Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập Toán 11 (Tập 1), phần 2 cuốn sách trình bày các nội dung chương 3 Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian. Cuối sách là phần hướng dẫn giải và đáp số để người đọc tiện tra cứu.
Trang 1Chương HH; VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
§1: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
SỰ ĐỒNG PHÀNG CỦA CÁC VECTƠ
A KIÊN THỨC CƠ BẢN:
| Veeto trong khong gian: Vectơ, các phép tốn vectơ được định nghĩa hồn
tồn giỗng như trong mặt phăng
2 Su dong phang cua cde vecto:
a) Định nghĩa: Ba vecto dược gọi là đồng phăng néu các giá cua chúng | củng song song với một mặt phăng
| bì: Điều kiện đồng phẳng của 3 vect2:
|_ 7 Địnhlíl: Cho 3 vecto a, ð và c, trong đĩ ¿, 5 khơng cùng phương khi
do ba vecto a, b,c dong phăng khi và chì khi cĩ duy nhất các số zr, n sao cho c=matnh
* Dinh li 2: Neu a,b ¢ 43 vecto khong dong phang thi voi moi vecto bat ki ta deu tim durge duy nhat cic som n p sao cho: d= mat nh + pe
Rice
B CAC DANG TOAN:
1 Dang 1: Chứng mữnh các đăng thúc
| + Phương pháp: Đẻ chứng mình các đăng thức veeltơ tạ chủ Ý:
°— 1 Su dung:
ị Cúc phép tốn vẻ vectơ
Cúc tính chát, các qui tắc vẻ các phep tốn vectơ
Qui tắc 3 điểm: 48 + BC AC ~ AB = BC voi moi A, B,C Qui tac hinh binh hanh: AB + AD = AC voi ABCD Ia hình bình hành
Qui tắc trung điểm: 14+ 1B =0 villa trung diém cua AB MA + MB = 2MI với mọi điểm M
Qui tắc trọng tâm: GA +GB+GC =0véi Gla trong tam AABC
2) Thực hiện các phép bien đổi theo một trong các hướng
- Bién đổi về này thành về kia cua dang thức
-_ Biến đổi đẳng thức cân chứng mình vẻ tương đương với một đăng thức an đúng
“Xuất phát từ một đăng thức luơn đúng để biến đơi về ồ đăng thức cân chứng mình
Trang 2
Chú ý: * Đối với việc chứng mình các đăng thức về độ dài cân lưu ý vận
dung AB* ¬ AB” và khai thác các tỉnh chất của vectơ để Suy ra
* Ngồi ra đề chứng mình một so đăng thức A = B, ta cĩ thê chứng mình:
A=C
=>A=B
iba
Bài 1: - Trong kì khơng 1g gian ch cho các điểm A: B; C; D; E và F C hứng minh rang:
1) AB+ DC = AC + DB 2) AB+CD+EF =AF + ED+CB
Giải:
1)Cach 1: Tacĩ: VT = AB+DC =(AC +CB)+(DB+ BC)
= AC + DB+CB+ BC = AC + DB = VP
Vậy ta cĩ điêu phải chứng minh
Cach 2: Ta cé: AB+ DC = AC + DB (1)
<> AB- AC = DB- DC
=CB = CB (2)
Vì (2) luơn đúng nên (I) được chứng minh
Cách 3: Tacĩ: AB+BD+DC+CA=0
Suy ra: AB+ DC =-CA- BD = AC + DB (đpcm)
2)Ta cĩ: V7 = 48+CD+ EF =(AF + FB)+(CB+BD)+(ED+ DF)
= AF +CB+ ED+(FB+BD+ DF) = AF +CB+ED=VP
Tương tự như trên ta cũng cĩ thể giải bằng các cách khác l
Bài 2: Cho hình hộp 41BCD 4'B'C'D'
1) Ching minh ring a) AB + AD + AA’ = AC’
b) A'B'+ BC + D'D =AC 2) Goi O la tam cua hình hộp, chứng mình răng:
a) OA+0B+0C +OD+ 0d’ + OB' + OC’ +OD' = 0
b) PO == (Pas PB + PC+ PD + Pa + PB + PC + PD), Với mọi P Giải: 1.a) Ta cĩ: VT = (48 + AD) + AA’
= AC + AA’ (vi ABCD la hình bình hanh)
= AC' (vi ACCA’ la hinh binh hanh)
Trang 3
Nhdn xét: Nhu vay, neu ABCD A'B'C'D' la hivh hop thi AB+ AD+ Ad’ = AC’
Qui tắc này được gọi là qui tắc hình hộp
b) Ta cĩ
VT=A'B+BC+DD =AB+AD +AA
2A'C (theo qui tắc hình hộp ở trên)
2.a) OA +OB+OC +OD +OA'+OB'+OC'+OD'
= (OA +OC?)+(OB+OD')+(OC+OA")+(OD+OB') =0 b) Ta cĩ: PA +PB+PC+PD+PA'+PB'+PC'+PD'
= (PO+0A) +(PO+0B) +(PO+0C)+(PO+OD) +
(PO+OA)+(PO+OB)+(PO+OC)+(PO+OD)
=§PO # BA ÐDD DÚE20A HH ĨC VÉ T=Š BỘ:
Shy ra: PO = = (PA+PB+PC+PD+PA’ +PB'+PC'+PD')
Bai 3: Cho tie dién ABCD
1) Goi Ila trong tam ABCD Ching minh rang: AB+AC+ AD =3Al 2 4) t C hứng minh rang C Gla 1 trong tâm của tứ diện khi và chỉ khi
GA+GB+GC+GD= Ø
b) Néu G là trọng tâm của tứ diện thì với mọi P ta cĩ:
PA+ PB + PC + PD =4PG
Giải:
1) Ta cĩ 7 là trọng tâm ABCD nên: 1B + JC + 1D = 0
Khi đĩ: 48+ 4C+ 4D = AI +1B + AI + IC+ AI + ID
=3AI+IB+IC+ID = 34A1 (dpcm)
2.a) Gọi M, he pee N là trung điểm của 4B vàCD BCDGN A
Tacé: GA+GB=2GM GC +GD =2GN G là trọng tâm tứ diện <> GM +GN =0 <>2GM +2GN =0 © GA+GB+GC+GD=0 b) Ta cĩ: PÁ+ PB+ PC +PD = PG+GA+ PG +GB + PG +GC +PG+GD ` =4PG+G4+GB+GC+GD = 4PG (đpcm)
Bài 4: Cho tứ dién ABCD Goi P, Q lan lượt là trung điểm của AC và BD
Chứng mình rằng:
Trang 41 1) PO= 2 (4B+C8) = +(48+CD) 2) AB + BC? +CD* + D4? = AC2 + BD +4PQ? Giai: 1) Taco PO = PA+AD+DO PO = PC +CB+BO Suy ra: 2PQ =(PA+PC)+AD+CB+(DO+ BO)
= AD+CB (vi PA+ PC = DO + BO =0) Suy.ra: PO = 3(45+£8),
€
Tương tự như trên, ta cĩ: PQ= 2(28 + CD)
Từ đĩ suy ra đẳng thức phải chữ minh
2) Taco:
AB? + BC? +CD? + DA? = AB +BC +CD +DA-
= AB +(4C- AB) +(4D- Cy +AD
= 2(4B?+ AC? + AD?)— NgiưNĨ-dử (@)
Mặt khác ta cĩ: AP = AC, AO = 5 (4D + 48)
Suy ra: TỶ N,
Khi đĩ: AC? +BD?+4P0? =AC +BD +4PO°
=AC +(AD - AB) +(AB+ AD- ACY
= AC? + AD? + AB? -2AD.AB + AB’ + AD? + AC? +2AB AD
-24B.AC -24D AC
=2(4B? + AC” + AD?)—2 AC(48+ 4D) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra: 4B? + 8C? +CD? + D4? = AC? + BD? +4PQ°
Nhận xét: Đề chứng minh dang thức trên ta cần chú ý:
~ Qui biêu thức độ dài về biểu thức vectơ - — Biêu diễn các vectơ trong biêu thức theo hệ các vectơ chọn trước để tiện
trong q trình tính tốn và so sánh
Bài 5: Cho nt dién ABCD Goi G Ia trọng tâm tam giác BCD, I là trung đim của đoạn AC Chứng mình răng:
Trang 51) 31A+ IB+1IC+ID=0
2) 3MA> + MB? + MC* + MD? = 6MI* +3/B? + IC? + ID’ Giải:
1) Vi D là trong tam ABCD nên:
16=‡ (1ä+ 1€ + 1B)
© 3IG=/B+IC+ID @ -3/A=IB+IC+I1D
Suy ra: 314+ IB+ IC+ID= 0
2) Ta cĩ:
3MM? =3MÁ” =3(I4- TM] =314) +31M? =614.IM Hà eM) IB? - IM? —21B.IM
MC? = MC" =(IE - TM) =1C? +1M?-2IC.7
p? =MP` =(ID -IM) = 1D? + 1M? -21D.IM
Suy ra:
3MA? + MB? + MC? + MD? = 3/4? + IB? + IC? + ID? -21M (314 + IB + IC + ID) = 3/4? + IB? + IC? + ID? -21M.0
=3/4° + 1B? + IC? +ID?
Dạng 2: Phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng
*_ Phương pháp:
~_ Ấp dụng kết qua của định lí 2 ta cĩ thể phân tích bắt cứ một vecto nào theo 3 vectơ khơng đồng phẳng
~_ Ấp dụng các qui tắc và các tính chất về các phép tốn vectơ đề phân tích một vectơ theo 3 vectơ khơng dong phang cho trước
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, M là điềm chia trung tuyến Á AA; cua tam am giác ABC
theo tỉ số AM: MA, = 3: 7 Hãy phản tích DM theo DA, DB va DC
Giải: D
5 3
Vi AM =— MA, nén AM =—(MA+ AA) 7 7
Suy ra 4M =A
10
Do do: A ợ
Trang 6Bai 2: Cho hinh chĩp § SABCD, D, đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hay phan tích các vectơ SA, SB,SC,.SD theo các vectơ AB, AC và SỐ
Giải: Ta cĩ: S4 = 5Ư+Ø4=§Ư-~ 2 4€ SB =SO+OB =SO+OA+ AB = 50+ AB-2 AC SC = 56 +06 = 56+ AC SD = SO+OD =SO+ BO = 50+ AO - AB = 8Ư+2 AC ~ 4ã 3
Bài 3: Cho hình hộp ABCD ABCD' Đặt AC =c, AB =b, AD =d Hãy
phán tích các vectơ AB, AD, AA’ theo b, cuvàđ
Giải: a
Tacĩ: AB'=b =AA'+AB (I)
AC = ¢= 45+ 0) AD' = d =AD+AA' (3)
Suy ra: : D
+ 2AB=b+c-d
(Lay (1) + 2) - G))
ve Bele FT
Vay: AB=—(b + 0-4) + 2AD=c+d-b D Cc
(Lay (2) + 3) - (1))
x “SH HC ý T7
Trang 7+ 2Al=b+d-c (Lay (1) + (3) - (2))
Vậy: AZ=2(B+ d-e)
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' Trên cạnh AB, DD, C'B' lan lượi lấy các điệm MỊ, N, P sao cho
AEE OP BP wo (O<k<))
AB DD BC' -
Da AA=a, A'B = AD! =c Phan tich cdc vecto MN, MP theo a be
từ* ã2 suy' ra việc biêu diện các vectơ đĩ theo các vectơ 4B' và AD"
Giải: A B * Ta cĩ: CC o% MN=MA+AD+DN aN =-kAB+AD+(1-k)DD! p 1 A =-kb+e+(l-k)(a) Fit \
=(k-lha-kb +e fi \ Mặtkhác, 4# =##—- #4=b-a L⁄ a Wi =F0-Fi=c-a Nf 2 4 es Khido: a * MN=ka-a-kb+e D' Cc =-k(b—a)+e=a=-kAB+AP * Tìcĩ: MP= MB+ BB+ BP =(1-k)b-at+ke
Suyra: MP==a + b +k(e—=b)= AB'+kAD
Dạng 3: Chứng mình ba tectơ đồng phẳng
* Phương pháp:
~ Để chứng mình các vecto a,b c dong phẳng ta cĩ thể: + Áp dụng định nghĩa
+ 4p dung diéu kién đồng phẳng của ba vectơ a,b,c la tén tai cdic 16 m,n sao cho ¢ =ma+nb
~ Lưu ý: Để chứng mình các diém A, B, C, D đồng phẳng ta cân chứng
miine cde vecto AB, AC, AD dong phẳng
Bài 1: Cho Hình lập phương ABCD 41'BCTD' cĩ tâm là O, I là tâm =ủa hình
bìml hành CDD'C" Chứng mình rằng AC, OI và B'D đơng phẳng
Trang 8BD =AD-AB=c-b Oi=24D=14D=1¢ 2 2 2s p AC=AC+AD=b+c =-(¢-b)+2¢ =-(¢-b)+4-10 Me 2 =—B'D' +401 Vậy AC, OI và B'D đồng phẳng ”
Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC A'BC"' Gọi I, K lần lượt là trung điểm của
BB' va A'C’ Gọi M là điểm chia đoạn BC' theo tỉ số -> Chứng mình
rằng A, K, I, M nằm trên cùng một mặt phẳng A > Giải: 7 B Đặt 4Ä = a, AB= b, AC= e Ta cĩ: 4Ï = 4B+ BỈ = B +2 4 2 = a ' AE =Ä4+ 7Đ =8 + S 2 AM = AA +AM=AA+AB+BM 4 B = a+b +.BC = a+b +2 BC K M — — — =—— — — T— Ì— Œ =a+b++(A -AB)=a+b+20-~b 3 3 3
sane bole ae 3 a+b +5] 3 3 «312 2
af— Ï— — l—
=_-|a+~c+b+_—a ï 2 25)
=22K +2 2ï
Trang 9
Bài 3: Cho tứ diện ABCD P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Hai
— điểm M,N lần lượt chia hai đoạn thắng BC và AD theo cùng tỉ số k C' trứng minh rang P Q M, N nằm trên cùng một mặt phẳng
Giải: Từ giả thiết ta suy ra:
MB _ aii MC ND BM _ AN |k BC AD |k\+1 Vay ap - t+" ay, BC = K+ 1 a i l| Ta lại iy B PO= 5 (45+ BC) (Ita lk]+1 a k
chu (AN +BM)= TW 7 AB PN + BB + Pit) =H Pat +P
Suy ra PO, PM, PN dong phing hay M, N, P, Q thudc cling mét mat phang
Dang 4 : Áp dụng phương pháp vectơ để giải một số dang bài tốn
: Phương pháp:
1 Đề giải bài tốn hình học bằng phương pháp veetơ ta tiền hành: Bước 1: — Lựa chọn vectơ "gốc"
- huyền giả thiết kết luận bài tốn vẻ ngơn xế vente
Bước 2: ~_ Biểu diễn các veetơ liên quan theo hệ vectơ "gốc"
~ Thực hiện các phép biển đổi các biếu thức vectơ theo từng yêu cầu bài tốn
Bước 3: Chuyển kết luận từ ngơn ngữ vectơ sang ngơn ngữ hình học thơng thường
2 Một số dạng bài tốn sử dụng thuận lợi phương pháp vecto
— € “hứng mình ba điểm A, B, C thang hang ta can chứng minh - AB/I AC(hodc ABII BC hode AC II BC) tie la ching minh AB = kAC
voi k € R
Ngồi ra, để chứng mình A, B, C thang hàng ta cĩ thể chứng
mình đẳng thức vectơ sau:
Trang 10
MB = kMC +(1—k)MA voi M bat ki, ke R
Đặc biệt nếu 0 < k < | thì B nằm trên đoạn AC _
._— Chứng minh ba đường thăng a, b, c đồng qui ta đưa về bài tốn trên bang cách:
+ Goi {A}=anb
+ Chứng minh 4e c tức là chứng minh A, B, C thang hàng với B, C là hai điêm trên c
~ Chứng mình AB / CD ta chứng minh AB = kCD, A, B CD khơng thẳng hàng
— Chứng minh AB ⁄ (P) ta chứng mỉnh “AB, a, b déng phẳng với a, bla hai vecto khác khơng khơng cùng phương trên (P) Tức là chứng
mình: -
AB = ma + nb ;
- Chimg minh (Q) // (P) ta-qui về chứng mình hai đường thằng cắt
nhau trong (Q) song song với mặt phẳng (P)
— Các bài tốn liên quan đến tỉnh độ dài, gĩc cẩn chú ý: + AB= 4B”
a:
a >|
+ cosa= (œ là gĩc giữa 2 vectơ a, b)
>|
Bail: Cho hinh hép chữ nhật ABCD ABC "D' Goi G la trong tam tam giác ‘ABD Chitng minh rang A,-G, C’ thang hàng
Trang 11Suy ra AG = 5a Vay A, G, C’ thang hang
Nhan xét: / -
—- Ta cĩ thê chọn một hệ gơm ba vectơ khác khơng khơng đồng phẩmg khác làm hệ vectơ "gĩc" và biéu diễn các vectơ AC’, AG theo hé vector dé và so sánh đẻ rút ra kết luận
-_ Ngồi phương pháp vectơ, bài tốn này cĩ thé g giải bằng phương pháp hình học thơng thường là ta chứng mình A, Œ, Cˆ cùng thuộc: luạ mặn
phàng (ACCl)và(ADC'B) Khi đĩ chúng cùng nằm trên đường giao tuyển của hai mặt phang
Bài 2: Cho lăng tru ABCA'B'C' Goi G, G' lan lượt là trọng tám của (am giác:
ABC va A'B'C' Goi 1 là giao điểm của AP' và A'B Chứng mình rằng
GI CG" Giải Chọn 44#= a, 4B=b,AC=e Ta cĩ: GI = Al - AG -13_ 22m7 2 3 = 3(@4 +8) - (4B +) ee aẽ "xa ll—„Ï~ T— HN giá ng CG'=AG@-AC = 44+ 4đ — AC mm lÏm—= —yx => = a+z(E+e)~e -2+1F-2£-=ãäŸ 3° 3° Ch Vay GI// CG’
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhét ABCD A'B'C'D' Diém M chia đoạn AD theo tỉ số
: ` ặ
ha , điểm N chia đoạn A'C theo tỉ số — 3 Chứng minh răng MN // mp (BCD)
Trang 12Vi M chia 4D theo tỉ số ˆs nên 4M =— 4D 145 5
N chia B'C theo tỉ số -š nên AN =24C
Ta cĩ:
BD=a+c;BC=b+c
MN = BN - BM ,
= BA+ Ad + 4'N -BA- 4M — — Fie a = II ` I _Z F
+b+=(c-a-6)- a-—c¢ 5 5 Ị Ị wl ⁄
= Fass base 5 5 4( Mer re |B te
=-2(a+c)+=(b +e) ops UL, “TC
3 5 Mi “|b ˆ
=~$BB+ BC A ⁄ = Ba :
Suy ra MN // (BC'D) a B
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D: Trên canh AB, DD’, C'B' lân lượt lay cac diém M, N, P sao cho AM = D'N = B'P
Chitng minh rang mp (MNP) // mp (AB'D!)
Giải:
Chon 4'A= a, AB’=b,AD'=c A, —M B
Khơng mắt tính tống quát, ta giả sử: 1 ms
Trang 13=d~k\(® - a)+k(e = a) =(I—k)A4B +kAD
Suy ra MP // mp (AB’D)
Tir do mp (MNP) // mp (AB'D’)
C BÀI TẬP:
Bài I: Cho tứ diện 4BCD Gọi M, N P, Ø lần lượt là trung điểm của 8C, CA AB va CD 1 là trung điểm của PO Chứng minh rang:
1) BC.AM+CA.BN +4B.CP = 0
2) 14+18+1C+1D= 0 (*)
3) MA+MB+MC+ MD = 4MI voi moi M
4) Ila diém duy nhât thỏa mãn hệ thức (*)
Bài 2: Cho hình hộp xiên A8CDA'B'C'D' Gọi G la trong tâm tam giác 4B
I) Chứng minh rằng BD! =3BG
2) Gọi P, OQ, R lan luot la diém déi ximg D qua 4, B, C Chứng minh rằng 8
là trọng tâm của tứ diện PORD”
Bài 3: Cho tứ diện ABCD I là điểm tuỳ ý thoả mãn hệ thức
21A + IB — IC = 0 Chứng minh rang:
2DA? + DB? — DC? = 2D +214? + 1B — IC°
Bai 4: Cho tit dién ABCD M va N là trung điểm của DJ và DC Hãy phân tích
cdc vecto AM, BN, MN theo DA, DB, DC
Bài §: Cho tứ diện ABCD M và N 1a các điểm chia DB va AC theo ti sé:
mp =m, == NA =n Hay phan tich vecto MN theo cdc vectơ 24, 4B, BC
MB NC
Bài 6: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' canh a Trén AD! va C'D' My cac điểm P, Ĩ sao cho: 4P =—4; CØ = -CD
1) Ching minh rằng đường thằng PO đi qua trung điểm M cia ^3” và A⁄ là trung điểm của PĨ
2) Tinh PQ
Bài 7: Cho tir dign ABCD Goi B,, C), Dị lần lượt là trong tam cua tam giác
ACD, ABD va ABC Gi, G2 lan uot là trong tam tam giac B,C\D, va BCD Chứng minh rằng A,Ơi,Œ; thẳng hàng
Trang 14Bai 8: Cho hinh hop chir nhat ABCDA'B'C'D" P la diém trén dudng thang CC’
sao cho CD = KP M là điểm trên đường thẳng 4Ð; N là điểm trên đường
<
š : bì
thang BD’ sao cho M, N, P thang hang Tinh a
Bai 9: Cho hinh hép chit nhat ABCDA'B'C'D’ Goi E Ia tâm của 48B44 N, ï
lần lượt là trung diém của CC" và CD Chứng minh răng EN // Al
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật 48CDA'B'CD' ` Dat BA =a, BB=b, BC'=c
Gọi M, N là các điểm chia AC’ va CD’ theo ti số m m tức là M4= mMC":
NC =nND'
1) Biểu diễn #A, #N theo a, b, e
2) Xác định m, n dé MN // B'D
Bai 11: Cho tit dién ABCD Goi P, @ lần lượt là trung điểm của 4B va CD Hai điểm M, N lần lượt chia hai đoạn thang BC va AD theo cing tỉ số k Chứng
minh P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng
Bài J2: Cho hình hộp chữ nhật 4#CDA'8'C'D' Gọi AM, N lần lượt là trung
diém cia AA’ va B'C’ Ching minh rang MN //(DA'C’)
Bài 13: Cho hình hộp chữ nhật 48CDA'B'C'“D' Các điểm M, N lần lượt chia
AD' va DB theo ti so k (k 40; k # 1) Chứng minh rang MN // (A'D'BC)
Bai 14: Cho lang tru tam giac ABCA'B'C' Goi M, N lan luot là trung điểm của 4A' và
CC' G là trọng tâm tam của giác 4'8'C“ Chứng minh rang mp (MGC’) // mp(AB'N) Bài I5: Cho tứ diện 4BCD Ly cac diém M, N, P, Ĩ lần lượt thuộc 4, BC CD va DA sao cho AM = 345, BN = 5 BC, AQ = 240 DP =kDC Hãy xác định k dé P, Q, Ä⁄, N đồng phẳng
Bài I6: Cho hình hộp chữ nhật 4ðCDA'B'C'D' Trên 44', BB', CC' lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho AM 28 o SF 8 Trén doan CM, A'N lay
AA BB’ CC 4 các điểm E, F sao cho EF // B'P Tính tỉ số ae
Bãi !7: Cho hình hộp chữ nhật 4BCDA'B'C°D' P là điểm trên đường chéo A'C’
sao cho aed M thuộc 4B, N thuộc 8C sao cho M, N, P thang hàng
nh #4, AC MB NB
Trang 15§2: HAI DUONG THANG VUONG GOC
A KIEN THỨC CƠ BẢN:
I Gĩc giữa hai đường thăng: Gĩc giữa hai đường thăng a, là gĩc giữa | hai đường thăng a' và b“cùng đ đi qua một điểm và lần lượt song song với a, ð | Ki hiéu: @ =(a, a, b) Chi y: 0<@<90° 7 |
2 Hai đường thăng vuơng gĩc: - |
~ Hai dudng thang a, 4 duge gọi là vuơng gĩc với nhau nêu gĩc giữa chúng
bang 90° Ki hiéu: a Lob
- Chiy: a Lb = u.v =0 trong dé w/a; v//b
- Nhận xét: Một đường thăng vuơng gĩc với một trong hai đường thắng song song thì vuơng gĩc với đường thăng kia
B CÁC DẠNG TỐN:
Dang 1: Tính gĩc giữa hai đường thăng
*_ Phương pháp: Để xác định gĩc giữa hai đường thang a, b kí hiệu (a,b), la thực hiện: | „
~ Lây một diém Ị bát kì, xác định a' qua Ĩ và a'/a; b' qua O va b'//b
~ Khi đĩ (a,b) = (a1, 8)
_ —_ Chú ý: Điểm O cĩ thể lay ngay trên một trong hai đường thang
Bail: Cho tứ diện ABCD Goi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
va AD Biết AB = CD = 2a; MN = a3 A
Tính gĩc (AB, CD)
- Giải:
Gọi Ĩ là trung điểm của 4C
Kẻ OM/⁄AB; ON// CD Khi đĩ:
(AB, CD) = (OM, ON) = MON
Ta c6 OM = ON = a B D
Goi /la trung diém cua MN /
a3 M
MI =
2
Suy ra: OF = VOM? — MP? =5: Do dé OMI = 30°
Vay MOT = 60° '
Trang 16Vì AOMN can nén tacé MON = 2MOI = 120°
Do dé: (AB, CD) =180° -120° = 60°
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng a và một điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi sao cho S4 = a và S4 Ì BC
1) Xác định gĩc giữa SA và AD 2) Xác định gĩc giữa SD và BC
3) Gọi I và.J lần lượt là trưng điểm của SA và SC Xác định gĩc giữa lJ và BD
Giải: S BC/!AD
1) Ta cĩ SA 1 BC => SAL AD Vay: (SA, AD) =90°
2) Ta cĩ: 4D // C nên I (SD, BC) =(SD, AD) = SDA = 45°
(Vi tam giac SAD vuơng cân tại A)
3) Ta cĩ /J AC nên:
(, BD) = (AC, BD) =90° vì AC L BD A
Bài 3: Cho hình lập phương ABCDA'B'C!D' cạnh bằng a Gọi M, N, P lần lượt
¬ l
là các điểm thuộc các cạnh AB, BC và C'P' sao cho BM =2
CN = C8; CP= 2CP Xác định cosin của gĩc giữa các cặp đường
thang MN va AP; PN va MD'; A'P và DN BRM A
Giải: * Gĩc giữa MN và AP
Dung PQ // MN (QO € A'D’)
Khi đĩ, (aN, AP) = APO
Tacé: MN = (MB? + NB? = sả
Mat khac EX BNMc, Ds D'OP
~ MN BN BM 4 Vay nên: ——=——=——=_— PQ DO DP 3 3 av106
Suy ra: PO=— MN =
ỹ ° 4 15
3 9a
DQ=—BN=—
4 4 20
Trang 17
ar oe
AQ= wei AQ=V AA? +410? == =
DP = ast, AP =V AD? + DP? =" 2 AP?+PQ?-AQ’_ 41 2AP.PO 43498 * Gĩc giữa PN và MD' Dung PR// D'M(R € AB) Tacé: (PN, MD’) = NPR PR = MD! = (MA + A'D? = ae CP =VCC?+CP? = *
Vay: cos APO =
NP=[NC? +CP? =# ã RN = VBN? + BR? =" a [se= am - po) PR*+PN*-RN* 114 2PR.PN—-V/1S158 * Gĩc giữa 4'P và DN
Dung PS // DN (S e CB) Khi đĩ (ND, 4°?) = APS
Vay: cos NPR = tact; £5 2 3 psn wp: ND CD 4 4 2 > 2! ND = CDP + cn? = 4929 _, ps 2 3av29 5 20 avi7 PA =VA'D? + D'P? = C8 SF es acectew CN CD 4 4 10 WSĂea- S14 ga jwatvpst-21 I0 10 10 —_— r2 2_— „e2 , Vay: cos aps = PA +ES A'S 2,
2PA' PS 493
Trang 18Nhim xét: Ngồi phương pháp xác định gĩc giữa hai đường thằng theo cách trêm (ấp dụng định nghĩa), ta cĩ thé xác định gĩc giữa 2 đường thẳng bằng cach quy về gĩc giữa hai veclơ
——\.L ca ea\ 4865| cos( 4B, CD) = leos (4B, CD)|= —=“— |4s||Cp| Bài 3: (Giải cách khác) Chon BA = a, ÿB = b, xa e Khi đĩ: MA =BN- BM =Še-1a a 3 AP = AA + 4D+DP=-E+c~+a al ma ar at — 60 41
Vay ay cos( cos| MN AP )=\cos| MN, AP | = ————"——— )=|eos( — —+=— /1+14+— = ———} 3498
25 9 16 Ta od: PN = BN - EP=-Ta+b-Ÿ€ MD = BD - BM =2a-b+e ==> 114 Vay cos = ( PN, 2Ì“ 15158 Tacư ND=D-Đ = 4 +2 e Sead qỊ-
Vậy: cos(ND, 4?) =|cos(ND, A AP) = Ti
Dawg 2: Ching minh hai đường thẳng vuơng gĩc
* Phương pháp: Đề chứng mình hai đường thẳng a, b vuơng gĩc với nhau: — Cach 1: Néu hai đường thẳng a, b cắt nhau thì cĩ thê áp dụng các phương pháp chứng minh vudng Sĩc trong hình học phẳng
— Cách 2- Chứng minh w.v =0 trong đĩ w//a; v//b
- Cách 3: Chứng minh b / c và
œa Lcsuyra a Lb Ï
Trang 19Bài I: Cho tứ diện ABCD, trong đĩ AB = AC = AD = a BAC =60°;
BAD =60°: €4D=90° đọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Chứng mình rằng LJ L AB: lJ LCD A
Giai: IN
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC, tam giác 487 đều cạnh bằng a
Do do: IC = ID
Hay tam gidc JCD can tai Vay J LCD Từ giả thiết suy ra tam giác 4CD vuơng
cân tại 4, tam giác BCD vuơng cân tại B D Suy ra 4J = BJ
Hay tam giac JAB can tai J J
Vay WL AB
€
Nhân xét: Ngồi ra ta cĩ thể sử dụng phương pháp vectơ để giải bài tốn này
bằng cách:
Chọn AB = by AC =c,AD=4 Ta cĩ |ð Án |z |= a
— —ŠỐ 2 _, 2 _ _.,_ b.c=“=;b.d=“S=;c.d=0
2 2
Suy ra: CD=AD-AC=d-c
=IB+BC+C7=}P+e-B+i(đ-s)=-LE+ls+L3s, 2 2 2 2 2
Ta cĩ Ú.i8=(-35+3c+24)5 3 B8 3
—3 = = 2 2 2
ath vl Boel Chao te ot
2 2 2-4 4
Suyra LJ LCD
Trang 20Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA'BC'D' Goi M, N lần lượt là các điểm thuộc các đường chéo BA' và CB' của các mặt của hình lập phương sao cho
BM => MA, CN = 5 NB Chimg minh rang MN 1 BA’, MN LCB'
Giải:
Gọi P là giao điểm của AB và BM' Khi đĩ ta cĩ:
MP _ MB _1 MB’ MAT 2 1
Tam giác B'PC cân tại Pnén POL B'C (7% / AP
(Q la trung diém ne A' LA QD
NO _ eis [Ss
Mặt khác, NB = = Up
Do dé PO // MN Suy ra MN 1 B'C JAX `
Tương tự, gọi K là giao của BN và B°C' 3Ä TQ a
«do NK _ BIN _1 == i
Khi do: NB NC 2 B K Cc
Tam gidc A'KB can tai K nén K/ L A'B Hơn nữa —— KN Lm
NB 2 MB
Suy ra MN.// KI Do vay MN 1: A'B
Nhân xét: T: ac cĩ thể giải bài tốn 0 này bằng phương pháp vectơ
Chọn 84= a, BB'= b, BC = c
Theo bài ra suy ra: 84 =
= ` II
MN.CB'=2(~a+b+e)(E~e)= b -c =0
Vay,MN L BA’ va MN 1 CB’
Bai 3: Cho hinh chép SABCD co ABCD Ia hinh bình hanh voi AB = 2a; AD =
a SAB Ia tam gidc vuéng can tai A Goi M la mét diém trén cạnh 4D với
AM = x (0< x < a); ala mặt phẳng qua M và song song voi (SAB)
Trang 21a) Ching minh rang œ cất hình chĩp SABCD theo thiêt diện là hình thang
vuong :
b) Tĩnh diện tích thiết diện đĩ theo ava x
Giải:
a) Vi M là điểm chung của ø và mặt phẳng (4BCD); a // (SAB) va
(SAB) > (ABCD) = AB
Do dd @ A (ABCD) = MN // AB(N € BC)
Tuongtu: a@@(SAD) = MQ//SA(Q € SD) aoa (SBC)=NP/SB(P€ SC) §
Vậy thiết diện là tứ giác MWPO
Mat khac MN // AB
AB // CD Suy ra MN // CD Ma a@m (SCD) = PQ
Nên PO // CD // MN Q
Hon nita, MN // AB;
MO SA: B
AB L S4
Do do: MN L MQ
Từ đĩ suy ra un là hình thang vuơng
b) Taco: § wry = 5 (MN + PQ) MO p lộ
MO _ DM _, yg - S4.DM SA DA DA FQ Ss SQ = AM =>PQ= DC SD AD MN = 2a ˆ ] 2
Vay: S veg = sữa +2x}2(a- x)= 2(a? -x? ) l
Iz
Ma =2(a-x)
DCAM _ 5,
C BAI TAP:
Bài 1: Cho hình hop ABCDA'B'C'D' co canh bang a,
BAD = 60°, BAA’ = DAA' =120°
a) Tính gĩc giữa các cặp đường thẳng 4B và A'D; AC’ va B'D
b) Tính diện tích của hình A'BICD va ACC'A’ -
c) Tính gĩc giữa các đường thăng 4C” và các đường thang AB, AD và AA’
Bai 2: Cho tứ diện đều 4BCD cĩ cạnh bằng a Goi M, N, P, Q, R lần lượt là
trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC a) Chứng minh rằng MN 1 RP va MN L RQ b) Ching minh rang AB 1 CD
Trang 22Bai 3: Trong mat phẳng cho tam giác đều 4C cạnh bằng z, gọi Ĩ là trung điểm AC Lấy điểm $ ở ngồi (4BC) sao cho Š4 = a và S4 L BO ø là mặt phẳng chứa BO va song song voi SA
a) Chứng minh rằng ø cắt tứ diện theo thiết diện là một tam giác vuơng b) Tính diện tích thiết diện đĩ
Bài 4: Cho tứ diện 4BCD cĩ 4B = CD =a AC = BD = b;AD = BC =
a) Chứng minh các đoạn thăng nơi trung điểm của các cặp cạnh đối thi vudng gĩc với hai cạnh đĩ -
b) Tính của gĩc hợp bởi hai đường thăng 4C và BD
Bài 5: Trong mặt phẳng ơ, cho A4BC vuơng tại 4, ® =60°, 4B = a Goi O la
trung điểm 8C Lấy điểm S ở ngoai a, sao cho SB = a và $B L OA Goi Mla
điểm trên cạnh AB, mat phang qua M song song vdi SB va OA cat BC, SC, SA lan luot tai N, P, Q Dat x = BM
a) Chứng minh MNPO là hình thang vuơng _
b) Tinh theo a va x diện tích MNPOQ va tim x dé dién tích đạt giá trị lớn nhat
Bài 6: Cho tit digén ABCD cĩ ABC và DAB là hai tam giác đều cạnh báng a
DC = a2 Gọi M, N lần lượt là trung điềm của 4B và DC
a) Chứng mịnh răng ÄM⁄N là đường vuơng gĩc chung của 4ð va DC b) Chứng minh 4X L BN
c) Tính gĩc giữa DA và 8C
Bai 7: Cho tit dién ABCD
a) Chứng minh rang AB | CD = AC’ - AD’ = BC’ - BD”
b) Từ đĩ suy ra nêu một tứ diện cĩ hai cặp cạnh đơi vuơng gĩc với nhau thi
cặp cạnh đơi cịn lại cũng vuơng gĩc với nhau
Bài 8: Cho hình thoi ABCD canh là z và một điểm Š ở ngoải mặt phẳng chứa
hinh thoi sao cho SA = a va SA 1 BC 1) Chứng minh ASAD vuơng cân 2) Tính gĩc giữa SD và BC
3) Gọi ï, J lần lượt là trung điểm của S4 và $C Tính gĩc giữa 1/ và B/
Bài 9: Cho tứ diện 4BCD Gọi M, N, P là trung điểm của BC, AD va AC Cho
AB = 2a; CD = 2aV2; MN =aV/5
Tính gĩc giữa 4B và CD
Trang 23§3: DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG
A KIEN THUC CO BAN:
1 Định nghĩa: Một đường thăng gọi là vuơng gĩc với mặt phăng nếu nĩ vuơng gĩc với mọi đường thăng năm trong mặt phăng đĩ
al (P) © a1 c, Wcc(P)
Kihigu: @ = (a, 4) Chu y: 0< a <90°
2 Điều kiện để đường thắng vuơng gĩc với mặt phẳng: alb
ale =>al(P)
b,c C(P),b catc
3 Tinh chat:
~ Qua một điểm O cho trước cĩ duy nhất một mặt phẳng (P) vuơng gĩc với một đường thẳng a cho trước
— Qua một điểm Ø cho trước cĩ duy nhất một đường thẳng 4 vuơng gĩc với
một mặt phẳng (P) cho trước
*ai/b fous Sic) bL(P)}=>allb
Minh azb
*{P)//(Ĩ) "(Py La
al(P) |>s+t@ (Q)Lb -=>(P)/Q)
(P) #(Q)
*a//(P) pees TazŒứ) _ =aí/((P)-:
4 Định lí ba đường vuơng gĩc:
Cho đường thẳng a cĩ hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đường thing a’ Khi đĩ, một đường thăng ở nằm trong mặt phăng (P) vuơng gĩc với a khi va chỉ khi Š vuơng gĩc với a'
5 Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
~ Nếu a 1 mp(P) thì ta nĩi gĩc giữa đường thing a và mp (P) bang 90° - Néu a khơng vuơng goc voi mp(P) thi gĩc giữa đường thắng a và mp (P) chính là gĩc giữa đường thẳng z và hình chiếu a' của nĩ trên mp (P)
Trang 24B CAC DANG TOAN:
Pang 1: Chitng minh duéng thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
*_ Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mat phẳng
(P) ta cĩ thể:
Cách 1: Chứng mình a vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau chứa
trong (P)
Cách 2: Chứng minh a song song với một đường thắng b vuơng gĩc
với mặt phẳng (P)
Cách 3: Chứng minh a vuơng gĩc với mp (Q) mà mp (Q) song song
với mp (P)
Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ 4B L (BCD), tam giác BCD vuơng tại C
4a) Chứng minh CD L mp(ABC)
b) Gọi BH là đường cao của tam giác ABC Chứng minh rằng BH L mp (ACD) Giải: A a) Ta cĩ 4B 1 (BCD) nên AB L CD Mặt khác, BC L CD (gt) Suy ra CD 1 (ABC) -— b) Vi CD (ABC) va BH c (ABC) nén BH LCD
Hơn nữa BH 1 AC C
Suy ra BH 1 (ACD)
Bài 2: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tam O Goi I va J lan
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Biết SA = SC, SB = SD Chimg
mình rằng:
4a) SO Ì mp(ABCD)
b) J L mp(SBD)
Giải:
a) Ta cĩ tam giác S⁄4C cân, Ĩ là trung điểm của 4C
Trang 25Bai 3: Cho tr dién SABC cé SA 1 (ABC) Goi H và K Ian lượt là trực tâm của
tam giac ABC va SBC Ching minh rang:
a) AH, SK va BC dong qui
b) SC 1 mp (BHK),
b) HK 1 mp (SBC)
Giải:
a) Gọi M là giao của BC và AH
Suy ra 8C _/ SM vì AM là hình chiếu
vuơng gĩc của SM⁄ trên (48C)
Do đĩ SM = SK
Hay SH, SK và BC đồng qui tại M
b) Ta cĩ S4 L (4C) A — H Né n SA 1 BH lo ews (SAC) > M Mặt khác AC L ĐH | Dodd BHLSC = SC 1(BHK) £ Hon nita BK LSC c) Taco: BC LSM => BC 1 (SAM) BC L AM Suyra BC L HK HK 1 (SBC Mặt khác SC 1 HK(viSC L (BHK)) > ys
Bai 4: Cho hình lập phương ABCD AiBịiCIĐ, Gọi P là trung điềm của AB; Q
là giao điểm của BC) và CB Chứng minh rằng D,Q L mp(PB,C)
Giải:
Ta cĩ ADIB\C đều, Ĩ là trung điểm của BịC nên DịQ L ĐC (1)
Ta cần ching minh D,Q L Pð\ B Cc
That vậy, gọi R, S lan luot 1a trung P x ⁄
điểm cla CD va CC) Khi dé: RC, // PB) ‘i
Mat khac OS L mp(CDD¡C)) A I xđ3¬lp Suyra QOS 1 RC, RC, LQSD,) : > Hon nita DS 1 RC, Do d6 RC; L DiO > D\Q 1 PB, (2) ⁄ \ Từ (1) và (2) suy ra DiQ 1 mp (PB,C) Ay D 1
* Nhan xét: Ngồi các phương pháp ở trên, đối với các bài tốn này ta cĩ thé sit dung cong cụ vectơ (phương pháp vectơ) đẻ giải các bài tốn đĩ Chẳng hạn đối với:
Trang 26
Bài 4: (Giải bằng phu phương g pháp vect0)
Chọn hệ vectơ BA =a BB = °b BC, =
Khi đĩ @.b = b.c =c.a =0
[a|=[5|=[¢l
Vì P là trung điểm của 48 nên:
B,P =(B.A+ B,B)= 2(B,4 +2B,B) =
Vì Ø là trung điểm của BịC nên:
DO=+(BB+DC)=+(-a-e+b-a)=-a+1 5-56 > + + Tacĩ B,C= B.B+B,Œ=b+e Suy ra: BP.DO-= (42+5) ~G+15-10)=-1a' +15" =0 2 ; 2 2 z 2 BC.DO-(b+e)(-a+15-10)-15°-16" 2 2 2 2 =o o đĩ BỊPLDIO và BỊC LDQ Vay DQ 1 mp (PB,C)
Dang 2: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với đường thăng
*_ Phương pháp: Ngồi các phương pháp chứng minh đã được nêu trong &2, ta cĩ thể sử dụng các phương pháp chứng minh sau để chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với đường thẳng b:
~ Chứng minh a L (P) mà (P) Đ b
~_Áp dụng định lí ba đường vuơng gĩc
Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ DA Ì (ABC) Dựng đường cao AE cua AABC
a) Chứng minh DE L BC
b) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên DE Chứng minh rang AH 1 DC
Trang 27Suy ra AH 1 DC
Bài 2: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng S4 L mp(ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc cua A lên SB; SD
d) Chứng mình các mặt bên của hình chĩp S4BCD là các tam giác vuơng b) Chứng minh AH 1 SC; AK L SC
c) Mat phang (AHK) cat SC tai I, ching minh HK L AI
Giai: a) SA 1 (ABCD) Suy ra SA 1 AB; SA 1 AD
Vay tam giac SAB va SAD vung tai A
Hon nita SAL BC oS => BC 1 (SAB) AB LBC
Suy ra BC 1 SB hay ASBC vuơng tại Ư
Chứng minh tương tự, ASCD vuơng tại D 7/7
b) Ta cĩ 8C 1 (S4B)
Suyra BCLAH
Mặt khác Sð.L 4H Vay AH 1 SC
Chứng minh tương tự ta cĩ 4K 1 $C _ Ư c
c) Ta cĩ tam giác vuơng S4 băng tam giác vuơng S4D (Vi AB = AD; SA chung)
Suyra SB = set SH SK |= AH 1 (SBC) =>T——=—_—=KI/BD SH =SK SB SD Mặt khác BD 1 AC BD LSA
Suy ra HK 1 (SAC) Do dé HK 1 Al
Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác
nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuơng gĩc với nhau Gọi CH, FK là hai đường cao của tam gidc BCE va ADF
a) Chứng minh răng ACH và BFK là hai tam giác vuơng b) Chứng minh AH | BF va BK L AC | => BD 1 (SAC) Giải: a) Ta cĩ: AB L BC => AB 1 (BCE) AB L BE
Suyra Mặt khác 8£ L CH ne ABLCH | \ cH (ABEF)
Suy ra CH L 4H hay AACH vuơng tạ H D
Trang 28Chứng minh tương tự ta cĩ ABKF vuong tai K
b) Ta cĩ CH L (4BEF) (chứng minh trên)
S Mặt khác 4C L BƑ —_ CH 1 BF = BF (ACH)
Vay BF 1 AH
Chứng minh tương tự ta cĩ 8K L 4C
Bài 4: Cho tứ diện OABC cĩ ĨA; OB; ĨC đơi một vuƠng gĩc với nhau Gọi H
là hình chiêu vuơng gĩc của điêm O lên mặt phắng (ABC) Chứng minh
rằng:
4) H là trực tảm tam giác ABC
l 1 | 1
b) =—†+—_Ừ
OH? OA? OB? OC? :
c) Các gĩc của tam giác ABC đêu nhọn
Giải: a) Ta cĩ: 4.LỐP | =Ĩ4A 1 (OBC) OA L oc} Suy ra 24 L BC , Mặt khác 4H là hình chiếu vuơng gĩc
của 44 lên mp (48C) nên 4H L BC
Tương tự, ta chứng minh được 8H L 4C
Vay H la truc tam cua tam giac ABC l M
b) Goi M là giao điểm của 4H và 8C
Tacĩ BC 1 (OAH) suy ra BC | OM B
Mat khac, OA L (OBC) nén OA 1 OM
Va OH 1 (ABC) nén OH 1 AM -
: a : 1 1 1
Vậy trong tam giác vuơng OA ta cĩ: ow of + ae
a
M} OB OC?
Hon nita, xét trong tam giac vung OBC ta co:
1 1 1 OH? OA OB OC? c) Dat OA = a; OB = b; OC =e - Khi đĩ ta cĩ: 4B? = a +B AC? = d2 + c°; BC? = b + c1, AB°+AC`-BC” 24” cụ 2AB.AC 2AB.AC Từ đĩ suy ra: Tato: cosd = Vậy 4 là gĩc nhọn
Tương tự; 8, C là gĩc nhọn Hay các gĩc của tam giác 4BC đều nhọn
Trang 29Dang 3: Tìm thiết diện tạo bởi mat phang qua | điểm và vuơng gĩc với một
đường thang cho truéc _ ;
* Phuong pháp: Cho khoi da dién (S), tim thiét dién cua (S) tao boi mat
phang a qua diém M cho trước và vuơng gĩc với đường thẳng A cho trước — Cách ]: Tìm hai đường thăng căt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuơng gĩc với A Khi đĩ mặt phẳng œ qua M ì œ song song hoặc chứa a hay b Từ đĩ
quy về dạng tìm thiết điện theo quan hệ song song
~ Cách 2: Xác định mặt phẳng ơ bằng cách dựng hai đường thăng cắt nhau cùng vuơng gĩc với d, trong đĩ cĩ ít nhát một đường thăng qua M Mat
phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là œ và quy về dạng tìm thiết
điện theo quan hệ song song
Bài 1: Cho tứ diện S4BC cĩ 4BC là tam giác vuéng can tai B; AB = a SA 1 (ABC) và $4 = a3 Mlà điểm tr) ý trên cạnh AB sao cho AM = x (0 < x < q) Goi ala mặt phằng qua M và vuơng gĩc với AB
a) Tìm thiết điện của tứ diện tạo bởi ơ
b) Tính diện tích thiết điện theo a va x Tim x dé diện tích thiết diện cĩ giả
trị lớn nhát Giải: a) Taco SA 1 AB S BC L AB a 1 AB Suy ra SA// a, BC// a
Vay a (SAB) =MQ//SA (OQ e SB)
aa (ABC) = MN // BC (N € AC)
aa (SAC) =NP//SA (P € SC)
Do đĩ thiết diện là tứ giác NPQ A
b) Tacé MQO// NP // SA MN // OP // BC Mặt khác MO // %4 MN // BC SA L BC (Vi SA 1 (ABC) Suy ra MO 1 MN
Vậy tứ giác MNPO là hình chữ nhật Khi đĩ § „„„„ = MO.MN
MƠ _ BM _ SA.BM _ av3.(a—x) F
Tab oT pg Oe ee
MN _ AM _, yy _ BC.AM _@x _
BC AB AB a
Trang 30Vay S sero = 5x(a~x)<ã(*t4=*
M3 a ~
Hay S sao <2
Vậy 6 ,„„ đạ giá tị lớn nhất bằng X2 a? khi x=a— xeoxat
Bai 2: Cho tứ điện ABCD cĩ tam giác ABC đều cạnh a DA L (ABC) và DA = 2a Gọi œ là mặt phẳng qua B và vuơng gĩc với DC Tìm thiết diện của tứ
điện với œ và tìm diện tích thiết diện đĩ
Giải:
Gọi Ä/ là trung điểm của AC
Khi đĩ: 8M L AC 7 BM 1 DA (vi DA 1 (ABC)) Suy ra BM 1 (DAC) Vay BM 1 DC Dung MN L-DC tai N Suy ra DC 1 (BMN) hay a =(BMN)
Như vậy, thiét dién can tim la ABMN
Vi BM 1 (DAC) nén BM 1 MN Vậy ABMN vuơng tại M
Do 46 ,9 „uy =2 BM.MN,
“ải
Mặt khác, ¬ giác vuơng CWM đồng dạng tam giác vuơng CAD (vì ề chung) trong đĩ BÀ/ = 2a.2 MN _CM DA.CM 2 _ as Si —- = — > MN= = = "y""DA CD CD Jagta@ 5 1 a3 aj5 - avis Viv Sama 5S = 20 7
Bài 3: Cho hình chĩp SABCD cĩ day ABCD là hình thanh vuơng tại A và B với AB = BC = a; AD = 2a; SA | (ABCD) va SA = 2a Gọi M là điểm trên cạnh AB a la mat phẳng qua M, vuơng gĩc với AB
a) Tìm thiết diện của œơ với hình chĩp SABCD Thiết diện là hình gi? b) Đặt AM = x (0 <x< a) Tính diện tích thiết điện theo a vax
Trang 31Giải: Ta cĩ: BC L 48 SA L AB (vì SA 1 (ABCD)) a LAB Suyra œ⁄%4; œ/ BC Khi đĩ: ae (SAB) = MN // SA (N € SB)
@A\ (ABCD) = MO // BC (QO e CD)
ac (SBC) = NP // BC (P € SC)
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ B
“Ta cĩ MP Z MO (Vì cùng song song với BC)
MN // SA | Mat khac: MQ// BC
S44 ac |
=> MN | MOQ
Vậy MNPO là hình thang vuơng
b) Tinh Simi = 5 MN (MQ+NP) Ta cĩ: MN _ BM _, yy =24@-*) _ 2z — x) SA BA a NP _ SN _ AM _, yp _ 9% = y BC SB AB a EQO_CE _ BM _ rọ „ 4(4~3) _ ID CI BA a MO = eee ae ae
Vay ưng” 2(24~x+x) 2(a-x)=2a(a-x)
C BÀI TẬP: ;
Bài I: Cho tứ diện 4BCD cĩ 4BC và DBC là hai tam giác đều Gọi / là trung điểm của BC
a) Chứng mình rằng ØC L mp(41D)
b) 4/7 là đường cao của A41D Chứng minh rằng 4 L mp(BCĐ)
Bài 2: Cho hình chĩp S48CD cĩ đáy 4BCD là hình vuơng cạnh z, mặt bên $4 là tam giác đều và SC = a\2 Gọi 1, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB va AD ¡) Chứng minh rằng %7 L mp(4BCD)
b) Chứng minh rang AC 1 SK va CK 1 SD
Trang 32Bai 3: Cho hinh chĩp SABCD cé ABCD la hinh vuéng SA 1 mp(ABCD) a) Chứng minh rang DB L mp(SAC)
b) Goi M, N lần lượt là trung điểm của SC va SD Chimg minh rang MN 1 mp(SAD)
Bai 4: Cho hinh chĩp S4BCD cĩ S4 L mp(4BCD) và ABCD là hình thang
vuơng tại 4 và D với 4D = DC = Ex Gọi 7 là trung điểm của 4B
a) Chứng minh các mặt bên của hình chĩp đều là tam giác vuơng
b) Chứng minh rằng €7 1 SB va DI 1 SC
Bai 5: Cho hinh lap phuong ABCDA,B,C,D) Goi M, N lần lượt là trung điểm
của 4D và BB\ P là giao điểm của DC; va CD)
a) Chimg minh rang MN i A\C b) Chimg minh rang B,P 1 (PDC)
Bai 6: Cho tứ diện 4BCD cĩ 4D 1 mp(48C), tam giác 4BC vuơng tại C
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện đều là tam giác vuơng
b) Kẻ đường cao CH (H e 4B): AK (K e DC) của các tam giác ABC và DAC Chimg minh rằng các tam giác CHD; 4K là các tam giác vuơng
c) Goi M, N, O lần lượt là các trung điểm của 4C; 4D và 4B Chứng minh
răng các tam giác O2MAN; KMN; KNO đều là tam giác vuơng
Bai 7: Cho hinh chép SABCD, day ABCD là hình chữ nhật cĩ 4ð = a,
BC = aN3, mặt bên S#C vuơng tại , mặt bên SCD vuơng tại Ð cĩ
=a5
a) Chimg minh SA | mp(ABCD), tinh SA
b) Đường thẳng qua 4 vuơng gĩc với 4C cắt các đường thang CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là hình chiếu của 4 trên SC Hãy xác định các giao điểm M, M cia SB, SD voi mat phang (HL) Chimg minh rang AM 1 (SBC), AN L (SCD)
c) Tinh dién tich AMHN
Bai 8: Cho hình chĩp SABCD, day ABCD là nửa lục giác đều cĩ
AB=BC=CD= a; SA 1 (ABCD) va SA =av3 M và ï là các điểm trên cạnh
SB, SD sao cho SM = 5 SB: ST = 3sp Mat phang (AMJ) ct SC tai N a) Chimg minh rằng SD | (AM)
b) Chứng minh răng AN a trung diém cua SC
c) Chimg minh rang AN | NI va AM MI
đ) Tính diện tích thiệt diện tạo bởi (4A⁄7) và hình chĩp
Bài 9: Cho hình chĩp S4BCD cĩ 4BCD là hình vuơng cạnh bằng a SA 1 (ABCD) va SA = a2 Dung dudng cao AH cua tam giac SAB
Trang 33SH _ 2 a) Chứng minh rằng °ˆ—” =^, : _
b) Gọi ø là mặt phẳng qua 4 và vuơng gĩc với S ø cắt hình chĩp S48ŒD theo thiết diện là hình gì? Tính điện tích thiết diện
Bài 10: Cho hình tứ diện S48C cĩ tam giác 48C đều cạnh bằng a SA 1 (ABC) va S4 = a Goi M la diém tuy y trén canh AC, CM = x (0 < x < a) la mặt
phẳng qua 4 và z.L 4C
a) Tuy theo vị trí của điểm M cĩ nhận xét gì về thiết diện của hình chĩp tạo
bởi ø
b) Tính diện tích Š của thiết diện trên theo a và x Xác định x để diện tích cĩ
giá trị lớn nhật Tính diện tích lớn nhất đĩ
§4: HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC
A KIÊN THỨC CƠ BẢN:
[ Gĩc giữa hai mặt phang:
1 Gĩc giữa hai mặt phăng là gĩc giữa hai đường thằng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phăng đĩ
2 Qui tắc xác định gĩc giữa 2 mặt phẳng
Khi mặt phẳng (?) và (Ø) cắt nhau theo giao tuyến A, dé tinh gĩc giữa
chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuơng gĩc với A lần lượt cắt (P) và
(Q) theo giao tuyến p, q Khi đĩ ((P); (Ĩ)) = (p,4)-
3 Gọi S là diện tích của đa giác H trong (P) và S" là diện tích của hình chiếu
S† trên (P') thì S° = S cosọ, với là gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (P`)
HH Hai mặt phẳng VUƠNG gĨC:
1 Đình nghĩa: Hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng
907
2 Điều kiện đề hai mặt phang VHƠNg gĨC:
*_ Định lí: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thằng vuơng gĩc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau
Trang 34b) (P) L(Q) Ae(P), al(Q) Aec â) (P)o(ỉ)=a (P)1(đ) =>al(R) (@)1(đ) =ac(P) B CÁC DANG TỐN:
pane 1: Xác định gĩc giữa hai mặt phẳng
*_ Phương pháp: Để xác định gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và
(O) hay gĩc phẳng nhị điện ta thực hiện:
~ Tìm giao tuyến e của hai mặt phẳng (P) và (Q) ~ Tìm một đường thang Vuơng gĩc với e cắt (P) (Ĩ) tại A và B
~ Từ A hoặc B dựng đường thăng vuơng gĩc với c tại H
Khi do ((P), (Q)) = APB: goi là gĩc phẳng nhị diện cạnh c
Chú ý
+ Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai C
tam giác cân ABC, ABD cĩ chung đáy AB thì CID la gĩc phẳng nhị diện với 1 là trung điểm của
AB - A D
+ Néua, b la hai đường thẳng lần lượt vuơng
gĩc với hai mặt phang (P), (Q) thi
(CP), (Q)) = (4,6) 4
+ Nếu gĩc phẳng nhị diện bằng 90° thì hai mặ: phẳng tạo thành nhị điện đĩ là vuơng gĩc với nhau
Bài I: Cho hình chĩp SABC co day ABC là tam giác vuơng cân BA = BC = a,
Trang 35Khi do SC 1 (BKN) Vay ((SAC), (SBC)) = BKN Ta cd NS SAC@ ES NKC (vì C là gĩc nhọn chung) NK _ NC uy fa ——=——— SA SC a2 = vK = SANE 2 av6 SN - 6 Mặt khác, 8X L (S4C)
= BN L NK hay ABNK vuơng tại N
ad Do d6 tan BKN = a“ = V3 2 Vậy BKN =60°= (GOA) b) Tacé MN // BC Še(SMN) (SBC) Hon nita BC L SB va BC LSM Suy ra Sx L SB va Sx 1 SM Hay ((SMN) : (SBC)) = BSM
Trong tam gidc SBM ta cé: BM? = SM? + SB? -2SM.SBcosBSM
sex _ SM? + SB° - BM?
|= (SMN) A (SBC) = Sx// BC // MN
=> cosBSM =
2SM SB
Trong đĩ SA = S4? + AM? = “ŸY”; SB= a2; BM = $:
5a? 2 a
— +2aˆ——
Vậy cos Su - 4 —— 4 = N10 ©, g8 = arecos VIO 2.4/5,„J3 10 10
Do đĩ, gĩc giữa 2 mp (SMN) và (SBC) là gĩc ơ =arccos sĩi
Bài 2: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường trịn đường kính AB = 2a; SA L mp(ABCD) và SA = axl3
a) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (S4D) va (SBC)
b) Tính gĩc giữa hai mặt phăng (SBC) và (SCD)
Trang 36- Giải:
a) Goi 7 là giao điêm của 4D và BC
Khi đĩ giao tuyến của (4Ð) và (SBC) là S1
ĩ a }=ap+4Ð, D BD 1 SA
BD LSI
buym = SI 1 (BDE) Dung DE LSI
Vay ((SAD); (SBC)) = BED 4
Tir gia thiét suy ra AJ = AB = 2a
Mặt khác È`.54/ ca DET vì cĩ gĩc nhọn 7 chung
suy ra ĐỀ SA - ĐI _ pp - Š4-ĐI _ aV21 SI ST 7
Vi BD 1 (SAD) nén BD 1 DE
tan BED = 22 - a3 = V7 Vay géc gitta hai mat phing (SAD) và
(SBC) la @ = arctan V7 b) Dựng 4/7.L CD tại H; AM L SH tại M Tacĩ CD L 4H =CD L (S4H) CD L %4 Sưyra CD L 4M SH LAM
Tương tu, dung AN 1 SC tai N thi AN 1 (SBC) Tir do suy ra ((SCD); (SBC)) = MAN
Mặt khác, xét È %4M:
|= AM 1 (SCD)
L—= Ly 1> Ls 1 >
AM° SA? AH? 3a” 3a’ 3a?
4
= am = 25 5
Xét XN SAC: SA = AC = aV3 nén tam giác $4C vuơng cân tại 4
1 av6
Suy ra AN =—SC = ——
2 2
Trang 37Vi AM L (SCD) nén AM LAN Vay cosMAN = ait = sp
Vậy gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) là œ = arceos 0
Bài 3: Cho hình vương ABCD cạnh bằng a trong mặt phang (P) Hai diém M,
N làn lượt di động trên cạnh CB và CD Đặt CM = x, CN = y Trên đường
thang At L mp(P) lay điểm S Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho:
a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một gĩc 45”
b) Các mặt phằng (SAM) và (SMN) vuơng gĩc với nhau
Giải:
a) Tacé SA 1 (ABCD) > S4 L AM: S4 L AN 5
Suy ra (4M) : (SBN)) = MAN
‘Theo bai rata cé MAN = =
Dat BAM =a; DAN = B
Khi đĩ z+/ =2 tana +tan 1—tan@.tan B B M Cc œ#-x,s-y.¡_(a-xa-y) a a a © a(x+y)-(a-x)(a-y) =a" b) Ta cĩ tp al (SMN) ee MN
= 4M? + MN? = AN? =a Ha- x) +x +y=a +(a- yy >x = a(x ~ y)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD cĩ DA L mp(ABC); Đ
tam giác ABC vuơng tai B va N
BSC = 45° Goi ADB =a Xac dinh a dé
Trang 38Vay ((4D0); (BDC) = BIJ
Ta cĩ ABJJ vuơng tai J (vi BJ L (DAC))
Theo bai ra, B/J = 60° nén ABI là nửa tam giác đều V3.BJ >— = —> 1 4
2 BỊ? 3BJ?
Mặ khác, ASBC vuơng tại B (vì BC L (D4B)) nên BDC = 45° nén DBC là
tam giác vuơng cân tại 8, hay DB = BC
AB _ AB
Ta cĩ sinø =——= —— => 4B = BC.sinz
DB BC
Hơn nữa, trong A4ðC vuơng tại Ư cĩ: Suyra BJ =
1 1 1 ] 1
— =—>++— = +1
BI? AB” BC? BC? tớ a
Trong A vuéng DJB tai J cé JDB = 45° nén ADJB vuơng cân tại J, do đĩ
pB= 2B) =>, == BP DB? BC
Từ đĩ suy ra: sa.) xe oy sin? ø 3 BC? sin? a .+i=Šøna.E 3 5
Vay @ =arcsin is, 5
Dang 2: Chitng minh hai mat phang vuơng gĩc
*_Phương pháp: Để chứng mình hai mặt phẳng vuơng gĩc ta thực hiện Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng kia
Cách 2: Chứng mình gĩc giữa 2 mặt phẳng bằng 90°
Bài I: Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là ph vuơng
tâm O, AB = a SO L mp(ABCD) và SỐ =— 3: Gọi M,
N lan lượt là trung điểm của AD và BC Ching mình,
Trang 39Ma 4CC (54C) Nền (SAC) L (SBD) ) Tacd BC _LMN b) Tacé BCL = BC L(SMN) BC 1 SO Ma BC c (SBC) = (SMN) 1 (SBC)
Tương tự, ta chứng minh (SA/M) 1 (SAD)
©) Ta cĩ SỞ = Ý= + _ Vay tam gidc SMN vudng tai S
Hay SM LSN
Mặt khác SM L BC (vi BC 1 (SMN)) Ma SM c (SAD) => (SAD) 1 (SBC)
Bai 2: Cho hinh vuơng ABCD, S là điểm trong khơng gian sao cho SAB la tam
gide déu va mp(S4B) L mp(ABCD)
a) Ching minh rang mp(S4B) L mp(S4D), mp(SAB) L mp(SBC)
b) Tỉnh gĩc giữa mp(SAD) va mp(SBC) `
€) Gọi H và 1 lán lượt là trung điêm của AB và BC Chứng minh răng
mp(SHC) L mp(SDN
}= SM 1 (SBC)
Giai:
a) Tacé SH 1 AB (vi AS4 đều)
Ma (SAB) 1 (ABCD) nén SH 1 (ABCD)
Suy ra SH 1 AD
Hơn nữa 4B L AD
Nén AD 1 (SAB) Do dé (SAB) (SAD) Tương ty ta cd (SBC) 1 (SAD) b) Ta cé (SAD) > (SBC) = Sx // AD Ma AD 1 (SAB) nén Sx 1 (SAB) Do dé ((S4Ð; (SBC)) = ASB = 60°
c) Tacé DJ L HC (vi 4ABCD là hình vuơng)
DI 1 SH (vi SH 1 (ABCD)) Suy ra DJ 1 (SHC)
Do d6 (SDI) 1 (SHC)
Bai 3: Cho hinh thoi ABCD vcĩ cạnh là a tâm O và BO=-=, SOL
3 mp(ABCD) và SO= số, Chứng minh rang mp(SAB) _L mp(SAD)
Giải:
Trang 40Dung OH L SA tai H
Ta cĩ 8D L SA vi BD 1 (SAC) Suy ra SA 1 (BHD)
Do đĩ, ((S4B);(SAD)) = BHD
Ta cd AOAB vuéng nén
OA? = AB? - OB? = 2c
=>OA= ave =SO
Suy ra OAS = 45°
Vậy AOHA vuơng cân tại H
Do đĩ on = 94 3 Vay OH v2 = OB= OD _
Tir dé suy ra BHD = 90° hay (SAB) (SAD)
Dang 3: Chứng minh đường thăng vuơng gĩc với mat phang
*_ Phương pháp: Ngồi cách chứng minh đường thang a vuơng gĩc với mặt phẳng (P) đã nêu ở 63, ta cĩ thể áp dụng các cách sau: l a c(0) -L(P — Chứng minh (671) Từ đĩ suy ra a L (P) (@)¬5Œ)=e : ale a=(Q)O(R)
- Ching minh 4(Q) L (P) Từ đĩ suy ra a L (P)
(R) L(P)
Bai 1: Cho hinh chép SABCD co day ABCD là hình chữ nhật Mặt SAB là tam
giác cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I
là trung điểm của AB S$
a) Ching minh rang SI L mp(ABCD)
b) Chimg minh rang AD vuơng gĩc với mp(SAB)
Giải:
a) Vi ASAB can tai S nén:
SILAB fap Ne B