Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)

Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)Xác định biên trong bài toán dạng parabolic (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG BÀI TOÁN DẠNG PARABOLIC Mã số: ĐH 2014 -TN07 - 04 Chủ nhiệm đề tài: TS Bùi Việt Hương THÁI NGUYÊN – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG BÀI TOÁN DẠNG PARABOLIC Mã số: ĐH 2014 - TN 07 - 04 Chủ nhiệm đề tài: TS Bùi Việt Hương Người tham gia thực hiện: TS Trường Minh Tuyên ThS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN – 2016 Mục lục Mục lục Một số ký hiệu Mở đầu Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát biên 14 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 15 1.1.1 Nghiệm yếu không gian H 1,0 (Q) 15 1.1.2 Nghiệm yếu không gian W (0, T ) 19 1.2 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân biên 21 1.2.1 Bài toán thuận 21 1.2.2 Bài toán biến phân 26 1.2.3 Ví dụ số 30 1.3 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên Xác định nguồn toán truyền nhiệt 36 39 2.1 Phương pháp biến phân 40 2.2 Ví dụ số 46 2.3 Rời rạc hóa toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian vế phải 50 2.3.1 Rời rạc hóa toán thuận phương pháp sai phân hữu hạn phân rã 51 2.3.2 Rời rạc hóa toán biến phân 55 2.3.3 Phương pháp gradient liên hợp 59 2.3.4 Ví dụ số 60 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 72 Một số ký hiệu R tập số thực Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều V∗ không gian đối ngẫu không gian V ¯ C(Ω) ¯ không gian hàm liên tục Ω C([0, T ], L2 (Ω)) không gian hàm liên tục [0, T ] nhận giá trị L2 (Ω) ¯ C (Q) ¯ không gian hàm khả vi liên tục Q C γ,γ/2 không gian H¨older với số mũ γ/2, γ ∈ (0, 1) Lp (Ω) không gian hàm khả tích bậc p Ω, ≤ p < ∞ L2I (·) không gian hàm thuộc L2 (·) nhận giá trị I H (Ω) không gian hàm thuộc L2 (Ω) có đạo hàm riêng yếu thuộc L2 (Ω) H01 (Ω) bao đóng không gian C0∞ (Ω) không gian H (Ω) H 1,0 (Q) không gian hàm y ∈ L2 (Q) có đạo hàm riêng yếu cấp theo biến xi thuộc L2 (Q) H 1,1 (Q) không gian hàm y ∈ L2 (Q) có đạo hàm riêng yếu cấp theo biến xi đạo hàm suy rộng theo biến t thuộc L2 (Q) HI1,0 (·) ess sup |y(x)| x∈E L∞ (Ω) không gian hàm thuộc H 1,0 (·) nhận giá trị I := inf ( sup |y(x)|) |F |=0 x∈E\F không gian hàm bị chặn đo theo nghĩa Lebesgue với chuẩn xác định y(x) L∞ (Ω) = ess sup x∈E |y(x)| THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Xác định biên toán dạng parabolic - Mã số: ĐH2014-TN07-04 - Chủ nhiệm: TS Bùi Việt Hương - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Khoa học, ĐHTN - Thời gian thực hiện: Từ 01/2014 đến 12/2015 Mục tiêu Xác định quy luật biên phi tuyến xác định nguồn trình truyền nhiệt (được mô tả phương trình parabolic); Đưa phương pháp số hữu hiệu để giải toán; lập trình thử nghiệm số phần mềm MATLAB Kết nghiên cứu - Với toán xác định quy luật biên phi tuyến: Chứng minh lý thuyết cho trường hợp nhiều chiều; Đưa phương pháp biến phân để giải toán nhiều chiều, kỹ thuật chứng minh đơn giản, áp dụng cho nhiều toán khác nhau; Thử nghiệm máy tính - Với toán xác định nguồn: Nghiên cứu toán xác định nguồn trường hợp nhiều chiều với hệ số phowng trình phụ thuộc thời gian phương pháp biến phân; Thử nghiệm máy tính Sản phẩm 4.1 Sản phẩm khoa học: 04 báo (02 danh mục ISI, 01 quốc tế, 01 nước) Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), “Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations”, Applicable Analysis, 94 (9), pp 1784 – 1799 Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, Phan Xuan Thanh (2017), “Determination of a term in right-hand side of parabolic equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28-43 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313-335 Bui Viet Huong (2015), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Thainguyen j Journal of Sciences and Technology, 135 (5), pp 139-144 4.2 Sản phẩm đào tạo: 01 đề tài sinh viên NCKH Nguyễn Thị Nhàn (2015), “Bài toán xác định vế phải phương trình dạng parabolic”, Đề tài Sinh viên NCKH Hiệu Kết nghiên cứu đề tài tạo điều kiện để sinh viên cán giảng dạy Toán Đại học Thái Nguyên cập nhật với vấn đề mang tính thời giới Khả áp dụng phương thức chuyển giao kết nghiên cứu Các kết đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác nghiên cứu đào tạo trình độ Đại học sau Đại học Cơ quan chủ trì Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2016 Chủ nhiệm đề tài (ký đóng dấu) TS Bùi Việt Hương INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information - Project title: Determination of boundary in parabolic equations - Code number: ĐH2014-TN07-04 - Coordinator: Dr Bui Viet Huong - Implementing institution: College of Sciences, Thai Nguyen University - Duration: from 01/2014 to 12/2015 Objectives Determination of nonlinear heat transfer and determination of sources in the heat conduction which is decripted by parabolic equations; Suggested algorithms are efficient and tested on computer Research results - For the problem of determination of nonlinear heat transfer laws: Suggested a variational method for solving the inverse problem in the multi-dimentional cases and this approach can be applied to many different problems; Implemented on computer - For problem of determination the source: Studied the problem of determining sources in multi-dimensional problems with time-dependent coefficients by the variational method; Tested on computer Products 4.1 Scientific Products: 04 papers (02 papers is indexed by ISI, 01 international paper, 01 national paper) Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), “Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations”, Applicable Analysis, 94 (9), pp 1784 – 1799 Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, Phan Xuan Thanh (2017), “Determination of a term in right-hand side of parabolic equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28-43 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313-335 Bui Viet Huong (2015), “Determination of a time – dependent term in right-hand side of linear parabolic equations”, Thainguyen j Journal of Sciences and Technology, 135 (4), pp 139-144 4.2 Training Products: 01 student’s scientific research project Nguyen Thi Nhan (2015), “Determination of term in right - hand side in parabolic equations”, Student Research topics Effects The results of the research subjects help students ans teachers of mathematics in Thai Nguyen University can be accessed with the current issues in the world Transfer alternatives of research results andapplic ability The results of the subject will be an useful source reference dor researching and training at graduate and postgraduate levels Mở đầu Các trình truyền nhiệt hay khuếch tán thường mô hình hóa toán biên cho phương trình parabolic: miền vật lý, hệ số phương trình, điều kiện ban đầu điều kiện biên biết, người ta nghiên cứu toán biên dựa vào nghiệm toán đưa dự đoán tượng nghiên cứu Đây toán thuận cho trình mà ta xét Tuy nhiên, thực tế, nhiều miền vật lý, hệ số phương trình, điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể mà ta phải xác định chúng qua đo đạc gián tiếp, để qua nghiên cứu lại trình Đây toán ngược với toán thuận nói chủ đề sôi động mô hình hóa toán học lý thuyết phương trình vi phân 100 năm qua [1], [3], [4], [8], [13], [14], [29] Hai điều kiện quan trọng để mô hình hóa trình truyền nhiệt quy luật trao đổi nhiệt biên nguồn Cả hai điều kiện tác động bên lúc biết trước, trường hợp này, ta phải xác định chúng qua đo đạc gián tiếp nội dung luận án Luận án gồm hai phần, phần đầu nghiên cứu toán xác định quy luật trao đổi nhiệt (nói chung phi tuyến) biên qua đo đạc biên phần thứ hai nghiên cứu toán xác định nguồn (tạo trình truyền nhiệt hay khuếch tán) qua quan sát khác Có nhiều tượng vật lý xảy điều kiện nhiệt độ, áp suất cao môi trường khắc nghiệt như: buồng đốt, tua bin khí, trình làm nóng, làm nguội thép trình dập tắt khí lò, mà nguồn nhiệt khối lượng nhiệt trao đổi chưa biết, trình trao đổi nhiệt biên chưa biết tuân theo quy luật (quy luật 62 Noise =0.01 Exact.Sol 0.8 f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.8 f(t) 0.4 0.6 0.2 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 t t Hình 2.10: Trường hợp chiều, Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.45) Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 t 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.11: Trường hợp chiều, Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.45) 2.3.4.2 Ví dụ số trường hợp chiều Trong tiểu mục này, trình bày kết số cho vài toán Cho Ω = (0, 1) × (0, 1), Q = Ω × (0, 1) Khi đó, toán (2.23) có dạng     ut − (a1 (x, t)ux1 )x1 − (a2 (x, t)ux2 )x2 + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q    u(0, t) = u(1, t) = 0, < t <      u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω 63 Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 t 0.6 0.8 t Hình 2.12: Trường hợp chiều, Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.46) Noise =0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.13: Trường hợp chiều, Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.46) Trong tất thử nghiệm, chọn nhiễu 10−1 10−2 , hàm trọng cho   12 ω(x) = 4ε 0 x01 − ε < x1 < x01 + ε x02 − ε < x2 < x02 + ε ngược lại với ε = 0.01 (2.48) Tham số hiệu chỉnh γ 10−3 Tuy nhiên, kết số cho trường hợp nhiễu 10−2 nhiều khác biệt so với trường hợp nhiễu 10−1 Do đó, trình bày kết cho trường hợp nhiễu 10−1 64 Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 t −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 t Hình 2.14: Trường hợp chiều, Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số ví dụ với nhiễu 0.1 (bên trái) nhiễu 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.46) Giống trường hợp chiều, thay kiện a1 , a2 , b, f, ϕ u vào hệ phương trình (2.47) để tìm g Sau đó, sử dụng nhiễu lu để tìm nhiễu đo đạc h áp dụng thuật toán để thiết lập lại hàm f (t) Ví dụ 1, Thử nghiệm : f (t) = sin(πt) a1 (x, t) = a2 (x, t) = 0.5 − 0.5(1 − t) cos(3πx1 ) cos(3πx2 ) , b(x, t) = x21 + x22 + 2x1 t + 1, u0 (x) = sin(πx1 ) sin(πx2 ), u(x, t) = u0(x) × (1 − t), ϕ(x, t) = (x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 2) Thay vào phương trình (2.47) ta có g(x, t) = − sin(πx1 ) sin(πx2 ) − (1 − t)(π + 0.5π cos(3πx1 ) cos(3πx2 ) + x21 + x22 + 2x1 t + 1) + 0.75π (1 − t)2 sin(3πx1 ) cos(3πx2 ) cos(πx1 ) sin(πx2 ) + cos(3πx1 ) sin(3πx2 ) sin(πx1 ) cos(πx2 ) − (x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 2) sin(πt) Từ kết ta thấy rằng, thuật toán ổn định ϕ "lớn" Nếu ϕ "nhỏ", kết số không tốt trường hợp ϕ "lớn" Điều thấy thử nghiệm 65 Approximation solution 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 appr sol f(t) Exact solution f(t) 0.5 0.4 0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 10 20 30 40 0 50 10 20 30 t 40 50 t Hình 2.15: Trường hợp chiều, Ví dụ 1,Thử nghiệm 1: Nghiệm xác (bên trái) nghiệm giải số (bên phải) với nhiễu = 0.1 Hàm trọng ω cho (2.48) noise=0.1 exact sol 0.9 0.8 0.8 0.7 0.6 0.6 0.4 0.5 0.4 0.2 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 2.16: Trường hợp chiều, Ví dụ 1, Thử nghiệm 1: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số với nhiễu = 0.1 (bên trái) sai số (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.48) Ví dụ 1, Thử nghiệm 2: f (t) = sin(πt) Trong thử nghiệm này, sử dụng hàm tương tự thử nghiệm trước hàm ϕ(x, t) = (x21 + 1)(x22 + 1)(t2 + 1) Chúng ý rằng, thử nghiệm này, chuẩn hàm ϕ nhỏ so với thử nghiệm Kết số trường hợp không tốt thử nghiệm trước Điều Hình 2.17 Hình 2.18 Ví dụ 2, Thử nghiệm 3:  2t f (t) = 2(1 − t) t ≤ 0.5, ngược lại , 66 Exact solution f(t) Approximation solution 0.8 0.8 appr sol f(t) 0.6 0.4 0.6 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 10 20 30 40 −0.2 50 10 20 30 t 40 50 t Hình 2.17: Trường hợp chiều, Ví dụ 1, Thử nghiệm 2: Nghiệm xác (bên trái) nghiệm giải số (bên phải) với nhiễu = 0.1 Hàm trọng ω cho (2.48) noise=0.1 exact sol 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 2.18: Trường hợp chiều, Ví dụ 1, Thử nghiệm 2: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số với nhiễu = 0.1 (bên trái) sai số (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.48) a1 (x, t) = a2 (x, t) = 0.5(1 − 0.5(1 − t) cos(3πx1 ) cos(3πx2 )), u0 (x) = sin(πx1 ) sin(πx2 ), b(x, t) = x21 + x22 + 2x1 t + 1, ϕ(x, t) = (x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 3) 67 Thay vào phương trình (2.47) ta có    − sin(πx1 ) sin(πx2 ) − (1 − t)(π + 0.5π cos(3πx1 ) cos(3πx2 )       +x21 + x22 + 2x1 t + 1)        +0.75π (1 − t)2 sin(3πx1 ) cos(3πx2 ) cos(πx1 ) sin(πx2 )       + cos(3πx1 ) sin(3πx2 ) sin(πx1 ) cos(πx2 )       −(x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 3)2t t ≤ 0.5, g(x, t) =   − sin(πx1 ) sin(πx2 ) − (1 − t)(π + 0.5π cos(3πx1 ) cos(3πx2 )       +x21 + x22 + 2x1 t + 1)        +0.75π (1 − t)2 sin(3πx1 ) cos(3πx2 ) cos(πx1 ) sin(πx2 )       + cos(3πx1 ) sin(3πx2 ) sin(πx1 ) cos(πx2 )       −(x2 + 5)(x2 + 3)(t2 + 3)2(1 − t) ngược lại Kết số thể Hình 2.19 2.20 Approximation solution 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 appr sol f(t) Exact solution f(t) 0.5 0.4 0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 10 20 30 40 50 0 10 t 20 30 40 50 t Hình 2.19: Trường hợp chiều, Ví dụ 2, Thử nghiệm 3: Nghiệm xác (bên trái) nghiệm giải số (bên phải) với nhiễu = 0.1 Hàm trọng ω cho (2.48) Ví dụ 3, Thử nghiệm 4:  1, f (t) = 0, 0.25 ≤ t ≤ 0.75, ngược lại 68 noise=0.1 exact sol 0.9 0.8 0.8 0.7 0.6 0.6 0.4 0.5 0.4 0.2 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 2.20: Trường hợp chiều, Ví dụ 2, Thử nghiệm 3: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số với nhiễu = 0.1 (bên trái) sai số (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.48) a1 (x, t) = a2 (x, t) = 0.5(1 − 0.5(1 − t) cos(3πx1 ) cos(3πx2 )), b(x, t) = x21 + x22 + 2x1 t + 1, u0 (x) = sin(πx1 ) sin(πx2 ), ϕ = (x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 3) Thay vào phương trình (2.47) ta có    − sin(πx1 ) sin(πx2 )(1 − (1 − t) π + 0.5π cos(3πx1 ) cos(3πx2 )        +x21 + x22 + 2x1 t + 1)       +0.75π (1 − t)2 sin(3πx1 ) cos(3πx2 ) cos(πx1 ) sin(πx2 )       + cos(3πx1 ) sin(3πx2 ) sin(πx1 ) cos(πx2 )    g= −(x21 + 5)(x22 + 3)(t2 + 3) 0.25 ≤ t ≤ 0.75,      − sin(πx1 ) sin(πx2 ) − (1 − t)(π + 0.5π cos(3πx1 ) cos(3πx2 )        +x21 + x22 + 2x1 t + 1)       +0.75π (1 − t)2 (sin(3πx1 ) cos(3πx2 ) cos(πx1 ) sin(πx2 )       + cos(3πx1 ) sin(3πx2 ) sin(πx1 ) cos(πx2 )) ngược lại Kết số cho thử nghiệm trình bày Hình 2.21 2.22 Các kết số trình bày Bảng 2.1, 2.2 2.3 Trong Bảng 2.1 Bảng 2.2, trình bày tham số hiệu chỉnh, sai số 69 Exact solution f(t) Approximation solution 0.8 0.8 appr sol f(t) 0.6 0.4 0.6 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 10 20 30 40 −0.2 50 10 20 30 t 40 50 t Hình 2.21: Trường hợp chiều, Ví dụ 3, Thử nghiệm 4: Nghiệm xác (bên trái) nghiệm giải số (bên phải) với nhiễu = 0.1 Hàm trọng ω cho (2.48) noise=0.1 exact sol 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 −0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.2 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 2.22: Trường hợp chiều, Ví dụ 3, Thử nghiệm 4: So sánh nghiệm xác nghiệm giải số với nhiễu = 0.1 (bên trái) sai số (bên phải) Hàm trọng ω cho (2.48) L2 , số bước lặp để thuật toán dừng giá trị phiếm hàm Tikhonov trường hợp chiều Trong Bảng 2.3, đưa sai số L2 , giá trị phiếm hàm quan sát tương ứng với nhiễu trường hợp chiều Từ cho thấy thuật toán đưa hiệu KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu toán xác định quy luật biên phi tuyến xác định nguồn trình truyền nhiệt Cụ thể luận án đạt kết sau: 70 Ví dụ Nhiễu γ n∗ 10−1 0.05 9.7E − 1.50E − 10−2 0.01 10 2.0E − 2.49E − 10−1 0.05 13 8.9E − 8.47E − 10−2 0.01 15 5.9E − 1.66E − 3 10−1 0.05 18 9.8E − 1.27E − 10−2 0.01 29 8.4E − 2.54E − f − fn∗ L2 (0,T ) Jγ (fn∗ ) Bảng 2.1: Tham số hiệu chỉnh γ , số bước lặp n∗ , sai số f − fn∗ L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho (2.45)) Ví dụ Nhiễu γ n∗ 10−1 0.05 7.8E − 1.42E − 10−2 0.01 2.9E − 2.47E − 10−1 0.05 13 8.5E − 8.50E − 10−2 0.01 14 7.8E − 1.66E − 3 10−1 0.05 17 9.5E − 1.28E − 10−2 0.01 29 1.0E − 2.53E − f − fn∗ L2 (0,T ) Jγ (fn∗ ) Bảng 2.2: Tham số hiệu chỉnh γ , số bước lặp n∗ , sai số f − fn∗ L2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho (2.46)) Đối với toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến biên, lý thuyết giải triệt để toán trường hợp nhiều chiều dựa phương pháp biến phân Chứng minh tính khả vi theo nghĩa Fréchet phiếm hàm cần tối ưu hóa, đưa công thức tính đạo hàm toán liên hợp Trong số trường hợp, ta chứng minh tồn nghiệm toán biến phân Bài toán rời rạc phương pháp phần tử biên (BEM) sau giải số phương pháp lặp Gauss-Newton Các thử nghiệm số máy tính cho thấy phương pháp thuật toán hữu hiệu 71 Ví dụ Nhiễu Sai số L2 Jγ 10−1 1.9E − 3.96E − 10−2 7.4E − 2.95E − 10−1 1.0E − 2.23E − 10−2 9.0E − 2.21E − 10−1 1.8E − 2.82E − 10−2 7.8E − 2.62E − Bảng 2.3: Sai số L2 , giá trị phiếm hàm quan sát tương ứng với nhiễu Với toán xác định nguồn trình truyền nhiệt, đưa cách tiếp cận có ý nghĩa thực tế để giải toán xác định nguồn nhiều chiều với hệ số phụ thuộc thời gian (chưa nghiên cứu từ trước), sau chuyển toán toán biến phân Vì toán biến phân không ổn định, nên hiệu chỉnh phương pháp chỉnh Tikhonov, sau chứng minh phiếm hàm Tikhonov khả vi Fréchet đưa công thức cho đạo hàm Fréchet qua trợ giúp toán liên hợp Bài toán rời rạc hóa phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) phương pháp sai phân phân rã (finite difference splitting method), sau giải phương pháp gradient liên hợp (conjugate gradient method) Thuật toán thử nghiệm máy tính kết số cho thấy phương pháp hữu hiệu Luận án mở số hướng tiếp tục nghiên cứu là: Nghiên cứu phương pháp giải số toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên phương pháp giải số toán xác định hệ số truyền nhiệt từ quan sát tích phân Nghiên cứu toán cho phương trình phức tạp Nghiên cứu toán xác định nguồn cho trình truyền nhiệt phi tuyến, nghiên cứu toán xác định nguồn điểm Tài liệu tham khảo [1] Alifanov O.M (1994), Inverse Heat Transfer Problems, Wiley, New York [2] Barbu V (1982), "Boundary control problems with nonlinear state equation", SIAM J Control Optim., 20, pp 125–143 [3] Beck J V., Blackwell B., Clair St C R (1985), Inverse Heat Conduction, Ill-Posed Problems, Wiley, New York [4] Cannon J R (1984), The One-dimensional Heat Equation, AddisonWesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA [5] Casas E (1997), "Pontryagin’s principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim., 35, pp 1297–1327 [6] Gol’dman N L (2007), "Finding the right-hand side in multidimensional parabolic equations with terminal observation", Differ Equ., 43, pp 1101– 1110 [7] Grever W (1998), "A nonlinear parabolic initial-boundary value problem modelling the continuous casting of steel", ZAMM Z Angew Math Mech., 78, pp 109–119 [8] Dinh Nho Hào (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern, New York, Paris 72 73 [9] Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), "Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations", Applicable Analysis, 94(9), pp 1784–1799 [10] Dinh Nho Hào, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, and Phan Xuan Thanh (2017), "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, pp 28–43 [11] Dinh Nho Hào, Nguyen Trung Thành, and H Sahli (2009), "Splitting-based gradient method for multi-dimensional inverse conduction problems", J Comput Appl Math., 232, pp 361–377 [12] Bui Viet Huong, Determination of a time–dependent term in the right hand side of linear parabolic equations (2015), Thai Nguyen Journal of Science and Technology, 135 (5), pp 139–144 [13] Isakov V.(1990),Inverse Source Problems,Amer.Math.Soc.,Providence,RI [14] Isakov V (2006), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Second edition, Springer, New York [15] Janicki M and Kindermann S (2009), "Recovering temperature dependence of heat transfer coefficient in electronic circuits", Inverse Probl Sci Eng., 17, pp 1129–1142 [16] Kaiser T and Tr¨oltzsch F (1987), "An inverse problem arising in the steel cooling process", Wiss Z Tech Univ Karl-Marx-Stadt, 29, pp 212–218 [17] Ladyzhenskaya O A (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer-Verlag, New York [18] Ladyzhenskaya O A (1968), V.A Solonnikov, N.N Ural’ceva, Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, AMS Translations of Mathematical Monographs 23, Providence 74 [19] Lavrent’ev M M and Maksimov V I (2008), "On the reconstruction of the right-hand side of a parabolic equation", Comput Math Math Phys., 48, pp 641–647 [20] Lesnic D., Onyango T T M and Ingham D B (2009), "The boundary element method for the determination of nonlinear boundary conditions in heat conduction", Mesh Reduction Methods-BEM/MRM XXXI,pp 45–55, WIT Trans Model Simul., 49, WIT Press, Southampton [21] Marchuk G I (1975), Methods of Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York [22] Marchuk G I (1990), "Splitting and alternating direction methods", In Ciaglet P G and Lions J L., editiors, Handbook of Numerical Mathematics Volume 1: Finite Difference Methods, ELsevier Science Publisher B.V., North-Holland, Amsterdam [23] Nemirovskii A S.(1986), "The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems", Zh Vychisl Math Phys., 26(2), pp 7–16 [24] Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2016), "Determination of a time– dependent term in the right hand side of linear parabolic equations", Acta Mathematica Vietnamica, 41, pp 313–335 [25] Orlovskii D.G.(1991),"Determination of parameter evolution in an abstract quasilinear parabolic equation", Mat.Zametki, 50 (2), pp 111–119 (Russian) [26] Orlovskii D G (1991), "Solvability of an inverse problem for a parabolic equation in the H¨older class", Mat Zametki, 50(3), pp 107–112 (Russian) [27] Onyango T T M., Ingham D B and Lesnic D (2009), "Reconstruction of boundary condition laws in heat conduction using the boundary element method", Comput Math Appl., 57, pp 153–168 [28] Pilant M and Rundell W (1989), "An iteration method for the determination of an unknown boundary condition in a parabolic initial-boundary value problem", Proc Edinburgh Math Soc., 32, pp 59–71 75 [29] Prilepko A I., Orlovsky D G., and Vasin I A (2000), Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics Marcel Dekker, Inc., New York [30] Prilepko A I and Solov’ev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type I (Russian)", Differentsial’nye Uravneniya, 23, pp 1791–1799 [31] Prilepko A I and Solov’ev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type II (Russian)", Differentsial’nye Uravneniya, 23, pp 1971–1980 [32] Raymond J P and Zidani H (1998), "Pontryagin’s principle for stateconstrained control problems governed by parabolic equations with unbounded controls", SIAM J Control Optim., 36, pp 1853–1879 [33] Raymond J P and Zidani H (1999), "Hamiltonian-Pontryagin’s principles for control problems governed by semilinear parabolic equations", Appl Math Optim., 39, pp 143–177 [34] Rundell W and Yin H M (1990), "A parabolic inverse problem with an unknown boundary condition", J Differential Equations, 86, pp 234–242 [35] R¨osch A (1994), "Identification of nonlinear heat transfer laws by optimal control", Numer Funct Anal Optim., 15, pp 417–434 [36] R¨osch A (1996), "Fréchet differentiability of the solution of the heat equation with respect to a nonlinear boundary condition", Z Anal Anwendungen, 15, pp 603–618 [37] R¨osch A (1996), "Stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Inverse Problems, 12, pp 743–756 [38] R¨osch A (1996), "Identification of nonlinear heat transfer laws by means of boundary data", Progress in Industry (at ECMI 94), pp 405–412 Wiley– Teubner 76 [39] R¨osch A (1998), "Second order optimality conditions and stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Control and Estimation of Distributed Parameter Systems (Vorau, 1996), 237–246, Internat Ser Numer Math., 126, Birkh¨auser, Basel [40] R¨osch A.(2002), "A Gauss-Newton method for the identification of nonlinear heat transfer laws", Optimal Control of Complex Structures (Oberwolfach, 2000), 217–230, Internat Ser Numer Math., 139, Birkh¨auser, Basel [41] R¨osch A and Tr¨oltzsch F (1992), "An optimal control problem arising from the identification of nonlinear heat transfer laws", Arch Control Sci., 1, pp 183–195 [42] Schmidt E J P G (1989), "Boundary control for the heat equation with nonlinear boundary condition", J Differential Equations, 78, pp 89–121 [43] Tao L N (1981), "Heat conduction with nonlinear boundary condition", Z Angew Math Phys., 32, pp 144–155 [44] Nguyen Trung Thành (2007), Infrared Thermography for the Detection and Characterization of Buried Objects PhD thesis, Vrije Universiteit Brussel, Brussel, Belgium [45] Tr¨oltzsh F.(2010),Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications, Amer.Math.Soc.,Providence,Rhode Island [46] Wloka J (1987), Partial Differential Equations, Cambridge Univ Press, Cambridge [47] Yanenko N N (1971), The Method of Fractional Steps, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York ... 19 1.2 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân biên 21 1.2.1 Bài toán thuận 21 1.2.2 Bài toán biến phân... pháp giải số hữu hiệu Chương Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát biên Trong chương này, nghiên cứu toán xác định hàm u(x, t) g(u, f ) toán giá trị biên    ut − ∆u =   ... dụ số 30 1.3 Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát phần biên Xác định nguồn toán truyền nhiệt 36 39 2.1 Phương pháp