Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG BÀI TOÁN DẠNG PARABOLIC Mã số: ĐH 2014 -TN07 - 04 Chủ nhiệm đề tài: TS Bùi Việt Hương THÁI NGUYÊN – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG BÀI TOÁN DẠNG PARABOLIC Mã số: ĐH 2014 - TN 07 - 04 Chủ nhiệm đề tài: TS Bùi Việt Hương Người tham gia thực hiện: TS Trường Minh Tuyên ThS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN – 2016 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Danh sách thành viên tham gia đề tài Họ tên Đơn vị công tác lĩnh vực chuyên môn Bùi Việt Hương - Đơn vị: Khoa Toán - Tin, trường ĐH Khoa học - Chuyên môn: Giải tích Nguyễn Thị Ngọc Oanh - Đơn vị: Khoa Toán - Tin trường ĐH Khoa học Trương Minh Tuyên Nội dung nghiên cứu cụ thể giao Chủ nhiệm đề tài Thành viên NC chủ chốt đề tài - Chuyên môn: Toán Ứng dụng - Đơn vị: Khoa Toán - Tin Thành viên NC trường ĐH Khoa học chủ chốt đề tài - Chuyên môn: Giải tích Đơn vị phối hợp Tên đơn vị Nội dung phối hợp Họ tên nước nghiên cứu người đại diện đơn vị Phòng Phương trình vi - Định hướng nghiên cứu, GS.TSKH Đinh Nho Hào phân -Viện Toán học - Hợp tác nghiên cứu - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Mục lục Danh sách thành viên tham gia đề tài đơn vị phối hợp Thông tin kết nghiên cứu Mở đầu Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát biên 1.1 Một số kiến thức bổ trợ: 1.2 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân biên: 1.3 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên: 12 Xác định nguồn toán truyền nhiệt 13 2.1 Phương pháp biến phân 13 2.2 Rời rạc hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải 15 Tài liệu tham khảo 17 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Xác định biên toán dạng parabolic - Mã số: ĐH2014-TN07-04 - Chủ nhiệm: TS Bùi Việt Hương - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Khoa học, ĐHTN - Thời gian thực hiện: Từ 01/2014 đến 12/2015 Mục tiêu Xác định quy luật biên phi tuyến xác định nguồn trình truyền nhiệt (được mô tả phương trình parabolic); Đưa phương pháp số hữu hiệu để giải toán; lập trình thử nghiệm số phần mềm MATLAB Kết nghiên cứu - Với toán xác định quy luật biên phi tuyến: Chứng minh lý thuyết cho trường hợp nhiều chiều; Đưa phương pháp biến phân để giải toán nhiều chiều, kỹ thuật chứng minh đơn giản, áp dụng cho nhiều toán khác nhau; Thử nghiệm máy tính - Với toán xác định nguồn: Nghiên cứu toán xác định nguồn trường hợp nhiều chiều với hệ số phowng trình phụ thuộc thời gian phương pháp biến phân; Thử nghiệm máy tính Sản phẩm 4.1 Sản phẩm khoa học: 04 báo (02 danh mục ISI, 01 quốc tế, 01 nước) Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), “Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations”, Applicable Analysis, 94 (9), pp 1784 – 1799 Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, Phan Xuan Thanh (2017), “Determination of a term in right-hand side of parabolic equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28-43 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313-335 Bui Viet Huong (2015), “Determination of a time – dependent term in righthand side of linear parabolic equations”, Thainguyen Journal of Sciences and Technology, 135 (4), pp 139-144 4.2 Sản phẩm đào tạo: 01 đề tài sinh viên NCKH 4 Nguyễn Thị Nhàn (2015), “Bài toán xác định vế phải phương trình dạng parabolic”, Đề tài Sinh viên NCKH Hiệu Kết nghiên cứu đề tài tạo điều kiện để sinh viên cán giảng dạy Toán Đại học Thái Nguyên cập nhật với vấn đề mang tính thời giới Khả áp dụng phương thức chuyển giao kết nghiên cứu Các kết đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác nghiên cứu đào tạo trình độ Đại học sau Đại học Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2016 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký đóng dấu) TS Bùi Việt Hương INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information - Project title: Determination of boundary in parabolic equations - Code number: ĐH2014-TN07-04 - Coordinator: Dr Bui Viet Huong - Implementing institution: College of Sciences, Thai Nguyen University - Duration: from 01/2014 to 12/2015 Objectives Determination of nonlinear heat transfer and determination of sources in the heat conduction which is decripted by parabolic equations; Suggested algorithms are efficient and tested on computer Research results - For the problem of determination of nonlinear heat transfer laws: Suggested a variational method for solving the inverse problem in the multi-dimentional cases and this approach can be applied to many different problems; Implemented on computer - For problem of determination the source: Studied the problem of determining sources in multi-dimensional problems with time-dependent coefficients by the variational method; Tested on computer Products 4.1 Scientific Products: 04 papers (02 papers is indexed by ISI, 01 international paper, 01 national paper) Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), “Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations”, Applicable Analysis, 94 (9), pp 1784 – 1799 Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, Phan Xuan Thanh (2017), “Determination of a term in right-hand side of parabolic equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28-43 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313-335 Bui Viet Huong (2015), “Determination of a time – dependent term in righthand side of linear parabolic equations”, Thainguyen Journal of Sciences and Technology, 135 (4), pp 139-144 4.2 Training Products: 01 student’s scientific research project Nguyen Thi Nhan (2015), “Determination of term in right - hand side in parabolic equations", Student Research topics 6 Effects The results of the research subjects help students ans teachers of mathematics in Thai Nguyen University can be accessed with the current issues in the world Transfer alternatives of research results andapplic ability The results of the subject will be an useful source reference dor researching and training at graduate and postgraduate levels 7 MỞ ĐẦU Có nhiều tượng vật lý xảy điều kiện nhiệt độ, áp suất cao môi trường khắc nghiệt như: buồng đốt, tua bin khí, trình làm nóng, làm nguội thép trình dập tắt khí lò, mà nguồn nhiệt khối lượng nhiệt trao đổi chưa biết, trình trao đổi nhiệt biên chưa biết tuân theo quy luật (quy luật truyền nhiệt tuyến tính Newton hay quy luật xạ nhiệt bậc bốn Stefan–Boltzmann chẳng hạn) Khi đó, mô hình hóa trình truyền nhiệt toán ngược xác định quy luật truyền nhiệt không tuyến tính biên xác định nhiệt độ phụ thuộc vào hệ số truyền nhiệt Trong số lĩnh vực ứng dụng khác, toán xem dạng mô hình khuếch tán khí phản ứng hóa học chưa biết bề mặt vật chất hay mật độ dân số vùng giáp ranh với quy luật di trú chưa biết [45] Trong phần đề tài này, nghiên cứu toán ngược xác định hàm g(·, ·) toán giá trị biên ban đầu [44] u − ∆u = Q, t u(x, 0) = u0 (x) Ω, (0.1) ∂u = g(u, f ) S, ∂ν từ điều kiện quan sát bổ sung Ta biết rằng, toán (0.1) mô tả nhiều tình thực tế [2], [44] Nó bao gồm điều kiện biên tuyến tính dạng g(u, f ) = c(f − u) với c số dương Nó bao gồm điều kiện biên phi tuyến dạng g(u, f ) = φ(f ) − φ(u), với φ hàm Lipschitz, đơn điệu tăng I; gồm điều kiện xạ Stefan-Boltzmann φ(w) = w4 với I = [0, ∞), quy luật trao đổi enzim Michaelis-Menten với φ(u) = cu/(u + k), c k số dương Điều kiện biên dạng bao gồm trường hợp g(u, f ) = ψ(f − u), với ψ hàm Lipschitz, đơn điệu tăng khoảng I − I; đặc biệt ψ(w) = w5/4 với w > ψ(w) = với w < 0, mô tả tượng đối lưu tự nhiên biên Quan sát theo điểm thường ý nghĩa nghiệm (0.1) hiểu theo nghĩa nghiệm yếu Do đó, luận án thay quan sát quan sát phần biên quan sát tích phân biên Phần thứ hai đề tài dành cho toán xác định nguồn trình truyền nhiệt Bài toán nhiều nhà khoa học nghiên cứu vòng 50 năm qua Mặc dù có nhiều kết tính tồn tại, đánh giá ổn định cho toán, tính đặt không chỉnh phi tuyến toán, nên thời gian gần có nhiều nhà toán học kỹ sư đặt lại vấn đề nghiên cứu chúng 8 Tìm hàm F (x, t) toán giá trị ban đầu n ∂ ∂u − ∂t i,j=1 ∂xi aij (x, t) ∂u ∂xj + b(x, t)u = F, (x, t) ∈ Q, u|t=0 = u0 (x), (0.2) x ∈ Ω, với điều kiện biên Robin ∂u + σu|S = ϕ S, ∂N điều kiện biên Dirichlet u|S = ψ S Ở đây, ν vectơ pháp tuyến S σ ∈ L∞ (S), giả thiết không âm hầu khắp nơi S Các quan sát sử dụng li u = ωi (x)u(x, t)dx = hi (t), hi ∈ L2 (0, T ), i = 1, 2, , N, Ω với ωi ∈ L∞ (Ω) Ω ωi (x)dx > 0, i = 1, 2, , N, hàm trọng, N số đo đạc Ta giải toán ngược phương pháp bình phương tối thiểu: cực tiểu hóa phiếm hàm Jγ (f ) = N li u − hi i=1 L2 (0,T ) + γ f − f ∗ 2∗ , với γ tham số hiệu chỉnh, · ∗ chuẩn thích hợp Chúng muốn nhấn mạnh rằng, phương pháp biến phân dạng sử dụng để giải toán truyền nhiệt ngược [8], [9], [10] chứng tỏ hữu hiệu Chương Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát biên Kết Chương trình bày dựa báo đăng tạp chí: Applicable Analysis (SCIE) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ: Trong mục nhắc lại số kiến thức cần cho chứng minh phần sau như: Các không gian Sobolev, nghiệm yếu không gian H 1,0 (Q) không gian W (0, T ) 1.2 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân biên: Trong mục trình bày toán thuận phương pháp biến phân để giải toán ngược Xét toán giá trị biên ban đầu u − ∆u = Q, t u(x, 0) = u0 (x) Ω, (1.1) ∂u = g(u, f ) S ∂ν Bằng cách sử dụng nghiệm yếu không gian W (0, T ), nghiệm toán (1.1) không gian W (0, T ) tồn Định nghĩa 1.1 Cho u0 ∈ L2I (Ω) hàm f ∈ L2I (S) Hàm u ∈ HI1,0 (Q) gọi nghiệm yếu toán (1.1) hàm g(u, f ) ∈ L2 (S) với hàm 10 thử η ∈ H 1,1 (Q) thỏa mãn η(., T ) = 0, − u(x, t)ηt (x, t) + ∇u(x, t) · ∇η(x, t) dxdt Q = u0 (x)η(x, 0)dx + Ω g(u(x, t), f (x, t)) η(x, t)dSdt (1.2) S Ta có kết quan trọng sau: Định lý 1.1 ([44]) Cho J khoảng tập I thỏa mãn hàm g(u, f ) liên tục Lipschitz J ×J Khi với hàm u0 ∈ L2J (Ω) hàm f ∈ L2J (S), toán (1.1) có nghiệm yếu Định lý 1.2 ([44]) Cho u u nghiệm yếu toán (1.1) tương ứng với điều kiện u0 , f u0 , f có miền xác định I thỏa mãn u0 ≤ u0 , f ≤ f Khi đó, u ≤ u Trong [44], để đưa đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm yếu toán (1.1), tác giả cần điều kiện đơn điệu chặt hàm g(u, f ) Tuy nhiên, điều không cần thiết Ngoài ra, điều kiện ban đầu liên tục đến tận biên ta có kết sau: Định lý 1.3 ([5], [34], [35]) Nếu u0 ∈ C(Ω) f ∈ L∞ (S) tồn nghiệm yếu toán (1.1) không gian W (0, T ) ∩ L∞ (S) Nghiệm yếu liên tục Q tồn số dương c độc lập với u0 f thỏa mãn u W (0,T ) + u C(Q) ≤ c( u0 C(Ω) + g L∞ (I×I) ) (1.3) Để nhấn mạnh phụ thuộc nghiệm u(x, t) vào hàm g, ta kí hiệu u(x, t; g) u(g) thay u Hơn nữa, f cố định nên ta kí hiệu g(u) thay cho g(u, f ) Tuy nhiên ta nhớ hàm g phụ thuộc vào hai biến u f có miền giá trị I hàm u0 Vì ta coi hàm g hàm biến đối dg với u nên kí hiệu đạo hàm g theo u g˙ u (u) thay Trong phần tiếp du theo, chứng minh ánh xạ u biến g thành u(g) khả vi Fréchet Để làm điều đó, trước tiên ta chứng minh u(g) liên tục Lipschitz Gọi A1 tập tất hàm g(u, f ) khả vi liên tục theo biến u miền I Ta có kết sau: Định lý 1.4 Cho u0 ∈ L2I (Ω), f ∈ L∞ I (S) g ∈ A1 Khi đó, ánh xạ biến g thành u(g) khả vi Fréchet với g, g + z ∈ A1 ta có z lim L∞ (I×I) →0 u(g + z) − u(g) − η z C (I) W (0,T ) = (1.4) 11 Nội dung phương pháp biến phân tìm cực tiểu phiếm hàm J(g) = lu(g) − h 2L2 (0,T ) tập A1 (1.5) Trước tiên, chứng minh phiếm hàm J(g) khả vi Fréchet đưa biểu thức gradient Sau đó, với điều kiện mạnh hàm g, chứng minh tồn nghiệm toán biến phân Định lý 1.5 Phiếm hàm J(g) khả vi Fréchet tập A1 gradient tính theo công thức ∇J(g)z = (1.6) z(u(g))ϕ(x, t)dSdt, S đó, ϕ(x, t) nghiệm toán liên hợp −ϕ − ∆ϕ = t ϕ(x, T ) = ∂ϕ = g˙ (u(g))ϕ + ω(x) u ∂Ω ω(x)u(g)|S dS − h(t) ∂ν Q, Ω, S Định lý 1.6 Giả sử g ∗ ∈ A1 cực tiểu phiếm hàm (1.5) tập A1 Khi đó, z = g − g ∗ ∈ A1 , z(u∗ (g ∗ ))ϕ(x, t; g ∗ )dSdt ≥ 0, ∇J(g ∗ )z = (1.7) S với u∗ nghiệm toán (1.1), ϕ(x, t; g ∗ ) nghiệm toán liên hợp ứng với điều kiện biên g = g ∗ Chúng chứng minh tồn cực tiểu toán biến phân (1.5) tập chấp nhận Xét tập, [43] A2 := g ∈ C 1,α [I], m1 ≤ g(u) ≤ M1 , M2 ≤ g(u) ˙ ≤ 0, ∀u ∈ I, sup u1 ,u2 ∈I |g˙ u (u1 ) − g˙ u (u2 )| ≤C |u1 − u2 |ν Ở đây, ν, m1 , M1 , M2 C số cho trước Giả sử u0 ∈ C β (Ω) với số β thuộc (0, 1] Thế thì, theo [34, Hệ 3.2], u ∈ C γ,γ/2 (Q) với γ ∈ (0, 1) Đặt Tad := (g, u(g)) : g ∈ A2 ; u ∈ C γ,γ/2 (Q) Ta có kết sau Định lý 1.7 Bài toán tìm cực tiểu phiếm hàm J(g) tập A2 có nghiệm Trong phần cuối mục, có trình bày số kết số chứng minh tính hữu hiệu phương pháp mà đưa 12 1.3 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên: Trong mục này, xét toán (1.1) với điều kiện quan sát phần biên u|Σ = h(x, t), (x, t) ∈ Γ, (1.8) Σ = Γ × (0, T ] với Γ ⊂ ∂Ω Với toán thuận ta có kết giống toán thuận Mục 1.2., nên đưa cách giải toán ngược dựa phương pháp biến phân cách xét phiếm hàm J(g) = u(g) − h(·, ·) 2 L2 (Σ) , tập A1 (1.9) Chúng chứng minh phiếm hàm (1.9) khả vi Fréchet đưa công thức tính gradient J theo biến g Định lý 1.8 Phiếm hàm J(g) khả vi Fréchet tập A1 gradient tính theo công thức ∇J(g)z = z(u(g))ϕ(x, t)dSdt, (1.10) S đó, ϕ(x, t) nghiệm toán liên hợp Ở đây, χΣ hàm đặc trưng Σ Chúng nhấn mạnh rằng, phương pháp áp dụng để tìm quy luật trao đổi nhiệt biên từ quan sát phần biên Tuy nhiên, để giới hạn độ dài đề tài, không trình bày kết số cho trường hợp Chương Xác định nguồn toán truyền nhiệt Kết Chương trình bày dựa báo đăng tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics (SCI); Acta Mathematica Vietnamica (SCOPUS) Thainguyen Journal of Sciences and Technology 2.1 Phương pháp biến phân Xét toán giá trị ban đầu n ∂ ∂u − ∂t i,j=1 ∂xi aij (x, t) ∂u ∂xj + b(x, t)u = F, (x, t) ∈ Q, u|t=0 = u0 (x), x ∈ Ω, (2.1) (2.2) với điều kiện biên Robin ∂u + σu|S = ϕ S, ∂N (2.3) điều kiện biên Dirichlet u|S = ψ S Ở đây, (2.4) n ∂u (aij (x, t)uxj ) cos(ν, xi )|S , |S := ∂N i,j=1 ν vectơ pháp tuyến S σ ∈ L∞ (S), giả thiết không âm hầu khắp nơi S 13 14 Giả sử ωi ∈ L∞ (Ω) ta có kiện sau: Ω ωi (x)dx ωi (x)u(x, t)dx = hi (t), li u = > 0, i = 1, 2, , N, hàm trọng hi ∈ L2 (0, T ), i = 1, 2, , N (2.5) Ω Ngoài giả sử rằng, vế phải F có dạng F = f h(x, t)+g(x, t) (f có dạng f (x, t), f (x) f (t)) ta có ước lượng f ∗ f Để cho đơn giản, mục xét trường hợp toán Robin (2.1)–(2.3) Trường hợp toán Dirichlet (2.1), (2.2), (2.4) với điều kiện biên (2.4) tương tự Lời giải toán Robin (2.1)–(2.3) hiểu theo nghĩa yếu sau: Giả sử F ∈ L2 (Q), lời giải yếu W (0, T ) toán (2.1)–(2.3) hàm số u(x, t) ∈ W (0, T ) thỏa mãn đẳng thức n T aij (x, t) (ut , η)(H (Ω))′ ,H 1(Ω) dt + Q ∀η ∈ L2 (0, T ; H (Ω)), S Q S ϕηdξdt, F ηdxdt + σuηdξdt = + i,j=1 ∂u ∂η + b(x, t)uη dxdt ∂xi ∂xj u(x, 0) = u0 (x), (2.6) x ∈ Ω Theo [48, Chương IV] [47, p 141–152] ta chứng minh rằng, toán (2.1)-(2.3) có nghiệm W (0, T ) Ngoài tác giả đưa đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm yếu toán không gian W (0, T ) Giả sử F có dạng F (x, t) = f (x, t)h(x, t) + g(x, t) với f ∈ L2 (Q), h ∈ L∞ (Q) g ∈ L2 (Q) Ta muốn xác định f từ quan sát (2.5) Vì lời giải u(x, t) (2.1)–(2.3) phụ thuộc vào f (x, t), ta kí hiệu u(x, t; f ) u(f ) để nhấn mạnh phụ thuộc vào f Để xác định f , ta cực tiểu hóa phiếm hàm N J0 (f ) = i=1 li u(f ) − hi (2.7) L2 (0,T ) , L2 (Q) Tuy nhiên, toán cực tiểu hóa không ổn định có nhiều lời giải Bởi thay vào đó, cực tiểu hóa phiếm hàm Tikhonov N Jγ (f ) = i=1 li u(f ) − hi 2 L2 (0,T ) + γ f − f∗ 2 L2 (Q) , (2.8) với γ > tham số hiệu chỉnh Tikhonov, f ∗ ∈ L2 (Q) dự đoán f Ta có kết 15 Định lý 2.1 Phiếm hàm Jγ khả vi Fréchet đạo hàm ∇Jγ f có dạng ∇Jγ (f ) = h(x, t)p(x, t) + γ(f (x, t) − f ∗ (x, t)), (2.9) với p(x, t) lời giải toán liên hợp Để tìm điểm cực tiểu (2.8), sử dụng phương pháp gradient liên hợp, [25] Để tìm cực tiểu phiếm hàm Jγ (F ), tiến hành rời rạc toán thuận, rời rạc phiếm hàm Jγ (F ), sau xây dựng toán liên hợp tương ứng để tính đạo hàm cho phiếm hàm rời rạc Việc giải toán thuận toán liên hợp, sử dụng phương pháp phần tử biên Để tìm cực tiểu phiếm hàm, chngs sử dụng phương pháp gradient liên hợp trình bày Sau đó, đưa số ví dụ số minh họa 2.2 Rời rạc hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải Trong mục này, xét toán xác định f (t) rời rạc toán phương pháp sai phân phân rã Chúng nhấn mạnh rằng, lần toán xác định f (t) cho trường hợp nhiều chiều nghiên cứu Ngoài ra, lần đầu tiên, toán xác định nguồn thử nghiệm số cho toán với hệ số phụ thuộc thời gian Xét toán ∂u ∂ ∂u n ∂t − i=1 ∂x (x, t) ∂x + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q, i i u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, (2.10) từ quan sát bổ sung ω(x)u(x, t)dx = h(t), lu(f ) = < t < T (2.11) Ω Trong đó, hàm , i = 1, n, b, ϕ thuộc không gian L∞ (Q) g ∈ L2 (Q), f (t) ∈ L2 (0, T ), u0 ∈ L2 (Ω) Hơn nữa, ta giả thiết ≥ a > ϕ ≥ ϕ > với a, ϕ số cho trước Hàm ω hàm trọng mô tả từ đầu chương Như ta biết, tính giải toán ngược (2.10) với quan sát điểm u(x0 , t) = h(t), t ∈ (0, T ) Prilepko Solov’ev chứng minh phương pháp Rothé [32], [33] Tính giải toán ngược (2.10) với quan sát (2.11) chứng minh [28] Tuy nhiên, kết số cho toán chưa nghiên cứu nhiều Vì vậy, mục đích mục thiết lập phương pháp số ổn định để giải toán Trong mục này, 16 giới thiệu lược đồ sai phân hữu hạn phân rã (finite difference splitting method) cho toán nhiều chiều; phần tiếp theo, rời rạc toán biến phân, đưa công thức gradient cho phiếm hàm rời rạc mô tả phương pháp gradient liên hợp, cuối cùng, trình bày kết số minh họa cho thuật toán Chúng muốn nhấn mạnh thêm rằng, việc sử dụng phương pháp sai phân phân rã đưa toán nhiều chiều toán chiều, việc tình toán số thực nhanh hơn.Một số kết mục tóm tắt sau: Định lý 2.2 Gradient ∇J0h,∆t (f ) phiếm hàm J0h,∆t điểm f cho M −1 ∇J0h,∆t (f ) (2.12) ∆t(B m )∗ ϕm η m, = m=0 η nghiệm toán liên hợp m m+1 ∗ m+1 ) η + ψ m+1 , η = (A η M −1 = ψ M , η M = 0, m = M − 2, , 0, (2.13) với ω k uk,m(f ) − hm , ψ m = ψ k,m = ω k ∆h k∈Ωh k ∈ Ωh , m = 0, 1, , M (2.14) Ở (A ) (B ) xác định sau m ∗ m ∗ ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λ1 )(E1 + Λ1 ) (En − Λn )(En + Λ ) 4 4 n ∆t m ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 × (En − Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) , 4 4 ∆t m ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 (B m )∗ = (En − Λn )(En + Λn ) (E1 − Λ1 )(E1 + Λ ) 4 4 (Am )∗ = (E1 − Khi đó, ta có phương pháp gradient liên hợp cho phiếm hàm rời rạc sử dụng phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm Cuối cùng, đưa vài ví dụ số minh họa cho thuật toán mà đưa Tài liệu tham khảo [1] Alifanov O.M (1994), Inverse Heat Transfer Problems, Wiley, New York [2] Barbu V (1982), "Boundary control problems with nonlinear state equation", SIAM J Control Optim., 20, pp 125–143 [3] Beck J V., Blackwell B., Clair St C R (1985), Inverse Heat Conduction, Ill-Posed Problems, Wiley, New York [4] Cannon J R (1984), The One-dimensional Heat Equation, Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA [5] Casas E (1997), "Pontryagin’s principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim., 35, pp 1297–1327 [6] Gol’dman N L (2007), "Finding the right-hand side in multidimensional parabolic equations with terminal observation", Differ Equ., 43, pp 1101– 1110 [7] Grever W (1998), "A nonlinear parabolic initial-boundary value problem modelling the continuous casting of steel", ZAMM Z Angew Math Mech., 78, pp 109–119 [8] Dinh Nho Hào (1992), "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations II: A variational method", Numer Funct Anal Optim., 13, pp 541–564 [9] Dinh Nho Hào (1992), "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations III: A variational method and its approximation schemes", Numer Funct Anal Optim., 13, pp 565–583 [10] Dinh Nho Hào (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern, New York, Paris [11] Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), "Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations", Applicable Analysis, 94(9), pp 1784–1799 17 18 [12] Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, and Phan Xuan Thanh (2017), "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28–43 [13] Dinh Nho Hào, Nguyen Trung Thành, and H Sahli (2009), "Splitting-based gradient method for multi-dimensional inverse conduction problems", J Comput Appl Math., 232, pp 361–377 [14] Bui Viet Huong, Determination of a time–dependent term in the right hand side of linear parabolic equations (2015), Thai Nguyen Journal of Science and Technology, 135 (5), pp 139–144 [15]Isakov V (1990), Inverse Source Problems, Amer Math Soc., Providence, RI [16] Isakov V (2006), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Second edition, Springer, New York [17] Janicki M and Kindermann S (2009), "Recovering temperature dependence of heat transfer coefficient in electronic circuits", Inverse Probl Sci Eng., 17, pp 1129–1142 [18] Kaiser T and Tr¨oltzsch F (1987), "An inverse problem arising in the steel cooling process", Wiss Z Tech Univ Karl-Marx-Stadt, 29, pp 212–218 [19] Ladyzhenskaya O A (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer-Verlag, New York [20] Ladyzhenskaya O A (1968), V.A Solonnikov, N.N Ural’ceva, Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, AMS Translations of Mathematical Monographs 23, Providence [21] Lavrent’ev M M and Maksimov V I (2008), "On the reconstruction of the right-hand side of a parabolic equation", Comput Math Math Phys., 48, pp 641–647 [22] Lesnic D., Onyango T T M and Ingham D B (2009), "The boundary element method for the determination of nonlinear boundary conditions in heat conduction", Mesh Reduction Methods-BEM/MRM XXXI,pp 45–55, WIT Trans Model Simul., 49, WIT Press, Southampton [23] Marchuk G I (1975), Methods of Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York [24] Marchuk G I (1990), "Splitting and alternating direction methods", In Ciaglet P G and Lions J L., editiors, Handbook of Numerical Mathematics Volume 1: Finite Difference Methods, ELsevier Science Publisher B.V., North-Holland, Amsterdam 19 [25] Nemirovskii A S.(1986), "The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems", Zh Vychisl Math Phys., 26(2), pp 7–16 [26] Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), "Determination of a time– dependent term in the right hand side of linear parabolic equations", Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313–335 [27] Orlovskii D.G.(1991),"Determination of parameter evolution in an abstract quasilinear parabolic equation", Mat.Zametki, 50 (2), pp 111–119 (Russian) [28] Orlovskii D G (1991), "Solvability of an inverse problem for a parabolic equation in the H¨older class", Mat Zametki, 50(3), pp 107–112 (Russian) [29] Onyango T T M., Ingham D B and Lesnic D (2009), "Reconstruction of boundary condition laws in heat conduction using the boundary element method", Comput Math Appl., 57, pp 153–168 [30] Pilant M and Rundell W (1989), "An iteration method for the determination of an unknown boundary condition in a parabolic initial-boundary value problem", Proc Edinburgh Math Soc., 32, pp 59–71 [31] Prilepko A I., Orlovsky D G., and Vasin I A (2000), Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics Marcel Dekker, Inc., New York [32] Prilepko A I and Solov’ev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type I (Russian)", Differentsial’nye Uravneniya, 23, pp 1791–1799 [33] Prilepko A I and Solov’ev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type II (Russian)", Differentsial’nye Uravneniya, 23, pp 1971–1980 [34] Raymond J P and Zidani H (1998), "Pontryagin’s principle for stateconstrained control problems governed by parabolic equations with unbounded controls", SIAM J Control Optim., 36, pp 1853–1879 [35] Raymond J P and Zidani H (1999), "Hamiltonian-Pontryagin’s principles for control problems governed by semilinear parabolic equations", Appl Math Optim., 39, pp 143–177 [36] Rundell W and Yin H M (1990), "A parabolic inverse problem with an unknown boundary condition", J Differential Equations, 86, pp 234–242 [37] R¨osch A (1994), "Identification of nonlinear heat transfer laws by optimal control", Numer Funct Anal Optim., 15, pp 417–434 20 [38] R¨osch A (1996), "Fréchet differentiability of the solution of the heat equation with respect to a nonlinear boundary condition", Z Anal Anwendungen, 15, pp 603–618 [39] R¨osch A (1996), "Stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Inverse Problems, 12, pp 743–756 [40] R¨osch A (1996), "Identification of nonlinear heat transfer laws by means of boundary data", Progress in Industry (at ECMI 94), pp 405–412 Wiley– Teubner [41] R¨osch A (1998), "Second order optimality conditions and stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Control and Estimation of Distributed Parameter Systems (Vorau, 1996), 237–246, Internat Ser Numer Math., 126, Birkh¨auser, Basel [42] R¨osch A.(2002), "A Gauss-Newton method for the identification of nonlinear heat transfer laws", Optimal Control of Complex Structures (Oberwolfach, 2000), 217–230, Internat Ser Numer Math., 139, Birkh¨auser, Basel [43] R¨osch A and Tr¨oltzsch F (1992), "An optimal control problem arising from the identification of nonlinear heat transfer laws", Arch Control Sci., 1, pp 183–195 [44] Schmidt E J P G (1989), "Boundary control for the heat equation with nonlinear boundary condition", J Differential Equations, 78, pp 89–121 [45] Tao L N (1981), "Heat conduction with nonlinear boundary condition", Z Angew Math Phys., 32, pp 144–155 [46] Nguyen Trung Thành (2007), Infrared Thermography for the Detection and Characterization of Buried Objects PhD thesis, Vrije Universiteit Brussel, Brussel, Belgium [47] Tr¨oltzsh F.(2010),Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications, Amer.Math.Soc.,Providence,Rhode Island [48] Wloka J (1987), Partial Differential Equations, Cambridge Univ Press, Cambridge [49] Yanenko N N (1971), The Method of Fractional Steps, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York ... Rời rạc hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải Trong mục này, xét toán xác định f (t) rời rạc toán phương pháp sai phân phân rã Chúng nhấn mạnh rằng, lần toán xác định f (t)... hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải 15 Tài liệu tham khảo 17 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Xác định biên toán dạng parabolic. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG BÀI TOÁN DẠNG PARABOLIC Mã số: ĐH 2014 - TN 07 - 04 Chủ nhiệm đề tài: TS Bùi Việt Hương Người