Đề tài Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

Cả hai thuật tốn Prim và Kruskal đều dựa trên tư tưởng của các giải thuật tham ăn : Ở mỗi bước của thuật tốn ta chọn và bổ sung vào cây cạnh có trọng số nhỏ nhất có thể.. Các cách biểu d

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN NIÊN LUẬN 1

(Học kỳ II, Niên khóa 2008-2009) GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN :

SINH VIÊN THỰC HIỆN :

(Tối đa 1 điểm)

ĐIỂM

I HÌNH THỨC( Tối đa 0,5 điểm)

Bìa (tối đa 0,25 điểm)

 Các tiêu đề : Trường ĐHCT, Khoa CNTT, Bộ môn

 Các niên luận : 1

 Tên đề tài

 Giáo viên hướng dẫn : chức danh, họ tên

 Thông tin về sinh viên thực hiện : họ tên, mã số, lớp

 Năm thực hiện

Bố cục (tối đa 0,25 điểm)

 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn và giáo viên chấm

 Mục lục : cấu trúc chương, mục và tiểu mục

 Phụ lục (nếu có)

 Tài liệu tham khảo

II NỘI DUNG (Tối đa 3,5 điểm)

Tổng Quan (tối đa 0,5 điểm)

 Mô tả bài tốn, mục tiêu cần đạt được (0,25 điểm)

 Hướng giải quyết và kế hoạch thực hiện (0,25 điểm)

Lý thuyết (tối đa 0,5 điểm)

 Các khái niệm sử dụng trong đề tài

 Kết quả vận dụng lý thuyết trong đề tài

Ứng dụng (tối đa 2,0 điểm)

 Phân tích yêu cầu bài tốn, xây dựng các cấu trúc dữ liệu cần thiết (0,5

điểm)

 Giải thuật (Lưu đồ - Ngôn ngữ giả ) (1,0 điểm)

 Giới thiệu chương trình (0,5 điểm)

Kết luận (tối đa 0,5 điểm)

 Nhận xét kết quả đạt được

 Hạn chế

 Hướng phát triển

III CHƯƠNG TRÌNH DEMO (Tối đa 5,0)

Giao diện thân thiện với người dùng (tối đa 1,0 điểm)

Hướng dẫn sử dụng (0,5 điểm)

Kết quả thực hiện đúng với kết quả cảu phần ứng dụng (3,5 điểm)

Cần Thơ, ngày 4 tháng 4 năm 2010 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

    

-Cần Thơ, ngày… tháng năm

MỤC LỤC

    

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN 2

MỤC LỤC 3

TỔNG QUAN 4

I Các mục tiêu cần đạt được 4

II Hướng giải quyết 4

III Kế họach thực hiện 5

LÝ THUYẾT 6

I Các khái niệm chính 6

II Các cách biểu diễn đồ thị 7

III Duyệt các đỉnh của đồ thị 8

IV Giải thuật Prim 8

Ứng Dụng 10

I Lưu đồ giải thuật Prim 10

II Lưu đồ duyệt cây theo chiều sâu tại đỉnh i 11

III Lưu đồ duyệt cây theo chiều rộng tại đỉnh i 11

IV Giới thiệu chương trình 12

KẾT LUẬN- ĐÁNH GIÁ 16

I Kết quả đạt được 16

II Hạn chế của chương trình 16

III Hướng phát triển .16

PHỤ LỤC 17

Hướng dẫn sử dụng 17

Các tài liệu tham khảo 17

TỔNG QUAN



Tìm cây bao trùm nhỏ nhất (tiếng Anh: minimum spanning tree) là bài tốn tối ưu có

nhiều ứng dụng trong thực tế Nó là bài tốn tìm hệ thống liên thông với chi phí nhỏ nhất Hai thuật tốn tìm cây bao trùm nhỏ nhất thường được nhắc đến là thuật tốn Prim và thuật tốn Krusskal

Cho G=(X,E) là một đồ thị liên thông Ngồi ra, một hàm trọng số W(e), xác định trên tập các cạnh E của G Cả hai thuật tốn Prim và Kruskal đều dựa trên tư tưởng của các giải thuật tham

ăn : Ở mỗi bước của thuật tốn ta chọn và bổ sung vào cây cạnh có trọng số nhỏ nhất có thể Ở đây

ta chỉ đề cập đến thuật tốn Prim

Giải thuật Prim Vài nét về R C Prim Robert Clay Prim (sinh 1921 tại Sweetwater, Texas) là một nhà tốn học và khoa học máy tính Mỹ Năm 1941 ông đã lấy bằng cử nhân ở khoa kỹ thuật điện đại học Princeton Sau này năm 1949, ông nhận bằng Ph.D về tốn học cũng tại đây Giải thuật mang tên Prim được tìm ra từ năm 1930 bởi nhà tốn học Vojtěch Jarník và do Prim hồn thiện vào năm 1957 asd

Mô tả Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng

1 Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và chưa có cạnh nào

2 Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm Kết thúc

3 Nếu G còn có các đỉnh không thuộc T, vì G liên thông nên có các cạnh nối một đỉnh trong T với một đỉnh ngồi T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T

4 Quay lại 2

I Các mục tiêu cần đạt được:

- Dữ liệu được nhập từ bàn phím là một ma trận trọng số

- Thiết kế giải thuật Prim và xuất ra màn hình cây khung có trọng lượng nhỏ nhất

II Hướng giải quyết:

- Viết chương trình nhập vào 1 ma trận trọng số

- Sử dụng giải thuật Prim để tìm được cây khung có trọng lượng nhỏ nhất

- Xuất ra màn hình đồ họa các bước trong trong giải thuật Prim

III Kế hoạch thực hiện

- Phân tích yêu

cầu

- Tìm kiếm tài

liệu

- Giải bài tốn

mẫu trên giấy

- Phân tích giải

bài tốn bằng

ngôn ngử giả

- Cài đặt các cấu trúc

dữ liệu cần thiết và kiểm tra tính đúng đắn của chúng

- Viết chương trình chạy trên chế độ text

- Kiểm tra tính đúng đắn của chương trình

- Cải tiến chương trình chạy trên chế

độ đồ họa

- Kiểm tra vét cạn tất cả các trường hợp

- Cải tiến để chương trình có thể chịu được các sai xót ở khâu nhập liệu

- Viết báo cáo

LÝ THUYẾT

    

I Các khái niệm chính

Một đồ thị G bao gồm một tập hợp V các đỉnh và một tập hợp E các cạnh, ký hiệu G=(V,E)

Các đỉnh còn được gọi là nút (node) hay điểm (point) Các cạnh nối giữa hai đỉnh, hai đỉnh này có thể trùng nhau

Đồ thị được gọi là liên thông nếu với mõi cặp cạnh i,j bất ky luôn tìm được đường đi nối i với j

Hai đỉnh có cạnh nối nhau gọi là hai đỉnh kề (adjacency) Một cạnh nối giữa hai đỉnh v,

w có thể coi như là một cặp điểm (v,w)

Nếu các cạnh trong đồ thị G có thứ tự thì G gọi là đồ thị có hướng (directed graph)

Nếu các cạnh trong đồ thị G không có thứ tự thì đồ thị G là đồ thị vô hướng (undirected graph).

Đường đi trong đồ thị là một dãy các đỉnh:

<x1,x2, … , xi, xj+1, … ,xk-1, xk >

sao cho, mỗi đỉnh trong dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó, nghĩa là:  i = 2, 3, … , k-1, k : (xi-1, xi)  E

Ta nói rằng đường đi này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Số cạnh của đường đi được gọi là độ dài của đường đi đó

Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh trên nó khác nhau từng đôi

Đồ thị vô hướng G=(V,E) được gọi là liên thông nếu với mỗi cặp đỉnh i, j bất kỳ thì luôn tìm được đường đi nối i và j Đường đi nối i và j cũng là đường đi nối j và i

Cây là đồ thị vô hướng, liên thông, không có chu trình

Cây khung: Cho G là một đơn đồ thị Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là một

đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G

Cây khung nhỏ nhất: Nói chung, ta có thể định nghĩa cây khung nhỏ nhất cho một đồ thị

G như sau: Nếu mỗi cạnh eij = (vi, vj) có một trọng số cij, thì cây khung nhỏ nhất là một tập hợp các cạnh ký hiệu là Espan, sao cho:

C = sum( cij |  eij  Espan )

là nhỏ nhất

II Các cách biểu diễn đồ thị :

Có khá nhiều cách biểu diễn đồ thị như biểu diễn bằng ma trận cung, ma trận đỉnh-cạnh, ma trận trọng số, danh sách liên kết, ….Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận trọng số như sau :

Với đồ thị G=(V,E) , người ta thường gán cho mỗi cung hay cạnh (i,j) một giá trị cij gọi là trọng

số của cung hay cạnh đó Ma trận A biểu diễn đồ thị G=(V,E) có dạng : A=[aij] với i,j V

Trong đó : aij=0 nếu cạnh/cung (i,j) không thuộc E, aij=wij nếu cạnh/cung (i,j) thuộc E

Ví dụ :

Xét đồ thị vô hướng có trọng số :

Ma trận trọng số biểu diễn đồ thị là :

Cây

1

2

5

3

8

2

7

5

11

9

1 2 3 4 5

1 0 3 8 0 0

2 3 0 2 5 7

3 8 2 0 9 0

4 0 5 9 0 11

5 0 7 0 11 0 III Duyệt các đỉnh của đồ thị :

Xét đồ thị G=(V,E) Gọi i là một đỉnh nào đó của G Ký hiệu L là cấu trúc dữ liệu kiểu danh sách lưu trữ các đỉnh của G Thuật tốn duyệt các đỉnh của G được trình bày một cách tổng quát như sau :

Nạp đỉnh i vào danh sách L Lấy đỉnh x ra khỏi đầu danh sách Nếu x chưa được duyệt thì duyệt đỉnh x Nạp các đỉnh kề với x chưa được duyệt vào danh sách L Nếu L khác rỗng thì quay lên bước 2

Dừng

Duyệt đồ thị theo chiều sâu DFS (Depth-First Search)

Nếu trong thuật tốn duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu ngăn xếp (vào trước ra sau) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều sâu Trong phương pháp này mỗi lần duyệt một đỉnh ta duyệt đến tận cùng mỗi nhánh rồi mới chuyển sang duyệt nhánh khác

Duyệt đồ thị theo chiều rộng BFS (Breadth-First Search)

Nếu trong thuật tốn duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu hàng đợi (vào trước ra trước) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều rộng Trong phương pháp này việc duyệt có tính chất lan rộng Một đỉnh được duyệt xong ngay sau khi đã xét hết tất cả các đỉnh

kề với nó

Kiểm tra tính liên thông của đồ thị :

Hai giải thuật duyệt theo chiều sâu DFS và duyệt theo chiều rộng BFS thường được sử dụng để kiểm tra tính liên thông của đồ thị

Khi duyệt các đỉnh của đồ thị tập hợp các đỉnh đã được đánh số tạo thành một bộ phận liên thông của đồ thị Nếu tất cả các đỉnh của đồ thị đều được đánh số thì kết luận đồ thị liên thông, ngược lại thì bắt đầu từ một đỉnh chưa được duyệt, áp dụng lại giải thuật trên tập hợp các đỉnh chưa được duyệt để tìm bộ phận liên thông kế tiếp

IV Giải thuật Prim :

Mô tả Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng

1 Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và chưa có cạnh nào

2 Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm Kết thúc

3 Nếu G còn có các đỉnh không thuộc T, vì G liên thông nên có các cạnh nối một đỉnh trong T với một đỉnh ngồi T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T

4 Quay lại 2

Kết quả vận dụng lý thuyết vào đề tài:

Nhập vào đồ thị vô hướng sau:

Kiểm tra tính liên thông của đồ thị : đồ thị liên thong Bước khởi đầu: U={1},T=

Bước kế tiếp ta chọn cạnh (1,3) = 1 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim

Ta có U={1,3},T={(1,3)}

Kế tiếp thì cạnh (3,6) = 4 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim Ta có U={1,3,6},T={(1,3)(3,6)}

Kế tiếp thì cạnh (6,4) = 2 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim Ta có U={1,3,6,4},T={(1,3)(3,6)(6,4)}

Tiếp tục, cạnh (3,2) = 5 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim Ta có U={1,3,6,4,2},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2)}

Cuối cùng là cạnh (2,5)=3 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim Ta có U={1,3,6,4,2,5},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2),(2,5),} Giải thuật dừng và ta có cây bao trùm như hình bên dưới

Ứng Dụng

I Lưu đồ giải thuật Prim:

U=V U={1},T=

End

begin

G=(V,E) là đồ thị liên thông Sai

Sai Đúng

For i  U

For j  G-U min = 

min>(i,j) and (i,j)≠ 0 Sai

min=(i,j) u=i, v=j

U=U+v T=T+(u,v)

Đúng

Đúng

Kết thúc for

Kết thúc for

II.Lưu đồ duyệt cây theo chiều sâu tại đỉnh i

III Lưu đồ duyệt cây theo chiều rộng tại đỉnh i

begin

Duyệt đỉnh i

Đ

S

Đánh dấu đã duyệt tất cả

j là kề của i

Đ

begin

Duyệt đỉnh i

Xét đỉnh lần lượt các j

kề với i và chưa duyệt

Duyệt đỉnh j

end

Đ

S

Xét đỉnh j kề với

i và đã duyệt

Duyệt đỉnh j

end

IV Giới thiệu chương trình

Chương trình gồm các chức năng sau:

1 Nhập đồ thị

2 Vẽ đồ thị

3 Tìm cây bao trùm theo giải thuật Prim

4 Thốt và lưu trạng dữ liệu vào file graph.txt

5 Duyệt đồ thị theo chiều rộng

6 Duyệt đồ thị theo chiều sâu

Nhập đồ thị

Người dùng sẽ nhập số đỉnh của đồ thị và nhập trọng số của các cạnh

Vẽ đồ thị:

Giải thuật Prim

Bắt đầu từ đỉnh 1, chương trình sẽ thực hiện chọn lần lượt các cạnh có trọng số nhỏ nhất khi người dung nhấn bất kỳ phím nào Chương trình sẽ dừng vào thông báo trọng lượng của cây bao trùm tối thiểu khi tất cả các đỉnh đã được chọn

Duyệt theo chiều rộng

Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều rộng

Dyệt theo chiều sâu

Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều sâu

KẾT LUẬN- ĐÁNH GIÁ

I Kết quả đạt được

Nhìn chung chương trình đã đáp ứng được về cơ bản những mục tiêu cần đạt được của đề tài đặt ra Ngồi ra qua quá trình thực hiện chương trình, bản thân cũng rút ra được một số kinh nghiệm trong quá trình xây dựng và thiết kế một chương trình Giúp nâng cao khả năng tư duy, khả năng vận dụng những kiến thức lý thuyết đã được học vào việc giải quyết một bài tốn , một vấn đề thực tế

II Hạn chế của chương trình

Chương trình chạy trong DOS đồ họa không được đẹp và có thể không chạy được trên các

hệ điều hành mới

Không gian biểu diễn đồ thị là 2D nên sẽ rất khó quan sát khi số lượng đỉnh của đồ thị tăng quá 15.( Vì lý do này nên chương trình giới hạn số đỉnh của người dùng nhập là 20, mặc dù chương trình vẫn chạy đúng với n đỉnh )

III Hướng phát triển

Viết chương trình bằng VC++ chạy được trên các hệ điều hành mới, và sử dụng chuẩn đồ họa OpenGL để biểu diễn đồ thị trong không gian 3D, làm cho người dùng quan sát dễ dàng hơn khi số lượng của đồ thị lớn

PHỤ LỤC

Hướng dẫn chạy chương trình:

1 Khởi động tập tin main.exe

2 Nhập dữ liệu cho đồ thị bấm phím số 1

3 Vẽ đồ thị trên màn hình bấm phím số 2

4 Chạy giải thuật Prim bấm phím số 3

5 Thốt và lưu dữ liệu hiện hành vào tệp graph.txt bấm phím số 4

6 Duyệt đồ thị theo chiều sâu bấm phím số 5

7 Duyệt đồ thị theo chiều rộng bấm phím số 6

Các tài liệu tham khảo [1] Bài giảng: TỐN RỜI RẠC 2 (Bộ Môn Hệ Thống Thông Tin – Tốn Ứng Dụng, Khoa Công Nghệ Thông Tin, Trường Đại Học Cần Thơ)

[2] Side bài giảng về đồ thị của Thạc sĩ Nguyễn Văn Linh – Trường Đại Học Cần Thơ [3] Giáo trình Lập Trình Hướng Đối Tượng C++ của Thạc sĩ Trương Văn Trí Công – Trường Đại Học Cần Thơ

[4] Giáo Trình Lập Trình C++ và Lập Trình Hướng Đối Tượng của GS Phạm Văn Ất – Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội

[5]http://vi.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2y_bao_tr%C3%B9m_nh%E1%BB%8F_nh%E1

%BA%A5t