Hàm đặc trưng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HOÀI HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HOÀI HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, cán hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Trọng Nguyên, người thầy tận tình hướng dẫn từ buổi tiếp cận với đề tài khoa học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Toán ứng dụng tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè tôi, người động viên, tạo điều kiện cho lao động học tập suốt thời gian qua Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hoài i Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành nhờ nỗ lực thân bảo tận tình PGS.TS.Trần Trọng Nguyên, ý kiến đóng góp thầy cô tổ, khoa bạn nhóm Tôi xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài tự nghiên cứu, tìm hiểu trích dẫn trung thực từ tài liệu tham khảo Những nội dung chưa công bố khóa luận Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hoài ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 HÀM ĐẶC TRƯNG 1.1 Nhắc lại số kiến thức liên quan 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Quy luật phân phối xác suất 1.1.2.1 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chiều 1.1.2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều 10 1.1.2.3 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều 14 1.1.3 15 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.1.3.1 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên chiều 15 1.1.3.2 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên hai chiều 18 1.1.3.3 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên nhiều chiều iii 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 Nguyễn Thị Hoài Hàm đặc trưng 21 1.2.1 Định nghĩa 21 1.2.2 Một số tính chất 22 1.2.3 Hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên thường gặp 23 1.2.3.1 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 23 1.2.3.2 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức 24 1.2.3.3 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson 25 1.2.3.4 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 25 1.2.3.5 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối “Khi- bình phương” 26 1.3 Mối liên hệ hàm đặc trưng hàm phân phối 27 1.4 Mối liên hệ hàm đặc trưng mô-men 28 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG 2.1 Tính đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.2 Xác định quy luật phân phối tổng biến ngẫu nhiên 2.3 30 30 độc lập 34 Chứng minh định lí giới hạn trung tâm 37 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong hoạt động thực tiễn, người bắt buộc phải tiếp xúc với tượng ngẫu nhiên mà không dự đoán trước Tuy nhiên người nghiên cứu hệ thống hóa tượng ngẫu nhiên để rút quy luật tượng ngẫu nhiên biểu diễn chúng mô hình toán học Từ lĩnh vực Toán học mang tên “ Lý thuyết xác suất” đời nhằm nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất đời vào nửa cuối kỉ XVII Một số nhà Toán học Huygens, Bernoulli, De Moivre người có công tạo nên sở Toán học Lý thuyết xác suất Chebyshev(1821- 1894), Borel (1871-1956), Kolmogorov(1903- 1987) có nhiều đóng góp to lớn cho phát triển Lý thuyết xác suất Ngày nay, Lý thuyết xác suất trở thành ngành Toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng lí thuyết lẫn ứng dụng Nó ứng dụng rộng rãi nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Kinh tế, Xã hội Quân Với mong muốn tìm hiểu sâu Lý thuyết xác suất em chọn đề tài “Hàm đặc trưng ứng dụng” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa tính chất hàm đặc trưng mối liên hệ với hàm phân phối mô-men Từ đưa số ứng dụng hàm đặc trưng như: tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, xác định phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập chứng minh định lí giới hạn trung tâm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm số tính chất hàm đặc trưng, mối liên hệ hàm đặc trưng với hàm phân phối mô-men Nghiên cứu số ứng dụng hàm đặc trưng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ khóa luận nghiên cứu số tính chất ứng dụng hàm đặc trưng Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn qua tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực kế hoạch hoàn thành khóa luận Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm chương: Chương 1: Hàm đặc trưng Chương trình bày lại số kiến thức xác suất như: biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất đặc trưng biến ngẫu nhiên; nghiên cứu hàm đặc trưng với định nghĩa, tính chất mối liên hệ với hàm phân phối mô-men Chương 2: Một số ứng dụng hàm đặc trưng Chương nghiên cứu số ứng dụng hàm đặc trưng như: tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập chứng minh định lí giới hạn trung tâm Chương HÀM ĐẶC TRƯNG Trong chương này, ta trình bày lại số kiến thức chuẩn bị có liên quan, sau tìm hiểu hàm đặc trưng với khái niệm tính chất mối liên hệ hàm đặc trưng hàm phân phối, hàm đặc trưng mô-men 1.1 1.1.1 Nhắc lại số kiến thức liên quan Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 (Biến ngẫu nhiên chiều) Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất Nếu X ánh xạ đo từ Ω vào R X gọi biến ngẫu nhiên ( đại lượng ngẫu nhiên ) Nói cách khác X hàm số thực, hữu hạn, xác định Ω cho với x ∈ R {x ∈ Ω : X (ω) < x} ∈ F Ví dụ 1.1 Tung đồng xu cân đối đồng chất Gọi X “số lần xuất mặt sấp” Khi X biến ngẫu nhiên Thật vậy, ta xây dựng không gian xác suất (Ω, F, P ) ứng với phép thử Ta có Ω= SS, SN, N S, N N ω1 , ω , ω , ω , F = σ (Ω) = {∅, {ω1 } , {ω2 } , , {ω1 , ω2 } , {ω1 , ω3 } , , Ω} Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Như ta biết σ - đại số biến cố bao gồm: C40 +C41 +C42 +C43 +C44 = (1 + 1)4 = 24 = 16 phần tử Vì tính chất cân đối đồng chất hai đồng xu nên ta đặt xác suất sau: P (ω1 ) = P (ω2 ) = P (ω3 ) = P (ω4 ) = Bây ta xác định X: Vì X : Ω → R nên miền giá trị Im (X) = {0, 1, 2} Từ ta thấy:   ∅      {ω } (X < x) = {ω ∈ Ω : X (ω) < x} =  {ω2 , ω3 , ω4 }     Ω x ≤ < x ≤ < x ≤ x > Do tất tập hợp viết vế phải tập thuộc F nên theo định nghĩa X biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2 (Biến ngẫu nhiên hai chiều) Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) hai biến ngẫu nhiên X Y xác định Khi hệ V = (X, Y ) gọi biến ngẫu nhiên 2-chiều hay véc-tơ ngẫu nhiên 2-chiều, tức V ánh xạ từ Ω vào R2 cho ω ∈ Ω V (ω) = (X (ω) , Y (ω)) Định nghĩa 1.3 (Biến ngẫu nhiên nhiều chiều) Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên 1-chiều xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) Nhờ biến ngẫu nhiên này, với ω ∈ Ω, ta làm phép tương ứng với điểm X (ω) = (X1 (ω) , X2 (ω) , , Xn (ω)) không gian Ơ-cơ-lít n-chiều Ánh xạ Ω → Rn lập biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn gọi biến ngẫu nhiên n-chiều véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG Với sở lí thuyết trình bày chương 1, chương ta tìm hiểu số ứng dụng hàm đặc trưng tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phân phối xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập chứng minh định lí giới hạn trung tâm 2.1 Tính đặc trưng biến ngẫu nhiên Để tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, định nghĩa ta phải thông qua hàm phân phối xác suất Tuy nhiên, nhiều trường hợp, việc tính toán gặp nhiều khó khăn phải sử nhiều kĩ tính toán giải tích phức tạp Mà ta biết hàm đặc trưng hàm phân phối có tương ứng 1-1 quy luật phân phối xác suất hoàn toàn xác định biết hàm phân phối hàm đặc trưng Do đó, ta tính tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên thông qua hàm đặc trưng Và việc tính toán số trường hợp đơn giản Để tính tham số dặc trưng biến ngẫu nhiên ta dựa vào sở lí thuyết mối liên hệ hàm đặc trưng mô-men Cụ thể, 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ta có: Nguyễn Thị Hoài dk E X = αk = k gX (t) i dtk t=0 d V (X) = µ2 = e−itα1 gX (t) i dt t=0 k Hoặc: V (X) = E X − [E (X)]2 Ví dụ 2.1 X ∼ A (p) gX (t) = q + peit Ta có: 1 E (X) = α1 = g (0) = q + peit i i 1 = ipeit t=0 = ip = p; i i t=0 1 g (0) = ipeit 2 t=0 i i 2 it = i pe t=0 = i p = p i i E X = α2 = Vậy V (X) = E X − [E (X)]2 = p − p2 = p (1 − p) = pq i2 = i = i = i V (X) = µ2 = −itp e q + peit t=0 t=0 i qe−itp + peit(1−p) = qe−itp + peitq i t=0 t=0 −ipqe−itp + ipqeitq = i2 p2 qe−itp + i2 q peitq t=0 i e−itα1 q + peit = t=0 i2 p2 q + i2 q p = p2 q + q p = pq (p + q) = pq n Ví dụ 2.2 X ∼ B (n; p) ta phân tích X = Xk với Xk k=1 độc lập tuân theo quy luật B (1; p), E (Xk ) = p V (Xk ) = pq (đã tính Ví dụ 2.1) Vì n E (X) = E n Xk k=1 = n E (Xk ) = k=1 31 p = np k=1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài n n n Xk V (X) = V k=1 pq = npq V (Xk ) = = k=1 k=1 Ví dụ 2.3 X ∼ G (λ) gX (t) = eλ(e it −1) Ta đặt: ψ (t) = ln gX (t) g (t) g(t) (t)] = g(t)g (t)−[g g (t) ψ (t) = ψ (t) Do gX (0) = nên ψ (0) = g (0) g(0) = g (0) = iα1 Suy E (X) = α1 = ψ (0) i Tiếp theo g (0) g (0) − [g (0)]2 ψ (0) = = g (0) − [g (0)] g (0) = i2 α2 − (iα1 )2 = i2 α2 − α1 = i2 V (X) Suy V (X) = i12 ψ (0) Áp dụng kết cho quy luật G (λ) ta có: ψ (t) = ln eλ(e it −1) = λ eit − Từ suy ψ (t) = λieit ⇒ E (X) = α1 = ψ (0) = λ; i ψ (t) = λi2 eit ⇒ V (X) = ψ (0) = λ i Ta thấy quy luật G (λ) có đặc điểm kì vọng phương sai λ 2 Ví dụ 2.4 X ∼ N µ; σ gX (t) = eitµ− t σ Dùng hàm đặc trưng để tính mô-men, ta được: 1 α1 = E (X) = gX (0) = (iµ) = µ i i 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học α2 = E X = Nguyễn Thị Hoài 1 g (0) = (iµ)2 − σ = µ2 + σ X 2 i i Suy V (X) = α2 − α1 = σ Vậy hai tham số µ σ quy luật chuẩn hai tham số đặc trưng kì vọng phương sai Nếu tính mô-men trung tâm ta µ0 = 1 µ1 = e−itµ gX (t) = i µ2 = e−itµ gX (t) = σ i µ3 = µ4 = 3σ µ5 = µ6 = 15σ Như mô-men trung tâm bậc lẻ 0, mô-men trung tâm bậc chẵn µ2n = (2n − 1)!!σ 2n (n = 1, 2, ) kí hiệu (2n − 1)!! dùng để tích số lẻ liên tiếp chạy từ đến 2n − Chẳng hạn µ2 = (2 − 1)!!σ 2×1 = σ µ4 = [2.2 − 1]!!σ = 3!!σ = 1.3.σ = 3σ µ6 = [2 (3) − 1]!!σ = 5!!σ = 1.3.5.σ = 15σ n Ví dụ 2.5 X ∼ χ2 (n) gX (t) = (1 − 2it)− Ta có n 1 E (X) = α1 = gX (0) = (1 − 2it)− i i n n = − (1 − 2it)− −1 (−2i) i t=0 33 t=0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài n − (1) (−2i) = n i = E X = α2 = 1 − n2 −1 g (0) = ni(1 − 2it) X i2 i2 t=0 = n + 2n Từ suy V (X) = E X − [E (X)]2 = n2 + 2n − n2 = 2n 2.2 Xác định quy luật phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập Ta biết hàm đặc trưng hàm phân phối có tương ứng 1-1 xác định quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, thay cho việc xác định hàm phân phối ta xác định hàm đặc trưng tương ứng Để xác định quy luật phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập việc xác định hàm đặc trưng, ta sử dụng tính chất sau hàm đặc trưng n g n j=1 Xj (t) = gXj (t) (Mệnh đề 1.2) j=1 {X1 , X2 , , Xn } họ biến ngẫu nhiên độc lập Định lý 2.1 Cho Xj j = 1, n n biến ngẫu nhiên a) Độc lập b) Có quy luật phân phối N µ1 ; σj n Khi biến ngẫu nhiên X = cj Xj tuân theo quy luật N µj ; σj j=1 n với µ = cj σj , cj số j=1 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Chứng minh Ta có hàm đặc trưng cj Xj gcj Xj (t) = gXj (cj t) = ei(cj t)µj − (cj t) σj Do Xj độc lập nên cj Xj độc lập j = 1, n , vậy: n gX (t) = g (t) = n gcj Xj (t) cj Xj j=1 j=1 n n i(cj t)µj − 12 (cj t) σj = e i =e j=1 cj µj t− 12 n cj σj t2 j=1 j=1 2 = eitµ− σ t n n với µ = cj µj ; σ = j=1 cj σj j=1 Đây dạng hàm đặc trưng quy luật N µ; σ Vậy ta có kết luận định lí Định lý 2.2 Cho Xj j = 1, n n biến ngẫu nhiên thỏa mãn a) Độc lập b) Có quy luật phân phối χ2 (nj ) n Xj có quy luật phân phối xác suất Khi biến ngẫu nhiên X = j=1 χ n nj j=1 Chứng minh Vì Xj độc lập nên n gX (t) = g (t) = n Xj n j=1 j=1 − 21 = (1 − 2it) nj (1 − 2it)− gXj (t) = j=1 n nj j=1 Vì hàm đặc trưng quy luật “Khi-bình phương” với số bậc tự n nj nên ta có kết luận định lí j=1 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Định lý 2.3 Cho Uj j = 1, n n biến ngẫu nhiên thỏa mãn a) Độc lập b) Có quy luật phân phối N (0; 1) n Uj có quy luật phân phối χ2 (n) Khi biến ngẫu nhiên X = j=1 Chứng minh i Trước hết ta chứng minh Uj ∼ N (0; 1) X = U − χ2 (1) Thật vậy, ta có FX (x) = P (X < x) = P U < x √ √ (x > 0) =P − x dt = √ x e − t2 √ − x √ x dt = √ 2π − t2 e dt dv t = v = 0, t = v √ x v = x Ta có x FX (x) = √ 2π x − v2 e 1 √ dv = √ v 2π v e− v − dv Vậy hàm mật độ X f (x) = Do √ π=Γ (x ≤ 0) x √1 e− x− 2π (x > 0) nên f (x) viết dạng:  0 (x ≤ 0) f (x) = x  1 e− x− (x > 0) 2 Γ( ) Ta thấy hàm mật độ quy luật χ2 (1) ii Vậy Uj ∼ N (0; 1) U ∼ χ2 (1), X = n j=1 X∼χ n tức X ∼ χ2 (n) j=1 36 Uj Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Nguyễn Thị Hoài Chứng minh định lí giới hạn trung tâm Định nghĩa 2.1 (Sự hội tụ theo quy luật) Dãy biến {Xn } (n = 1, 2, ) gọi hội tụ theo quy luật X lim FXn (x) = FX (x) với n→∞ x thuộc tập hợp điểm liên tục FX (X) Khi ta kí hiệu L D Xn → X, (n → ∞) hay Xn → X, (n → ∞) Chú ý 2.1 Do có tương ứng 1-1 hàm đặc trưng hàm phân phối nên điều kiện thay lim gXn (t) = gX (t) n→∞ Chú ý 2.2 Ta biết quy luật chuẩn quy luật thường gặp có nhiều ứng dụng Vì ta tìm điều kiện dãy biến ngẫu nhiên {Xn } (n = 1, 2, ) hội tụ theo quy luật quy luật N (0; 1) Chính xác ta có khái niệm tiệm cận chuẩn sau: Nếu quy luật phân phối biến ngẫu nhiên X phụ thuộc vào tham số n ta chọn hai đại lượng m0 σ0 (phụ thuộc không phụ thuộc vào n) cho n → ∞ hàm phân phối biến ngẫu nhiên X= X − m0 σ0 tiến tới hàm phân phối quy luật chuẩn N (0; 1), tức x lim FX(x) = lim P X < x = FU (x) = √ n→∞ n→∞ 2π u2 e− du −∞ ta nói X tiệm cận chuẩn (m0 , σ0 ) Ví dụ 2.6 Nếu X tuân theo quy luật χ2 (n) tiệm cận chuẩn √ n, 2n Bài giải 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài n Vì X tuân theo quy luật χ2 (n) nên gX (t) = (1 − 2it)− , ta có V (X) = 2n ⇒ σ (X) = E (X) = n Ta xét biến ngẫu nhiên chuẩn hóa từ X: X = X−n √ 2n √ 2n Hàm đặc trưng X là: gX (t) = E eitX = E eit = e−it √n X−n √ 2n 1 − 2i √ t 2n = e−it − n2 √n = e−it gX √n √ t 2n − n2 n − it Do n − ln − it n ln gX (t) = −it n Khai triển Mac-laurin ta có: ln − it n = −it − it n 2 n − it n + Suy ln gX (t) = − t2 +0 √ n Vậy lim g n→∞ X − t2 (t) = e Đây hàm đặc trưng quy luật N (0; 1), từ ta có kết luận hàm phân phối X = X−n √ 2n tiến tới hàm phân phối quy luật N (0; 1) √ n → ∞, tức X tiệm cận chuẩn n, 2n Định lý 2.4 (Định lí giới hạn trung tâm Liapunov) Cho biến ngẫu nhiên độc lập Xk có kì vọng hữu hạn E (Xk ) = αk phương sai hữu hạn V (Xk ) = σk Nếu lim n→∞ Bn n E |Xk − αk |3 = k=1 38 (2.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài đó: n Bn2 n n Xk = V (Sn ) = V k=1 σk V (Xk ) = = k=1 k=1 n Sn = Xk tiệm cận chuẩn với m0 E (Sn ) σ0 V (Sn ), k=1 tức tổng chuẩn hóa: Sn = Sn − E (Sn ) V (Sn ) = Sn − E (Sn ) σ (Sn ) thỏa mãn lim FSn (x) = lim P Sn < x = Φ (x) n→∞ n→∞ Φ (x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên U tuân theo quy luật N (0; 1) Nói cách khác: t2 lim gSn (t) = gU (t) = e− n→∞ Nhận xét 2.1 Điều kiện (2.1) gọi điều kiện Liapunov Nếu điều kiện thỏa mãn với n lớn quy luật phân phối tổng n Xk coi xấp xỉ quy luật chuẩn với kì vọng E (Sn ) = Sn = k=1 n n n E (Xk ) = k=1 αk phương sai V (Sn ) = k=1 n V (Xk ) = k=1 σk k=1 Chứng minh Để chứng minh định lí ta chứng minh hàm đặc trưng tổng chuẩn hóa n n Xk − Sn = k=1 αk k=1 n = Bn k=1 X k − αk Bn tiến tới hàm đặc trưng quy luật N (0; 1) n → ∞, tức t2 lim gSn (t) = e− n→∞ Theo tính chất hàm đặc trưng n gSn (t) = g Xk −αk (t) k=1 39 Bn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài i) Trước hết ta xác định g(Xk −αk ) (t) theo công thức khai triển biết k−1 (iz)r zk +θ , r! k! iz e = r=1 với |θ| < Suy itX e (itX)0 (itX)1 (itX)2 (itX)3 + + + , với |θ| < = 0! 1! 2! 3! t3 t2 = + itX − X + θ X , với |θ| < Do ta viết khai triển gX (t) sau gX (t) = E e itX t2 = + itE (X) − E X + R (t) phần dư R (t) thỏa mãn bất đẳng thức |R (t)| ≤ CE |X|3 |t|3 Từ ta suy ra: g(Xk −αk ) (t) = E eit(Xk −αk ) t2 = + itE (Xk + αk ) − E(Xk − αk )2 + Rk (t) với |Rk (t)| ≤ C.E |Xk − αk |3 |t|3 C số Ta lại có E (Xk − αk ) = E (Xk ) − αk = αk − αk = E(Xk − αk )2 = E[Xk − E (Xk )]2 = V (Xk ) = σk Từ suy ra: σk 2 t + Rk (t) ii) Theo tính chất biết hàm đặc trưng gaX (t) = gX (at) nên ta g(Xk −αk ) (t) = − suy g( Xk −αk ) (t) = g(Xk −αk ) Bn t Bn σk t =1− Bn 40 + Rk Bn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài σk 2 =1− t + Rk 2Bn ≤ C.E |Xk − αk |3 Bn Rk Bn t Bn Tức là: E |Xk − αk |3 Bn Rk ≤ C Bn |t|3 iii) Như nêu n g Xk −αk (t) gSn (t) = Bn k=1 nên n n ln − ln g Xk −αk (t) = ln gSn (t) = Bn k=1 k=1 σk 2 t + Rk 2Bn t Bn Vì ln (1 + αn ) ≈ αn αn → nên σk 2 ln − t + Rk 2Bn σk 2 t + Rk ≈ − 2Bn t Bn t Bn Do n ln gSn (t) ≈ k=1 n =− σk k=1 t + t + iv) Vì Rk k=1 n k=1 Rk k=1 E (|Xk −αk | Bn Bn 2 =− t + 2Bn n Rk k=1 Bn Rk ≤ C n t Bn Rk Bn t Bn n 2Bn 2 =− −σk 2 − t + Rk 2Bn Bn ) |t|3 nên ≤ C.|t| Bn n 41 E |Xk − αk |3 k=1 Bn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hoài Nếu điều kiện Liapunov thoải mãn, tức Bn n Rk k=1 Bn n E (|Xk − αk |) → 0, (n → ∞) k=1 → n → ∞ Do ln gSn (t) → − t2 (n → ∞) t2 Vì ta có gSn (t) → e− (n → ∞) Vậy định lí chứng minh Vậy chương trình bày số ứng dụng hàm đặc trưng tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phân phối xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập chứng minh định lí giới hạn trung tâm 42 Kết Luận Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Hàm đặc trưng ứng dụng” trình bày số kiến thức liên quan đến hàm đặc trưng như: định nghĩa, tính chất bản, mối liên hệ hàm đặc trưng với hàm phân phối mô-men; số ứng dụng hàm đặc trưng như: tính đặc trưng biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập chứng minh định lí giới hạn trung tâm Trong trình nghiên cứu nhiều hạn chế nên không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý thầy cô bạn bè để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 43 Tài liệu tham khảo [1] Đinh Văn Gắng, (2012), Lí thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục Việt Nam; [2] Đào Hữu Hồ, (2007), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Trọng Nguyên, (2013), Giáo trình Lí thuyết xác suất, NXB Đại học Kinh tế quốc dân 44