mối liên hệ giữa toán học và thế giới quan duy vật trong quá trình hình thành và phát triển

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Theo quan điểm thống, môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ tiên đề, cách sử dụng Luận lý học (lôgic) ký hiệu toán học Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học mệnh danh "ngôn ngữ vũ trụ" Chủ nghĩa vật biện chứng với tư cách hạt nhân lý luận giới quan vật biện chứng hình thành phát triển dựa thành tựu ngành khoa học tự nhiên Mà ngành khoa học tự nhiên khác dùng toán học làm công cụ phục vụ trình tìm hiểu mô tả chất giới, mối quan hệ đối tượng Do đó, phô trương nói toán học gây dựng tảng để ngành khoa học tự nhiên khác phát triển, thành phát triển giới quan vật, đặc biệt giới quan vật biện chứng, hình thành phát triển Cả toán học giới quan vật có chung nguồn gốc hình thành, chúng xuất phát từ nhu cầu hoạt động thực tiễn người, trải qua bước thăng trầm lịch sử xã hội loài người Sự gắn kết toán học giới quan vật thời kỳ đầu nhà triết học nghiên cứu tất lĩnh vực sống, có toán học, mà thể suốt trình phát triển hai lĩnh vực Trong mối quan hệ biện chứng với nhau, toán học giới quan vật luôn tác động qua lại, bổ sung cho Thực tế khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xã hội, khoa học công nghệ trí tuệ người, thân đối tượng toán học không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tượng trình độ thấp đến trừu tượng trình độ cao Như vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tượng toán học, tìm hiểu khía cạnh triết học toán học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xã hội Đó lý em chọn đề tài: “mối liên hệ toán học giới quan vật trình hình thành phát triển” Đây khám phá mẻ mối quan hệ toán học giới quan vật, vị trí vai trò chúng mối quan hệ Mà chắt lọc nội dung kiến thức học, trình bày giáo trình Triết học qua tìm hiểu thêm cách phương tiện thông tin Do tiểu luận trình bày theo ý hiểu chủ quan nên tránh khỏi sai sót, khiếm khuyết Rất mong thầy nhận xét, đánh giá thiếu xót để em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG I – THẾ GIỚI QUAN VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT Thế giới quan hình thức giới quan 1.1 Khái niệm “Thế giới quan” Là sản phẩm phận giới, người có nhu cầu phải nhận thức giới phải nhận thức thân mối quan hệ với giới để điều chỉnh hoạt động mình, đảm bảo cho tồn phát triển Kết trình nhận thức tạo nên giới quan Như vậy, giới quan quan điểm, quan niệm người giới xung quanh, thân sống người, vị trí, vai trò người giới Về nguồn gốc, giới quan đời từ sống Nó kết trực tiếp trình nhận thức song suy kết yếu tố chủ quan yếu tố khách quan, hoạt động nhận thức hoạt động thực tiễn Hình thành giới quan trình tất yếu mà chủ thể cá nhân hay cộng đồng xã hội Về nội dung, giới quan phản ánh giới ba góc độ: 1) Các đối tượng bên chủ thể; 2) Bản thân chủ thể 3) Mối quan hệ chủ thể với đối tượng bên chủ thể Ba góc độ vừa thể ý thức người giới, vừa thể ý thức người thân Về hình thức, giới quan biểu dạng quan điểm, quan niệm rời rạc, hiểu dạng hệ thống lý luận chặt chẽ Về cấu trúc, tượng tinh thần, giới quan có cấu trúc phức tạp tiếp cận từ nhiều góc độ khác nhau, song hai yếu tố giới quan tri thức niềm tin Tri thức sở trực tiếp cho hình thành giới quan, song tri thức gia nhập vào giới quan trở thành niềm tin để hình thành lý tưởng, động thúc người Như vậy, giới quan quán giới quan có tri thức niềm tin thống với tạo nên sở vững chác cho người tiếp tục tìm hiểu giới, cho người xác định thái độ, cách thức hoạt động, cách thức sống nói riêng xác lập nhân sinh quan nói chung Chính vai trò sở để người xác định vấn đề then chốt sống, giới quan có chức như: chức nhận thức, chức xác lập giá trị, chức bình xét, đánh giá, chức điều chỉnh hành vi, v.v khái quát lại, chức bao trùm giới quan chức định hướng cho toàn hoạt động sống người 1.2 Những hình thức giới quan Là kết trực tiếp trình nhận thức, giới quan phát triển theo phát triển nhận thức người Cho đến nay, phát triển giới quan thể ba hình thức bản: Thế giới quan huyền thoại, giới quan tôn giáo giới quan triết học - Thế giới quan huyền thoại: Thế giới quan huyền thoại giới quan có nội dung pha trộn cách không tự giác thực ảo Thế giới quan huyền thoại đặc trưng cho “tư nguyên thuỷ”, thể rõ nét qua chuyện thần thoại, chủ yếu phản ánh nhận thức giới người xã hội công xã nguyên thuỷ Thế giới quan huyền hoại mang nặng dấu ấn thời đại sản sinh – thời đại mà người tính mông muội chưa bị đẩy lùi đời sống vật chất lẫn đời sống tinh thần, hoạt động nhận thức lẫn hoạt động thực tiễn Thế giới quan huyền thoại chủ yếu sản phẩm nhận thức cảm tính thể qua đối tượng mà người trực tiếp quan sát nên trừu tượng thường người hình dung dạng vật cụ thể Chẳng hạn: “Thiện” “ác” Đây khái niệm thể đánh giá mặt giá trị xã hội song thần thoại, thiện - ác mô tả vật có hình dáng, có kích thước có nơi cất giữ, bảo quản Thế giới quan huyền thoại thể đậm nét trí tưởng tượng “tư nguyên thuỷ” – tư chứa đựng pha trộn cách không tự giác thực ảo, người thần Sự pha trộn này, Ph.Ăngghen nhận định, kết tất yếu trình độ nhận thức thấp, người chưa hiểu nguồn gốc, nguyên nhân, chất vật, tượng giới nên họ nhân cách hoá, nhân hình hoá, nhân tính hoá chúng thành vị thần bán thần thần thoại Thần Sông Akêlôx, Thần Đất Gaia, v.v thần thoại Hy Lạp; Thần Gió Ngẫu Cường, Thần Mặt Trời Viêm Đế v.v thần thoại Trung Quốc; Thần Lửa Agri, Thần Không Trung Varuna, v.v thần thoại Ấn Độ; v.v kết nhân cách hoá, nhân hình hoá, nhân tính hoá Mặt khác, xã hội công xã nguyên thuỷ, sống cộng đồng với tất nhu cầu làm nảy sinh ý thức tìm cội nguồn người nguyên thuỷ Họ biết mà tổ tiên họ tạo mong mỏi tổ tiên tiếp thêm sức mạnh, giúp họ chiến thắng chiến chống thiên tai, chống thú chống cộng đồng người khác Hình ảnh hệ trước truyền miệng từ người sang người khác, từ đời sang đời khác qua trí tưởng tượng, qua suy luận tưởng tượng người kể tạo biến đổi không tự giác làm người thị tộc ngày anh hùng hơn, kỳ vĩ thần thánh Hêraclex, Hector, Ôđixê, Thiếu Hạo, Chuyên Húc, v.v người Có thể nói, giới quan huyền thoại, “Bất câu chuyện thần thoại khắc phục, khống chế hình thành lực lượng tự nhiên tưởng tượng nhờ trí tưởng tượng”; truy tìm nguồn gốc thị tộc – thị tộc có trước thần thoại thân thị tộc sáng tạo với vị thần bán thần; thực tế qua phản ánh hoang tưởng vào câu chuyện người nguyên thuỷ” - Thế giới quan tôn giáo Thế giới quan tôn giáo giới quan có niềm tin mãnh liệt vào sức mạnh lực lượng siêu nhiên giới, người; thể qua hoạt động có tổ chức để suy tôn, sùng bái lực lượng siêu nhiên Thế giới quan tôn giáo đời trình độ nhận thức khả hoạt động thực tiễn người thấp, Những hình thức sơ khai giới quan Bái vật giáo, Tôtem giáo, Ma thuật giáo, Linh vật giáo, Saman giáo thể yếu đuối, bất lực, sợ hãi người trước lực lượng tự nhiên, lực lượng xã hội dẫn đến việc người thần thánh hoá chúng, quy chúng sức mạnh tự nhiên đến tôn thờ chúng Theo Ph.Ăngghen “Tất tôn giáo chẳng qua phản ánh hư ảo – vào đầu óc người – lực lượng bên chi phối sống hàng ngày họ Chỉ phản ánh lực lượng trần mang hình thức lực lượng siêu trần thế” Đặc trưng yếu giới quan tôn giáo niềm tin cao lý trí, niềm tin vào giới khác hoàn thiện, hoàn mỹ mà người đến sau chết giữ vai trò chủ đạo V.I.Lênin cho rằng: “Sự bất lực giai cấp bị bóc lột đấu tranh chống bọn bóc lột tất nhiên đẻ lòng tin vào đời tốt đẹp giới bên kia, giống bất lực người dã man đấu tranh chống thiên nhiên đẻ lòng tin vào thần thánh, ma quỷ, vào phép màu, v.v.” Ở niềm tin này, giới quan tôn giáo vừa biểu nghèo nàn thực, vừa phản kháng chống lại nghèo nàn Nó tiếng thở dài chúng sinh, “thuốc phiện” làm giảm nỗi đau trước mát người khổ, nhu cầu tinh thần phận quần chúng sống - Thế giới quan triết học Thế giới quan triết học hệ thống quan điểm lý luận chung người giới xung quanh, thân sống người, vị trí người giới Thế giới quan triết học hình thành triết học đời – nhận thức người đạt đến trình độ cao khái quát hoá, trừu tượng hoá lực lượng xã hội ý thức cần thiết phải có định hướng tư tưởng để đạo sống Thế giới quan triết học triết học không đồng Triết học hạt nhân giới quan, phận quan trọng chi phối tất quan điểm, quan niệm lại giới quan quan điểm đạo đức, thẩm mỹ, kinh tế, trị, văn hoá, v.v Đặc trưng quan trọng giới quan triết học việc đề cao vai trò lý trí; phản ánh giới lý luận thông qua hệ thống khái niệm, phạm trù không ngừng điều chỉnh, bổ sung, hoàn thiện chúng trình nhận thức Phân biệt khác người giới quan triết học với người giới quan khác, C.Mác viết: “ vị hướng tình cảm, triết học hướng lý trí; vị nguyền rủa, than vãn, triết học dạy bảo; vị hứa hẹn toàn thiên đường giới, triết học không hứa hẹn chân lý; vị đòi hỏi tin tưởng tín ngưỡng vị, triết học không đòi hỏi tin tưởng vào kết luận nó, đòi hỏi kiểm nghiệm điều hoài nghi; vị doạ nạt, triết học an ủi Và, thật thế, triết học biết sống đầy đủ để hiểu kết luận không bao dung khao khát hưởng lạc lòng vị kỷ – thiên giới lẫn giới trần tục Ba hình thức giới quan chia thành hai loại: Thế giới quan khoa học giới quan phản khoa học, đó, giới quan khoa học giới phản ánh giới định hướng cho hoạt động người sở tổng kết thành tựu trình nghiên cứu khoa học, thực nghiệm khoa học dự báo khoa học Ở giới quan khoa học, quan điểm, quan niệm người giới, thân người, vị trí, vai trò người giới không ngừng bổ sung, hoàn thiện theo phát triển khoa học với bổ sung, hoàn thiện ấy, vai trò cải tạo giới thông qua hoạt động thực tiễn giới quan khoa học ngày nâng cao Thế giới quan vật lịch sử phát triển giới quan vật 2.1 Thế giới quan vật Thế giới quan vật giới quan thừa nhận chất giới vật chất, thừa nhận vai trò định vật chất biểu đời sống tinh thần thừa nhận vị trí, vai trò người sống thực Theo giới quan vật có giới giới vật chất Thế giới vật chất không sinh ra, không bị đi, tồn vĩnh viễn, vô hạn, vô tận Thế giới quan vật thừa nhận tồn tượng tinh thần song biểu tinh thần có nguồn gốc từ vật chất Vì vậy, mối qua hệ vật chất tinh thần vật chất có trước, tinh thần có sau bị vật chất định Thế giới quan vật khẳng định tồn thực người với việc thừa nhận vai trò định cuả hoàn cảnh vật chất, giới vật nhấn mạnh tính động, tính tích cực người sống Phân biệt giới quan vật giới quan tâm, V.I.Lênin cho rằng: “Không trừ trường hợp nào, đằng sau đống thuật ngữ tinh vi, đằng sau mớ lộn xộn nghị luận uyên thâm kinh viện, hai đường lối bản, hai khuynh hướng Những người vật cho giới tự nhiên có trước, tinh thần có sau; đặt tồn lên hàng đầu tư vào hàng thứ hai Còn người tâm ngược lại”1 Như vậy, theo V.I.Lênin, sở quan trọng để xác định giới quan thuộc vật hay tâm – cho dù tâm hình thức (thô sơ, chất phác, tôn giáo hay văn minh, triết học) – xem giới quan quan niệm vị trí, vai trò vật chất, ý thức mối quan hệ chúng 2.2 Lịch sử phát triển giới quan vật Kể từ triết học đời, phát triển giới quan vật gắn liền với phát triển chủ nghĩa vật Tương ứng với ba hình thức chủ nghĩa vật Chủ nghĩa vật chất phác, Chủ nghĩa vật siêu hình, Chủ nghĩa vật biện chứng ba hình thức giới quan: Thế giới quan vật chất phác, Thế giới quan vật siêu hình Thế giới quan vật biện chứng - Thế giới quan vật chất phác: Thế giới quan vật chất phác giới quan thể trình độ nhận thức ngây thơ, chất phác nhà vật Thế giới quan vật chất phác thể hện rõ nét thời cổ đại Đây thời kỳ người thoát khỏi trạng thái mông muội mặt đời sống xã hội trình độ thấp Lao động bước phân thành lao động trí óc lao động chân tay song sản xuất vật chất hoạt động bắp hoạt động tinh thần người lao động trí óc tạo nên phôi thai khoa học nên thừa nhận chất giới vật chất, nhà vật quan niệm vật chất hay số chất sản sinh vũ trụ Ở phương Đông, phái Ngũ hành coi chất Kim – Mộc – Thuỷ – Hoả - Thổ; phái Nyaya – Vai’sêsika: hạt không đồng nhất, bất biến, khác hình dáng khối lượng mà họ gọi Anu; phái Lokayata: đất, nước, lửa, không khí; v.v Ở phương Tây, phái Milê cho chất đơn nước (quan điểm Talét), apeirôn (quan điểm Anaximan) hay không khí (quan điểm Anaximen); Hêraclit bảo lửa; Lơxip Đêmôcrit khẳng định nguyên tử; v.v Những vấn đề người nhà vật giải thích xuất phát từ chất mà họ coi vật chất ấy: Con người thân ngũ hành, sản phẩm khí, tương tác âm – dương, kết hợp nguyên tử, v.v Với quan niệm giới, người vậy, nhìn chung giới quan vật chất phác thời cổ đại có bước tiến đáng kể so với giới quan khác tồn xã hội đương thời song hạn chế lịch sử, giới quan vật chất phác nhiều hạn chế, đó: + Nhận thức nhà vật mang nặng tính trực quan, đoán chưa có khoa học vững + Quan niệm vật chất hay số chất sản sinh vạn vật chứng tỏ nhà vật thời kỳ đồng vật chất với vật thể – số dạng cụ thể vật chất + Việc đồng vật chất với vật thể nguyên nhân dẫn đến nhiều hạn chế lĩnh vực khác, như: Không hiểu chất tượng tinh thần mối quan hệ tinh thần với vật chất; sở xác định biểu vật chất đời sống xã hội nên sở để đứng quan điểm vật giải vấn đề xã hội Điều tất yếu dẫn đến vật không triệt để: giải vấn đề tự nhiên họ đứng quan điểm vật, giải vấn đề xã hội họ “trượt” sang quan điểm tâm”; v.v + Thế giới quan vật thời cổ đại dừng lại việc giải thích giới chưa đóng vai trò cải tạo giới Tuy nhiều hạn chế trình độ nhận thức nội dung phản ánh giới quan vật chất phác thời cổ đại có đóng góp lớn lao vào trình phát triển nhận thức Điều thể hiện: Sự đời giới quan vật thời cổ đại đánh dấu bước chuyển hoá từ giải thích giới dựa thần linh sang giải thích giới dựa vào giới tự nhiên, định hướng cho người nhận thức giới phải xuất phát từ thân giới đặt nhiều vấn đề - từ giới quan vật giai đoạn sau tiếp tục phát triển, hoàn thiện - Thế giới quan vật siêu hình Thế giới quan vật siêu hình giới quan vật hình thành phát triển phương pháp tư siêu hình Thế giới quan vật siêu hình biểu rõ nét vào thời cận đại, vào kỷ thứ XVII – XVIII nước Tây Âu Thời kỳ phương thức sản xuất tư chủ nghĩa xác lập nhiều nước Sự đời phương thức sản xuất tư chủ nghĩa đòi hỏi khoa học tự nhiên phải có bước phát triển vào kỷ thứ XVII – XVIII hoá học hình thức ấu trĩ, chủ yếu theo thuyết phlôgixtôn; sinh vật học trình độ phôi thai, thể động, thực vật nghiên cứu thô sơ giải thích nghiên cứu tuý máy móc; lịch sử phát triển trái đất hoàn toàn chưa biết đến v.v Trong tất khoa học tự nhiên, có học đạt đến mức độ hoàn bị nên định luật học coi hoạt động nhận thức Điều dẫn đến thống trị phương pháp tư siêu hình mà hầu hết nhà vật Tây Âu chịu ảnh hưởng Những yếu tố biên chứng có xuất học thuyết nhà vật song nhìn chung giới quan họ giới quan vật siêu hình Tiêu biểu cho giới quan vật siêu hình kỷ thứ XVII – XVIII giới quan Bêcơn, Hốpxơ, Lốccơ, Xpinôda, Đềcáctơ, La Metri, Điđrô, Hônbách, v.v Các nhà vật siêu hình phủ nhận vai trò Đấng Sáng tạo, thừa nhận chất giới vật chất phát triển tư tưởng coi vật chất chất tạo vũ trụ nhà vật thời cổ đại: Bêcơn, Đềcáctơ coi vật chất “hạt”; Hốpxơ, La Metri, Điđrô coi “các vật thể riêng lẻ”, v.v Nhìn chung, giới quan niệm nhà vật siêu hình vô số vật cụ thể tồn cạnh không gian trống rỗng, vĩ đại Các nhà vật siêu hình đề cao người, đề cao giá trị người song quan niệm người cỗ máy: Hốpxơ hiểu trái tim người lò xo, thần kinh sợi khớp xương bánh xe; Bêcơn coi ý thức người “linh hồn biết cảm giác” tồn óc chảy theo dây thần kinh mạch máu; v.v Không hiểu người, tất yếu nhà vật siêu hình hiểu vị trí, vai trò người giới mà người sống Thế giới quan vật siêu hình thời cận đại góp phần chống giới quan tâm, góp phần giúp người đạt số hiệu nhận thức lĩnh vực hẹp song phát triển tư tưởng vật chất nhà vật thời cổ đại phương pháp nhận thức phương pháp siêu hình nên hạn chế mà nhà vật thời cổ đại mắc phải, nhà vật thời cận đại mang nặng tư máy móc, không hiểu giới trình với tính cách lịch sử phát triển vật chất mối liên hệ đa dạng, phức tạp trạng thái vận động không ngừng, vĩnh viễn - Thế giới quan vật biện chứng: Thế giới quan vật biện chứng giới quan vật hình thành phát triển phương pháp tư biện chứng Thế giới quan C.Mác Ph.Ăngghen xây dựng vào kỷ thứ XIX, V.I.Lênin người kế tục ông phát triển Sự đời giới quan vật biện chứng kết kế thừa tinh hoa quan điểm giới trước đó, trực tiếp quan điểm vật L.Phơbách phép biện chứng F.Hêghen; kết sử dụng tối ưu thành tựu khoa học, trước hết thành tựu Vật lý học Sinh học Ph.Ăngghen nhận định: Thời gian (giữa kỷ thứ XIX) khoa học tự nhiên phát triển đạt kết rực rỡ, cung cấp tài liệu với số lượng chưa có, đến mức làm cho người ta khắc phục hoàn toàn tính siêu hình máy móc kỷ XVIII, mà thân khoa học tự nhiên, nhờ chứng minh mối liên hệ tồn thân giới tự nhiên mà biến từ khoa học kinh nghiệm chủ nghĩa thành khoa học lý luận nhờ tổng hợp kết đạt mà trở thành hệ thống nhận thức vật giới vận động, biến đổi không ngừng Sự đời giới quan vật biện chứng kết tổng kết kiện lịch sử diễn nước Tây Âu, phương thức sản xuất tư chủ nghĩa hình thành bộc lộ mặt mạnh mặt hạn chế Nội dung, chất chủ nghĩa vật biện chứng đem lại cho người không tranh trung thực giới mà đem lại cho người định hướng, phương pháp tư khoa học để người tiếp tục nhận thức cải tạo giới CHƯƠNG II - VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT Vai trò ký hiệu toán học nhận thức khoa học Như biết rằng, lịch sử toán học, vào đầu kỷ thứ V, người ấn Độ đưa ký hiệu vào để số họ xoá bỏ hệ thống tính cấp phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt tính toán hàng trăm triệu người hành tinh sử dụng hàng ngày Đồng thời, nhà khoa học tiếng người Đức Lépnít đưa ký hiệu vi phân tích phân toán học thực đổi Thật vậy, trước lời giải nhiều toán tính diện tích, thể tích, học, thiên văn học… đòi hỏi nỗ lực to lớn mà nhà toán học lỗi lạc giải được, ký hiệu Lépnít xuất hiện, nhìn chung chúng giải quyết, giải cách máy móc Như vậy, với ký hiệu toán học, giải nhiệm vụ gắn liền với thực tiễn Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đích thực Ở đây, vấn đề chỗ, nội dung thể trình nghiên cứu khoa học Theo quan điểm vật biện chứng, ký hiệu toán học, trước hết sử dụng để ghi lại khái niệm mệnh đề toán học Chẳng hạn, số học số tự nhiên, 1, 2,3, ký hiệu biểu thị đặc điểm lượng nhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối >, = , < 1< tượng Các ký hiệu biểu diễn tương quan, chẳng hạn (1 bé 2) +,−, × , : Đồng thời, người ta sử dụng đấu hiệu phép tính số học như: để biểu thị mối liên hệ có số tự nhiên Tất ký hiệu nói cho phép ta diễn đạt cách hoàn toàn xác nhiều mệnh đề số học số tự nhiên Ví dụ, ký hiệu (4 × 6) − 10 = × biểu diễn mệnh đề số học Trong toán học, vai trò ký hiệu giống với vai trò tiếng nói thông thường xã hội Điều thể chỗ, tiếng nói ký hiệu toán học cho phép nhà toán học trao đổi với trao đổi với người khác chân lý toán học, việc tổ chức nghiên cứu khoa học Nhà toán học tiếng người Nga - Lôbasépxki nhận định rằng, tiếng nói thông thường có khả làm cho hiểu biết thêm phong phú nhờ lĩnh hội ý kiến người khác, tiếng nói ký hiệu toán học phương tiện hoàn hảo hơn, xác sáng sủa để người truyền cho người khái niệm mà họ lĩnh hội được, chân lý mà họ tìm thấy Nhưng đây, cần phải thấy điều đặc biệt quan trọng là, tiếng nói ký hiệu toán học tồn tiếng nói thông thường Tiếng nói thông thường có nội dung phong phú tiếng nói ký hiệu toán học Tất mệnh đề toán học diễn tả tiếng nói ký hiệu diễn tả tiếng nói thông thường Nhưng điều ngược lại không đúng, mệnh đề diễn tả tiếng nói thông thường lúc diễn tả tiếng nói ký hiệu toán học Tiếng nói ký hiệu toán học công cụ bổ sung cho tiếng nói thông thường, sử dụng toán học phần ngành khoa học khác mà đó, có ứng dụng toán học Việc ký hiệu hoá toán học không đơn vấn đề hình thức, cách viết tắt thuận lợi, không xem thường khía cạnh Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà diễn tả ngôn ngữ thông thường dài đòng, phức tạp Trong tập Bản thảo toán học, Mác nghiên cứu riêng toán học để lại nhiều tư tưởng quý giá vấn đề mà quan tâm Trong đó, tư tưởng Mác gọi "cuộc cách mạng phương pháp" có ý nghĩa đặc biệt quan trọng mặt phương pháp luận Trong phân tích quan niệm khác sở phép tính vi phân, Mác khẳng định rằng, việc sử dụng ký hiệu trở thành bí ẩn khó hiểu từ đầu chúng coi cho, có sẵn Điều khẳng định Mác xảy nhà sáng lập phép tính vi phân - Niutơn Lépnít người kế tục gần gũi ông Trong tìm đạo hàm vi phân hàm số, từ đầu, họ coi số gia đối số vi phân Khi lấy vi phân hàm số xác định y = f(x), phận bỏ coi vô nhỏ, số hạng bỏ khác việc bỏ phép toán không hợp pháp; có (dx) = đó, (dy) đẳng thức biến thành đồng thức = Như vậy, số hạng bỏ đồng thời phải không Lẽ đương nhiên đây, phép biện chứng Trái lại, điều đến chỗ gán cho vi phân tính chất bí ẩn đặc biệt đó, khác với tính chất đại lượng thông thường Vin vào đó, nhà triết học tâm Béccơly lấy cớ để gọi chúng cách châm biếm hài hước "bóng ma đại lượng chết" Để vứt bỏ bí ẩn khái niệm ký hiệu phép tính vi phân, theo Mác, cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng phép tính vi phân không xuất điểm xuất phát, mà kết trình hoạt động thực tế không chứa chút ký hiệu Mác cho rằng, điểm xuất phát phải nằm giới hạn đại số thông thường mà chưa yêu cầu thuật toán đặc biệt phép tính vi phân ký hiệu Ở đây, điều mà cần lưu ý chỗ, Mác rõ việc cần phải làm để tìm đạo hàm hàm số xác định y = f (x i) Trước hết, Mác lập số gia hữu hạn Δx Δy Trong số nhà triết học tâm, chẳng hạn Alembécxơ, coi số gia tồn từ trước, biến đổi biến số, Mác, trái lại, coi chúng kết biến đổi biến số Mác coi việc khử số gia công đoạn diễn kết biến đổi ngược biến số x y, việc lấy vi phân hàm số phép toán bao gồm công đoạn tính khử số gia hữu hạn Mác viết: "Lúc đầu việc tính số gia sau việc khử chúng, dẫn đến hết Tất khó khăn việc hiểu phép vi phân (cũng việc hiểu phủ định phủ định nói chung) chỗ, thấy điểm nào, khác với thủ tục đơn giản vậy, dẫn đến kết thực tế nào" Như vậy, từ lập trường chủ nghĩa vật biện chứng, nhận thấy rằng, toán học, người ta có khả sử dụng tiếng nói ký hiệu đặc điểm đối tượng nghiên cứu Cụ thể là, toán học nghiên cứu hình dạng quan hệ đối tượng giới thực mà giới hạn biết, chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế đối tượng Ngày nay, toán học, thiết phải dùng đến tiếng nói ký hiệu, nhờ đó, ta ghi lại cách ngắn gọn rõ ràng khái niệm mệnh đề lý thuyết toán họe Đồng thời, việc sử dụng ký hiệu cho phép phát triển phép tính thuật toán, tức cất lõi để xây dựng nên phương pháp mệnh đề toán học Như vậy, thực chất, việc sử dụng ký hiệu toán học thí nghiệm lý tưởng hoá, chúng mô tả dạng tuý điều thực hay thực cách gần xác thực tế Chính mà việc sử dụng ký hiệu toán học có khả phát chân lý toán học Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, tất điều nói thực trường hợp hệ thống ký hiệu toán học thể đắn tính chất tương quan bản, xác định giới thực Toán học nghiên cứu quan hệ lượng hình dạng không gian đối tượng giới tồn tại, có nghĩa nghiên cứu không phụ thuộc vào nội dung vật chất chúng Trên sở đó, đối tượng mà nghiên cứu toán học, số học, đại số, hình học… liên hệ cộng, trừ, nhân, chia… thay ký hiệu mà ý nghĩa chúng không bị xuyên tạc thu hẹp lại Điều nhiều nhà toán học khẳng định, số có nhà toán học tâm Chẳng hạn, Lépnít nhận xét rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làm cho ký hiệu trở nên thuận tiện cho việc phát minh Điều thường xảy ký hiệu diễn tả cách ngắn gọn phản ánh cách sâu sắc thực chất vật, việc làm tư giảm đến mức kỳ diệu Vai trò toán học hình thành phát triển giới quan vật Nhìn vào trình phát triển toán học chia lịch sử làm ba thời kỳ lớn: thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học đại lượng bất biến (từ kỷ thứ V trước công nguyên đến kỷ XVII), thời kỳ cổ điển hay toán học đại lượng biến đổi (từ kỷ XVIII đến cuối kỷ XIX), thời kỳ đại hay toán học vấn đề cấu trúc (từ cuối kỷ XIX đến nay) Sự thời kỳ tuân theo logic định phản ánh tiến trình phát triển nội toán học nhân tố bên ngoài, có quan điểm giới quan khác nhau, tác động vào Cũng tri thức khác, phát triển tri thức toán học mang tính biện chứng sâu sắc Nó trình vừa kế thừa vừa đổi chất thời kỳ Vì tri thức toán học thời kỳ sau chung hơn, sâu sắc hơn, đa dạng thời kỳ trước bao quát trường hợp riêng Vậy thời kỳ, toán học góp phần hình thành luận chứng cho giới quan vật nói chung triết học biện chứng nói riêng nào? Thời kỳ đầu, thời kỳ toán học đại lượng bất biến, tức đại lượng lấy giá trị cố định Trước hết, toán học đóng góp vào hình thành sở lôgic hình thức, nhờ tư có lập luận xác, chặt chẽ Điều góp phần hình thành nên nguyên tắc tư khoa học Thí dụ từ quan hệ a=b, b=c suy a=c Tuy nhiên, khái niệm bất biến, bất động, cố định Đối với lĩnh vực tri thức khác, thời kỳ có học thiên văn học tương đối phát triển Toán học thông qua hai khoa học góp phần vào cách mạng Copecních thay hệ địa tâm hệ nhật tâm Sự phát triển giới quan gắn liền với cách mạng mà Copecních thực đòi hỏi phải có toán học mang tư tưởng chất đời (đó toán học đại lượng biến đổi thời kỳ cổ điển) Tuy nhiên, thời kỳ này, quan niệm học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét vật, tượng giới xung quanh Do học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định toán học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng nó, nên quan điểm tạo sở cho hình thành chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Thế giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc ảnh hưởng lâu dài đến phát triển toán học lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Mặt khác, thành tựu phát triển số học, hình học tạo mối liên hệ với quan niệm phép biện chứng ngây thơ cổ đại Chẳng hạn, vấn đề quan hệ số thực số ảo, vô hạn hữu hạn Như thời kỳ này, toán học có đóng góp vào hình thành phát triển số yếu tố biện chứng, song nhìn chung dừng lại việc góp phần hình thành củng cố giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Do phát triển thực tiễn nhận thức, tất yếu dẫn tới đời toán học đại lượng biến đổi Ở thời kỳ này, nhà kinh điển ý đến toán học, trước hết tư tưởng vận động, mối liên hệ, phát triển toán học sớm khoa học tự nhiên thực nghiệm khác F Enghen đánh giá:“Đại lượng biến đổi Đềcác đánh dấu bước ngoặt toán học Nhờ mà vận động biện chứng vào toán học phép tính vi phân tích phân trở thành cần thiết.” Thật vậy, lập luận giải tính toán phép tính vi phân, người ta dùng khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học nghiên cứu vận động, mối liên hệ khía cạnh quan trọng Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, liên hệ toán học góp phần thay đổi chất tư khoa học Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức học Niuton chịu chi phối khái niệm, phạm trù bất biến cố định toán học sơ cấp Với tư tưởng vận động, liên hệ toán học, người ta có quan niệm mềm dẻo hình thức tư nói chung phạm trù bất biến logic hình thức nói riêng Ví dụ, để đo độ dài đường cong, ta phải xem đường cong giới hạn đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận 10 động, liên hệ toán học nguồn gốc đẻ tư biện chứng Nó góp phần hình thành bước đầu sở khoa học logic biện chứng Còn khoa học tự nhiên sao? Vào thời kỳ trước đó, điều kiện lịch sử định, giới quan siêu hình máy móc thống trị khoa học tự nhiên, đời phát triển tư tưởng vận động, liên hệ toán học giáng đòn mạnh mẽ vào giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm quan niệm tính bất di bất dịch tuyệt đối tự nhiên” Thật vậy, đời phép tính vi phân, giải tích toán học tạo cho nhà khoa học phương tiện nhận thức tượng, vật, trình tự nhiên Nhờ đó, người ta phát định luật vạn vật hấp dẫn kỷ XVII, quy luật truyền sóng truyền nhiệt kỷ XVIII Sự đời thuyết tương đối Anhxtanh kỷ XIX nhờ phát triển từ trước hình học phi Ơclít Như vậy, toán học thông qua vật lý học, đóng góp vào cách mạng giới quan, thay chủ nghĩa vật siêu hình máy móc dựa học Niutơn (với đặc điểm khối lượng bất biến, không gian thời gian tách biệt nhau) chủ nghĩa vật biện chứng mà đời thuyết tương đối Anhxtanh lý thuyết khoa học đại khác ví dụ (với đặc điểm khối lượng, không gian thời gian không tách rời nhau) Một thành tựu quan trọng khác toán học thời kỳ đời tư tưởng thống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định tồn khách quan ngẫu nhiên Thế giới tất nhiên mà có ngẫu nhiên Ngẫu nhiên tất nhiên liên hệ chặt chẽ bổ sung cho Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta quan niệm mềm dẻo xác phụ thuộc lẫn nhau, vật, tượng, trình Nó vượt hẳn quan điểm định luận chặt chẽ coi phụ thuộc liên hệ vật đơn chặt chẽ tính tất nhiên thống trị tuyệt đối giới tự nhiên Sự tồn ngẫu nhiên bổ sung vào tranh khoa học chung giới Như vậy, tư tưởng vận động, liên hệ thống kê – xác suất góp phần hình thành tư biện chứng sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng Tuy nhiên, toán học thời kỳ mang hạn chế định Nó chưa đáp ứng nhu cầu sản xuất từ khí hoá chuyển sang sản xuất tự động hoá, phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp trình độ lý thuyết Những đòi hỏi tất yếu dẫn toán học tới thời kỳ phát triển – toán học nghiên cứu cấu trúc thuật toán Trong giai đoạn đại, thành tựu bật toán học thời kỳ tư tưởng cấu trúc Thực chất tư tưởng cho phép ta tiếp cận cách trừu tượng khái quát đối tượng có chất khác để vạcg quy luật chung chúng Nói theo ngôn ngữ toán học, tức có tương tự cấu trúc hay đẳng cấu lĩnh vực có chất khác Có thể nói tư tưởng cấu trúc sở lý luận cho đời khoa học tổng hợp logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, sở tương tự cấu trúc trình diễn giới tự nhiên vô sinh, sống xã hội (tư duy) người ta chế tạo hệ thống máy tự động, hoạt động theo chế tương tự não giác quan người Như phương diện lý luận thực tiễn, toán học đại đóng vai trò tảng trình thể hoá khoa học Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc toánd học phản ánh sâu sắc thống vật chất giới Sự thống toán học với giới quan triết học biểu chỗ chúng xác nhận tư tưởng chủ nghĩa vật: tư tưởng thống vật chất giới tính nhận thức giới Các khoa học khác vật lý học, sinh học có đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho thống Có thể nói với phát triển khoa học thực tiễn lý thuyết toán học ngày có khả sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng thống vật chất giới Chẳng hạn, phương trình diễn tả phân huỷ chất phóng xạ, sinh sản vi khuẩn, tăng trưởng kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc toán học đại góp phần quan trọng vào nhận thức sở tảng tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung giới quan, phương pháp luận sâu 11 sắc Đồng thời sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng thống vật chất giới Những kết củng cố vững xem xét ảnh hưởng toán học phát triển khoa học tự nhiên đại, đặc biệt ngành tiếp cận giới vi mô Dựa vào tương tự cấu trúc, người ta phát mối liên hệ, quan hệ thống lý thuyết vật lý khác Đặc biệt, sở lý thuyết hình thức (trừu tượng) toán học, người ta phát hạt trước chúng phát nhờ thực nghiệm Điển hình việc phát pozitron học lượng tử nhờ biểu diễn phương trình z bậc hai Phương trình lúc đầu cho ta để dự đoán electron tồn hạt khác có số tính chất vừa giống điện tử lại vừa khác điện tử dấu điện tích Đó pozitron Dự đoán trở thành thực Về sau phản hạt phần lớn hạt tìm cách tương tự pozitron Khả vượt trước toán học luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm chủ nghĩa vật điện tử vô vô tận Các cách mạng hoá học (hoá học lượng tử), sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử dựa vào thành tựu toán học đại Đối với khoa học nhân văn, khả hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội góp phần củng cố giới quan vật biện chứng nhận thức nhân văn xã hội Như vậy, toán học đại đóng vai trò tảng trình thể hóa khoa học Nó góp phần quan trọng vào nhận thức sở tảng tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung giới quan, phương pháp luận sâu sắc Đồng thời sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng thống vật chất giới Như ta mạnh dạn khẳng định từ hình thành trình phát triển mình, toán học tạo sở giới quan vật biện chứng cách trực tiếp hay gián tiếp Toán học thời kỳ đầu tức đến thời kỳ toán học sơ cấp sở cho đời chủ nghĩa vật máy móc, siêu hình Nó góp phần khẳng định giới quan vật, chống lại giới quan tôn giáo – kinh viện Sang thời kỳ toán học cao cấp, mà trọng tâm toán học chuyển sang nghiên cứu đại lượng biến đổi trước hết tư tưởng vận động, toán học nguồn gốc đẻ tư biện chứng sở khoa học để hình thành luận chứng cho giới quan vật biện chứng giới tự nhiên vô sinh Toán học đại hoàn thiện sâu sắc giới quan vật biện chứng lĩnh vực tự nhiên, xã hội tư Nó góp phần củng cố, hoàn thiện phát triển giới quan vật biện chứng 12 CHƯƠNG III – VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC Mối quan hệ biện chứng toán học giới quan vật làm bộc lộ vai trò định hướng to lớn giới quan vật toán học Là người nghiên cứu toán học, hết, phải biết vận dụng triết học vào công tác chuyên môn, định hướng cho việc nghiên cứu, giảng dạy toán học Do giới quan phương pháp luận chủ nghĩa vật biện chứng khoa học, đắn nhất, nên phần sử dụng để kiến giải phát triển toán học qua rút ý nghĩa, phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy toán học Tác động giới quan vật đến phát triển toán học Sự hình thành, phát triển triết học nói chung giới quan vật nói riêng tách rời hình thành, phát triển khoa học cụ thể Einstein nhận xét: “Cái khái quát triết học cần phải dựa kết khoa học Tuy nhiên, xuất truyền bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến phát triển tư tưởng khoa học chúng nhiều phương hướng phát triển có” Thật vậy, triết học mà đặc biệt giới quan vật tác động tích cực đến phát triển toán học, trước hết, dẫn đến số khuynh hướng toán học Chẳng hạn, tư tưởng triết học từ lâu khẳng định tính phức tạp giới tự nhiên Điều dẫn đến toán học sau có khuynh hướng sâu vào nghiên cứu hệ thống phức tạp Đặc biệt kể từ giai đoạn toán học đại với tư tưởng cấu trúc phát triển xác suất thống kê, người ta thấy rõ lĩnh vực khẳng ( ≤ p ≤ 1), định “đúng, sai” mà nói đến xác suất hay sai chẳng hạn học lượng tử, lưỡng tính “sóng, hạt” nên khẳng định vị trí hạt thời điểm xác định mà nói đến xác suất để hạt vị trí Từ 1965, toán học mờ đời nhờ khái niệm không gian, ánh xạ, hệ nhị phân mà vật có tọa độ diễn tả dãy Đó lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu tập hợp mờ tức tập hợp ranh giới rõ rệt khẳng định phần tử thuộc tập hợp hay không mà nói đến xác suất p để phần tử thuộc tập hợp Điều ứng dụng nhiều kỹ thuật máy tính điện tử Chủ nghĩa vật nói chung chủ nghĩa vật biện chứng nói riêng sở giới quan phương pháp luận toán học Mỗi khoa học giới quan phương pháp luận riêng Toán học xem khoa học nghiên cứu quan hệ số lượng, hình dạng logic giới khách quan khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà người ta trang bị cho tập hợp hệ tiên đề Triết học khoa học quy luật chung vận động, phát triển tự nhiên, xã hội tư Sau ta minh họa vai trò giới quan phương pháp luận triết học vật biện chứng việc nghiên cứu toán học thể nguyên lý, số quy luật cặp phạm trù 2.1 Nguyên lý mối liên hệ phổ biến Nguyên lý mối liên hệ phổ biến giúp cho nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác động qua lại tất khái niệm, định lý, công thức toán học Chúng không tồn cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho Nhìn khía cạnh nhỏ đó, chẳng hạn việc định nghĩa khái niệm, chứng minh định lý phải dựa khái niệm, định lý có từ trước; giải tập hình học cần phải sử dụng phép tính đại số, hàm số lượng giác… Toán học phát triển, tất chuyên ngành toán học gắn bó khăng khít, liên thông với đến mức thật khó phân biệt ranh giới chúng Ví như, xuất ngành 13 tôpô đại số - hình học, hình học vi phân liên thông hình học với ngành giải tích, đại số… Nguyên lý mối liên hệ phổ biến đòi hỏi phải có quan điểm toàn diện nghiên cứu toán học Quan điểm phải nhận thức, vận dụng lúc Khi giải toán hình học, phải nhìn điểm, đường thẳng mối liên hệ với điểm, đường thẳng khác thống với hình vẽ Khi xét toán dùng tất phương pháp đại số, hình học, lượng giác mối liên hệ thống để tìm lời giải tổng hợp… 2.2 Nguyên lý phát triển Nguyên lý phát triển cho thấy phát triển lý thuyết toán học hay lĩnh vực toán học nói chung tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân Đó trình giải mâu thuẫn nảy sinh thân nội toán học giải nhu cầu thực tiễn Nguyên lý phát triển đòi hỏi phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước vấn đề toán học Chẳng hạn, nhiều học sinh sau đọc nội dung cách chứng minh định lý Pythagore, định lý tổng ba góc tam giác thấy đơn giản coi thường Nhưng kì thực, việc phát minh chúng thời đại ông thật vĩ đại áp dụng đến tận ngày 2.3 Mâu thuẫn động lực phát triển toán học Trong phát triển nhận thức vật biện chứng lịch sử, Mac Ăng-ghen chứng minh khoa học, có toán học, phát sinh mà phát triển sở vật chất định, thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, vấn đề khoa học khác Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh tập hợp người lao động công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy sinh số đếm, nhu cầu đo đạt ruộng đất sông Nil sau trận lụt làm hình học hình thành phát triển… Nhu cầu nghiên cứu vận động, trước hết vận động học, làm nảy sinh phép tính vi phân tích phân Mâu thuẫn nội toán học thúc đẩy việc mở rộng hoàn thiện toán học Tóm lại, toán học xuất phát triển nhu cầu khác, mà nhằm giải vấn đề thực tiễn đặt đòi hỏi công cụ từ toán học Đơn cử việc đời số phức Ví dụ giải phương trình bậc ba (x-1)(x 2+x+1) = ta có nghiệm Và phương trình bậc hai có hệ số âm vô nghiệm Tới ta chưa thấy mâu thuẫn Nhưng ta xét phương trình sau: x3 - x = (*) Rõ ràng phương trình có nghiệm là: -1; 0; Nhưng giải phương pháp Cardino ta thấy: Đặt x = y + z với điều kiện y.z=1/3 (*) trở thành y3 + z3 = Đặt Y = y3 Z = z3 ta có: Y+Z=0 Y.Z= 1/27 Do Y, Z nghiệm phương trình X2+1/27 =0 Rõ ràng phương trình cuối vô nghiệm nên phương trình (*) vô nghiệm (mâu thuẫn) Chính mâu thuẫn sở nghĩ đến việc chấp nhận bậc hai số âm làm nảy sinh số phức Quy luật mâu thuẫn góp phần thay đổi giới quan định hướng phương pháp luận cho nhà toán học Họ thấy rõ thống biện chứng khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược (chẳng hạn đặc biệt hóa khái quát hoá), trường hợp khác (chẳng hạn n ≤ n > 4)… để tìm đường giải mâu thuẫn, thúc đẩy phát triển tiến lên toán học Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua báo công trình nghiên cứu khoa học thừa nhận: tư biện chứng giúp ông nhiều nghiên cứu toán 14 học ngược lại kết nghiên cứu củng cố nhiều giới quan vật biện chứng ông Lịch sử toán học chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người tìm cách chứng minh tiên đề Euclide phản chứng Họ phủ nhận tiên đề Euclide với hi vọng tìm mâu thuẫn Nhưng họ không tìm mâu thuẫn logic mà phát kiện kỳ quái trái với trực giác rút lui Trái lại, Lobasepxki có nhận thức không gian nên cho điều kỳ quái không tồn sống đời thường tồn vũ trụ bao la chứng minh sau Abel chứng minh không giải thức phương trình đại số bậc n>4 Galois không chịu dừng nên cuối đưa tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống trường hợp n>4 n ≤ và kết lý thuyết Galois đời Mâu thuẫn giải mâu thuẫn hình thành làm cho toán học phát triển không ngừng 2.4 Cái chung - riêng; phủ định phủ định sở phát minh toán học Các phát minh toán học mở rộng riêng phủ định biện chứng Ví dụ không gian Topo (X,T), người ta đưa vào thêm khái niệm khoảng cách, metric, ta không gian Metric (X,d); đưa vào khái niệm chuẩn, không gian định chuẩn (X, ) Phát minh toán học phủ định biện chứng Chẳng hạn, đời hình học Lobasepxki- Bolya phủ định tiên đề V hình học Euclide, giữ lại tiên đề khác Khi nhìn nhận ba góc độ mở rộng toán học có ý nghĩa vô to lớn công tác nghiên cứu toán học Xin nêu lên vài ví dụ: Đối với mở rộng hoàn toàn Những vấn đề với riêng với chung vừa mở rộng nên không cần nghiên cứu lại Chỉ nghiên cứu vấn đề có chung Ví dụ, tính chất có tập số thực R có tập số phức cần nghiên cứu tính chất tập số phức mà tập số thực không có- vấn đề liên quan đến bậc chẵn số ảo… Đối với thu hẹp tương đối Cần nghiên cứu vấn đề riêng vừa thu hẹp Ví dụ, không gian metric (X,d), vấn đề không gian Topo Metri, cần nghiên cứu liên quan đến metric d Đối với phủ định biện chứng, cần nghiên cứu vấn đề liên quan đến vừa phủ định Ví dụ, hình học Lobasepxki, nghiên cứu vấn đề liên quan tiên đề V’ Một riêng trường hợp đặc biệt nhiều chung khác Ví dụ ta xem hình thoi trường hợp đặc biệt hình bình hành nhìn hình thoi góc độ có hai cặp cạnh đối song song, ta xem tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhìn góc độ đường chéo.v.v… Trong nghiên cứu giảng dạy cần nhìn đối tượng nhiều góc độ khác Đây yêu cầu quan trọng, qua rèn luyện óc sáng tạo góc độ mở hướng nghiên cứu khác Một chung đem đặc biệt hoá phận khác nhau, cách khác cho riêng khác Ví dụ, tứ giác đem đặc biệt hoá tính chất khác cạnh góc hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật v.v…Cho cạnh triệt tiêu góc dần đến 180 tam giác v.v… Qua nghiên cứu trên, xin mạnh dạn đề xuất quy trình mở rộng toán học gồm chín bước sau: 1) Phân tích riêng cần mở rộng thành phận 15 2) Nhìn phận theo nhiều góc độ khác 3) Lập tổ hợp khác cách nhìn phận, tổ hợp cho ta cách nhìn riêng mà ta muốn mở rộng 4) Mỗi cách nhìn phận cho ta hướng mở rộng Từ đề xuất giả thuyết 5) Bằng trực giác loại bỏ giả thuyết sai (nếu có) 6) Đem ứng dụng giả thuyết chưa loại bỏ vào số trường hợp đặc biệt, sai loại bỏ tiếp 7) Điều chỉnh, bổ sung giả thuyết, cần áp dụng lại bước 8) Chứng minh giả thuyết bước 7, có mở rộng, chưa chứng minh tiếp tục nghiên cứu (quay lại 7) 9) Nếu sau bước 7, tất giả thuyết bị bát bỏ không nên nản lòng, quay lại (thậm chí 1) để tìm sai sót tiếp tục tiến trình Ví dụ mở rộng định lý “ba đường trung tuyến tam giác đồng quy” Bước 1: Phân tích riêng thành phận 1) Một tam giác 2) Ba trung tuyến 3) Quan hệ đồng quy ba trung tuyến Bước 2: Nhìn nhiều góc độ khác Nhìn tam giác: - Một tứ giác có cạnh triệt tiêu - Một tứ giác có góc 1800 - Một lục giác có ba cạnh khác không xen kẻ với ba cạnh không - Cái tương tự tứ diện không gian (cạnh tam giác mặt tứ diện) - Cái tương tự tam diện không gian (cạnh tam giác mặt tam diện, đỉnh tam giác cạnh tam diện) Nhìn trung tuyến Trung tuyến đường thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện khái niệm ẩn ba khái niệm: a) Đỉnh tam giác: - Trung điểm cạnh không - Đỉnh tương tự cạnh tam diện b) Trung điểm cạnh: - Trọng tâm cạnh; Trọng tâm hai đầu mút cạnh; Tâm vòng tròn không chiều không gian chiều - Là tương tự phân giác góc (mặt tam diện) c) Đường thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện: tương tự với mặt phẳng nối cạnh tam diện với phân giác mặt đối diện 3) Nhìn đồng quy Định nghĩa 1: Ba đường thẳng AD, BE, CF gọi “cắt nhau/S” diện tích tam giác MNL S Do vậy, đồng quy “cắt nhau/0” 16 k1 = DB EC FA ; k2 = ; k3 = DC EA FB Định nghĩa 2: Gọi , ta có “ba đường thẳng AD, BE, CF gọi “k-cắt nhau” k1.k2.k3 = k Do vậy, đồng quy “1- cắt nhau” Bước 3: Phát biểu dạng khác đinh lý theo cách nhìn 1, 2, 1) Trong lục giác có ba cạnh không xen kẻ với ba cạnh khác không đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối đồng quy 2) Cho ba điểm D,E, F theo thứ tự chia cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ -1 đường thẳng AD,BE,CF “1-cắt nhau” 3) Trong tam giác ba đường thẳng nối ba đỉnh theo thứ tự với ba trọng tâm cạnh đối diện đồng quy 4) Trong tam giác, ba đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm cạnh lại đồng quy 5) Trong mộ tam giác, ba đường thẳng nối đỉnh tam giác với tâm đường tròn không chiều đối diện đồng quy Bước 4: Những giả thuyết mở rộng định lý 1) Trong lục giác,ba đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện đồng quy 2) Nếu ba điểm D,E,F theo thứ tự chia cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ k 1,k2,k3 ba đường thẳng AD,BE,CF “ -k1k2k3 cắt nhau” 3) Trong tứ diện, đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm bốn mặt đối diện đồng quy 4) Trong tứ diện, đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm chu vi bốn mặt đồng quy 5) Trong tứ diện, đường thẳng nối bốn đỉnh với tâm vòng tròn ngoại tiếp bốn mặt tứ diện đồng quy Sau đó, dùng kiến thức toán học để bước lại 2.5 Thực tiễn vấn đề xác hoá toán học Thực tiễn tiêu chí xác hoá toán học Con đường nhận thức theo triết học Mác- Lênin “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng trở với thực tiễn” Thực tiễn Là khâu cuối tiêu chí khách quan để kiẻm chứng tri thức khoa học, có toán học Ở có nhiều vấn đề cần xem xét: Nếu lý thuyết toán học đơi phù hợp với nội toán học (đã thực tiễn kiểm nghệm đúng) hay phù hợp với thực tiễn sống, phù hợp với khoa học khác, không ngần ngạy gì, khẳng định lý thuyết Nhưng vấn đề đặt lý thuyết đời nội toán học khoa học chưa thể trả lời hay sai sao? Ở ta cần xem xét lại tí, đừng vội chủ quan mà đánh giá, nhớ lại hình học Lobasepxki, đời có hiểu được? Vậy tiêu chuẩn đánh giá gì? Xin mạnh dạn khẳng định rằng: “một lý thuyết toán học dù có kỳ quặc đến đâu có quyền tồn tại, miễn suy cách chặt chẽ, phù hợp với logic Ta biết logic từ thực tiễn mà ra, nên phù hợp với logic hứa hẹn phù hợp với thực tiễn mà chưa biết tương lai có người biết” Một lý thuyết thật khoa học phải khách quan, có xác Nếu có hai hay nhiều lý thuyết nói vấn đề lý thuyết diễn tả đắn xác 17 CHƯƠNG IV – MỐI LIÊN MINH GIỮA TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG Sự cần thiết mối liên minh toán học giới quan vật biện chứng 1.1 Toán học phải vận dụng tư lý luận Những thành tựu mà toán học đại đạt buộc chuyển sang lĩnh vực lý luận, triết học, buộc phải vận dụng tư lý luận nhà toán học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Những thành tựu khoa học tự nhiên gần cho thấy nhà khoa học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Nền lý luận vững toán học tất ngành khoa học khác triết học vật biện chứng phương pháp luận chung nhận thức khoa học Với ý nghĩa ấy, toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư triết học vật biện chứng vào trình nghiên cứu dạy học toán học Các nhà toán học phải nhà triết học thông thái Những nhà toán học dù có thái độ họ bị triết học chi phối Vì vậy, vấn đề họ phải trang bị triết học đắn - triết học vật biện chứng để hướng dẫn đường đắn tới đích cách nhanh Các nhà toán học phải liên hệ chặt chẽ, bắt tay góp sức với nhà vật chống lại quan điểm tâm sai lầm Mỗi toán học đạt thành tựu đó, phải tiến tới kết luận chung lý luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm quan điểm triết học Theo F.Enggen, tư lý luận thời đại, tức kể tư lý luận thời đại chúng ta, sản phẩm lịch sử mang hình thức khác thời đại khác nhau, có nội dung khác Thế khoa học khác, khoa học tư khoa học lịch sử, khoa học phát triển lịch sử tư người Điều có ý nghĩa quan trọng với việc ứng dụng thực tế tư vào lĩnh vực kinh nghiệm Bởi trước hết, lý luận quy luật tư hoàn toàn chân lý vĩnh viễn có mãi không thay đổi 1.2 Thế giới quan vật luôn chi phối nhà toán học Dù nhà toán học có thái độ họ bị triết học chi phối Vấn đề chỗ, họ muốn bị chi phối thứ triết học sai lầm hay họ muốn hướng dẫn hình thái tư lý luận dựa hiểu biết lịch sử tư tưởng thành tựu Những nhà khoa học tưởng họ thoát khỏi triết học họ không để ý đến phỉ báng Nhưng tư họ tiến bước, muốn tư họ cần phải có phạm trù logic, mà phạm trù họ tiếp thu cách không phê phán, ý thức chung, thông thường người gọi có học thức, ý thức bị thống trị tàn tích hệ thống triết học lỗi thời F.Enggen tác phẩm “Chống Đuyrinh”, NXB Sự thật, Hà Nội, 1960, tr.60 khẳng định: “Một quan niệm vừa biện chứng vừa vật tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học khoa học tự nhiên” Triết học muốn xây dựng quan điểm không tồn cách đơn độc mà tài liệu phân bố ngành khác khoa học có vai trò quan trọng toán học Vì vậy, chứng minh mặt triết học hiểu theo hai nghĩa đối chiếu tiền đề triết học với quy luật xác định ngành khoa học khác thể nghiệm việc vận dụng lý luận Do “một quan niệm vừa biện chứng, vừa vật tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học khoa học tự nhiên Triết học quyền tồn đơn độc 18 Nó thu thập tài liệu từ ngành khác khoa học thực chứng” theo Nguyễn Hữu Vui, mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, trang 196 1.3 Sự liên minh nhà toán học nhà triết học vật biện chứng yêu cầu cấp bách đồng thời tất yếu lịch sử thời đại Thế giới phát triển với tốc độ vũ bão đặt vô số vấn đề cần phải giải Nhu cầu thực tiễn đòi hỏi ngành khoa học phải phát triển kịp thời để đáp ứng Vì vậy, liên minh nhà toán học nhà triết học vật biện chứng yêu cầu cấp bách đồng thời tất yếu lịch sử thời đại Sự liên minh cho thấy rằng, điều không phần quan trọng đại biểu nhà toán học đại cần phải có can đảm để bảo vệ truyền bá chủ nghĩa vật, chống quan điểm triết học tâm chủ nghĩa hoài nghi chủ nghĩa vật Nếu không làm tròn nhiệm vụ cách triệt để chủ nghĩa vật đứng vũng Các nhà bác học lớn bất lực kết luận khái quát triết học họ khoa học tự nhiên tiến nhanh, trải qua thời kỳ đảo lộn cách mạng sâu sắc tất lĩnh vực, tuyệt đối không cần đến kết luận triết học Theo V.I.Lênin, Về tác dụng chủ nghĩa vật chiến đấu Toàn tập, trang 33, nhà xuất thật, Hà Nội, “…Chúng ta cần hiểu sở triết học vững vàng, khoa học tự nhiên hay chủ nghĩa vật chống lấn bước tư tưởng tư sản phục hồi giới quan tư sản Muốn đương đầu đấu tranh đưa đến thành công, nhà bác học phải nhà vật đại, đồ đệ tự giác chủ nghĩa vật mà Mác người đại diện, nghĩa nhà bác học phải nhà vật biện chứng” Không lúc thời đại chúng ta, mối quan hệ biện chứng ngành trí tuệ lại khăng khít mà bề tưởng chừng khó hiểu Ví dụ, có ngờ phép đếm nhị phân lại liên quan chặt chẽ với dịch thuật thông qua máy tính Vấn đề quan trọng triết học toán học vấn đề quan hệ cấu trúc toán học trừu tượng thực tiễn thực Đòi hỏi áp dụng phương pháp vật biện chứng việc nghiên cứu, dạy học toán học Đổi phương pháp dạy học toán học vấn đề đặt cấp bách ngành giáo dục quan tâm toàn xã hội Đổi phương pháp dạy học toán vấn đề lớn biết toán môn học vô quan trọng học sinh chiếm thời lượng lớn chương trình phổ thông Mặc dù chỉnh lý sách giáo khoa thay đổi phương pháp dạy cách dạy toán phổ biến đa phần giáo viên đưa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh; trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức, định lý nhiều tốt Nhiều học trò giỏi thường thắc mắc giả thiết kết luận toán đâu mà ra, nghĩ làm mà nghĩ Nhà trường không dạy cho họ cách “phát vấn đề” để tự đề xuất toán nên họ làm xong toán, chân trời họ mở rộng Thay đổi cách dạy học đặt người học vị trí trung tâm, tự phát vấn đề, giải vấn đề đánh giá kết đạt Có qua lao động tìm tòi, sáng tạo ấy, tư họ phát triển mà họ có thêm lòng tự tin, hứng thú, ham muốn tìm tòi sáng tạo Giáo viên lúc đóng vai trò hướng dẫn trình lao động Nhưng thực tế thời gian không cho phép giáo viên thực cách dạy học 19 CHƯƠNG V – VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO NGHIÊN CỨU VÀ GIẢNG DẠY TOÁN HỌC Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu giảng dạy toán học 1.1 Trong công tác nghiên cứu toán học Phát giải mâu thuẫn Nghiên cứu toán học nghĩa tự thân nhà toán học nghĩ điều gí lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải bắt nguồn từ mâu thuẫnđó toán học mà thực tiễn sống đặc vấn đề mà nội toán học bế tắc Nói nghĩa ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội toán học cần ta giải điều Cần có nhìn biện chứng, tự thân phủ định tạo mâu thuẫn toán học Mâu thuẫn giải nghĩa kết thúc nghiên cứu Khi toán đặt giải quyết, nhìn biện chứng không cho phép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu Khi trả lời câu hỏi sau: 1) Có cách giải tối ưu hơn? 2) Có thể mở rộng hay không? 3) Nếu phủ định kết trung gian có hướng phát triển khác? 4) Thu hẹp kết nào? v.v… 1.2 Trong công tác giảng dạy toán học Đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp thiết thật nhiều người quan tâm Trong giảng dạy giáo viên cần tạo mâu thuẫn mâu thuẫn nội nhận thức học sinh Việc học tập học sinh trình tái phát minh (reinvention) lại kiến thức có, dẫn dắt người thầy, giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua tạo động giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức có nhu cầu tự tìm kiếm kiến thức Ở xin đưa phương pháp dạy học giải vấn đề qua bước sau: Bước 1: Tạo tình gợi vấn đề (tạo mâu thuẫn nhận thức).H Bước 2: Trình bày vấn đề đặt mục tiêu giải vấn đề Bước 3: Giải vấn đề Bước 4: Thể thức hoá vấn đề kết luận Xin nêu số phương pháp tạo vấn đề (tạo mâu thuẫn giảng dạy) 1) Quan sát thí nghiệm hình thành dự đoán 2) Lật ngược vấn đề Ví dụ, sau học định lý “nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x liên tục x0” Giáo viên lật ngược vấn đề: “nếu hàm số liên tục x0 có đạo hàm x0 không?” 3) Quy nạp tương tự Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có 1 = + 2 AH AB AC Trong tứ diện ABCD vuông A, đường cao AH (tứ diện tương tự tam giác có đỉnh 1 1 = + + 2 AH AB AC AD nhất) ta có: hay không? 4) Khái quát hoá 5) Phát sai lầm nguyên nhân sai lầm 6) Ví dụ phản ví dụ 20 Vấn đề mở rộng toán học giảng dạy Trong giảng dạy, giáo viên cần tập cho học sinh làm quen với mở rộng toán học, qua giúp học sinh làm quen với mở rộng toán nói riêng khoa học nói chung Ví dụ, xét cân lực, trung điểm đoạn thẳng tương tự trọng tâm tam giác tương tự trọng tâm tứ diện Do có mở rộng sau: Đoạn thẳng AB → Tam giác ABC → Tứ diện ABCD (2 điểm) (3 điểm) (4 điểm) x A + xB + xC xA + xB x A + xB + xC + xD    x = x = x = G M G        y + y y + y + y y A + y B + yC + yD  B B C y = A y = A  yG = G  M    z A + zB + zC + z D   zG =  Vận dụng nội dung hình thức vào nghiên cứu giảng dạy toán học Dựa vào mối liên hệ nội dung hình thức, áp dụng xây dựng hệ thống tập Dưới nội dung (bài tập), giáo viên tìm nhiều hình thức khác để diễn tả nội dung Sau đó, vào tình hình lớp mà lựa chọn hình thức cho phù hợp Ví dụ, từ nội dung: sin2x = 2.sinx.cosx (1) giáo viên yêu cầu học sinh làm chứng minh sau: 1) sin4x = 4.sinx.cosx.cos2x (nhân hai vế cho 2cos2x) sin8x = 8.sinx.cosx.cos2x.cos4x (nhân hai vế cho 2cos4x) v.v… sin2nx = 2n.sinx.cosx.cos2x.cos4x… cos(nx) (2) 2) Tính giá trị biểu thức: A = sin10.sin20.sin40 (nhân vế cho 2cos10 áp dụng (1)) 3) Giải phương trình: sinx.cosx.cos2x.cos4x… cos(nx) = 1/2n (áp dụng (2)) v.v… Thực tiễn vấn đề xác hoá toán học nghiên cứu giảng dạy 4.1 Trong nghiên cứu Đối với bắt đầu nghiên cứu toán học có tâm lý lo sợ, sợ vấn đề có người làm rồi, sợ kết có không… ngần ngại, kết làm giảm sáng tạo Vì vậy: 1) Muốn biết kết tìm nào, không thiết phải thân chứng minh, mà phải cộng đồng khoa học đánh giá 2) Vấn đề không mới, kết rộng thực tiễn chấp nhận 4.2 Trong công tác giảng dạy Nghiên cứu giảng dạy hai lĩnh vực khác nhau, hổ trợ cho Nghiên cứu giúp cho giảng dạy tốt hơn, qua giảng dạy giúp kết nghiên cứu vào thực tiễn Do vậy, công tác giảng dạy, học sinh phổ thông, cần ý: 1) Lý thuyết đôi với thực hành - Lý thuyết giảng dạy cho em theo hướng tái phát minh (reinvention) kiến thức mà nhân loại có, đó, dạy, giáo viên cần ý rèn kỉ vận dụng thông qua giải tập, qua tính đắn lý thuyết em tự kiểm chứng 21 - Việc vận dụng vào thực tiễn trường phổ thông dừng lại việc giải tập, chưa có vận dụng vào lao động sản xuất, đó, giáo viên cần tìm ví dụ phản ví dụ cách sư phạm để giúp học sinh thấy khả ứng dụng thực tế Ví dụ, học giải toán cách lập hệ phương trình, giáo viên cần liên hệ thực tế chia tài sản, chia ruộng.… Khi học hệ bất phương trình nhiều ẩn, giáo viên cần liên hệ toán tối ưu… 2) Từ thực tiễn mà xây dựng nên lý thuyết Để thấy vai trò thực tiễn đặt toán học, giáo viên cần xây dựng hướng học tập quy nạp, từ yêu cầu thực tiễn mà xây dựng nên lý thuyết dựa vào kiến thức có Ví dụ, từ vấn đề thực tiễn cần đo đầm lầy rộng lớn, kéo dây từ A đến B, phương pháp để đo? Giáo viên liên hệ, giải thích đưa yêu cầu cho học sinh giải Bằng cách xây dựng tam giác 22 KẾT LUẬN Từ việc nghiên cứu vấn đề trên, ta rút số vấn đề sau đây: Toán học đại lượng bất biến sở cho đời chủ nghĩa vật máy móc, siêu hình Nó có ý nghĩa tích cực phát triển khoa học giai đoạn Nó góp phần khẳng định giới quan vật, chống lại giới quan tôn giáo – kinh viện Toán học đại lượng biến đổi, trước hết tư tưởng vận động, nguồn gốc đẻ tư biện chứng sở khoa học để hình thành luận chứng cho giới quan vật biện chứng giới tự nhiên vô sinh Toán học đại hoàn thiện cách sâu sắc giới quan vật biện chứng lĩnh vực tự nhiên, xã hội tư Nó góp phần củng cố hoàn thiện phát triển giới quan vật biện chứng Đồng thời phải thấy rằng, toán học mang tính độc lập tương đối tư trừu tượng hình thức, giới quan vật biện chứng luôn giới quan khoa học phương pháp luận đắn cho phát triển toán học Vai trò định hướng giới quan vật vô lớn tác động trở lại toán học phủ nhận Bài học rút vô phong phú có giá trị cho thân Tuy nhiều vấn đề đọng lại chưa giải tiếp tục giải sau này, với kết bước đầu giúp cho thân có nhìn khác triết học Việc đưa triết học vào giảng dạy thật cần thiết hữu dụng, trang bị giới quan phương pháp luận đắn cải tạo giới mà phục vụ đắc lực cho công tác chuyên môn Việc trang bị giới quan phương pháp luận vật biện chứng cần thiết, giúp người học, người dạy có lập trường trị rõ ràng, có tư khoa học, mà giúp giải đáp câu hỏi đặt cho nhà nghiên cứu Nắm vững tư biện chứng giúp giáo viên trả lời câu hỏi, băn khoăn học sinh: “Toán học đời? Tại lại có công thức này, công thức kia? Tại vấn đề giống vấn đề kia?” 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS, TS Đoàn Quang Thọ; PGS, TS Trần Văn Thụy; TS Phạm Văn Sinh; PGS, TS Đoàn Đức Hiếu; PGS, TS Vũ Tình; TS Nguyễn Thái Sơn; TS Lê Văn Lực; TS Dương Văn Thịnh (2008), GIÁO TRÌNH TRIẾT HỌC (dùng cho học viên cao học nghiên cứu sinh không chuyên ngành Triết học), Nxb Chính trị - hành chính, Hà Nội, tr 273-288 Lê Văn Đoán (2007), VAI TRÒ CỦA CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC TRONG NHẬN THỨC KHOA HỌC, Tạp chí Triết học (Một số tài liệu tham khảo khác dẫn từ nguồn khác internet không rõ tên tác giả) 24 ... dụng tư lý luận Những thành tựu mà toán học đại đạt buộc chuyển sang lĩnh vực lý luận, triết học, buộc phải vận dụng tư lý luận nhà toán học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Những... thấy nhà khoa học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Nền lý luận vững toán học tất ngành khoa học khác triết học vật biện chứng phương pháp luận chung nhận thức khoa học Với ý nghĩa... thành tựu đó, phải tiến tới kết luận chung lý luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm quan điểm triết học Theo F.Enggen, tư lý luận thời đại, tức kể tư lý luận thời đại chúng ta, sản phẩm