Bài tập: Nhị thức Niu-tơn

Nguyễn Trung Bình_VTS NHỊ THỨC NIU TƠN 1.Các kiến thức cần nhớ: Với hai số thực a,b và n N∈ ta có công thức: ( ) 0 1 1 2 2 2 . . n n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b − − − + = + + + + + + Các số k n c là các hệ số của nhò thức -Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng, 1 n k n k k k n T C a b − − + = -Các hệ số của nhò thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau: n k k n n C C − = - 0 1 2 . . 2 k n n n n n n n C C C C C + + + + + + = -Tổng các hệ số hệ số của nhò tức nằm ở các vò trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhò thức ở các vò trí lẻ va øbằng 1 2 n− 0 2 4 1 3 5 . . n n n n n n C C C C C C + + + = + + + = 1 2 n− * ( ) 1 n x + = 0 1 2 2 . . k k n n n n n n n C C x C x C x C x + + + + + + * ( ) 1 n x − = ( ) ( ) 0 1 2 2 . 1 . 1 k n k k n n n n n n n C C x C x C x C x− + − + − + + − Bài tập: 1.Cho 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + = Trong khai triển nhò thức 28 3 15 n x x x −   +  ÷   hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x. 2.Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhò thức Niutơn của 7 4 1 n x x   +  ÷   , biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 + + + + + + = − n n n n C C C 3.Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức ( ) 2 1 3 n A x x= − − thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 1 2 . 3 n n C C C C A + + + + + = Quy tắc tổng quát :Tổng các hệ số trong biểu diễn chính tắc của đa thức f(x) chính là f(1) Cho ( ) 100 1 2 100 0 1 2 100 2 .x a a x a x a x− = + + + + a)Tính 97 a b) 0 1 2 100 .S a a a a= + + + + c)M= 1 2 100 1. 2. . 100.a a a+ + + 4.Đặt ( ) ( ) 12 2 12 0 1 2 12 1 2 .f x x a a x a x a x= + = + + + + Hãy tìm 1 2 12 max( , , .,a a a ) 2 Nguyễn Trung Bình_VTS 5.Giả sử 10 2 10 0 1 2 10 1 2 . 3 3 x a a x a x a x   + = + + + +  ÷   Hãy tìm 1 2 10 max( , , .,a a a ) 6.Chứng minh rằng : 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 , 0 k 2000 k k C C C C + + ≤ + ∀ ≤ ≤ 7.Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 . , 0, n n n n k n k n C C C k n − + ≤ ∀ = 8.Chứng minh rằng : 1 0 1 1 1 2 1 . 2 1 1 n n n C C n n + − + + + = + + 9.Chứng minh rằng: 1 2 1 2 . 2 n n n n n C C nC n − + + + = 10.Chứng minh rằng: ( ) 1 2 2 . 1 0 n n n n n C C nC− + + − = 11.k và n là hai số tự nhiên sao cho 4 k n≤ ≤ chứng minh rằng : 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = 12.Chưng minh đẳng thức : ( ) ( ) 2 3 4 2 2.1. 3.2 4.3 1 1 2 n n n n n n C C C n n C n n − + + + + − = − 13. 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 . 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + + + = + 14.Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhò Niu tơn của (2+x) n biết: ( ) 0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 . 1 2048 n n n n n n n n n n n C C C C C − − − − + − + + − = 15. Chứng minh rằng : 0 1 2 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2 3 . 2001 1001.2C C C C+ + + + = 16.Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 1 1 1 1 . 2 4 6 2 1 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + = + + 17.Chứng minh rằng: 1 1 1 . k k k k k k k m k m C C C C + + + − + + + + = .Từ đó suy ra đẳng thức sau: 0 1 2 1 1 1 2 1 . m m k k k k m k m C C C C C − − + + + − + + + + + = 18.Xác đònh số lớn nhất trong các số: 0 1 2 , , , ., , ., k n n n n n n C C C C C 19. ( ) 0 2 1 3 2 2n 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n C 3 C 3 C . 3 C 2 2 1 − + + + + = + 20. n 1 1 n 2 2 n 3 3 n 4 n n 1 n n n n 2 C 2 C 3.2 C 4.2 . nC n.3 − − − − − + + + + + = 21. ( ) ( ) n 1 n 1 0 n 2 1 n 1 1 2 n 1 n n n n n n n n.4 C n 1 4 C . 1 C C 4C .n.2 C − − − − − − − + − = + + 22. ( ) 0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 3 3 . 3 2 2 1+ + + + = −C C C C 2 . Nguyễn Trung Bình_VTS NHỊ THỨC NIU TƠN 1.Các kiến thức cần nhớ: Với hai số thực a,b và n N∈ ta có công thức: ( ) 0 1 1 2 2 2 . . n n n. n n n n C C x C x C x C x− + − + − + + − Bài tập: 1.Cho 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + = Trong khai triển nhò thức 28 3 15 n x x x −   +  ÷   hãy