Đang tải... (xem toàn văn)
Trang bị cho sinh viên kiến thức biết cách xây dựng bài toán quy hoạch tuyến tính căn bản,thiết lập được mô hình tổng quan của bài toán thông qua các bài tập ví dụ căn bản nhất như các bài tập về bài toán dinh dưỡng, bài toán lập kế hoạch sản xuất.
Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Trương Phúc Tuấn Anh Đại học Sài gòn Năm học 2012-2013 Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Mục đích, yêu cầu Mục đích: Trang bị cho sinh viên kiến thức biết cách xây dựng mô hình toán Yêu cầu: Sinh viên phải thiết lập mô hình tổng quan toán quy hoạch tuyến tính Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán dinh dưỡng Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i = 1; m thức ăn j = 1; n cung cấp Giả sử: aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i = 1; m, j = 1; n); bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i; cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán dinh dưỡng Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i = 1; m thức ăn j = 1; n cung cấp Giả sử: aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i = 1; m, j = 1; n); bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i; cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mô hình sau đây: Gọi xj ≥ 0(j = 1, n) số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn n z = f (x) = cj xj = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn j=1 Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán dinh dưỡng Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu thoả mãn: n cj xj = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → z= j=1 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn ai1 x1 (i = 1, m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn ai2 x2 (i = 1, m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n ain xn (i = 1, m) Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn , (i = 1, m) Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu phải thoả yêu cầu bi dinh dưỡng loại đó, nên ta có ràng buộc sau: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≥ bi (i = 1, m) Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán dinh dưỡng Khi đó, theo yêu cầu toán ta có mô hình toán sau đây: z= n c x = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → j=1 j j a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ≥ b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ≥ b2 am1 x1 + an2 x2 + · · · + amn xn ≥ bm xj ≥ 0, (j = 1, n) Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán lập kế hoạch sản xuất Người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm từ m loại nguyên liệu khác Giả sử: aij : lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i = 1, m; j = 1, n); bi : số lượng nguyên liệu loại i có; cj : lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán lập kế hoạch sản xuất Người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm từ m loại nguyên liệu khác Giả sử: aij : lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i = 1, m; j = 1, n); bi : số lượng nguyên liệu loại i có; cj : lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Gọi xj ≥ số lượng sản phẩm thứ j sản xuất (j = 1, n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản n z = f (x) = cj xj = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn j=1 Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán lập kế hoạch sản xuất Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nhất, nên ta cần có n cj xj = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max z = f (x) = j=1 Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ 1: ai1 x1 Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ 2: ai2 x2 Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ n: ain xn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm: ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn Vì lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi , nên ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , (i = 1; m) Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán lập kế hoạch sản xuất Vậy theo yêu cầu toán ta có mô hình sau n cj xj = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max z= j=1 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ≤ b2 am1 x1 + an2 x2 + · · · + amn xn ≤ bm xj ≥ 0, (j = 1, n) Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Thiết lập toán Có A1 , , Am nơi cung cấp loại hàng hóa với lượng hàng tương ứng s1 , , sm Hàng cung cấp cho B1 , , Bn nơi với lượng hàng tương ứng d1 , , dn Cước phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ Ai đến Bj cij Lập kế hoạch vận chuyển để: Các điểm phát phát hết hàng; Các điểm thu thu để hàng; tổng cước phí nhỏ Gọi xij lượng hàng vận chuyển từ Ai đến Bj Khi dó, m n cij xij → z(x) = i=1 j=1 Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) n j=1 xij m i=1 xij = si (1 ≤ i ≤ m) = dj (1 ≤ j ≤ n) xij ≥ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 75 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Dạng bảng toán vận tải d1 x11 xi1 xm1 c11 s1 si ci1 cm1 sm Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) dj x1j xij xmj c1j cij cmj QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH dn c1n cin x1n xin cmn xmn Năm học 2012-2013 76 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Dây chuyền-Chu trình Một dãy ô bảng vận tải mà hai ô liên tiếp nằm hàng cột, ba ô liên tiếp không nằm hàng không nằm cột gọi dây chuyền Một dây chuyền có ô đầu ô cuối trùng gọi chu trình Hai ô liên tiếp chu trình có số đầu số cuối Ví dụ (A) : (1, 2)(1, 5)(3, 5)(3, 1) dây chuyền (B) : (1, 2)(1, 5)(3, 5)(3, 7)(4, 7)(4, 2) chu trình Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 77 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Ô chọn- ô loại, phương án Giả sử x = [xij ] phương án toán vận tải Những ô ứng với xij > gọi ô chọn, ô lại gọi ô loại Một phương án mà ô chọn không chứa chu trình gọi phương án Một phương án có dúng m + n − ô chọn gọi không suy biến, có hon m + n − ô chọn gọi suy biến Trong trường hợp suy biến, người ta bổ sung vào phương án ô có lượng hàng để phương án trở thành không suy biến Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 78 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Lập phương án ban đầu-chi phí nhỏ Ưu tiên phân phối nhiều vào ô có cước phí nhỏ (r , s) (gọi ô chọn) Khi dó, điểm phát r phát hết hàng ta xóa hàng r bảng lượng hàng cần thu điểm s lại ds − sr ; điểm thu s thu để hàng ta xóa cột s lượng hàng điểm phát r lại sr − ds Lập lại trình ta nhận phương án Nếu phương án suy biến ta thêm vào ô (ô chọn 0) Sau bước ta nhận phương án ban đầu toán vận tải Ta thức bước Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 79 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Quy cước phí ô chọn Định lý Nếu cộng vào hàng i cột j ma trận cước phí C = [cij ] số tùy ý ri sj toán vận tải với ma trận cước phí C = [cij = cij + ri + sj ] có phương án tối ưu trùng với phương án tối ưu toán ban đầu Áp dạng định lý này: Cộng vào hàng i cột j C số ri sj thích hợp cho ma trận cước phí C ô chọn thỏa cij = cij + ri + sj = Sau quy cước phí ô chọn: ô loại đầu có cước phí không âm phương án xét tối ưu, ngược lại, sang bước Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 80 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Xây dựng phương án tốt Đua vào ô loại (i0 , j0 ) có cước phí bé thành ô chọn Khi dó, ô chọn chứa chu trình nhất, gọi chu trình điều chỉnh V Đánh số chu trình điều chỉnh V ô (i0 , j0 ), gọi V − ô có thứ tự chẵn; V + ô có thứ tự lẻ Trong ô có thứ tự chẵn V − , chọn ô (r , s) phân phối hàng làm ô đưa Lượng hàng xrs ô đưa gọi lượng hàng điều chỉnh Lập phương án cách: Các ô V − bớt di lượng hàng điều chỉnh; ô V + cộng thêm lượng hàng điều chỉnh; ô khác không thay đổi Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 81 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Ví dụ Giải toán vận tải có lượng hàng thu, phát ma trận cước phí cho sau: 50 40 70 Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) 80 20 60 11 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 82 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán vận tải với cầu n Xét toán thu - phát với m i=1 si < j=1 dj Trong trường hợp ta đáp ứng nhu cầu dj cho điểm thu ràng buộc có dạng bất đẳng thức m i=1 ≤ dj Ta đưa toán toán cân thu phát hai cách sau đây: Nếu không tính đến thiệt hại phát thiếu hàng điểm thu ta đưa thêm điểm phát giả Am+1 với nguồn cung sm+1 = nj=1 dj − m i=1 si với cước phí tương ứng cm+1,j = Nếu tính đến thiệt hại điểm thu Bj thiếu đơn vị hàng hóa rj ta đưa thêm điểm phát giả Am+1 với nguồn cung sm+1 = nj=1 dj − m i=1 si với cước phí tương ứng cm+1,j = rj Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 83 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán vận tải với cung nhiều cầu n Xét toán thu - phát với m i=1 si > j=1 dj Trong trường hợp ta phát hết hàng điểm phát nên ràng buộc có dạng bất đẳng thức m j=1 ≤ si Ta đưa toán toán cân thu phát hai cách sau đây: Nếu không tính chi phí lưu kho phát không hết hàng điểm phát ta đưa thêm điểm thu giả Bn+1 với nhu cầu n dn+1 = m i=1 si − j=1 dj với cước phí tương ứng ci,n+1 = Nếu tính đến chi phí lưu kho Aj đơn vị hàng hóa ri ta đưa thêm điểm thu giả An+1 với nhu cầu n dn+1 = m i=1 si − j=1 dj với cước phí tương ứng ci,n+1 = ri Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 84 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán ô cấm Đây toán vận tải nguồn có cung nối với đích Khi dó, ta đưa toán toán cân thu phát phương pháp M vô lớn sau: Gọi E tập hợp cung không cấm Khi dó, toán có thêm điều kiện xij = với (i, j) ∈ / E Ta đưa toán toán cân với cước phí vận chuyển sau: cij (i, j) ∈ E c¯ij = , M (i, j) ∈ /E dó M số lớn, lớn hon số xuất tính toán Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 85 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài toán ô cấm Mối quan hệ toán toán cũ sau: Giả sử x = [xij ] phương án tối ưu toán Khi dó Nếu xij = 0, ∀(i, j) ∈ / E x phương án tối ưu toán ô cấm gốc; Nếu tồn (i, j) ∈ / E cho xij > toán ô cấm gốc nghiệm chấp nhận Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 86 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài Cần vận chuyển loại hàng từ bốn kho hàng tới nơi tiêu thụ (cửa hàng) Số lượng đơn vị hàng kho tương ứng Ai = [79; 102; 70; 60] số lượng đơn vị hàng cần có cửa hàng Bj = [76; 62; 88; 45; 40] cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ kho thứ i đến cửa hàng thứ j cho ma trận sau: 10 19 15 13 11 12 17 10 12 18 18 10 Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng cho đảm bảo cung cầu cước phí vận chuyển nhỏ Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 87 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài Cần vận chuyển loại hàng từ bốn kho hàng tới nơi tiêu thụ (cửa hàng) Số lượng đơn vị hàng kho tương ứng Ai = [60; 55; 50] số lượng đơn vị hàng cần có cửa hàng Bj = [65; 45; 50; 30] cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ kho thứ i đến cửa hàng thứ j cho ma trận sau: 10 12 11 10 15 14 12 Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng cho đảm bảo cung cầu cước phí vận chuyển nhỏ Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 88 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Bài Cho nài toán vận tải sau Ai = [20 110 120] Bj = [70 40 30 60 50] Tìm phương án tối ưu toán trên; Theo anh (chị) dấu hiệu cho ta biết toán vận tải có nhiều phương án tối ưu? Phương án tối ưu tìm có không? Nếu không phương án cực biên tối ưu khác; Tìm tập phương án tối ưu phương án tối ưu khác Trương Phúc Tuấn Anh ( Đại học Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 89 / 89 ... Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài toán quy hoạch tuyến tính tắc toán quy hoạch tuyến tính mà ràng buộc có dấu = biến số không âm... Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài Đặc điểm tập Phương án Tập phương án quy hoạch tuyến tính tập lồi Tập phương án tối uu quy hoạch tuyến tính tập lồi Một quy hoạch tuyến tính có hữu hạn Phương án... Sài gòn ) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Năm học 2012-2013 15 / 89 Mục đích yêu cầu Chương I: Lý thuyết QHTT Chương II: Giải thuật đơn hình Chương III: Bài toán đối ngẫu Bài quy hoạch tuyến tính dạng tổng