THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng Vậy V = B.h = SABC AA' = Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ABCD hình vuông Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diên tích B = SABC công thức ? + Từ diện tích suy cạnh ? ? + Tìm h = AA' dùng tam giác định lí ? Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có ABC nên Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách ? + Tìm h = DD' tam giác vuông ? định lí ? Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = Theo đề BD' = AC = Vậy V = SABCD.DD' = Ví dụ 5: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật nắp Tính thể tích hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm h = AA' ? Tại ? + Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ? Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS: ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết trụ Tính thể tích lăng Đs: V = 2a3 Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs:V = 240cm3và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 24a3 Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 64 cm3 Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài Cho phương khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m Tính thể tích khối lập Đs: V = m3 Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs:V = 0,4 m3 Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt Đs:V = Dạng 2: Lăng Tính thể tích khối hộp trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ *) Tìm hình chiếu A'B đáy ABC Suy góc [A'B,(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có hình chiếu A'B đáy ABC Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a , lăng trụ Phân tích = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích *) Tìm hình chiếu BC' (AA'C'C) Suy góc [BC',(AA'C'C)] = ? *) Tìm AC' tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có: nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o V = B.h = SABC.AA' nửa tam giác nên Vậy V = Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 30 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Phân tích *) Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình lăng trụ *) Dựng BD' BD ? phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu BD' đáy ABCD Suy góc [BD',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B hình vuông ABCD công thức ? *) Tìm h = DD' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp = Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu AB' (ABCD) Suy góc [AB',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Dựng BD Suy ABD có hình tính ? Suy diện tích B ABCD cách nào? +Tính h = BB' tam giác ? Dùng hệ thức lượng giác ? Giải cạnh a vuông tạiB Vậy BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30 o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30 o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết AC = a ; biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30 o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: Bài Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o ĐS ĐS Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS 2) BD' hợp với mặt (AA'D'D) góc 30o ĐS Bài Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3và S = 6a2 Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ;AD = b;AA' = c BD' = AC' = CA' = 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vuông góc với BC không ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét với có hình tính ? Suy I trung điểm BC cho ta vị trí AI A'I BC? Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Đặt BC = 2x Suy A'I tam giác ? *) Từ diện tích tam giá A"BC suy x công thức nào? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải mà AA' ) Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o Giả sử BI = x Ta có nên A'I (đl A’A = AI.tan 300 = Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vuông nên CC' (ABCD) nên OC' BD (đl Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = ) = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vuông nên SABCD = a2 vuông nên CC' = OC.tan60o = Vậy V = Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vuông góc với BC không ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABCD)] = ? *) Tìm hình chiếu A'C (ABCD) ? Suy góc[A'C,(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm AB AC tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Ta có AA' (ABCD) AC hình chiếu A'C Vậy góc[A'C,(ABCD)] = BC AB BC A'B (đl ) [(A'BC), (ABCD)] = AC = AA'.cot30o = AB = AA'.cot60o = Vậy V = AB.BC.AA' = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30 o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ biết Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o Đs: 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o ĐS: 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o ĐS : V = 16a3 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 ĐS : V = 12a3 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a ĐS : Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2)Tam giác BDC' tam giác 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : ĐS : V = ĐS : V = Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS: 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : ĐS : Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: 1) AB = a ĐS : 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o ĐS : 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 ĐS : Dạng Khối lăng trụ xiên Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên với đáy : Hình chiếu CC' (ABC) gì? *) Suy góc[CC';(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có (ABC) hình chiếu CC' Vậy SABC = Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu AA' (ABC) gì? Suy góc[AA'';(ABC)] = ? *) Chứng minh BC AA' cách Chứng minh BC mặt phẳng ? Tứ BC CC' không ? sao? Vậy BB'C'C hình gì? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA'' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: 1) Ta có (ABC) hình chiếu AA' Vậy Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) trung điểm H BC nên (đl ) mà AA'//BB' nên 2) Vậy BB'CC' hình chữ nhật nên Vậy V = SABC.A'O = Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H HN HM =? AD AB Suy góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông ? Đặt x = A'H *) Dùng hai tam giác định lý để tạo phương trình theo x ? Lời giải: Kẻ A’H ,HM (đl ) Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 = AN = Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45 o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = Bài Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vuông cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c góc 60o.Tính thể tích lăng trụ biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC Đs: V = Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = Tính thể tích lăng trụ Đs: Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60 o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B ĐS : 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' ĐS: Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ ĐS : 30o 2) Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Đs: Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' 3) Tính thể tích hộp ĐS: Đs: Bài 10 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên đáy 2) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp ĐS : 60o ... 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 64 cm3 Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ. .. góc 30 o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30 o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C'... 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ biết Đs: Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C'