PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN : TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P = 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ 2014 1 a b c + + =1 b) Cho a, b, c số khác thỏa mãn b+c c +a a +b a b2 c2 Tính giá trị biểu thức Q = + + bc ca ab Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn phương trình xy + x + y = −1 b) Chứng minh không tồn số nguyên dương n cho + + + n bình phương số nguyên tố lẻ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a b c a) 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ b) b c a a b c + + ≥ b+c c+a a+b Câu (3,0 điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M cho MA > MB Dựng phía đường thẳng AB hình vng AMCD, BMEF · · a) Chứng minh CAE = EBC b) Gọi G giao điểm BC DF Chứng minh A, E, G thẳng hàng c) Gọi H giao điểm DF AC Chứng minh 2.AH = AB Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên dương liên tiếp 1, 2, ,169 Chứng minh lấy 84 số từ số cho khơng có hai số có tổng 169 tồn số phương -Hết Cán coi khảo sát không giải thích thêm Họ tên học sinh……………………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN : TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT VĨNH N ĐÁP ÁN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN : TỐN Câu 1a (1,0 điểm) Nội dung trình bày 22 − 32 − 20132 − 2014 − 22 20132 20142 1.3 2.4 2012.2014 2013.2015 = 20132 2014 2015 2.32.42 20132.2014.2015 2015 P = = = Vậy 4028 22.32 20132.20142 4028 Ta có P = Điểm 0,25 0,25 0,5 1b (1,0 điểm) a b c + + =1 b+c c + a a +b ⇔ a ( a + b) ( a + c) + b ( b + a) ( b + c) + c ( c + a ) ( c + b) = ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) Ta có ⇔ a + b3 + c3 + a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) + 3abc = a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) + 2abc ⇔ a + b3 + c = − abc a3 b3 c3 a2 b2 c2 ⇔ + + = −1 ⇔ + + = −1 Vậy P = −1 abc abc abc bc ca ab 2a (1,0 điểm) Ta có xy + x + y = −1 ⇔ xy + x + y + = ⇔ x ( y + ) + ( y + ) = ⇔ ( x + 1) ( y + ) = Khi ta có hai trường hợp sau: x +1 = x = ⇔ y + = y = −1 TH1 x + = −1 x = −2 ⇔ y + = −1 y = −3 TH2 2b (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Giả sử tồn số nguyên tố lẻ p cho + + + n = p n ( n + 1) = p ⇔ n ( n + 1) = p (1) p Do nguyên tố nên từ (1) suy n chia hết cho p n + chia hết cho p Th1 Nếu nMp ⇒ n = pt ⇔ +) Nếu t = ⇒ n ( n + 1) = p ( p + 1) < p vơ lí 2 +) Nếu t ≥ ⇒ n ( n + 1) ≥ p ( p + 1) = p + p ( p + 1) > p vơ lí Th2 Nếu n + 1Mp ⇒ n = pt − +) Nếu t = ⇒ n ( n + 1) = p ( p − 1) < p vơ lí 2 +) Nếu t ≥ ⇒ n ( n + 1) ≥ p ( p − 1) = p + p ( p − 1) > p vơ lí Vậy không tồn số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu 3a (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 a b b c a c a b c Ta có 1 + ÷ + ÷ + ÷ = + + + + + + 0,5 ( a − b) = 8+ 0,5 b a c b c a a b b c a c = + + − ÷+ + − ÷+ + − ÷ b a c b c a ( b − c) + ab bc ( c − a) + ca b c a ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = c 3b (1,0 điểm) Đặt b + c = x, c + a = y , a + b = z Khi ta tính được: y+z−x z+ x− y x+ y−z ,b = ,c = 2 a b c y+ z−x z+x− y x+ y−z Do b + c + c + a + a + b = x + y + z 1 x y 1 y z 1x z = + ÷+ + ÷+ + ÷− 2 y x 2 z y 2 z x a= ( y − z ) + ( z − x ) ≥ Dấu đẳng thức xảy x = y = z ( x − y) + + 2 xy yz zx 2 = 0,5 0,25 0,25 D C H G' G F E O O' A K B M 4a (1,0 điểm) · · Do CAB = FMB = 450 ⇒ AC || MF Mặt khác MF vng góc với BE suy BE vng góc với AC (1) Do AMCD hình vng suy CM vng góc với AB (2) Từ (1) (2) suy E trực tâm tam giác ABC Do AE vng góc với BC, kết hợp với BE vng góc với AC ta được: · · · · · CAE + ·ACB = 900 , EBC + ACB = 900 ⇒ CAE = EBC 0,25 4b (1,0 điểm) Gọi G’ giao điểm BC AE; O, O’ tâm hai hình vng AMCD, BCEF 0,25 2 0,25 2 0,25 Do tam giác AG’C vuông G’ nên G ' O = AC = MD suy tam giác MG’D vuông G’ (3) Do tam giác BG’E vuông G’ nên G ' O ' = BE = MF suy tam giác MG’F vuông G’ (4) Từ (3) (4) suy D, G’, F thẳng hàng Do G trùng với G’ hay A, E, G thẳng hàng 4c (1,0 điểm) Xét tam giác DMF có OH||MF O trung điểm MD suy OH đường trung bình tam giác DMF suy H trung điểm DF Gọi K trung điểm AB Do tứ giác ABFD hình thang vng nên HK đường trung bình suy HK song song AD · Do góc HAK = 450 ⇒ tam giác HAK vuông cân K AB AB ⇒ AH = AK = = ⇒ AB = AH ÷ 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Ta chia số nguyên dương 1,2,…,169 thành 84 cặp số 169 sau: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 169, (1,168), (2,167),….(25,144),…,(84,85) Khi lấy 84 số thỏa mãn yêu cầu tốn khơng có hai số thuộc cặp số xuất cặp lần Do cặp ( 25,144 ) thỏa mãn 25 = 52 ,144 = 122 nên số 25 144 phải thuộc vào tập 84 số chọn 0,25 0,25 ... (1,0 điểm) Ta chia số nguyên dương 1,2,…,169 thành 84 cặp số 169 sau: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 169, (1,1 68) , (2,167),….(25,144),…, (84 ,85 ) Khi lấy 84 số thỏa mãn u cầu tốn khơng có hai số thuộc cặp... 2012.2014 2013.2015 = 20132 2014 2015 2.32.42 20132.2014.2015 2015 P = = = Vậy 40 28 22.32 20132.20142 40 28 Ta có P = Điểm 0,25 0,25 0,5 1b (1,0 điểm) a b c + + =1 b+c c + a a +b ⇔ a ( a + b)... 0,25 0,25 0,25 a b b c a c a b c Ta có 1 + ÷ + ÷ + ÷ = + + + + + + 0,5 ( a − b) = 8+ 0,5 b a c b c a a b b c a c = + + − ÷+ + − ÷+ + − ÷ b a c b c