Xac suat Thong ke

Cập nhật 19/01/2015 2.5 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 (đề chung cho khoa ngoài) ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Xác suất thống kê Mã mơn học: MAT 1101 Số tín chỉ: 03 Dạng đề thi: Được sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Có hai xạ thủ, người bắn viên đạn vào đích Xác suất bắn trúng hai xạ thủ 0,7; 0,8 Gọi X số viên đạn trúng đích, tìm phân phối xác suất X tìm EX Câu 2: Một thùng chứa nhiều cam với tỷ lệ cam tốt 80% Một người chọn ngẫu nhiên từ thùng cam bỏ vào rổ cam có sẵn cam tốt cam xấu Sau người lại chọn ngẫu nhiên từ rổ a) Tính xác suất để cam lấy từ rổ cam tốt b) Giả sử cam lấy từ rổ cam tốt Tính xác suất để lấy từ thùng cam có cam tốt Câu 3: Tung xúc xắc 100 lần ta thu kết sau: Mặt Số lần xuất 16 15 17 18 25 Với mức ý nghĩa 5% kết luận xúc xắc không cân đối đồng chất hay không? Câu 4: Người ta cho bệnh nhân sử dụng loại thuốc A sau tiến hành đo thời gian (tính mili giây) phản ứng với thuốc bệnh nhân thu kết quả: 91, 87, 99, 77, 88, 91 Sau người ta cho bệnh nhân khác sử dụng loại thuốc B tiến hành đo thời gian (tính mili giây) phản ứng với thuốc bệnh nhân thu kết quả: 101, 110, 103, 93, 99, 85 Giả thiết thời gian phản ứng với loại thuốc xấp xỉ phân bố chuẩn độ lệch tiêu chuẩn chúng a) Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem thời gian phản ứng trung bình với thuốc B lớn so với thuốc A hay không? b) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho thời gian phản ứng trung bình với thuốc A với thuốc B Câu 5: Doanh thu năm (tỷ đồng) công ty tính từ năm thành lập cho bảng sau: Năm thứ (X) Doanh thu (Y) 12 19 29 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 232 37 45 Cập nhật 19/01/2015 a) Lập phương trình hồi quy tuyến tính y = ax + b b) Sử dụng đường hồi quy để dự báo doanh thu công ty năm thứ Lời giải: Câu 1: Đề cho X số viên đạn trúng đích khơng rõ X số viên đạn trúng đích xạ thủ hay X tổng số viên bắn trúng hai xạ thủ Lời giải coi X tổng số viên trúng đích xạ thủ Mỗi xạ thủ bắn viên nên X nhận giá trị là: X() = {0, 1, 2} Tính xác suất tương ứng:  P(X  0)  0,3.0,2  0,06 (cả hai xạ thủ bắn trượt)  P(X  1)  0,7.0,2  0,3.0,8  0,38  P(X  2)  0,7.0,8  0,56 (1 xạ thủ bắn trúng, xạ thủ bắn trượt) (cả hai xạ thủ bắn trúng)  Bảng phân bố xác suất X là: X P 0,06 0,38 0,56  Số viên trúng đích trung bình: EX   x i pi  0.0,06  1.0,38  2.0,56  1,5 (viên đạn) i 1 Câu 2: Dạng tốn sử dụng cơng thức xác suất đầy đủ (tồn phần) cơng thức Bayes cách hỏi dễ gây hiểu nhầm không hiểu đề Có thể hình dung thành hai hành động: lấy ngẫu nhiên từ thùng cam lấy ngẫu nhiên từ rổ cam, xác suất lấy cam tốt từ rổ cam phụ thuộc vào việc lấy cam từ thùng cam trước a) Tính xác suất để cam lấy từ rổ cam tốt: Gọi: X số cam tốt lấy từ thùng cam (lần lấy đầu tiên) H biến cố lấy cam tốt từ rổ cam (lần lấy thứ hai) Có thể hình dung sơ đồ sau: Lấy cam từ thùng 0,04 0,32 0,64 cam xấu cam tốt, cam xấu cam tốt 1/2 2/3 5/6 Lấy cam tốt từ rổ Lấy cam tốt từ rổ Lấy cam tốt từ rổ Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 233 Cập nhật 19/01/2015 Tính xác suất: P(X  0)  C02.0,80.0,22  0,04 P(X  1)  C12.0,81.0,21  0,32 P(X  2)  C22.0,82.0,20  0,64 + Nếu không lấy cam tốt từ lần lấy xác suất lấy cam tốt lần thứ hai là: P(H | X  0)   + Nếu lấy cam tốt từ lần lấy xác suất lấy cam tốt lần thứ hai là: P(H | X  1)   + Nếu lấy hai cam tốt từ lần lấy xác suất lấy cam tốt lần thứ hai là: P(H | X  2)   Xác suất lấy cam tốt từ rổ cam là: áp dụng CTXS đầy đủ P(H)  P(H | X  0) P(X  0)  P(H | X  1) P(X  1)  P(H | X  2) P(X  2) 23  0,04  0,32  0,64  30 b) Cam lấy từ rổ cam tốt Tính xác suất để hai lấy từ thùng cam có cam tốt Bài tốn cho biết trước kết xảy có nguyên nhân dẫn đến kết này: lần đầu không lấy cam tốt, lấy cam tốt, lấy cam tốt Yêu cầu tính xác suất để lần đầu lấy cam tốt cam tốt Áp dụng công thức Bayes ta được: P(X  | H)  P(H | X  1) P(X  1)  P(H | X  2) P(X  2) P(H) 0,32  0,64  56 : 23  112  0,9739  23 75 30 115 30 Câu 3: Con xúc xắc cân đối đồng chất xác suất xuất mặt Bài tốn dạng “Tiêu chuẩn phù hợp bình phương” Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 234 Cập nhật 19/01/2015 Bài toán: H: xúc xắc cân đối đồng chất K: xúc xắc không cân đối đồng chất mức ý nghĩa:  = 0,05 Miền tiêu chuẩn toán:   S  χ  χ 2k 1 (α) (với k số khoảng chia, k = 6) mi2  16 152 17 182 252     100 n       Ta có: χ   n i 1 p i 100  1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6   108  100  2 Tra bảng ta được: χ k 1 (α)  χ (0,05)  11,1 Do đó, miền tiêu chuẩn khơng xảy ra, ta chấp nhận H bác bỏ K Vậy với mức ý nghĩa 5% ta tạm thời cho xúc xắc cân đối đồng chất có thêm thơng tin Câu 4: a) Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem thời gian phản ứng trung bình với thuốc B lớn so với thuốc A hay khơng: Dạng tốn so sánh hai giá trị trung bình, trường hợp thứ hai: biết phân bố chuẩn chưa biết phương sai Gọi X thời gian phản ứng với thuốc A, Y thời gian phản ứng với thuốc B Bài toán: H : EX  EY  K : EX  EY α  0,05 Miền tiêu chuẩn (miền bác bỏ) toán:  t  t n A n B 2 (α)  Ta có: nA  nB  X 91  87  99  77  88  91  88,8333 Y 101  110  103  93  99  85  98,5 91  88,8333  87  88,8333  99  88,8333   s     42,8056  77  88,83332  88  88,83332  91  88,83332  2 X Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 235 Cập nhật 19/01/2015 2 101  98,5  110  98,5  103  98,5   s     61,9167  93  98,52  99  98,52  85  98,52  Y Suy ra: t  XY n As 2X  n Bs 2Y (n A  n B  2).nA n B nA  nB 88,8333  98,5 42,8056  61,9167 (6   2).6.6  2,112 66 Tra bảng ta được:  t n A  n B  (α)   t10 (0,05)  1,812 Miền tiêu chuẩn xảy ra, ta bác bỏ H chấp nhận K Vậy với mức ý nghĩa 5%, ta kết luận phản ứng trung bình người bệnh với thuốc B lớn với thuốc A, có thêm thơng tin b) Ước lượng khoảng cho thời gian phản ứng thuốc trung bình với thuốc A thuốc B: Dạng toán ước lượng khoảng cho giá trị trung bình, trường hợp thứ hai: biết phân bố chuẩn chưa biết phương sai * Đối với thuốc A: sˆ X  7,1671 Ước lượng khoảng cho EX với độ tin cậy 95% là:   α  sˆ EX   X  t n A 1   X    nA   α  sˆ ; X  t n A 1   X   nA     7,1671 7,1671   EX   88,8333  t 0,025 ; 88,8333  t 0,025  6   7,1671 7,1671   EX   88,8333  2,571 ; 88,8333  2,571  6   EX  81,31 ; 96,36 Vậy, với độ tin cậy 95% thời gian phản ứng thuốc trung bình với thuốc A nằm khoảng (81,31 ; 96,36) mili giây * Đối với thuốc B: sˆ Y  8,6197 Ước lượng khoảng cho EX với độ tin cậy 95% là:   α  sˆ EY   Y  t n B 1   Y    nB   α  sˆ ; Y  t n B 1   Y   nB     Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 236 Cập nhật 19/01/2015 8,6197 8,6197   EY   98,5  t 0,025 ; 98,5  t 0,025  6   8,6197 8,6197   EY   98,5  2,571 ; 98,5  2,571  6   EY  89,45 ; 107,55 Vậy, với độ tin cậy 95% thời gian phản ứng thuốc trung bình với thuốc B nằm khoảng (89,45 ; 107,55) mili giây Câu 5: Gọi: X thứ tự năm Y doanh thu tương ứng a) Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm y = ax + b: Hệ số tương quan mẫu: r  XY  X.Y s X sY Ta có:  XY  1 510 mi x i yi  1.12  2.19  3.29  4.37  5.45   102  n 5 X 1    3 Y 12  19  29  37  45  28,4    s 2X  12  2  32   52  32     s 2Y  122  19  292  37  452  28,4  141,44  Hệ số tương quan mẫu là: r XY  X.Y 102  28,4   0,9989 (mối tương quan tuyến tính chặt) s X sY 141,44  Phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm có dạng: y  Y  r     sY s x  X  y  r Y x  X  Y sX sX  y  0,9989 141,44 x  3  28,4 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 237 Cập nhật 19/01/2015  y  8,4x  3,1992 b) Sử dụng phương trình đường hồi quy để dự báo doanh thu năm thứ 8: Phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X dùng để dự báo Y theo X chưa biết Đến năm thứ (x = 8) doanh thu dự báo là: y  8,4  3,1992  70,4 Vậy, doanh thu năm thứ công ty là: 70,4 (đơn vị tiền tệ) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 238