Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 và Đáp án

Trường THCS Tam Phước ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu thức: a. 22 )1a( 1 a 1 1A + ++= với a > 0 b. Tính giá trị của tổng 22222222 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B ++++++++++++= Câu 2: (4điểm) Cho 20052005yy2005xx 22 =       ++       ++ a. Chứng minh       +−−=++ 2005xx2005yy 22 ; (2điểm) b. Tính S = x + y. (2điểm) Câu 3: (3điểm) Giải phương trình x3x23 =−+ . Câu 4: (3,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1b b 1a a A 22 − + − = với a > 1, b > 1. Câu 5: (4,5điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng: Các tam giác KBC và OBE đồng dạng. ĐÁP ÁN Câu1: a/ ñ)0)a vìñ) ñ) ( ñ) ñ) ñ) 5,0(( )1a(a 1aa 25,0( )1a(a 1aa 5,0( )1a(a )1aa 25,0( )1a(a )1a()1a(a2a 5,0( )1a(a )1a()11a2a(a 5,0( )1a(a a)1a()1a(a )1a( 1 a 1 1A 2 2 2 22 22 22 224 22 222 22 2222 22 > + ++ =         + ++ = + ++ = + ++++ = + +++++ = + ++++ = + ++= b/ Từ câu a suy ra ñ) ñ) :ñoù Do ñ) 1(99,99 100 1 100 100 1 99 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 99 1( 100 1 99 1 1 . 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B 5,0( 1a 1 a 1 1 )1a(a 1aa )1a( 1 a 1 1 2 22 =−=       −++−+−+−+=       −+++       −++       −++       −+= + −+= + ++ = + ++ Câu 2 : a/ Ta thấy: ñ)5,0()1(2005x2005x2005xx 22 =       −+       ++ Ta có: ñ)5,0()2(20052005yy2005xx 22 =       ++       ++ Từ (1) và (2) suy ra: ñ)5,0(2005xx2005yy 22       +−−=++ b/ Tương tự ñ)1()3(2005yy2005xx 22       +−−=++ Cộng từng vế của (2) và (3), ta có: ñ) ñ) ñ) 25,0(0yxS:raSuy 25,0(0yx0y)(x2 1(2005y2005x)yx(2005xx2005yy 2222 =+= =+⇔=+⇔ +++++−=+++++ Câu 3: ĐKXĐ: 2x – 3 ≥ 0 (0,25đ) đ)6.xnhất duy nghiệm 1 có pt Vậy đ) nhận)loại) đ) đ)đ) đ) 5,0( 5,0( (6x;(2x 3x 5,0( 0)6x)(2x( 3x 5.0( 012x8x 3x 5,0( 9x6x3x2 03x 25,0(3x3x2x3x23 21 22 =    == ≥ ⇔    =−− ≥ ⇔    =+− ≥ ⇔    +−=− ≥− ⇔ −=−⇔=−+ Câu 4 : Đặt a – 1 = x > 0, b – 1 = y > 0 (0,25đ), ta có: đ) đ)đ) 5,0(4 y 1 y x 1 x 5,0( y 1y2y x 1x2x 5,0( y )1y( x )1x( A 2222 +         ++       += ++ + ++ = + + + = Với x > 0, y > 0 ta có 8 A nên ≥≥+≥+ 2 y 1 y,2 x 1 x (1đ) minA = 8 ⇔ x = y = 1 ⇔ a = b = 2. (0,75đ) Câu 5: Vẽ hình đúng 0,5đ a/ Ta có AK // CE (cùng vng góc với AC) (0,5đ) đ)(2)EBOCBK nên B với phụcùngB có lại Ta đ) BC KB đ)ECtgB đ) 31 75,0( ˆˆ ) ˆ (B ˆ ˆ 5,0()1( BE OB 1( KB OB BC BE BK ˆ tgO ˆ 75,0(BK ˆ OK ˆ EC ˆ BA ˆ CE ˆ B 2 11 == =⇒ =⇒=⇒ ==⇒=⇒ Từ (1) và (2) suy ra ∆KBC ∆OBE (cgc) (0,5đ) . ++= b/ Từ câu a suy ra ñ) ñ) :ñoù Do ñ) 1 (99 ,99 100 1 100 100 1 99 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 99 1( 100 1 99 1 1 . 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1B 5,0(. Trường THCS Tam Phước ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu