Hàm đặc trưng và ứng dụng

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều.. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên một chiều.. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều.. Cấu trúc khóa lu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HOÀI

HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN

HÀ NỘI, 2016

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, cán bộ hướngdẫn khoa học PGS.TS Trần Trọng Nguyên, người thầy đã tận tình hướngdẫn tôi từ những buổi đầu tiên khi tiếp cận với đề tài khoa học.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô ở trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, và các thầy cô trong

tổ Toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho tôi họctập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến gia đình và bạn

bè tôi, những người đã động viên, tạo điều kiện cho tôi lao động và họctập trong suốt thời gian qua

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài

Khóa luận của tôi được hoàn thành nhờ sự nỗ lực của bản thân cùng

sự chỉ bảo tận tình của PGS.TS.Trần Trọng Nguyên, những ý kiến đónggóp của các thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm

Tôi xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài nàytôi tự nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu thamkhảo Những nội dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luậnnào

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài

một chiều 51.1.2.2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

hai chiều 101.1.2.3 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

nhiều chiều 141.1.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 151.1.3.1 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên một

chiều 151.1.3.2 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai

chiều 181.1.3.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhiều

chiều 21

1.2 Hàm đặc trưng 211.2.1 Định nghĩa 211.2.2 Một số tính chất 221.2.3 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường

gặp 231.2.3.1 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

Bernoulli 231.2.3.2 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

nhị thức 241.2.3.3 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

Poisson 251.2.3.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn 251.2.3.5 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

“Khi- bình phương” 261.3 Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối 271.4 Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mô-men 28

2.1 Tính các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 302.2 Xác định quy luật phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên

độc lập 342.3 Chứng minh định lí giới hạn trung tâm 37

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong hoạt động thực tiễn, con người bắt buộc phải tiếp xúc với cáchiện tượng ngẫu nhiên mà không dự đoán trước được Tuy nhiên conngười có thể nghiên cứu và hệ thống hóa các hiện tượng ngẫu nhiên đểrút ra các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên và biểu diễn chúng bằng

mô hình toán học Từ đó một lĩnh vực của Toán học mang tên “ Lýthuyết xác suất” đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật của các hiệntượng ngẫu nhiên

Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỉ XVII Một số nhà Toánhọc như Huygens, Bernoulli, De Moivre là những người có công đầu tiêntạo nên cơ sở Toán học của Lý thuyết xác suất

Chebyshev(1821- 1894), Borel (1871-1956), Kolmogorov(1903- 1987)

đã có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của Lý thuyết xác suất.Ngày nay, Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn,chiếm vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng Nó được ứng dụngrộng rãi trong nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Kinh tế, Xã hội và Quânsự

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Lý thuyết xác suất em đã chọn đềtài “Hàm đặc trưng và ứng dụng” làm đề tài khoá luận tốt nghiệpđại học của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm đặc trưng,cũng như mối liên hệ giữa hàm đặc trưng với hàm phân phối và cácmô-men

Nghiên cứu một số ứng dụng cơ bản của hàm đặc trưng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất

và ứng dụng cơ bản của hàm đặc trưng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn qua đó tổng hợp kiếnthức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoànthành khóa luận

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệpgồm 2 chương:

Chương 1: Hàm đặc trưng

Chương này sẽ đi trình bày lại một số kiến thức về xác suất như: biếnngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất và đặc trưng của biến ngẫunhiên; và nghiên cứu về hàm đặc trưng với định nghĩa, các tính chấtcũng như mối liên hệ giữa nó với hàm phân phối và các mô-men

Chương 2: Một số ứng dụng của hàm đặc trưng

Chương này sẽ đi nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đặc trưngnhư: tính các đặc trưng của biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phânphối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và chứng minh định lí giớihạn trung tâm

HÀM ĐẶC TRƯNG

Trong chương này, ta sẽ trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị cóliên quan, sau đó sẽ đi tìm hiểu hàm đặc trưng với khái niệm và tínhchất của nó cũng như mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối,hàm đặc trưng và các mô-men

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 (Biến ngẫu nhiên một chiều) Cho (Ω, F , P ) là mộtkhông gian xác suất Nếu X là một ánh xạ đo được từ Ω vào R thì Xđược gọi là một biến ngẫu nhiên ( hoặc một đại lượng ngẫu nhiên ) Nóicách khác X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên Ω sao cho vớimỗi x ∈ R thì {x ∈ Ω : X (ω) < x} ∈ F

Ví dụ 1.1 Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất Gọi X là “số lần xuấthiện mặt sấp” Khi đó X là một biến ngẫu nhiên

Thật vậy, ta xây dựng không gian xác suất (Ω, F , P ) ứng với phépthử này Ta có

F = σ (Ω) = {∅, {ω1} , {ω2} , , {ω1, ω2} , {ω1, ω3} , , Ω}

Như ta đã biết σ - đại số các biến cố này bao gồm: C40+C41+C42+C43+C44 =(1 + 1)4 = 24 = 16 phần tử Vì tính chất cân đối và đồng chất của haiđồng xu nên ta có thể đặt các xác suất như sau:

Ánh xạ Ω → Rn lập bởi các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn được gọi làmột biến ngẫu nhiên n-chiều hoặc một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều

1.1.2 Quy luật phân phối xác suất

1.1.2.1 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên mộtchiều

Định nghĩa 1.4 (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X được kí hiệu và định nghĩa như sau:

FX (x) = P {ω : X (ω) < x} , x ∈ R

Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lênlớp các khoảng (−∞, x) của đường thẳng thực R Để cho gọn ta sẽ kíhiệu F (x) = P (X < x) , x ∈ R

Ví dụ 1.2 Gọi X là “số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xucân đối và đồng chất” Hãy xây dựng hàm phân phối xác suất của X

Bài giảiTheo Ví dụ 1.1 ta đã thấy X là 1 biến ngẫu nhiên vì

thức của F (x) như sau:

Định nghĩa 1.5 (Biến ngẫu nhiên rời rạc) Biến ngẫu nhiên X được gọi

là rời rạc nếu miền giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếmđược

Định nghĩa 1.6 (Hàm khối lượng xác suất) Nếu Im (X) = {xi, i ∈ I}với I = (1, 2, , n) hoặc I = N thì tập hợp các xác suất P (X = xi) với

i ∈ I lập thành một quy luật phân phối xác suất của X

Ta thấy hai điều kiện cơ bản nêu trên được thỏa mãn.

Định nghĩa 1.8 (Biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối) Biến ngẫu nhiên

X được goi là liên tục tuyệt đối nếu tồn tại một hàm thực không âm

f (u) sao cho hàm phân phối xác suất của X có thể biểu diễn dưới dạng:

Định nghĩa 1.9 (Hàm mật độ) Hàm f (u) được gọi là hàm mật độ xácsuất của biến ngẫu nhiên X vì

f (x) = F0(x) = dF (x)

dxhầu khắp nơi

F Một số quy luật phân phối xác suất

Định nghĩa 1.10 (Phân phối Bernoulli) Hàm khối lượng xác suất

P (X = x) = px(1 − p)1−x (x = 0, 1) xác lập nên một quy luật phânphối xác suất gọi là quy luật Bernoulli (hoặc phân phối “0-1”) với tham

số là p (0 ≤ p ≤ 1) Luật phân phối này được kí hiệu là quy luật A (p)hoặc B (1; p)

Định nghĩa 1.11 (Phân phối nhị thức) Hàm khối lượng xác suất

P (X = x) = Cnxpxqn−x x = 0, n
xác lập nên một quy luật phân phốixác suất gọi là quy luật nhị thức với hai tham số là n và p và được kíhiệu là B (n; p)

Định nghĩa 1.12 (Phân phối Poisson) Hàm khối lượng xác suất P (X = x) =

e−λλx

x! với (x = 0, 1, 2, và λ > 0) xác lập nên một quy luật phân phốixác suất gọi là phân phối Poisson với tham số λ

Quy luật này được kí hiệu là G (λ) hoặc P (λ)

Định nghĩa 1.13 (Phân phối chuẩn) Biến ngẫu nhiên liên tục X đượcgọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn với hai tham số là µ và σ2

nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng sau:

f (x) = 1

σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2 , (−∞ < x < ∞) Quy luật này được kí hiệu là N µ; σ2

Dễ thấy hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

có dạng:

FX (x) = 1

σ√2π

, (−∞ < x < ∞)

Quy luật này được kí hiệu là T (n), với n là số bậc tự do của phân phối

Định nghĩa 1.16 (Phân phối Fisher) Biến ngẫu nhiên liên tục X đượcgọi là tuân theo quy luật Fisher với bậc tự do thứ nhất là m và bậc tự

do thứ hai là n nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng

f (x, m, n) = Γ

m+n 2

m2

xm2 −11 + m

nx

− m+n 2

, (x > 0)

Quy luật này được kí hiệu là F (m; n) với m, n là các bậc tự do của phânphối

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Fisher

F (x, y) = P [(X < x) (Y < y)] , (−∞ < x, y < ∞)

Định nghĩa 1.18 (Hàm phân phối biên) Nếu F (x, y) là hàm phân phốixác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên 2-chiều V = (X, Y ) thì các hàm

F (x, +∞) = P (X < x) = F1(x) ; F (+∞, y) = P (Y < y) = F2(y)

Là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng

X và Y Các hàm này gọi là các hàm phân phối biên của V

Định nghĩa 1.19 (Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc) Nếu X và Y đều

là các biến ngẫu nhiên 1-chiều rời rạc thì hệ V = (X, Y ) gọi là biến ngẫunhiên 2-chiều rời rạc

Định nghĩa 1.20 (Xác suất đồng thời) Nếu {xi} i = 1, n
và {yj} j = 1, m

là các giá trị có thể có tương ứng của X và Y thì ta kí hiệu

P [(X = xi) (Y = yj)] = P (xi, yj) = Pij

Các xác suất Pij này i = 1, n; j = 1, m
gọi là các xác suất đồng thời của

hệ V = (X, Y ) Vì các biến cố [(X = xi) (Y = yj)] , i = 1, n; j = 1, m
lập thành một nhóm đầy đủ (n × m) biến cố nên

Ngoài ra ta có thể phân tích biến cố

xi Pi1 Pij Pim P (xi)

Định nghĩa 1.22 (Các phân phối biên) Các hàm phân phối biên của

X và của Y được xác định như sau

Định nghĩa 1.26 (Các phân phối biên)

a Hàm phân phối biên của X

Định nghĩa 1.28 Giả sử U1 và U2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập vàđều tuân theo quy luật N (0; 1) khi đó hàm mật độ đồng thời của chúnglà

và ρ nếu hàm mật độ đồng thời của nó có dạng như ở (1.3)

1.1.2.3 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiềuchiều

Định nghĩa 1.30 (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suấtđồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều được định nghĩa như sau

F (x1, x2, , xn) = P [(X1 < x1) (X2 < x2) (Xn < xn)]

với (−∞ < Xi < +∞) i = 1, n

Định nghĩa 1.31 (Các hàm phân phối biên)

a Hàm phân phối biên của một biến

Hàm phân phối xác suất của biến Xi là

Fi(xi) = P [(X1 < +∞) (X2 < +∞) (Xi < +∞) (Xn < +∞)]

= lim

x j →+∞F (x1, x2, , xn) với j 6= i

b Hàm phân phối biên của một số biến

Hàm phân phối biên của các biến Xi, Xj và Xk là

Fijk(xi, xj, xk) = lim

x r →+∞F (x1, x2, , xn) , (r 6= i, j, k) 1.1.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.3.1 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên một chiều

Nhận xét 1.1 Tích phân (1.4) là tích phân Stieljes

- Nếu F (x) là hàm bậc thang thì tích phân này trở thành

E (X) = X

i∈I

trong đó I là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được các chỉ số Đây chính

là công thức định nghĩa cho kì vọng toán của một biến ngẫu nhiên rời

Tính chất 1.4 Nếu biến ngẫu nhiên X có mô-men bậc k thì nó cũng

có mô-men bậc k0 với 0 ≤ k0 ≤ k

c Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.35 Phương sai của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là

V (X) (hoặc var (X) - viết tắt từ tiếng Anh variance) và được định nghĩanhư sau

để đo: độ lệch phân tán, độ rủi ro, độ biến động, , độ ổn định, độ đồngđều, độ chính xác,

1.1.3.2 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều

Tính chất 1.5 Với X và Y là các biến ngẫu nhiên, ta có

E (X ± Y ) = E (X) ± E (Y )

b Các mô-men

b1 Các mô-men gốc

Định nghĩa 1.37 Mô-men gốc bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều

V (X, Y ) được kí hiệu và định nghĩa như sau:

V (X, Y ) Điểm M (E (X) , E (Y )) được gọi là tâm phân phối

Tính chất 1.6 Nếu hai biến ngẫu nhiên thành phần X và Y của biếnngẫu nhiên hai chiều V (X, Y ) mà độc lập thì α1,1 = α1,0 × α0,1, tức là

b2 Các mô-men trung tâm

Định nghĩa 1.38 Mô-men trung tâm bậc (k, s) của biến ngẫu nhiênhai chiều V = (X, Y ) được kí hiệu và định nghĩa như sau:

µ(k,s) = En[X − E (X)]k[Y − E (Y )]so

= E [X − E (X)] = 0

µ0,1 = E

n[X − E (X)]0[Y − E (Y )]1

b3 Mô-men tương quan

Định nghĩa 1.39 Mô-men tương quan (còn gọi là hiệp phương sai hoặccovariance) của hai biến ngẫu nhiên X và Y được kí hiệu và định nghĩanhư sau:

E (XY ) = E (X) E (Y ) + cov (X, Y )

iii Với X và Y là hai biến ngẫu nhiên bất kì ta sẽ có

V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2cov (X, Y )

Tính chất 1.7 Ta có cov (X, Y ) = cov (Y, X)

Tính chất 1.8 Nếu a và b là hai số thực thì cov (aX, bY ) = abcov (X, Y )

Tính chất 1.9 Nếu X và Y độc lập thì cov (X, Y ) = 0

1.1.3.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Tương tự như biến ngẫu nhiên 2-chiều, biến ngẫu nhiên n chiều V =(X1, X2, , Xn) được đặc trưng bởi

i n kì vọng toán E (X1), E (X2), , E (Xn)

ii n phương sai V (X1), V (X2), ., V (Xn)

iii n (n − 1) mô-men tương quan:

Kij = E {[Xi − E (Xi)] [Xj − E (Xj)]} , (i 6= j)

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.40 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu

và định nghĩa như sau

−gX (t)| Từ biểu thức định nghĩa gX (t): ∀ε > 0 ta có

|gX (t + h) − gX (t)| =

Vậy gX (t) liên tục đều trên R 

Mệnh đề 1.2 Nếu {X1, X2, , Xn} là họ biến ngẫu nhiênđộc lập thì

1.2.3.1 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phốiBernoulli

1.2.3.2 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhịthức

Đây là (xem Định lí 1.1) hàm đặc trưng của quy luật B (n; p) Vì có

sự tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối nên ta suy ra

Xk với các Xk độc lập và tuân theo B (nk; p)

thì sẽ tuân theo B (n; p) với n =

với n =

r

P

k=1

nk Biểu thức thu được là hàm đặc trưng của quy luật B (n; p)

1.2.3.3 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối son

−λ.eλeit = eλ(eit−1)

Định lý 1.6 Nếu X =

2σ2 dx = 1

σ√2π

+∞

Z

−∞

eitx−(x−µ)22σ2 dx.Đặt z = x − µ, ta được

gX (t) = e

itµ

σ√2π

τ

n2

= (1 − 2it)−n2.Vậy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên phân phối “Khi- bình phương”là: gX (t) = (1 − 2it)−n2

1.3 Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân

phối

Định lý 1.7 Nếu hàm đặc trưng gX (t) khả tích trên R thì hàm phânphối FX (x) liên tục tuyệt đối và hàm mật độ fX (x) được xác định theocông thức: fX (x) = 2π1

Định lý 1.8 Nếu hàm đặc trưng gX (t) của biến ngẫu nhiên liên tục X

là giới hạn của dãy hàm đặc trưng gXn (t) của các biến ngẫu nhiên Xn

thì hàm phân phối FXn (x) = P (Xn < x) tại mọi điểm liên tục x của

FX (x)

Nhận xét 1.6 Qua các định lí trên ta thấy giữa hàm đặc trưng và hàmphân phối có sự tương ứng vì vậy khi xác định quy luật phân phối xácsuất của một biến ngẫu nhiên, thay cho việc xác định hàm phân phối, ta

... data-page="33">

1.3 Mối liên hệ hàm đặc trưng hàm phân

phối

Định lý 1.7 Nếu hàm đặc trưng gX (t) khả tích R hàm phânphối FX (x) liên tục tuyệt đối hàm mật độ fX... ngẫu nhiên có phân phối nhịthức

Đây (xem Định lí 1.1) hàm đặc trưng quy luật B (n; p) Vì có

sự tương ứng 1-1 hàm đặc trưng hàm phân phối nên ta suy

Xk với Xk... 1.8 Nếu hàm đặc trưng gX (t) biến ngẫu nhiên liên tục X

là giới hạn dãy hàm đặc trưng gXn (t) biến ngẫu nhiên Xn

thì hàm phân