Bài giảng Tiết 28: NHỊ THỨC NIU TƠN

TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG GIÁO ÁN DỰ THI TIẾT CHƯƠNG TRÌNH: 28 ĐẠI SỐ 11 – CƠ BẢN BÀI GIẢNG: NHỊ THỨC NIU-TƠN TIẾT 28: NHỊ THỨC NIU TƠN BÀI 3: I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN: Khai triển biểu thức sau: ( a + b) ( a + b) = a + 2ab + b 2 = a + 3a b + 3ab + b 3 Áp dụng công thức số tổ hợp chập k n phần tử ta viết hai biểu thức dạng ( a + b ) = C a + C ab + C b 3 2 3 ( a + b ) = C3 a + C3 a b + C3 ab + C3 b 2 2 2 Áp dụng cách khai triển trên, ta thực hoạt động sách giáo khoa HOẠT ĐỘNG 1: Khai triển biểu thức ( a +b ) ( a +b) 4 thành tổng đơn thức = C a + C a b + C a b + C ab + C b = a + 4a b +6a b + 4ab +b 4 4 2 2 3 4 Từ việc khai triển biểu thức trên, ta thừa nhận công n thức khai triển biểu thức ( a + b ) thành tổng đơn thức TỔNG QUÁT: ( a + b) n = Cn0 a n + Cn a n −1b + + Cnk a n − k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1) Công thức (1) gọi cơng thức nhị thức Niu - Tơn Ngồi ta dùng dấu ( a + b) Khi ta có ( a + b) n ∑ để viết công thức (1) dạng: n = ∑C a k =0 n k n a = b = 1,ta có: b k n = ( b + a) = ∑ C b a n k =0 Từ công thức (1) ta có hệ sau: HỆ QUẢ n−k k n− k n k ( a + b) = (1 + 1) = = C + C + + C n n ( a + b) n n n = (1 − 1) = = k n k n = Cn − Cn + + ( − 1) Cn + + ( − 1) Cn a = 1, b = -1, ta có: n n n n n ( a + b) n Trong biểu thức vế phải công thức (1:) = Cn0 a n + Cn a n−1b + + Cnk a n− k b k + + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n - Số số hạng bao nhiêu? n+1 - Các hạng tử có số mũ a giảm hay tăng? Giảm từ đến mấy? từ n đến - Số mũ b tăng hay giảm? Tăng từ đến mấy? từ đến n - Tổng số mũ a b hạng tử bao nhiêu? n - Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối có tính chất gì? Vậy, từ cơng thức (1) ta có ý sau đây: - Số số hạng n + - Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n - Tổng số mũ a b hạng tử n - Quy ước a = b = 1, 0 Với a ≠ 0, b ≠ - Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối Áp dụng cơng thức (1), ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ: khai triển biểu thức sau: a ( x + y) ( x + y) b ( x − 2) = C50 x + C5 x y + C52 x y + C53 x y + C54 xy + C55 y = x + x y + 10 x y + 10 x y + xy + y [ x + ( − 2) ] = C60 x + C61 x ( − 2) + C62 x ( − 2) + C63 x ( − 2) b ( x − ) = + C x ( − 2) + C x( − 2) + C ( − 2) 6 6 = x − 12 x + 60 x − 160 x + 240 x − 192 x + 64 II TAM GIÁC PA - XCAN Từ công thức (1): ( a + b) n = Cn0 a n + Cn a n −1b + + Cnk a n − k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1) Khi cho n = 0, 1, 2, 3,…và xếp hệ số thành dòng, ta có: n = ⇒ ( a + b) = 1 n = ⇒ ( a + b) = + n = ⇒ ( a + b) = n = ⇒ ( a + b) = n = ⇒ ( a + b) = 1+2+1 1+3+3+1 1+4+6+4+1 n = ⇒ ( a + b ) = + + 10 + 10 + + n = ⇒ ( a + b) = n = ⇒ ( a + b) = + + 15 + 20 + 15 + + 1 + + 21 + 35 + 35 + 21 + + Vậy, theo công thức (1), cho n = 1, 2, 3,4,…và Xếp hệ số thành dòng ta nhận tam giác gọi tam giác Pa - Can 1 1 1 1 10 15 21 10 20 35 1 15 35 21 k −1 k NHẬN XÉT: Từ công thức Cn =k −1 +Cn −suy cách tính n dịng dựa vào số dịng trước Chẳng hạn: C52 = C4 + C42 = + = 10 2 C7 = C6 + C6 = ? + 15 = 21 Từ nhận xét trên, thực hoạt động sách giáo khoa Hoạt động 2: Dùng tam giác Pa-Can, chứng tỏ rằng: a + + + = C5 Giải: 1 a Ta có: C2 + C2 = C3 Vậy b + + + + + + = C82 2 C3 + C3 = C 3 C + C = C5 3 C2 + C2 + C32 + C4 = C3 + C32 + C4 1+ + + = 3 = C + C = C5 = C5 b.Tương tự câu a, ta có: + + + + + + = C2 + C2 + C32 + C4 + C54 + C65 + C76 = C3 + C3 + C + C5 + C + C = C + C + C5 + C + C = C5 + C5 + C + C 6 = C6 + C6 + C7 = C7 + C7 = C86 = C82 CỦNG CỐ: Từ công thức (1), ta củng mở rộng với ( a − b) n n −1 n =C a +C a n n Dùng dấu ( a − b) n ∑ ( − b ) + + C k n− k n a ( − b) k ( a − b) + + C a( − b ) n −1 n n n −1 + C ( − b) n n viết lại công thức sau: n = [ a + ( − b) ] = ∑ a n n−k ( − b) n = ∑ ( − 1) a n −k b k k k k k Áp dụng công thức trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Tính hệ số hạng tử ( x − 2) 7 x3 khai triển biểu thức: 7 Giải: Ta có: ( x − ) = ∑ C74 x − ( − ) = ∑ C4 x ( − ) = 560 x Vậy, hệ số 560 x 4 khai triển biểu thức ( x − 2) n Qua học hôm nay, em cần phải nắm được: Công thức nhị thức Niu-Tơn ( a + b) ( a − b) n n n −1 n k n− k k n n −1 n n −1 = C a + C a b + + C a b + + C ab + C b n n ( a + b) n n = ∑ Cnk a n − k b k k=0 n n n ( − b ) + + C a ( − b ) + + C a( − b ) + C ( − b ) n n n n k k n− k k n− k ( a − b ) = [ a + ( − b ) ] = ∑ a ( − b ) = ∑ ( − 1) a b n −1 n k n− k n =C a +C a n n k k Tam giác Pa-Xcan Bài tập nhà: 1, 2, 3, 4, 5, trang 57 - 58 n −1 n k n −1 n n n ...TIẾT 28: NHỊ THỨC NIU TƠN BÀI 3: I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN: Khai triển biểu thức sau: ( a + b) ( a + b) = a + 2ab + b 2 = a + 3a b + 3ab + b 3 Áp dụng công thức số tổ hợp chập... k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1) Công thức (1) gọi công thức nhị thức Niu - Tơn Ngồi ta dùng dấu ( a + b) Khi ta có ( a + b) n ∑ để viết công thức (1) dạng: n = ∑C a k =0 n k n a = b = 1,ta... đơn thức = C a + C a b + C a b + C ab + C b = a + 4a b +6a b + 4ab +b 4 4 2 2 3 4 Từ việc khai triển biểu thức trên, ta thừa nhận công n thức khai triển biểu thức ( a + b ) thành tổng đơn thức