BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ TUẦN 8Bài 1.. Dựa vào công thức phong vũ biểu... Xét khối khí lí tưởng chứa trong thể tích V.Vì khí lí tưởng là không ngừng tương tác nên bên trong thể tích V cá
Trang 1BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ TUẦN 8
Bài 1 Ở độ cao nào nhiệt độ 00C, áp suất không khí giảm đi 3 lần?
Bài giải
Giả sử không khí là khí lí tưởng,áp dụng công thức phong vũ biểu ta
có (với t=00C, T=t+273)
mgz
k T
P z = P e−
Vì áp suất không khí giảm đi 3 lần nên
0
0
1
( )
3
(*) 3
29 4,816.10 ( ) 4,816.10 ( )
b
mgz
k T
kk
P z
e P
−
=
Với: 1đvC=6 , 022 1023
1
Lấy logarit 2 vế của phương trình (*)
km
z
z
z T
k
mgz
b
8
.
8
10 25 , 1 273
10 38 , 1
8 , 9 10 816 , 4 3 ln 3
1
23 26
=
⇒
−
=
−
=
−
⇔
−
−
−
Bài 2 Biết phân tử lượng của không khí là M=29 đvc Dựa vào công
thức phong vũ biểu Tính tỷ số của phân tử trong V0= 1cm3 với số hạt toàn phần là n0 ở T=273K, ở độ cao lần lượt là 1km,10 km và 80 km
Bài giải
Ta có
( )
( )
0
0
0
( )
b
mgz
k T
n z
n
−
=
Trang 2Trong đó
23
29
29 4,816.10 ( ) 4,816.10 ( )
6,023.10
kk
Với
2 23
9,8 / 1,38.10 273
b
g m s k
−
=
=
*Trường hợp Z1=1km=103m
23
0
0,8822
n z
e n
−
−
−
*Trường hợp Z2=10km=104m
23
4,816.10 9,8.10
0
0, 2858
n z
e n
−
−
−
*Trường hợp Z3=80km=8.104m
23
4,816.10 9,8.8.10
0
4, 45.10
n z
e n
−
−
−
−
Bài 3 Tính độ cao trung bình của cột không khí ( xem trường lực của trái
đất là đều, cột không khí tương đương KLT trong V0= 1cm3 tại P=1at )
Bài giải
Độ cao của cột không khí chỉ phụ thuộc vào thế năng trọng trường của hệ
mgz
k T
n z = n e−
Với
2
23
9,8 /
1,38.10
273
b
g m s
k
−
=
=
= J/độ
1atm=98066,5 Pa=98066,5N/m2
Trang 3kg g
m
hat nN
n
mol RT
PV n
nRT
PV
A
26 23
23
22 23
0
3
10 816 , 4 10
816 4 10
022
6
29
10 603 , 2 10
023 , 6 04322
0
04322
0 273
31 , 8
10 5 , 98065
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
=
Công thức tính độ cao trung bình của cột không khí là
Tính 0
. b
mgz
k T
I Z e dz
∞ −
= ∫
Đặt:
−
=
⇒
=
=
⇒
=
−
−
T k
mgz B
T k
mgz
b
mg
T k v
dz e
dv
dz du
z u
2
2
0
0 0
) 1 0 ( 0
=
−
−
=
−
+
=
+
−
=
∞
−
∞
−
∫
mg
T
k
I
mg
T
k
I
e mg
T k mg
T k
I
dz e
mg
T k e
mg
T k
z
I
b
b
T k
mgz b
b
T k
mgz b
T k
mgz b
B
b b
Vậy ta có
m mg
T
k
n
2 26
23 22
2
8 , 9 10 816 , 4
273 10 38 , 1 10 603 ,
=
Bài tập thêm: Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng
Trang 4Xét khối khí lí tưởng chứa trong thể tích V.
Vì khí lí tưởng là không ngừng tương tác nên bên trong thể tích V các hạt chuyển động tự do
Nhưng đặt khối khí này trong trường trọng lực U
0 ( , , )
= ∞
đối với X ở trong V
đối với X ở ngoài V
Đối với khí lí tưởng hàm Hamiltonian bằng tổng các năng lượng của các hạt riêng lẻ:
( )
2
1 2
k
N
k k
p
U x m
H
=
+
=∑
Bởi vì các hạt độc lập với nhau, ta có thể viết tích phân trạng thái của N hạt dưới dạng sau
0
0
1 2
2
exp exp
!
!
1
.
!
1
!
2
2
1
k
N k
N
k
x
N
k k
x
dx
dx
P
U x y
H X a
Z
p
m
p dx dy dz
Z
N
θ
θ
θ
+∞
−∞
=
=
+
=
∫
∑
∫
∫
N
N
Với Zk là tích phân trạng thái đối với 1 hạt
Trang 52 1
k
P
Z U dp dp dp dx dy dz
m
θ
+∞
−∞
∫∫∫ ∫ ∫∫
(2)
Do tính chất độc lập của các hình chiếu px,py,pz nên:
(2)=>
( )
2
, ,
y
k
P
(3) Trị số của tích phân Poatxong
2
e ax x
a
+∞
−
−∞
=
∫
Áp dụng
2
1/ 2
p
2
k
p
m
+∞
−∞
∫
Dạng của thế năng
3
1.
(3
( , ,
) )
exp
(
X k
U x
z V
y z
V
θ
π θ
+∞
−∞
−
⇔
=
Do tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là
3 0
1
!
N
π θ
=
Ta có:
log( (1 4 (1 2 ))) log( )
Hay
0
3
2
N
Z = π + m+ θ + N V − N
(6)
N N
Trang 6Nhân 2 vế của (6) với , ta được:
0
3
2 3
2
N
Phương trình trạng thái khí lí tưởng
[ ( ln(23 ) ln ln )]
2
( ln ) 1
p
N V
KT
θ
−∂Ψ
−∂Ψ −∂ −
Phương trình claperon-Mendeleep
NKT
p
V
=
(8) (7) và (8) suy ra θ = KT
Với K=1,38.10^-23 J/độ là hằng số Bô-xơ-man
Áp dụng biểu thức của năng lượng tự do ta có thể tính entropy của khí lí tưởng theo công thức
0
3 2
S kNlnV = + kNlnT S +
Ở đây trong hằng số tùy ý S0 có chứa các số hạng
Bây giờ ta có thể tính nội năng và nhiệt dung Cv của một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử:
) ( − θ
Trang 73 3 3 3
.
3 2
v
V
kNT RT
U
T
ψ
= +
∂
= ÷ =
∂
Như vậy, trong trường hợp khí lí tưởng, xuất phát từ phân bố chính tắc ta
đã tìm được các hàm nhiệt động cơ bản và phương trình trạng thái