Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Một số kinh nghiệm trong cách giải ph- ơng trình trùng phơng I) đặt vấn đề Phơng trình trùng phơng là một trong những dạng phơng trình thờng gặp ở lớp 9 . Nó có một vai trò không nhỏ trong các đề thi vào lớp 10 cũng nh các đề thi tốt nghiệp THCS trớc đây . Tuy nhiên đối với HS lớp 9 khi giải phơng trình trùng phơng thờng là lúng túng cách đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn , biện luận số nghiệm cho nên khi kết luận nghiệm của phơng trình thờng là sót nghiệm và lấy giá trị sai của nghiệm dẫn tới kết quả giải phơng trình bị sai hoặc kết luận thiếu nghiệm. Là một giáo viên trực tiếp dạy Toán 9 và bồi giỏi Toán 9 thì theo tôi cần phải làm cho HS thấy rõ vai trò quan trọng của các bớc giải phơng trình trùng phơng và cũng đó ta hệ thống đợc các bớc giải phơng trình trùng phơng. II) giải quyết vấn đề Trớc hết ta cần phải hiểu rõ khái niệm phơng trình trùng phơng ! Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a 0 ) (I) Để giải phơng trình này ta có phơng pháp giải tổng quát sau đây Giải : Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , Nh vậy phơng trình trên đã đa về dạng at 2 + bt + c = 0 (I) Ta giải phơng trình (I) , căn cứ vào nghiệm của (I) suy ra kết luận nghiệm của phơng trình (I). Giải phơng trình (I) + Tr ờng hợp 1 : Nếu phơng trình (I) at 2 + bt + c = 0 có a + b + c = 0 thì t 1 = 1 ; t 2 = a c * Nếu t 2 = a c < 0 thì , Với t = t 1 = 1 thì x 2 = 1 , ta có x 1 = 1 , x 2 = -1 Với t = t 2 = a c < 0 thì x 2 = a c < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phơng trình ( I ) có hai nghiệm là x 1 =1 ; x 2 = -1 * Nếu t 2 = a c > 0 thì , Với t = t 1 = 1 thì x 2 = 1 , ta có x 1 = 1 , x 2 = -1 Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Với t = t 2 = a c > 0 thì x 2 = a c , ta có x 3 = a c , x 4 = a c Kết luận : Phơng trình (I) có bốn nghiệm là x 1 = 1 , x 2 = -1, x 3 = a c , x 4 = a c + Tr ờng hợp 2 : Nếu phơng trình (I) at 2 + bt + c = 0 có a - b + c = 0 thì t 1 = -1 ; t 2 = a c * Nếu t 2 = - a c < 0 thì , Với t = t 1 = -1 ( loại) Với t = t 2 = a c < 0 thì x 2 = a c < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phơng trình ( I ) vô nghiệm * Nếu t 2 =- a c > 0 thì , Với t = t 1 = - 1 ( loại ) Với t = t 2 = - a c > 0 thì x 2 = - a c , ta có x 1 = a c , x 2 = a c Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm là x 1 = a c , x 2 = a c Ví dụ 1 : Giải phơng trình trùng phơng sau . a) x 4 10x 2 + 9 = 0 ( 1 ) b) x 4 + 3x 2 4 = 0 ( 2 ) Giải : a) x 4 -10x 2 + 9 = 0 (1) ; Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (1) có dạng t 2 -10t + 9 = 0 (1) Giải phơng trình (1) , có a + b + c = 1 -10 +9 = 0 t 1 = 1 , t 2 = a c = 9 Với t = t 1 = 1 thì x 2 = 1 x 1 = 1 ; x 2 = - 1 Với t = t 2 = 9 thì x 2 = 9 x 3 = 3 ; x 4 = -3 Kết luận:Phơng trình (1) có bốn nghiệm là x 1 = 1,x 2 = -1,x 3 =3, x 4 = -3 b) x 4 + 3x 2 4 = 0 (2) Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (2) có dạng t 2 +3t - 4 = 0 (2) Giải phơng trình (2)có a + b + c = 1 +3 - 4 = 0 t 1 = 1 , t 2 = a c = -4 Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Với t = t 1 = 1 thì x 2 = 1 x 1 = 1 ; x 2 = - 1 Với t = t 2 = -4 < 0 (loại) Kết luận : Phơng trình (2) có hai nghiệm là x 1 = 1 , x 2 = -1 Ví dụ 2 : Giải phơng trình trùng phơng sau . a) x 4 + 4x 2 + 3 = 0 ( 3 ) b) 5x 4 + 3x 2 2 = 0 ( 4 ) Giải : a) x 4 + 4x 2 + 3 = 0 ( 3 ) Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (3) có dạng t 2 +4t + 3 = 0 (3) Giải phơng trình(3) có a - b + c=1 - 4 + 3 = 0 t 1 = -1 , t 2 = - a c = -3 Với t = t 1 = -1 < 0 ( loại ) , t = t 2 = - 3 < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phơng trình (3) vô nghiệm b) 5x 4 + 3x 2 2 = 0 ( 4 ) Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (4) có dạng 5t 2 + 3t - 2 = 0 (4) Giải phơng trình (3) , có a- b+ c =5 3 2= 0 t 1 = -1 , t 2 = - a c = 5 2 Với t = t 1 = -1 < 0 ( loại ) , Với t = t 2 = 5 2 thì ta có x 1 = 5 2 = 5 10 ; x 2 = 5 2 = 5 10 Kết luận: Vậy phơng trình (4) có hai nghiệm là x 1 = 5 10 ; x 2 = 5 10 Đối với phơng trình (I) không thuộc các trờng hợp áp dụng hệ thức Vi-et ( nhẩm nghiệm ) thì ta giải thông thờng nh đối với phơng trình bậc hai . Ta xét công thức nghiệm của phơng trình bậc hai at 2 + bt + c = 0 (I). Tuy nhiên ta cần xem xét những trờng hợp phơng trình có nghiệm , vô nghiệm cho chính xác không để sót nghiệm . + Tr ờng hợp 3 : Nếu phơng trình (I) at 2 + bt + c = 0 không thuộc hai trờng hợp trên , ta xét = b 2 4ac Hoặc = b 2 ac * Nếu < 0 Hoặc <0 , Phơng trình (I) vô nghiệm suy ra phơng trình (I) vô nghiệm * Nếu = 0 Hoặc = 0 Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Phơng trình (I) có nghiệm kép là t 1 = t 2 = 2a b t 1 = t 2 = a b' Với t = t 1 = t 2 = 2a b < 0 ( loại) Với t = t 1 = t 2 = a b' < 0 ( loại ) Kết luận : Phơng trình (I) vô nghiệm Với t = t 1 = t 2 = 2a b > 0 thì x 2 = 2a b x 1 = 2a b ;x 2 =- 2a b Với t = t 1 = t 2 = a b' > 0 thì x 2 = a b' x 1 = a b' ; x 2 = - a b' Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm x 1 = 2a b ; x 2 = - 2a b x 1 = a b' ; x 2 = - a b' * Nếu > 0 Hoặc > 0 Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt là t 1 = 2a b- + , t 2 = 2a - b- t 1 = a b'- + , t 2 = a - b'- Với t = t 1 = 2a b- + < 0 ( loại ), t = t 2 = 2a - b- < 0 ( loại ) Với t = t 1 = a b'- + < 0 ( loại ) , t = t 2 = a - b'- < 0 ( loại ) Kết luận : Phơng trình (I) vô nghiệm Với t = t 1 = 2a b- + > 0 thì ta có x 2 = 2a b- + x 1 = 2a b- + , x 2 = 2a b- + t = t 2 = 2a - b- < 0 ( loại ) Với t = t 1 = a b'- + > 0 thì ta có x 2 = 2a ' b'- + x 1 = a b'- + , x 2 = a b'- + t = t 2 = a - b- < 0 ( loại ) Kết luận : Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt là Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng x 1 = 2a b- + , x 2 = 2a b- + x 1 = a b'- + , x 2 = a b'- + Với t = t 1 = 2a b- + > 0 thì ta có x 2 = 2a b- + x 1 = 2a b- + , x 2 = 2a b- + Với t = t 2 = 2a - b- > 0 thì ta có x 2 = 2a - b- x 3 = 2a b- , x 4 = 2a b- Với t = t 1 = a b'- + > 0 thì ta có x 2 = a b'- + x 1 = a b'- + , x 2 = a b'- + Với t = t 2 = a - b'- > 0 thì ta có x 2 = a - b'- x 3 = a b'- , x 4 = a b'- Kết luận : Phơng trình (I) có bốn nghiệm phân biệt là x 1 = 2a b- + , x 2 = 2a b- + x 3 = 2a b- , x 4 = 2a b- x 1 = a b'- + , x 2 = a b'- + x 3 = a b'- , x 4 = a b'- Ví dụ 3 : Giải các phơng trình sau: a) x 4 5x 2 + 6 = 0 (5) b) 2x 4 3x 2 2 = 0 (6) c) x 4 + 10x 2 + 24 = 0 (7) Giải : a) x 4 5x 2 + 6 = 0 (5) Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (5) có dạng t 2 5t + 6 = 0 ( 5) Giải (5), có = 5 2 4.1.6 = 25 24 = 1 > 0 = 1 ,t 1 = 2.1 1(-5)- + = 3 ; t 2 = 2.1 1(-5)- = 2 Với t = t 1 = 3 > 0 , ta có x 2 = 3 x 1 = 3 , x 2 = - 3 Với t = t 2 = 2 > 0 , ta có x 2 = 2 x 3 = 2 , x 4 = - 2 Vậy phơng trình có bốn nghiệm x 1 = 3 , x 2 = - 3 , x 3 = 2 , x 4 = - 2 b) 2x 4 3x 2 2 = 0 (6) Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (6) có dạng 2t 2 3t - 2 = 0 ( 6) Giải (6), có = (-3) 2 - 4.(-2).2 = 9 + 16 = 25 > 0 = 5, t 1 = 2.2 (-3)- 5 + = 2 , t 2 = 2.2 5(-3)- = - 2 1 Với t = t 1 = 2 > 0 , ta có x 2 = 2 x 1 = 2 , x 2 = - 2 Với t = t 2 =- 2 1 < 0 ( loại ). Vậy phơng trình có hai nghiệm x 1 = 2 , x 2 = - 2 c) x 4 + 10x 2 + 24 = 0 (7) Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (7) có dạng t 2 + 10t +24 = 0 (7) Giải (7), có = 5 2 1.24 = 25 24 = 1 > 0 = 1, t 1 = 1 5- 1 + =- 4 ; t 2 = 1 5- 1 = - 6 Với t = t 1 = - 4 < 0 ( loại ) Với t = t 2 =- 2 1 < 0 ( loại ). Vậy phơng trình vô nghiệm Trên đây là các ví dụ và các trờng hợp giải phơng trình trùng phơng. Từ các trờng hợp trên ta có thể tổng kết thành bảng sau . Sau khi chúng ta hớng dẫn cho học sinh tổng kết đợc bảng nh trên . Học sinh dựa vào bảng đó có thể giải phơng trình trùng phơng một cách dễ dàng hơn và không bị sót nghiệm hoặc nhầm nghiệm . Ví dụ 4 : Giải và biện luận phơng trùng phơng sau : x 4 + mx 2 + ( 2m 4 ) = 0 (8) Giải : x 4 + mx 2 + ( 2m 4 ) = 0 (8) , Đặt x 2 = t 0 x 4 = t 2 , phơng trình (8) có dạng : t 2 + mt +(2m-4) = 0 (8) phơng trình (8) có = m 2 - 4.( 2m 4 ) = m 2 8m + 16 = ( m 4 ) 2 0 Ta có bảng sau: Trờng = m 2 8m + Nghiệm của phơng trình (8) Nghiệm của phơng Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng hợp 16 = ( m 4 ) 2 0 trình (8) 1 = 0 m = 4 t 1 = t 2 = 2 m = 2 4 = -2< 0 Vô nghiệm 2 > 0 m 4 Có = 2 )4( m = m - 4 t 1 = 2 4 + mm =-2<0 loại t 2 = 2 )4( mm =2- 2 m < 0 Vô nghiệm 2 m > 0 m < 2 x 1 = m 2 ; x 2 = - m 2 ; Dựa vào bảng trên ta có kết luận sau : Nếu m < 2 phơng trình có hai nghiệm là : x 1 = m 2 ; x 2 = - m 2 ; Nếu m > 2 phơng trình vô nghiệm Trên đây là những phơng pháp giải phơng trình trùng phơng dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a 0 ) . Mở rộng đối với phơng trình dạng ax 2n + bx n + c = 0 (II) ( với n N * , n = 2k , k N) thì cách giải hoàn toàn tơng tự . Tuy nhiên đối với phơng trình dạng ax 2n + bx n + c = 0 (II) ( với n N * , n = 2k + 1, k N) thì điều kiện giá trị của nghiệm thay đổi . Nhng nhìn chung vẫn dựa trên sờn cơ bản của phơng trình trùng phơng dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a 0 ) (I) và dới đây là bảng tóm tắt cách giải phơng trình dạng (II) Ví dụ 5 : Giải phơng trình: a/ x 6 3x 3 5= 0 (9) b/ 3x 12 12x 6 + 7 = 0 (10) Giải: a/ x 6 3x 3 5 = 0 (9) Đặt x 3 = t x 6 = t 2 phơng trình có dạng t 2 3t 5 = 0 (9) Có = 9 4(-5) = 29 > 0 t 1 = 2 293 + ; t 2 = 2 293 Với t = t 1 = 2 293 + x 3 = 2 293 + x 1 = 2 293 3 + Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Với t = t 2 = 2 293 x 3 = 2 293 x 2 = 2 293 3 Vậy Phơng trình có 2 nghiệm: x 1 = 2 293 3 + ; x 2 = 2 293 3 b/ x 12 12x 6 + 7 = 0 Đặt x 6 = t 0 x 12 = t 2 , ta có phơng trình: t 2 12t + 7 = 0 Ta có = 6 2 7 = 36 7 = 29 , t 1 = 296 + ; t 2 = 296 Với t = t 1 = 296 + x 6 = 296 + x 1,2 = 6 296 + Với t = t 1 = 296 x 6 = 296 x 3,4 = 6 296 Vậy phơng trình có nghiệm là x 1,2 = 6 296 + ; x 3,4 = 6 296 Trên đây là một số cách giải phơng trình dạng ax 2n + bx n + c = 0 (II) ( với n N ) Để củng cố cách giải ta có một số bài tập vận dụng sau : Bài 1: Giải phơng trình a) x 4 + 10x 2 + 9 = 0 b) 3x 6 + 5x 2 2 = 0 Bài 2: Giải phơng trình (x 2 -5x) 2 + 10(x 2 - 5x) + 24 =0. Bài 3:Cho phơng trình x 4 + 2(2m + 1) x 2 - 3m = 0. a) Giải phơng trìnhvới m =3. b) Với giá trị nào của m thì phơng trình trên có 4 nghiệm phân biệt. Bài 4: Giải và biện luận phơng trình. x 4 2(a 2 +b 2 ) x 2 + (a 2 -b 2 ) 2 = 0. Bài 5: Tìm điều kiện của a và b để phơng trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt. x 4 2(a 2 + b 2 1) x 2 +(a 2 b 2 + 1) 2 4a 2 b. Bài 6:Chứng minh rằng phơng trình sau đây có 2 nghiệm với mọi giá trị của m. (x+1) 4 (m 1) (x +1) 2 (m 2 m +1) = 0. Bài 7: Cho phơng trình: x 4 2(m -1)x 2 (m 3) = 0. Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phơng trình có. a) Bốn phần tử. b) Ba phần tử. c) Hai phần tử. d) Không phần tử nào. III. kết thúc vấn đề Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006 Một số kinh nghiệm trong cách giải phơng trình trùng phơng Trên đây là một kinh nghiệm rất nhỏ của cá nhân tôi . Tôi áp dụng thấy có hiệu quả nên muốn đa ra để các đồng nghiệp tham khảo . Tuy nhiên để học sinh khỏi nhầm lẫn hai loại toán này thì cần phải có thời gian luyện tập nhiều để các em đợc làm nhiều bài tập từ đó rút ra kinh nghiệm Là một giáo viên trẻ mới ra trờng và trình độ còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót rất mong đợc sự góp ý trân tình của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phạm tiến dũng Năm học 2005 - 2006