Đề thi học sinh giỏi Toán 9

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH BẢO MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1.(2,0 điểm) a) Cho a + b + c = 0 và abc ≠ 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 b c a c a b a b c + + = + − + − + − b) Biết ax + by + cz = 0 và a + b + c = 1 2008 . Tính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ax by cz P bc y z ac x z ab x y + + = − + − + − Bài 2.(2,0 điểm) a) Chứng minh rằng: phương trình ( ) x y 3 1 3+ = + không có nghiệm số hữu tỉ. b) Cho tập hợp số S ⊂ R thoả mãn 1. Z ⊂ S (với Z là tập hợp số nguyên, R là tập hợp số thực) 2. 2 3+  S 3. x,y S∀ ∈ thì x + y  S và xy  S. Chứng minh 1 S 2 3 ∈ + . Bài 3.(2,5 điểm) cho đường thẳng (m – 2)x + (m -1)y = 1. a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng là lớn nhất. Bài 4.(3,5 điểm) Cho ABC∆ cân (CA = CB) nội tiếp đường tròn có bán kính R = 1. Cạnh bên có độ dài bằng hai lần cạnh đáy. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính r. ------------------------------------------- hết ------------------------------------------- . SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH BẢO MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài