp xúc [3, trang 108] o Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn [3, trang 109] o Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ∆ “Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có ax + by + c = M ( x0 ; y0 ) phương trình điểm M0 ∆ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí 10 hiệu d ( M , ∆) , ax0 + by0 + c d (M , ∆) = o a2 + b2 tính công thức: ” [4, trang 79] Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước [4, trang 81] • • Kỹ thuật τ 33 : AB đường kính, biết o Tìm tâm I (a, b) o Tìm bán kính R Công nghệ o θ33 • B ( xB , y B ) Tâm I trung điểm AB Bán kính Lý thuyết Θ33 AB : o Công thức tọa độ trung điểm I AB o : R= o A ( xA , y A ) x = x A + xB I y = y A + yB I Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước [4, trang 81] 11 • Kỹ thuật A ( xA , y A ) o τ 34 : (C) tiếp xúc hai trục tọa độ qua điểm Gọi phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 đường o (C) tiếp xúc Ox, Oy, nên o Xét trường hợp: + b=a tròn có dạng: a = b =R kết hợp với giả thiết M thuộc (C) ta tìm a, b + b = −a hợp với giả thiết M thuộc (C) ta tìm a, b • Công nghệ θ34 : o Phương trình trục Ox : o Phương trình trục Oy : y=0 x=0 R = d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) o M ∈ (C ) ⇔ ( xM − a ) + ( yM − b ) = R 2 o o • Phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 Lý thuyết Θ34 đường tròn có dạng: : o Đường thẳng đường tròn tiếp xúc [3, trang 108] o Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn [3, trang 109] o Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 12 ∆ “Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có ax + by + c = M ( x0 ; y0 ) phương trình điểm M0 ∆ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí d ( M , ∆) hiệu , tính công thức: ax + by + c d ( M , ∆) = 2 a +b ” [4, trang 79] o Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước [4, trang 81] • Kỹ thuật : (C) tiếp xúc hai trục tọa độ có tâm ∆ : Ax + By + C = đường thẳng o Gọi phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 o (C) tiếp xúc Ox, Oy, nên o Xét trường hợp: • τ 35 đường tròn có dạng: a = b =R b=a kết hợp với giả thiết tâm I thuộc đường ∆ thẳng ta tìm a, b b = −a kết hợp với giả thiết tâm I thuộc đường ∆ thẳng ta tìm a, b Công nghệ θ35 : o Phương trình trục Ox : o Phương trình trục Oy : 13 y=0 x=0 R = d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) o o o • M ∈ ∆ ⇔ A.xM + B yM + C = Phương trình 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 Lý thuyết Θ53 đường tròn có dạng: : o Đường thẳng đường tròn tiếp xúc [3, trang 108] o Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn [3, trang 109] o Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ∆ “Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có ax + by + c = M ( x0 ; y0 ) phương trình điểm M0 ∆ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí d ( M , ∆) hiệu , tính công thức: ax + by + c d (M , ∆) = 2 a +b ” [4, trang 79] o Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước [4, trang 81] T4 : Lập phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A( xA , yA ) B ( xB , yB ) C ( x C , yC ) , (dạng phương trình 2 x + y − 2ax − 2by + c = ) 14 • • • Kỹ thuật τ4 : o Gọi phương trình x + y − 2ax − 2by + c = o Lần lượt tọa độ A, B, C vào phương trình (2) o Giải hệ gồm phương tình bậc ẩn a, b, c Công nghệ θ4 đường tròn có dạng: : 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 o Phương trình đường tròn 2 x + y − 2ax − 2by + c = viết dạng , 2 c =a +b −R đó: o Giải hệ phương trình bậc ẩn (dùng máy tính bỏ túi) Lý thuyết o Θ4 : Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước [4, trang 81] o Hệ phương trình bậc ba ẩn [6, trang 65] Thống kê kiểu nhiệm vụ: Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật T1 τ1 Số tập Sách Tổng giáo khoa Hình học 10 cộng Ví dụ - Hoạt Bài tập động 0-1 15 T2 τ2 τ 31 τ 32 T3 T4 1 τ 33 τ 34 τ 35 τ4 2 Sau thống kê, ta thấy kiểu nhiệm vụ hầu hết tập trung vào lập phương trình đường tròn với tâm bán kính Dự đoán ảnh hưởng đến học sinh Đường tròn trường hợp đặc biệt siêu cầu “Trong không gian ¡ En , cho điểm I cố định, tập hợp En tất điểm M thuộc cho d (I, M) = r với r số thực r >0 cho trước gọi siêu cầu tâm I, bán kính r Ta kí hiệu S(I,r)={ M∈ En | d(I,M) = r }” [7, trang 128] 16 ¡ Xét với siêu cầu đường tròn, định nghĩa theo cách tiếp cận: - Khoảng cách: Đường tròn quỹ tích (tập hợp) tất điểm M mặt phẳng cách điểm I cố định khoảng R cho trước - Phương trình: Đường tròn tập hợp tất điểm M(x, x + y + 2α x + β y + γ = y) thỏa mãn phương trình bậc hai tâm ( −α ; −β ) R = α2 + β2 −γ α2 + β2 −γ ≥ bán kính - Góc định hướng: Đường tròn quỹ tích điểm M cho góc định hướng hai đường thẳng MA, MB không đổi 17 Qua cho thấy tồn số vấn đề sau: SGK không xem “điểm” đường tròn suy biến mà ngầm ẩn bán kính R số dương thông qua hình vẽ trực a + b2 − c > quan điều kiện SGK nêu điều kiện cần đủ để phương trình (2) phương trình đường tròn Tuy nhiên, điều kiện không SGK trình bày, giải thích cách rõ ràng Do đó, HS gặp toán nhận dạng phương trình đường tròn, em áp dụng cách máy móc mà không hiểu rõ ý nghĩa điều kiện Khi đề yêu cầu lập phương trình đường tròn, HS thường không kiểm tra tồn đường tròn Do đó, HS thường mắc sai lầm giải toán không thỏa điều kiện a + b2 − c > Khi đề yêu cầu xác định tâm bán kính đường tròn, HS a + b2 − c thường không kiểm tra điều kiện > mà việc xác định yếu tố a, b, c kết luận tâm I(a;b) R = a + b2 − c tìm bán kính R theo công thức SGK không quan tâm đến vấn đề giải toán thực tế liên quan đến đường tròn mà chủ yếu toán toán học Với cách trình bày SGK, HS áp dụng phương pháp giải tích để giải toán hình học, cách chuyển toán hình học từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích 18 C KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, đề tài làm rõ vấn đề mà mục đích nghiên cứu đặt ra: - Đường tròn SGK tiếp cận theo cách tiếp cận phương trình, chưa trọng mà tập trung nhiều vào tiếp cận khoảng cách với tâm bán kính - Tri thức SGK không chấp nhận đường tròn điểm, đồng thời chương trình không đề cập đến khái niệm đường tròn theo góc - Dự đoán ảnh hưởng quan hệ cá nhân: học sinh không kiểm tra tồn đường tròn - Mặc dù cố gắng nhiều thời gian nghiên cứu kiến thức hạn chế nên không tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp quí Thầy, Cô bạn bè để đề tài hoàn chỉnh Chúng xin chân thành cảm ơn! 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu (2005), Những thay đổi mà didactic mang lại cho việc đào tạo giáo viên Việt Nam, Báo cáo Hội thảo lần thứ Didactic – Phương pháp dạy học môn Toán, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 17-18/06/2005 Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didatic toán, Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005), Sách giáo khoa Toán tập 1, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2006), Sách giáo khoa Hình học 10 ban bản, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2006), Sách giáo viên Hình học 10 ban , Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2007), Sách Giáo Khoa Đại số 10 ban , Nxb Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục Trần Thi Thơ (2014), Đường tròn dạy học toán trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học 20 ... thứ Didactic – Phương pháp dạy học Toán Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 1 7-1 8/06/2005: Didactic, khoa học đặc biệt quan tâm đến trình xây dựng kiến thức điều kiện việc dạy-học... Mục đích nghiên cứu Làm rõ vấn đề sau: - Trong Sách giáo khoa Hình học 10 ban (SGK), đường tròn trình bày nào? - Sự giống khác tri thức SGK tri thức bác học - Dự đoán ảnh hưởng quan hệ thể chế đến... phép nghiên cứu nét đặc thù tri thức tượng liên quan đến việc dạy-học tri thức đó.” [1, trang 1] Hiểu tầm quan trọng Didactic, cụ thể Didactic Toán trình giảng dạy người giáo viên Toán Dựa khung