Ứng dụng của tích phân

Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Header Page of 258 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG CỦA TÍNH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Chủ đề 3: Ứng dụng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÝ THUYẾT Bài toán 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  liên tục đoạn b  a; b  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo công thức: S   f  x  dx a (1) Minh họa dạng thường gặp: f  x   0, x   a; b  f  x   0, x   a; b  f  x  không mang dấu  a; b  y f(x) y y x O a (H) (H) b c a x (H) f(x) b a b O x O f(x) b S     f  x  dx b S   f  x  dx a a c b a c S   f  x  dx     f  x   dx Lưu ý: Bằng cách xem x hàm biến y , tức x  g  y  , diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  g  y  liên tục y b g(y) đoạn  a; b  , trục tung hai đường thẳng y  a, y  b tính b theo công thức: S   g  y  dy (H) (2) a a x O Bài toán 2: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x  , g  x  liên tục b  a; b  hai đường thẳng x  a , x  b tính theo công thức: S   f  x   g  x  dx (3) a Footer Page of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header ofdạng 258 thường gặp: Minh Page họa f  x   g  x  , x   a; c  ; f  x   g  x  , x   a; b  f  x   g  x  , x   a; b  f  x   g  x  , x  c ; b  ;  a  c  b  y y f(x) (H) (H) g(x) x x a O a (H) f(x) g(x) O f(x) y g(x) x b b a O c b b S    g  x   f  x  dx b S    f  x   g  x  dx c b a c S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx a a Lưu ý: Bằng cách xem x hàm biến y , diện tích S hình phẳng y giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  liên tục b đoạn  a; b  hai đường thẳng y  a, y  b tính theo công g(y) f(y) (H) b thức: S   f  y   g  y  dy (4) a a O Bài toán 3: x Hình phẳng giới hạn nhiều hai đường cong Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị chia thành nhiều phần diện tích, mà phần ta tích theo công thức (1), (2), (3) (4) Minh họa dạng thường gặp: f  x   h  x  , x   a; c  ; f  y   g  y  , y   a; c  ; g  x   h  x  , x  c ; b  ;  a  c  b  f  y   h  y  , y  c ; b  ;  a  c  b  g(x) y y b f(x) g(y) (H ) f(y) c (H ) (H ) h(x) h(y) (H ) O O a c c b a c b S    f  x   h  x  dx    g  x   h  x  dx x a x c b a c S    f  y   g  y  dy    f  y   h  y  dy Footer Page of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế II PHƯƠNG Header Page ofPHÁP 258 Phương pháp: Sử dụng tính chất tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chưa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) +) Tính chất: Hàm số y  f  x  liên tục K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) a , b , c ba số thuộc K Khi đó, ta có: b c a a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx c b Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): S   f  x   g  x  dx , việc khử dấu GTTĐ a phương pháp trình bày trên, ta khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau: Bước 1: Giải phương trình f  x   g  x    a; b  , giả sử có nghiệm c , d   a; b  ;  a  c  d  b  Khi đó, f  x   g  x  không đổi dấu đoạn  a; c  ; c; d  ; d; b  Tức là: b c d b a a c d Bước 2: S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx c d b a c d    f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị đưa kết III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới y hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành f(x) hai đường thẳng x  a , x  b hình vẽ (H) bên Khẳng định sau đúng? x b a A S   f  x  dx B S     f  x   dx O b a a b a b C S   f  x  dx D S   f  x  dx b a Lời giải: b Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân ta có kết quả: S   f  x  dx a  Chọn đáp án D Câu 2: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng y f(x) x  a , x  b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? b A S   f  x  dx B S   f  x  dx b c b O a x (H) a a c b c b a c a c C S   f  x  dx   f  x  dx D S   f  x  dx   f  x  dx Lời giải: Footer Page of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page of 258 Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân chia đoạn  a; b  c b a c thành hai đoạn thành phần  a; c  ; c ; b  , ta có kết quả: S   f  x  dx   f  x  dx  Chọn đáp án C Câu 3: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a , x  b y f(x) hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A S  b b  g  x  dx   f  x  dx a a b b a a C S   g  x  dx   f  x  dx b (H) b B S   f  x  dx   g  x  dx a a b b a a g(x) x D S   f  x  dx   g  x  dx a O b Lời giải: (Chọn B) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , Ox hai đường thẳng b x  a; x  b  S1   f  x  dx a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y  g  x  , Ox hai đường thẳng b x  a; x  b  S2   g  x  dx a b b a a Vậy S  S1  S2   f  x  dx   g  x  dx Câu 4: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a , x  b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? c b a c A S    g  x   f  x  dx    f  x   g  x  dx f(x) y g(x) b B S    f  x   g  x   dx a c (H) b C S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx a D S  c c  a x b f  x  dx   g  x  dx O c a c b Lời giải: Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng c x  a; x  c  S1    f  x   g  x  dx a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng b x  c; x  b  S2    g  x   f  x  dx c c b Vậy S  S1  S2    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx a c Footer Page of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế  Chọn C Header Pageđáp ofán 258 Câu 5: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x   x  x trục hoành hình vẽ bên Khẳng định sau sai? y B S   f  x  dx f  x  dx  A S   f(x) C S     f  x   dx D S      f  x  dx   -   f  x  dx O x Lời giải: Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S  f  x  dx      2   f  x  dx     f  x  dx  Chọn đáp án B Câu 6: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x  g  y  , trục tung hai đường thẳng y  a, y  b hình vẽ bên b Khẳng định sau đúng? g(y) (H) b a b a b a A S   g  y  dx B S   g  y  dy C S   g  y  dy D S  b  g  y  dx a a x O Lời giải: b Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân ta có kết quả: S   g  y  dy a  Chọn đáp án C Câu 7: Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  y b hai đường thẳng y  a, y  b hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? c b a c A S    g  y   f  y  dx    f  y   g  y  dx g(y) f(y) c a x O b B S    f  y   g  y   dy a c b a c C S    g  y   f  y  dy    f  y   g  y  dy b D S    f  y   g  y   dy a Lời giải: Footer Page of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page of 258 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn x  f  y  , x  g  y  hai đường thẳng c y  a; y  c  S1    g  y   f  y  dy a Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn x  f  y  , x  g  y  hai đường thẳng b y  c; y  b  S2    f  y   g  y  dy c c b a c Vậy S  S1  S2    g  y   f  y  dy    f  y   g  y  dy  Chọn đáp án C x x Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e ; y  e ; x  e  2e  e  2e  e  2e  e  2e  A B C D e e e e Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: e x  e  x  x  S   e e x x dx   e x    e  x dx  e x  e  x   e  e 1   e  2e  e  Chọn đáp án B Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  4x  , y  m, (m  3) , x  0, x  là: B 3m  A 3m  C 3m  D 3m  Lời giải: Ta có: x2  4x    x     3, x  x3  Do S   x  x   m dx    2x2  x  mx   6  3m  0  Chọn đáp án D   Câu 10: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x  , y  m, (m  2) , x  0, x  Tìm m cho S  48 : B m  A m  C m  D m  10 Lời giải: Ta có: x2  2x     x  1   2, x   x3 Do S   m  x  2x  dx   mx   x2  x   3m  24  0 S  48  3m  24  48  m   Chọn đáp án C   Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x  , y  x  , x  0, x  m ,   m   bằng: A m 3m  B  m 3m  C m3 m2   2m D m3 m2   2m Lời giải: Ta có: x  3x  0, x  0; m  Vì  m  Footer Page of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế m m Header Page of 258 m  x 3x  3m2 m3 2 Do S   x  3x dx    x  3x dx        0  0  Chọn đáp án B   Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x  , y   x  , x  0, x  m ,  m   A 3 Khi giá trị m bằng: B 2 D 4 C 1 Lời giải: Ta có: x  x  0, x   m;  0 Do S   x  x dx   m m   x3 x2  m2 m3 x  x dx        m  m2 m3     m  1 6  Chọn đáp án C S Câu 13: Hình phẳng giới hạn đường elip ( E) : x2  16 y2  16 có diện A  C 3 B 2 D 4 Lời giải: S  4 y 16  x dx   16  x dx 4    Đặt x  sin t , t    ;   dx  cos tdt  2 Đổi cận: x   t  0; x   t   S 4  16  x y x 1     2 16  16 sin t cos tdt  16  cos tdt   1  cos t  dt   t  sin 2t   4  0 0 2 2  Chọn đáp án C Câu 14: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3 , trục Ox đường thẳng x  2 có diện tích A S  B S  16 Lời giải: Phương trình x3   x  Diện tích hình phẳng: S   2 C S  x dx    x 3dx  2 D S  4 x4 4 2  Chọn đáp án C Câu 15: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x , trục Ox hai đường thẳng x2 , x  có diện tích A S  B S  C S  D S  Lời giải: Footer Page of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page of 258 2 x2  1 2 x 1 x 1 d x   d x  dx Diện tích hình phẳng: S    dx     2 x x x x2 1 1 2 2  1  1  1  1      dx      dx    x     x    x x x  x    1 1 2  Chọn đáp án D Câu 16: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  2x đường thẳng 2x  y  có diện tích D S  16 A S  B S  C S  Lời giải: Giải phương trình: x3  2x  2x  x   x   x  2 Diện tích hình phẳng: S  x 2  x dx   x 2     x dx   x  x3 dx     Chọn đáp án A Câu 17: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x x  10 x  x y   , có diện tích x  x  A S  13 B S  15 C S  13 D S  Lời giải: Tìm hoành độ giao điểm: 10 10 x  x   x  x  0; x  x  x   x  3 Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm  10   10  S    x  x  x  dx    x  x  x   dx 3   0 1 13 (đ.v.d.t)  Chọn đáp án C  3x  , Ox , Oy x 1 4 C S  ln  D S  ln  3 Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bới đường y  4 A S  ln  B S  ln 3 Lời giải: 3x  1   x   Vậy S  Xét phương trình: x 1   3 x  dx  ln  (đ.v.d.t) x 1  Chọn đáp án C a Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  x  , y  x  S  ; b  a; b  ; a   ; ba phân số tối giản Khẳng định sau đúng? b2 25  A b  a  103  B ba  654  C D b  a3  107  a 109 Footer Page of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Lời giải: Header Page of 258 x    Xét phương trình: x  x   x     x  x   x   x   x   x2  4x   x      Vậy S   x  x   x  dx   x   x   x  dx  109  a  109; b   b  a  107   Chọn đáp án D x2 x2 Câu 20: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị y   , y  (hình vẽ bên) Khẳng định sau 4 đúng? y  x  x x  x      dx B S    4   d x 0   4    2     2  2  2  2  x x x x  dx C S       dx D S         4 2 2   2    A S  2 2 2 (P) 2 (E) x -4 O -2 2 Lời giải: Ta có: 4 2  x2 x2 x2 x2   dx  ; x  2 2; 2   S          4 4 2    Chọn đáp án D Câu 21: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng 8m hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải: (Chọn B) x2 y Giả sử elip có phương trình   Từ giả thiết ta có 2a  16  a  2b  10  b  a b  y 64  y  E1  2  y x   1  Vậy phương trình elip 64 25  y  64  y  E   Khi diện tích dải vườn giới hạn đường  E1  ;  E2  ; x  4; x  diện tích 4 5 64  x2 dx   64  x2 dx 20 4 dải vườn S    3 Tính tích phân phép đổi biến x  sin t , ta S  80    6   3 Khi số tiền T  80    100000  7652891,82 7.653.000 6  Footer Page of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 10 of 258 NGHIỆM TỰ LUYỆN (Đăng ký: ngochuyenlb.gr8.com để nhận Đáp án) IV BÀI TẬP TRẮC Câu 1: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b  có đồ thị  C1  ,  C  Diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị  C1  ,  C  hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  b b a a b b a a b B S   f  x  dx   g  x  dx A S   f  x   g  x  dx C S   g  x  dx   f  x  dx D S  a b f  x   g  x  dx a Câu 2: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b  , c   a; b  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a , x  b Công thức sau sai? b A S   g  x   f  x  dx B S  b  f  x   g  x  dx a a b c b a c D S   f  x   g( x) dx   f  x   g( x) dx C S   f ( x)  g( x) dx a Câu 3: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị bàm số hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  phần gạch chéo hình bên tính công thức là: b c A S    g  x   f  x  dx    h  x   f  x  dx a b b c y  g  x y a O y  f  x B S    f  x   h  x  dx    f  x   g  x  dx a b b c C S    g  x   h( x) dx    g  x   f ( x) dx a b b c a b D S    f  x   g( x) dx    f  x   h( x) dx b c x y  h  x Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ln x, y  0, x  e 1 (đ.v.d.t) B (đ.v.d.t) C (đ.v.d.t) D (đ.v.d.t) Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2  2x  , y  m,  m  1 , x  0, x  A A 3m  (đ.v.d.t) B 3m  (đ.v.d.t) C 3m  (đ.v.d.t) D 3m  (đ.v.d.t) Câu 6: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục Oy , trục Ox đường thẳng x  3 có diện tích A S  (đ.v.d.t) B S  16 (đ.v.d.t) C S  (đ.v.d.t) D S  4 (đ.v.d.t) Câu 7: Cho Parabol  P  : y  x tiếp tuyến  P  điểm A  1;1 có phương trình y  2x  Diện tích phần bôi đậm hình vẽ A (đ.v.d.t) B (đ.v.d.t) C (đ.v.d.t) D (đ.v.d.t) 3 Footer Page 10 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Header Page 17 Ứng dụng 2: of 258 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ I LÝ THUYẾT Bài toán 1: Tính thể tích vật thể Cho vật thể không gian với hệ tọa độ Oxyz Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b Gọi S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x  a  x  b  (hình bên) Giả sử S  S  x  hàm liên tục  a; b  b Khi đó, thể tích V B V   S  x  dx (5) a * Sử dụng công thức (5), ta tìm công thức số vật thể quen thuộc hình học như: 1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h , diện tích đáy nhỏ đáy lớn theo thứ h tự S0 , S1 Thể tích V là: V  S0  S0S1  S1 2) Nhận xét: Khối chóp coi khối chóp cụt có S0  Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao   hS 3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy S tích là: V  hS Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối tròn xoay Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng y f(x) giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục  a; b  , trục h diện tích đáy S là: V Ox hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox ta b khối tròn xoay tích là: Vx    f  x  dx (6) x O a b a Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  g  y  liên tục  a; b  , trục y b Oy hai đường thẳng y  a, y  b quanh trục Oy ta g(y) b khối tròn xoay tích là: Vy    g  y  dy (7) a a x O Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có quay nhiều đồ thị hàm số quanh trục Ta tiến hành chia phần thể tích V thành phần thể tích thành phần V1 , V2 , mà phần tính công thức (6), (7) Footer Page 17 of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header 18 of 258.thường gặp: Minh Page họa dạng g  x   f  x  , x   a; b  f  x   g  x  , x   a; b  y y f(x) g(x) g(x) O f(x) x a O b x a b b  x   g  x  dx V     g  x   f  x  dx f  y   g  y  , y   a; b  g  y   f  y  , y   a; b  b V     f 2 a a y y b b f(y) f(y) g(y) g(y) a a x x O O b  y   g  y  dy V     g  y   f  y  dy f  x   g  x  , x   a; c  ; f  x   h  x  , x   a; c  ; g  x   f  x  , x  c ; b  g  x   h  x  , x  c ; b  b V     f 2 a a y y f(x) g(x) f(x) g(x) h(x) x O a c x b O a c b c b c b a c a c V     f  x   g  x  dx     g  x   f  x  dx V     f  x   h  x  dx     g  x   h  x  dx     Footer Page 18 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế II BÀI TẬP Header Page 19TRẮC of 258.NGHIỆM MINH HỌA: Câu 1: Thể tích khối tròn xoay phần hình phẳng S hình vẽ quanh trục Ox tính công thức: b A V     f1 ( x)  f2 ( x) dx a b B V     f1 ( x)  f2 ( x) dx a b C V     f12 ( x)  f22 ( x)dx a b D V     f1 ( x)  f2 ( x)dx a Lời giải b Ta có: f1  x   f2  x   0; x   a; b  V     f12 ( x)  f22 ( x) dx a  Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox b A V     f b B V     g  x   f  x   dx  x   g  x  dx f(x) y a a (H) g(x) c b C V     f  x   g  x  dx     g  x   f  x  dx a x O c c D V     g  x   f a c b b a  x  dx     f  x   g  x  dx 2 c Lời giải Ta có: f  x   g  x   0; x   a; c  ; g  x   f  x   0; x  c ; b  c b a c V     f  x   g  x  dx     g  x   f  x  dx  Chọn đáp án C Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Oy b A V     g  y   f  y  dx a b B V     f  y   g  y  dy y b f(y) a g(y) a C V     g  y   f 2  y  dy b b D V     f  y   g  y  dy a x O a Lời giải a Ta có: g  y   f  y   0; y   a; b   V     g  y   f  y  dy b  Chọn án258 C Footer Pageđáp 19 of Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 20 of 258 Câu 4: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x   x  trục Ox Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích A V  4 B V  16 15 512 15 C V  D V   Lời giải Phương trình x   x    x  x  2   Thể tích khối tròn xoay: V    x   x  dx    x x  4x  dx 2 0  x5 x  16    x  x  x dx     x     15   Chọn đáp án B   Câu 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  , trục Ox hai đường thẳng x x  1, x  Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích A V  7 C V  B V  ln  D V   ln Lời giải Thể tích khối tròn xoay: V     Chọn đáp án C    dx       x1 2 x Câu 6: Cho hàm số y   x4 có đồ thị  C  , khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn  C  trục Ox , quanh trục Oy tích A V  C V  32 16   16     V  D B V   1024  45      Lời giải: Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường cong x  4  y , trục Oy hai đường thẳng y  0, y  quanh trục Oy 4 0 V     y dy      y  dy  16 2  y2   3  Chọn đáp án B Câu 7: Cho hàm số y   x   có đồ thị  C  , khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn  C  , trục Ox , trục Oy đường thẳng x  tích 33 32 C V  Footer Page 20 of 258 A V  34 33 D V  B V  Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Lời giải: Header Page 21 of 258 Ta có: 33 (đ.v.t.t) V     x    dx     Chọn đáp án D Câu 8: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  2x  x2 , y  x quanh trục Ox A V  B V   C V  D V   Lời giải: x  Xét phương trình x  x2  x  x  x    ; x  x  x , x  0;1 x  1   V     2x  x2     x2 dx  (đ.v.t.t)   Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  ln Đường thẳng x  k; (0  k  ln 4) chia  H  thành hai hình phẳng S1 S2 hình vẽ bên Quay S1 , S2 quanh quanh trục Ox khối tròn xoay tích V1 V2 Với giá trị k V1  2V2 ? 32 A k  ln Lời giải: k   Ta có: V1    e x ln 11 B k  C k  k 11 ln ln  e2x   e2k  dx     V2    e x   2  0 k Theo giả thiết: V1  2V2   e2k    D k  ln 32 ln  e2x   e2k dx      8   k   e2k  2k   8    e  11  k  ln11  k  ln11 2     Chọn đáp án B Câu 10: Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường elip ( E) : x2  y2  quay quanh Ox A  B 2 C 3 D 4 Lời giải: Ta có: x2  y   y   x2  x2  V    y dx    dx  4 9 3 3 3  Chọn đáp án D Câu 11: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  x y  x quanh trục Ox   A   x  x dx Footer Page 210 of 258   B   x  x dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115   C   x  x dx   D   x  x dx CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 22 of 258 Lời giải:  x  x x  x  0; x   x  x Xét phương trình:   x  x x  0;1  V     x  x  dx    x  x dx  0  Chọn đáp án C Câu 12: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng ( H) giới hạn đường y  3x  x2 trục hoành Thể tích khối tròn xoay quay ( H) quanh trục Ox 9 81 7 A B C D 9 10 Lời giải: x  81 Xét phương trình: 3x  x2     V    3x  x2 dx  10 x   Chọn đáp án B Câu 13: Khối tròn xoay hình giới hạn đường y  f ( x), y  0, x  a, x  b,(a  b) quay   quanh trục Ox tích V1 Khối tròn xoay hình giới hạn đường y  3 f ( x), y  0, x  a, x  b,(a  b) quay quanh trục Ox tích V2 Chọn phương án B 6.V1  V2 A V1  9V2 C V1  V2 D 9.V1  V2 Lời giải: b b a a b Ta có: V1    f  x  dx; V2     3 f  x  dx  9  f  x  dx  9V1 a  Chọn đáp án D Câu 14: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y   x2 , y  a ;  a; b  b B 17 ; quanh trục Ox có kết dạng A 11 Lời giải:  a phân số tối giản Khi a  b có kết là: b C 31 D 25  Ta có:  x   x   x  1 Vậy V     x2 dx  1 16  a  16; b  15  a  b  31 15  Chọn đáp án C Câu 15: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x  trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là: 15 14 15 dm A 8 dm B  dm C  dm D Lời giải: Do đường kính đáy lọ dm  bán kính đáy lọ dm Tương tự, bán kính miệng lọ dm y   x  0; y   x  3 Vậy V      x  dx  15 dm3  Chọn đáp án B Footer Page 22 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Header Page 23hình of 258 Câu 16: Cho phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  2x  , y  x2  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox Một học sinh trình bày giải sau:  x  1 Bước 1: x2   x    x  3 Bước 2: VOx     x    x    dx  1      x5  576 Bước 3: VOx      10 x2  21x   (đvtt)   1 Hỏi lời giải hay sai, sai sai từ bước nào? A Lời giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải:  x   x  2  dx 1;   V   Ta có: x   x  2; x    Ox   1    Chọn đáp án C Câu 17: Quay hình phẳng  H  hình tô đậm   y hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích y=1 A V  3 B V  3 C V  3 D V  3 O x Lời giải:  x  y   x    x    x  Xét hệ phương trình:   y   y  Do  H  đối xứng qua Oy nên V  2 3    x    dx  2   2 y=1  x3   x dx  2  x    3 0   y O x  Chọn đáp án A Câu 18: Quay hình phẳng  H  hình tô đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích 46 46 A V  B V  15 23 C V  D V  13 y y= 3x2 x Footer Page 23 of 258 Lời giải: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 24 of 258  x  y  Xét hệ phương trình:   x  1  x   y  3x Do  H  đối xứng qua V  2      x      x  dx  2   4  x y Oy y= 3x2 nên   x dx x  x3 3x5  46  2  x     0 15   Chọn đáp án B Câu 19: Quay hình phẳng  H  hình tô đậm y hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích A V  3 B V   2 C V  D V  2 1 x O Lời giải:  y    x2 Ta có: x   y  1    y  1   x    y    x2  2     Ta có: V  2     x2    x2       Đặt x  sin t ;  t    ;     2   y   dx  8   x dx  1 O    sin 2t   V  8  cos2 tdt  4  1  cos 2t  dt  4  t   2  0  0 2  Chọn đáp án D Câu 20: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng ( H) giới hạn đường ( P) : y  x2 , ( P / ) : y  4x2 (d): y  Thể tích khối tròn xoay quay ( H) quanh trục Ox A 9 B 4 C 7 D 2 Lời giải: Footer Page 24 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing x Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế * XétPage phương Header 25 oftrình 258 hoành độ giao điểm (P) (d): x  x2     x  2 * Xét phương trình hoành độ giao điểm (P’) (d): x  4x2     x  1 Đặt V thể tích cần tìm (P) (P') y A -1 VOAC VOAB  y  4x2  thể tích khối tròn xoay sinh quay  H''  :  y  quanh Ox Oy      d C x -2  y  x2  thể tích khối tròn xoay sinh quay  H'  :  y  quanh Ox Oy  B   O   2 Lúc đó: V  VOAC  VOAB      x2  dx      x2  dx     x4 dx     16 x4 dx     0 0   x5  x5   32 16  4    x      x  16          0 0 5     ®.v.t.t   Chọn đáp án B Footer Page 25 of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 26 of 258 NGHIỆM TỰ LUYỆN (Đáp án gửi vào 22h ngày 28/02/2017, III BÀI TẬP TRẮC em vui lòng đăng ký http://ngochuyenlb.gr8.com/ để nhận) Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x quay quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay tích 486 487 488 489     A B C D 35 35 35 35 Câu 2: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x  1; x  trục Ox Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích 7 6 5 3 B V  C V  D V  Câu 3: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  x  , A V  trục hoành, x  3, x  quanh trục Ox A  x  2dx B   x   dx 3 C    x   dx   D   y  dy Câu 4: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường y  x2  x trục hoành Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox 5  A B C 3 D 2 30 Câu 5: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy , trục Ox đường thẳng x  2 quay quanh trục Ox tích V Khẳng định sau đúng? 128 118 128 128 A V  B V  C V  D V  5 Câu 6: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  x  1, trục hoành, x  2, x  quanh trục Ox A  x  1dx B   x  1 dx C    x  1 dx 2   Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  x  quay quanh Ox A V  6 B V  12 C V  4 D   y  dy , y  0, x  x D V  8 Câu 8: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x  2x  1, y  0, x  x  Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích 2 2 5 B V  C V  D V  2 Câu 9: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x2  2x  1, y  0, x  x  Khối A V  tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích 2 2 5 B V  C V  D V  2 Câu 10: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường y  x2  x trục hoành A V  Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox 5  A B C 3 Footer Page 26 of 258 30 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) D 2 The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Câu 11: Cho phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay Header Page 27hình of 258 hình phẳng (H) quanh trục Ox b A V    f b B V     g  x   f  x   dx  x   g  x  dx a y g(x) a (H) b b C V     f  x   g  x   dx D V     f  x   g  x  dx f(x) a a x a O b Câu 12: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b  a  b quanh trục Ox b b A V   f  x  dx B V    f  x  dx a a b b D V    f  x  dx C V    f  x  dx a a Câu 13: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  sin x, y  0, x  0, x   quay quanh trục Ox bằng: 2 2 2 2 B C D 4 Câu 14: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  x2  2, y  , trục Ox đường thẳng x  quay quanh trục Ox A   1   1    1 D    x2  dx    dx C   x2  dx    dx 1  B   x  dx    dx A   x  dx 1 1 Câu 15: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường y  x2  x trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay B xung quanh trục Ox 5  A .B C 3 D 2 30 6 Câu 16: Cho hình  H  giới hạn đường y  x  ; y  x  Quay hình  H  quanh x trục Ox ta khối tròn xoay tích 13 35 125 A B C D 18 6 Câu 17: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng quanh trục Ox tích  Câu 18: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x , trục Ox hai đường thẳng x  , x  Thể tích khối tròn xoay quay hình quanh trục hoành cho công thức: B  A A   e dx 2x B  C  2 e D 2x dx  2x  C    e dx  0  1 x  D    e dx  0  Câu 19: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  x  5, trục hoành, x  1, x  quanh trục Ox Footer Page 27 of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Header3 Page 28 of 258 A  x  5dx Lê Bá Bảo B   2x   dx C    x   dx D   y dy 1 Câu 20: Viết công thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y   x2 , trục Ox hai đường thẳng x  1, x  xung quanh trục Ox  A V     x 1  dx B V   2  x  2   C V     x dx dx 1 1 D V     x2 dx 1 Câu 21: Gọi  H  hình phẳng giới hạn đường: y  3x, y  x , x  Quay  H  xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích 8 8 A B C 8 D 8 3 Câu 22: Gọi  H  hình phẳng giới hạn đường: y  x  1, Ox , x  Quay  H  xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích 7 A  B  C  D  6 6 Câu 23: Công thức thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình cong, giới hạn đồ thị hàm số x  f  y  , trục Oy hai đường thẳng y  a , y  b  a  b  quay xung quanh trục Oy là: b b C V    f  y  dy a a b b B V   f  y  dy A V    f  y  dy D V   f  y  dy a a Câu 24: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  3x ; y  x ; x  ; x  Tính thể tích vật thể tròn xoay (H) quay quanh Ox 8 8 A B C 8 D 8 3 Câu 25: Cho hình phẳng H giới hạn đường y  x ln x, y  0, x  e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox  13e    e3    5e   V   A V    B C V         27   27   27  Câu 26: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   13e   D V        , y  0, x  0, x  Tính cos x thể tích V khối tròn xoay thu quay (H) quanh trục Ox 5  A 5 B C 5 D 3 Câu 27: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  Khi thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox tính công thức b A V     f  x   g  x  dx a b C V    f  x   g  x  dx a b B V     f  x   g  x   dx a b D V     g  x   f  x  dx a Câu 28: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  x3 , trục Ox , x  1 , x  vòng quanh trục Ox là: Footer Page 28 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế 6 2 D 7 Câu 29: Thể tích khối tròn xoay hình giới hạn đường: y  x  2x, y  x quay quanh Ox Header Page 29 of 258 A  B 2 C có kết là:     A B C D Câu 30: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường y  x2  x trục hoành Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox 5  A B C 3 D 2 30 Câu 31: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  0, x  1, x  xung quanh trục Ox 93 9 C V  18,6 D V  Câu 32: Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình cầu đơn vị thể tích khối tròn xoay sinh A V   B V  quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y  2x  đường cong y   x xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 , V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  2V2 Câu 33: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y   x2 , y  xung quanh trục Ox 8 512 71 A V  2 B V  C V  D V  15 82 Câu 34: Cho hình  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x2  4x  , y  , x  , x  Khi thể tích khối tròn xoay quay hình  H  quanh trục Ox 33 3 C D 33 5 Câu 35: Hình  S  giới hạn y  3x  2, Ox, Oy Tính thể tích khối tròn xoay quay hình  S  A 33 B quanh trục Ox 8 16 4 2 A B C D 9 Câu 36: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  P  : y  x  x  , tiếp tuyến  P  điểm A  2;  đường thẳng x  bằng: A B C D 2x  , y  0, x  1 Thể tích khối x 1 tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox bằng: Câu 37: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y   15  A    ln     15  B   ln     15  C    ln     15  D   ln    Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường x  0; x   ; y  Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox cos x Footer Page 29 of 258 y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo HeaderPage 30 of 258   A B C  D Câu 39: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x trục y  2x Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích A V   B V   C V   D V  4 3 Câu 40: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Diện tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox b c b A S   g  x   f  x  dx    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx a a c b c b a a c b c b a a c b c b a a c f(x) y B S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx (H) g(x) C S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx x a O c b D S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx Câu 41: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  sin x  cos x , trục hoành, x  0, x  A   2  sin x  cos x dx B  quanh trục Ox   sin x  cos x  dx  C   sin x  cos xdx  D    sin x  cos x  dx Câu 42: Trên mặt phẳng Oxy , cho hình phẳng B giới hạn đường y  x2  4x trục hoành Thể tích khối tròn xoay quay B quanh trục Ox 512 512 512 A B C D 512 15 Câu 43: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x trục y   x Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích 16 32 64 4 B V  C V  D V  3 3 Câu 44: Cho hình phẳng giới hạn (H) hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) quanh trục Ox A V  b A V     f  x   g  x   dx y g(x) a (H) b B V     g  x   f  x  dx f(x) a c C V     f  x   g  x  dx x O a b a b D V     g  x   f  x   dx a Câu 45: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường y  x  1, trục hoành, x  2, x  quanh trục Ox Footer Page 30 of 258 Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405) The best or nothing Lê Bá Bảo Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế Header4 Page 31 of 258 A  x  dx 2     B   x  dx 2 Câu 46: Cho hai hàm số C   x  1dx f  x , g  x 2 liên tục đoạn   D   y  dy 2  a; b  thỏa mãn  f  x   g  x  , x   a; b  Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  quanh trục Ox Khi thể tích tính công thức b b a a b A   f  x   g  x  dx B    f  x   g  x  dx C   f  x   g  x  dx a b D    f  x   g  x  dx a Câu 47: Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x ln x , trục Ox x  e Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  quanh trục Ox tích A   5e     5e    13e    13e   B C D 27 27 27 27 Câu 48: (Đề minh họa 2017) Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hoành Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox: B V    e   A V   2e C V  e    D V  e   Câu 49: (Tạp chí THTT Đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận quay hình phẳng giới hạn đường cong y  3x  x2 trục hoành quanh trục hoành bằng: 8 81 85 41 B C D 10 10 Câu 50: (Tạp chí THTT Đề 03/2017) Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  0, x  1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm A có hoành độ x   x  1 tam giác có cạnh ln  x  1 A V   2ln  1 B V   2ln  1 C V   2ln  1 Câu 51: Quay hình phẳng  H  hình tô đậm D V  16  ln  1 y hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích A V   12 3 B V  y= O x 3 D V   Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết số câu hỏi thầy Đặng Ngọc Hiền (TP Vũng Tàu), quý thầy cô Team Huế (CLB Giáo viên trẻ TP Huế), sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc Trung Nam Dù biên soạn kỹ, song chắn không tránh khỏi sai sót Mong bạn đọc phản hồi để tác giả hoàn thiện nội dung Xin cảm ơn! Xin tặng Thầy Cô em học sinh chuyên đề này! C V  (Đáp án gửi vào 22h ngày 28/02/2017, em vui lòng đăng ký http://ngochuyenlb.gr8.com/ để nhận) Tác giả: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT ĐẶNG HUY TRỨ, Huế Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế SĐT: 0935.785.115 Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ Footer Page 31 of 258 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế ... BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page of 258 Dựa vào nội dung ý nghĩa tích phân chia đoạn  a; b  c b a c thành hai đoạn thành phần... viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page 16 of 258 Câu 55: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2  4x  y  x  có kết a (là phân số tối giản) Khi a  2b... viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề tích phân ứng dụng Lê Bá Bảo Header Page of 258 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn x  f  y  , x  g  y  hai đường thẳng