Điều kiện tối ưu toàn cục cho lớp hàm c2 trên ràng buộc hộp

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Lờ Th Tho IU KIN TI U TON CC CHO LP HM C TRấN RNG BUC HP KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON Lờ Th Tho IU KIN TI U TON CC CHO LP HM C TRấN RNG BUC HP Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS Nguyn Quang Huy H Ni Nm 2016 LI CM N hon thnh khúa lun tt nghip ny, em xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy giỏo v cụ giỏo t Gii tớch, cỏc thy giỏo v cụ giỏo khoa Toỏn hc Trng i hc S phm H Ni v cỏc bn sinh viờn, ó tn tỡnh giỳp , ch bo sut thi gian em theo hc ti khoa v thi gian lm khúa lun c bit em xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Nguyn Quang Huy, ngi trc tip hng dn em, luụn tn tỡnh ch bo v nh hng cho em sut quỏ trỡnh lm khúa lun em cú c kt qu nh ngy hụm Mc dự ó cú rt nhiu c gng, song thi gian v nng lc bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khúa lun chc chn khụng th trỏnh nhng thiu sút, em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo, cỏc bn sinh viờn v bn c khúa lun ca em c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng 05 nm 2016 Sinh viờn Lờ Th Tho LI CAM OAN Khúa lun ny l kt qu nghiờn cu ca bn thõn em di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Nguyn Quang Huy Em xin khng nh kt qu ca khúa lun ny l trung thc ti "iu kin ti u ton cc cho lp hm C trờn rng buc hp" l kt qu ca vic nghiờn cu, hc v n lc ca bn thõn, khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc H Ni, thỏng 05 nm 2015 Sinh viờn Lờ Th Tho Mc lc Li m u Danh mc kớ hiu iu kin cn v ti u ton cc 1.1 iu kin cn ti u ton cc 1.2 iu kin ti u ton cc 13 iu kin cn v cho bi toỏn quy hoch ton phng 24 2.1 iu kin cn ti u ton phng 24 2.2 iu kin ti u ton phng 30 Ti liu tham kho 38 i Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho Li m u Lớ chn ti Xỏc nh nghim ti u ton cc ca bi toỏn ti u l mt hng nghiờn cu quan trng vic nghiờn cu cỏc bi toỏn ti u iu kin cn v ti u ton cc l nn tng giỳp nghiờn cu cỏc c trng, tớnh cht nghim v thut toỏn tỡm nghim ti u ton cc Nu iu kin cn ti u cho chỳng ta khoanh vựng cỏc im cú th l nghim ti u ton cc thỡ iu kin giỳp xỏc nh mt im tha tớnh cht no ú l nghim ti u ton cc Do ú, nu mt im tha cỏc iu kin cn ti u ton cc v nu cú cỏc iu kin ti u ton cc, ú ta cú th kim tra xem im ny cú phi l mt nghim ti u ton cc hay khụng Nu iu kin cn ti u khụng tha ti mt im, ta bit rng im ú khụng l nghim, nờn chỳng ta cú th loi tr im ny V cỏc thut toỏn tỡm nghim ti u ton cc cho cỏc lp bi toỏn cú cu trỳc c thự tha tiờu chun cho trc ó c trỡnh by, chng hn, [2,4,5,6,10,11,12,19,20,31] Nhng iu kin ti u ton cc cho lp bi toỏn quy hoch ton phng ó c s quan tõm ca nhiu nh nghiờn cu, chng hn, [6,10,13,16,17,26,27] c bit, [26], mt c trng y ti u ton cc ó c a cho mt lp rt c bit ca cỏc bi toỏn quy hoch ton phng trờn rng buc cú dng hp Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho m ú hm mc tiờu l tng cú trng ca cỏc bỡnh phng i vi cỏc bin Mt c trng nghim ti u ton cc cho nhng bi toỏn cc tiu ton phng vi rng buc ch cú nht mt hm ton phng l ó bit v cú th tỡm thy [7,26] Cỏc iu kin cn cng nh iu kin ti u ton cc cho lp bi toỏn ti u ton phng tng quỏt trờn rng buc bao gm nhiu hm ton phng ó c trỡnh by [1,28] Tuy nhiờn, c trng cn v nghim ti u ton cc i vi bi toỏn vi hm mc tiờu v rng buc bao gm cỏc hm C m trng hp c bit l lp bi toỏn ti u ton phng tng quỏt trờn rng buc bao gm nhiu hm ton phng cũn l mt bi toỏn m cn c nghiờn cu ti "iu kin ti u ton cc cho lp hm C trờn rng buc hp" nhm nghiờn cu cỏc c trng cn v cc tiu ton cc cho lp hm C trờn rng buc hp Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu cỏc iu kin cn v iu kin ti u ton cc cho lp hm C trờn rng buc hp Nhim v nghiờn cu Trờn c s nghiờn cu tỡm ỏnh giỏ di i vi hm mc tiờu v hm rng buc thuc lp hm C a iu kin cn, iu kin ti u ton cc cho lp hm C trờn rng buc hp v trờn mt Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho lp hm cú cu trỳc c thự l hm ton phng i tng v phm vi nghiờn cu Quy hoch toỏn hc, lý thuyt ti u, ti u ton cc Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu v kt qu ca gii tớch c in, gii tớch phi tuyn, lý thuyt ti u v ti u ton cc H Ni, thỏng 05 nm 2016 Tỏc gi khúa lun Lờ Th Tho Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho Danh mc kớ hiu R ng thng thc Rn Khụng gian Euclide n-chiu Sn Tp hp tt c cỏc ma trn i xng cp n ì n S+n Tp hp tt c cỏc ma trn i xng cp n ì n na xỏc nh dng A Ma trn A na xỏc nh dng I Ma trn n v diag(1 , , , n ) Ma trn ng chộo e Vộct (1, 1, , 1)T f (x) Gradient ca f ti x f (x) Hessian ca f ti x Kt thỳc chng minh Chng iu kin cn v ti u ton cc Trong chng ny, chỳng ta nghiờn cu iu kin cn v cc tiu ton cc cho bi toỏn ti u dng (GP ) f (x) xRn vi rng buc gk (x) 0, k {1, 2, , m} x D := ú D := n i=1 [ui , vi ] , ui , vi n i=1 [ui , vi ] R, f, gk (k {1, , m}) l cỏc hm kh vi liờn tc n cp hai trờn mt m ca Rn cha D 1.1 iu kin cn ti u ton cc Trong mc ny ta luụn gi thit rng ma trn Hessian ca gk cú cỏc phn t khụng õm trờn ng chộo; cú ngha l vi mi i {1, 2, , n} gk v k {1, 2, , m}, (z) 0, z D Ly x l mt im chp nhn x2i Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho Ti x = (1, 1) ta cú u1 (x) = 1, v (x) = +, u2 (x) = 1, v (x) = +, u1 (x) = max {u1 , u1 (x)} = max 3, = 1, u2 (x) = max {1, 1} = 1, v1 (x) = +, v2 (x) = + V u1 = max {u1 (x) , u1 } = max 1, 13 = 1, u2 = max {1, 1} = 1, v = {v1 (x) , v1 } = {+, 1} = 1, v = Suy + 11 a1 (v u1 ) + (Ax + b)1 = + ã = 0, + 1 a2 (v u2 ) + (Ax + b)2 = ã ã (1 (1)) + (1) ã < 2 Vy (2.1) c tha ti x = (1, 1) 1 Ti x = ( , ) ta cú 2 u1 (x) = , v (x) = +, u2 (x) = , v (x) = +, 28 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho u1 (x) = , v1 (x) = +, u2 (x) = , v2 (x) = +, 1 u1 = , u2 = , v = v = 2 Suy + a1 (v u1 ) + (Ax + b)1 = > 0, + a2 (v u2 ) + (Ax + b)2 = < 1 Vy (2.1) khụng tha ti x = ( , ) 2 Sau õy ta xột mt trng hp c bit ca bi toỏn (QP ) khụng cú cỏc bt ng thc dng ton phng rng buc Xột bi toỏn ti u (QP 1) minn xR T x Ax + bT x n vi rng buc x D := [ui , vi ] i=1 ú ui , vi R, ui < vi , i {1, 2, , n}, A = (aij )ni,j=1 S n , b Rn H qu 2.1 Nu x l mt nghim cc tiu ton cc ca bi toỏn (QP 1) thỡ vi mi i {1, 2, , n}, ta cú + a (vi ui ) + i (Ax + b)i i (2.2) Hn na, (2.2) tr thnh iu kin nu f l hm tng bỡnh phng cú trng i vi cỏc bin Chng minh Khng nh (2.2) ta d dng kim tra c bng cỏch ly Ak = 0, bk = 0, ck = 0, k {1, 2, , m} Hn na, nu f l hm tng 29 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho bỡnh phng cú trng i vi cỏc bin, tc l aij = vi i = j, thỡ vi mi x D ta cú (x x)T A (x x) + (Ax + b)T (x x) n = aii (xi xi )2 + (Ax + b)i (xi xi ) i=1 f (x) f (x) = Gi s (2.2) c tha Khi ú, lp lun tng t nh chng minh nh lý 1.1, ta suy rng vi mi i {1, 2, , n} v vi mi xi [ui , v i ], aii (xi xi )2 + (Ax + b)i (xi xi ) (2.3) Do ú, f (x) f (x) 0, x D v x l mt nghim cc tiu ton cc ca (QP 1) 2.2 iu kin ti u ton phng Trong mc ny, chỳng ta trỡnh by cỏc iu kin cho bi toỏn ti u dng ton phng (QP ) ó c thit lp [1] t f (x) = xT Ax + bT x, gk (x) = xT Ak x + bTk x + ck , k {1, 2, , m}, Vi mi x Rn v = (1 , , , m )T Rm + , ta xỏc nh m LQP (x, ) = f (x) + k gk (x) , i=1 30 Khúa lun tt nghip i hc i = Lờ Th Tho nu xi = ui = vi nu xi = ui < vi (LQP (x, )) i nu xi = vi > ui nu xi (ui , vi ) nh lý 2.2 Xột bi toỏn ti u (QP ) v x l mt im chp nhn c ca nú Gi s rng tn ti = (1 , , , m )T Rm + , ma trn ng chộo H = diag(1 , , , n ) cho k ( xT Ak x + bTk x + ck ) = 0, k m {1, 2, , m}, (A + k Ak ) H 0, v vi mi i {1, 2, , n} k=1 + (vi ui ) + i (LQP (x, ))i 0, i (2.4) ú i+ = max {0, i } Khi ú x l mt nghim cc tiu ton cc ca (QP ) Chng minh Vỡ f (x) = xT Ax + bT x, gk (x) = xT Ak x + bTk x + ck , k {1, 2, , m}, nờn LQP (x, ) = A + m k Ak i=1 Khi ú khng nh ca nh lý c suy trc tip t nh lý 1.2 Ly x l mt im chp nhn c ca (QP ) Khi ú vi mi i {1, 2, , n} ta xỏc nh i , qi (x, ) v H(x, ) nh (1.19),(1.22) v (1.23) Do ú ta cú cỏc kt qu sau: 31 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho H qu 2.2 Xột bi toỏn ti u (QP ) v x l mt im chp nhn c ca nú Nu tn ti = (1 , , , m )T Rm + cho i) k ( xT Ak x + bTk x + ck ) = 0, k {1, 2, , m}, ii) vi mi i {1, 2, , n}, i (LQP (x, ))i 0, m iii) Vi mi x D, (A + k Ak ) H(x, ) k=1 thỡ x l mt nghim cc tiu ton cc ca (QP ) Vớ d 2.2 Xột bi toỏn ti u ton phng (E2) min2 x21 xR x + x1 x2 x1 x2 42 x1 x2 vi rng buc x1 x2 Ta ó ch Vớ d 2.1, im x = (1, 1) ó tha iu kin cn (2.1) Sau õy, ta s kim tra iu kin H qu 2.2 ti x t 1 f (x) = x21 x22 + x1 x2 x1 x2 4 g1 (x) = x1 x2 Ta cú 5 f (x) = x1 + x2 1, x2 + x1 4 A = f (x) = 12 32 T Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho Do ú, f (x) = 11 , 4 T g1 (x) = 0, = 1, = Ly = = Ta cú g1 (x) = v (i) c tha Mt khỏc LQP (x, ) = f (x) + g1 (x) v LQP (x, ) = f (x) = 11 , 4 T Suy 11 ui nu xi (ui , vi ) Chỳ ý rng cỏc kt qu c phỏt biu cho bi toỏn (QP 1) di õy thỡ i c xỏc nh bi (2.5) H qu 2.3 Xột bi toỏn ti u ton phng (QP 1) v x D Nu tn ti mt ma trn ng chộo H = diag(1 , , , n ) cho A H v vi mi i {1, 2, , n}, + (vi ui ) + i (Ax + b)i i 34 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho thỡ x l mt nghim cc tiu ton cc ca (QP 1) Chng minh Khng nh suy trc tip t nh lý 1.3 Cho bi toỏn ti u ton phng (QP 1) Kớ hiu cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A bi , , , n t = {1 , , , n } (2.6) H qu 2.4 Xột bi toỏn ti u ton phng (QP 1) v x D Nu vi mi i {1, 2, , n}, + (vi ui ) + i (Ax + b)i (2.7) thỡ x l mt nghim cc tiu ton cc ca (QP 1) Chng minh t H = àI Ta d dng kim tra c rng A H Do ú khng nh c suy t H qu 2.3 Cho bi toỏn ti u ton phng (QP 1) Vi mi i {1, 2, , n} ta xỏc nh n i = aii |aij |, (2.8) i+ = max {0, i } (2.9) j=1,j=i H qu 2.5 Xột bi toỏn ti u ton phng (QP 1) v x D Nu vi mi i {1, 2, , n}, + (vi ui ) + i (Ax + b)i i thỡ x l mt nghim ca bi toỏn (QP 1) 35 (2.10) Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho Chng minh t H = diag(1 , , , n ) Ta cú A H 2.3 suy x l mt nghim ca bi toỏn (QP 1) 36 T H qu Kt lun chung Mt s iu kin cn v ti u ton cc cho cỏc bi toỏn ti u vi hm mc tiờu v hm rng buc l cỏc hm kh vi liờn tc bc C th: - Cỏc iu kin cn cng nh iu kin cho lp hm C trờn rng buc hp v cỏc rng buc bt ng thc cú cỏc hm thuc lp C - p dng cỏc kt qu t c cho mt lp bi toỏn ti u cú cu trỳc c thự vi hm mc tiờu v cỏc hm rng buc l cỏc hm ton phng Mt s cn c tip tc nghiờn cu: - Loi b gi thit v tớnh dng i vi cỏc phn t trờn ng chộo ca ma trn Hessian - Thit lp cỏc iu kin cn v cc tr cho lp bi toỏn trờn khụng cú rng buc hp 37 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Nguyn Quang Huy, Khut Vn Ninh (2008), iu kin ti u ton cc cho bi toỏn cc tiu ton phng vi rng buc bt ng thc ton phng, Tp Khoa hc trng HSP H Ni 2, s 2, 7184 [2] Lờ Dng Mu, Nhp mụn cỏc phng phỏp ti u, NXB Khoa hc v K thut, H Ni, 1998 [3] Hong Xuõn Phỳ, Lý thuyt cỏc bi toỏn cc tr, Vin Toỏn hc, H Ni, 1997 [B] Ti liu ting Anh [4] I G Akrotirianakis and C A Floudas (2004),Computational experience with a new class of convex underestimators: Box constrains NLP Problems, J Global Optim, 29, 249264 [5] M S Bazaraa, H D Sherrali, C M Shetty (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorihms, Wiley-Interscience, New York 38 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho [6] A.Beck and M Teboull (2000), Global optimality conditionfor quadratic optimization problems with binary constrains, SIAM J Optim, 11, 179188 [7] A Ben-Tal and A.Nemirovski (2000), Lectures on Modern Convex Optimization: Analysic, Algorithms and engineering Applications, SIAM-MPS, Philadelphia [8] B D Craven (1995),Control and Optimization, Chapman and Hall, London [9] G Dahl (2000), A note on diagonally matrices, Linear Algebra Appl, 317,217224 [10] P De Angelis, P Pardalos and G Toraldo (1997), Quadratic programming with box constrains Nonconvex Optim, Appl, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 18, 7393 [11] C A Floudas (2000), Deterministic global optimization: Theory, methods and application, Kluwer Academic Publishers [12] C A Floudas and P M Pardalos (2000), Optimization incomputational chemistry and molecular biology: Local and global approaches, Kluwer Academic Publisher [13] C A Floudas and V Visweswaran (1995), Quadatic optimization, Handbook of Global Optimization, Kluwer Academic Publisher, The Netherlands, 217269 39 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho [14] M A Hanson (1991), On sufficiency of Kuhn-Tucker conditions, J Math Anal, Appl, 80, 545550 [15] M A Hanson (1994), A generalization of the Kuhn-Tucker sufficiency conditions, J Math Anal, Appl, 184, 146155 [16] J B Hiriart-Urruty (2001),Global Optimization Conditions in Maximizing a Convex Quadratic Function under Convex Quadratic Constrains, J Global Optim, 21, 445455 [17] J B Hiriart-Urruty (1998), Conditions for Global Optimality 2, J Global Optim, 13, 349367 [18] R Horst, P Pardalos (1994), Handbook of Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [19] R Horst, P Pardalos, N V Thoai (2000), Introduction to Global Optimization, Second edition, Nonconvex Optimization and its Application, 48, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [20] R Horst, H Tuy (1993), Global Optimization, Deterministic approaches, Second edition, Springer-Verlag, Berlin [21] N Q Huy, V Jeyakumar and G M Lee (2006), Sufficient global optimality conditions for multi extremal smooth minimization problems with bounds and linear matric inequality constrains, ANZIAM J, 47(4), 439450 40 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho [22] V Jeyakumar and N Q Huy (2008), Global minimization of difference of quadraticand convex fuctions over box or binary constrains, Optimization Letters, 2, 223238 [23] V Jeyakumar and N Q Huy (2007), Global optimality of quadratic minimization over symetric polytopes, Optimization, 56, 633640 [24] V Jeyakumar and N Q Huy (2010), Global optimality conditions for nonliear programming problems with bounds via quadratic underestimators, Optimization, 59, 161173 [25] V Jeyakumar, B Mond (1992), On generalized convex mathmatical programming, J Aust Math Soc Ser B, 34, 4353 [26] V Jeyakumar, A M Rubinov ang Z Y Wu (2006), Sufficient global optimality conditions for non-convex quadratic minimization problems with box constraints, J Global Optim, 36, 471481 [27] V Jeyakumar, A M Rubinov ang Z Y Wu (2007),Non-convex quadratic minimization with quadratic constrains: Global optimality conditions, Math Prog., Ser.A, 110, 521541 [28] V Jeyakumar, S Srisatkunrajah and N Q Huy (2007), KuhnTucker sufficiency for global minimum of multi-extremal mathmatical progamming problems, J Math Anal Appl., 361370 41 Khúa lun tt nghip i hc Lờ Th Tho [29] V Jeyakumar, S Srisatkunrajah and N Q Huy (2008), Unified global optimality conditions for smooth minimization problems with mixed variables, Rairo - Operations Research, 335, 779788 [30] G M Lee, N N Tam, N D Yen (2005), Quadratic progamming and Affine Variational Inequalities: A qualitative study Nonconvex Optimization and its Application, 78, Springer - Verlag, New York [31] R F Marcia, J C Mitchell and J B Rossen (2005), Iterative convex quadratic approximation for global optimization in protein docking, Comput, Optim Appl, 322, 285297 42 ... hiệu Điều kiện cần đủ tối ưu toàn cục 1.1 Điều kiện cần tối ưu toàn cục 1.2 Điều kiện đủ tối ưu toàn cục 13 Điều kiện cần đủ cho toán quy hoạch toàn phương 24 2.1 Điều. .. trưng nghiệm tối ưu toàn cục cho toán cực tiểu toàn phương với miền ràng buộc có hàm toàn phương biết tìm thấy [7,26] Các điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu toàn cục cho lớp toán tối ưu toàn phương... cần đủ cực tiểu toàn cục cho lớp hàm C ràng buộc hộp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu toàn cục cho lớp hàm C ràng buộc hộp Nhiệm vụ nghiên cứu Trên sở nghiên cứu