SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI: TỐN LỚP 11 THPT CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 20/3/2015 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề + cot x = tan x sin x Câu ( 2, điểm) Giải phương trình Câu ( 2, điểm) Gọi S tập tất ước nguyên dương số 10800 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S, tính xác suất để số chia hết cho Câu ( 2, điểm) Giải phương trình 3x −1 = 2log ( x − 1) + Câu ( 2, điểm) Tính giới hạn lim x →0 ( x ∈ ℝ) + x − + 3x x2 Câu ( 4, điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA’ vng góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng BC’ hợp với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M N trung điểm AC BB’ a) Gọi (P) mặt phẳng qua B vng góc với A’C Xác định thiết diện (P) với hình lăng trụ ABC.A’B’C’ tính diện tích thiết diện b) Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng (BA’C’) Câu ( 2, điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O ') cắt hai điểm phân biệt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt ( O ) A M, cắt ( O ') A M’ Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MM’ Câu ( 2, điểm) Giải hệ phương trình x + xy + y + x + xy + y = ( x + y ) 2 x + y + = ( x + ) y + ( x, y ∈ ℝ ) Câu ( 2, điểm) Cho dãy số nguyên dương (an ) với a1 = 1, a2 = 2, an + = 4an +1 + an , n ≥ ( Chứng minh an an + + ( −1) ⋅ n ) số phương với số nguyên dương n Câu ( 2, điểm) Cho hai số thực dương x y thoả mãn điều kiện 32 x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P= ( ( 2x + y+3 ) ) x2 + y − ( x + y ) + HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2015 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu MƠN THI: TỐN LỚP 11 CHUN (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Hướng dẫn giải Điều kiện: sin 2x ≠ PT tương đương với ⇔ (2.0 điểm) sin x − cos4 x = sin 2x sin x cos3 x = sin2 x − cos2x ⇔ = −cos2x sin2 x sin x 0.5 0.5 cos2x = −1 ⇔ cos2 2x − cos2x − = ⇔ cos2x = (l ) 0.5 Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình cho vơ nghiệm 0.5 Câu (2đ) Ta có 10800 = 24.33.52 Mỗi ước nguyên dương 10800 có dạng 2a.3b.5c , a ∈ {0,1, 2, 3, 4}, b ∈ {0,1,2, 3}, c ∈ {0,1, 2} (2.0 điểm) Điểm (2đ) Có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c nên theo quy tắc nhân suy số ước nguyên dương 10800 3.4.5 = 60 số Các ước nguyên dương 10800 chia hết cho có dạng 2a.3b.5c , a ∈ {0,1,2, 3, 4}, b ∈ {0,1,2, 3}, c ∈ {1,2} 0.5 0.5 0.5 Suy số ước nguyên dương chia hết cho của10800 5.4.2 = 40 số Gọi A = “Số chọn chia hết cho 5” ta có | Ω |=| S |= 60, | ΩA |= 40 Xác suất cần tìm P (A) = | ΩA | |Ω| = 40 = 60 Câu 0.5 (2đ) 1 Xét hàm f (x ) = 3x −1 − log (2x − 1) − 1, x > 2 f '(x ) = 3x −1 ln − ; (2x − 1)ln ĐK: x > > 0, ∀x > Suy f '(x ) hàm số đồng 2 (2x − 1) ln 1 biến, liên tục ; +∞ , mà f '(1).f '(2) < nên f '(x ) = có nghiệm 2 0.5 f "(x ) = 3x −1 ln2 + (2.0 điểm) 0.5 x ∈ (1;2) Từ BBT f (x ) suy PT f (x ) = có khơng q hai nghiệm 0.5 Ta có f (1) = 0, f (2) = nên PT cho có hai nghiệm x = 1, x = 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Câu (2đ) ( (2.0 điểm) ) ( ) + x − ( x + 1) + ( x + 1) − + x + x − + 3x lim = lim x →0 x →0 x2 x2 −x x + 3x = lim + x →0 2 x + 2x + x + x (x + 1)2 + (x + 1) + 3x + (1 + 3x ) x +3 −1 + + 2x + x + (x + 1)2 + (x + 1) + 3x + (1 + 3x )2 ( = lim x →0 0.5 ) 1 = − +1 = 2 0.5 0.5 0.5 Câu 5a (2đ) C B M H A O N E 0.5 B' C' J I (2.0 điểm) A' ( ) Gọi I trung điểm A’B’ Chứng tỏ BC ';(ABB ' A ') = IBC ' = 300 Xét tam giác BIC’, tính BI = 3a Từ tính BB ' = a 0.5 Ta có BM ⊥ (ACC ' A ') ⇒ BM ⊥ A 'C Trong (ACC’A’) kẻ MH ⊥ A 'C , H ∈ CC ' Khi mp (BMH) qua B vng 0.5 góc với AC’ nên thiết diện cần tìm tam giác BMH Ta có MH = CM cosCMH = CM sin ACA ' = CM A 'C a = AA ' 0.5 Xét tam giác BMH vng M nên có diện tích S = Câu 5b 3a BM MH = 16 (2đ) http://toanhocmuonmau.violet.vn Gọi J trung điểm A’C’ ta có A 'C ' ⊥ (BMJB ') Gọi O = MN ∩ BJ Dựng ME vng góc BJ (E ∈ BJ ) suy ME ⊥ A 'C ' ⇒ ME ⊥ (BA 'C ') 0.5 Do OE hình chiếu MN mp(BA’C’) nên (MN ;(BA 'C ')) = (MN ;OE ) = MOE (2.0 điểm) 0.5 a MN = 3 Ta có O trọng tâm tam giác BMB’ nên MO = 0.5 1 11 a Ta có = + = + = ⇒ ME = ME MB MJ 3a 2a 6a 11 Ta có sin MOE = ME = MO 54 55 0.5 Vậy góc đường thẳng MN (BA’C’) α với sin α = 54 , < α < 900 55 Câu (2đ) M P I KA O P' Q M' O' 0.5 B (2.0 điểm) Gọi P P’ trung điểm AM AM’ Gọi Q, K trung điểm OO’, PP’ Suy KQ // OP nên KQ ⊥ KA Suy điểm K nhìn đoạn thẳng cố định AQ góc vng nên quỹ tích điểm K đường trịn (C) đường kính AQ Do I trung điểm MM’ nên AM + AM ' = 2AI ⇔ AP + AP ' = AI (1) 0.5 Mà K trung điểm PP’ nên AP + AP ' = 2AK (2) Từ (1) (2) suy AI = 2AK nên I ảnh K qua phép vị tự tâm A, tỉ số Vậy quỹ tích điểm I đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm A, tỉ số Câu 0.5 (2đ) 2 2 2 5x + 2xy + 2y = (2x + y ) + (x − y ) ≥ (2x + y ) 0.5 2x + 2xy + 5y = (x + 2y ) + (x − y ) ≥ (x + 2y ) Suy (2.0 điểm) 0.5 x + xy + y + x + xy + y ≥ x + y + x + y ≥ ( x + y ) Dấu “=” xảy 2x + y ≥ 0, x + 2y ≥ 0, x = y ⇔ x = y ≥ 0.5 Với x = y thay vào PT thứ hai hệ ( 2x + 3x + = (x + 5) 2x + ⇔ 2x + 3x + ( ) ) ( ) = (x + 5) 2x + ⇔ (x − 2)(x + 2) x − 4x − = ⇔ x = ∨ x = −2 ∨ x = ± 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Kết hợp điều kiện ta hpt cho có hai nghiệm (x ; y ) = (2;2), (x ; y ) = (2 + 7;2 + ) 0.5 Câu8 (2đ) Với số nguyên dương n ta có anan +2 − an2+1 = an (4an +1 + an ) − an2 +1 ( = an +1 (4an − an +1 ) + an2 = an +1 (−an −1 ) + an2 = (−1) an −1an +1 − an2 (2.0 điểm) ( ) n −1 = ⋯ = (−1)n −1 a1a − a22 = (−1) ) 0.5 0.5 0.5 Suy anan +2 + (−1)n = an2+1 số phương (đpcm) Câu 0.5 (2đ) Đặt z = 2x (z > 0) từ giả thiết có y + z = = y + z = (y + z )3 − 3yz (y + z ) ≥ (y + z )3 − (y + z )3 = (y + z )3 4 2 Suy y + z ≤ hay 2x + y ≤ Dấu “=” xảy 2x = y Ta có ( ) Từ ta có 2x + y + ≤ ⇒ 2x + y + ≤ 45 = 1024 0.5 0.5 Áp dụng BĐT Cô-si ta có 2 x + + y + − 3(x + y ) + x + y − x + y + = ( ) (2.0 điểm) 0.5 1 ≥ 3x + 3y − 3(x + y ) + = 2 Dấu “=” xảy x = y = 2x = y 1024 Suy P ≤ ⇔x =y = = 2048 Dấu “=” xảy x = y = 2 0.5 Vậy GTLN P 2048, đạt x = y = Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng - Với toán hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm phần tương ứng ( ) ... ) − an2 +1 ( = an +1 ( 4an − an +1 ) + an2 = an +1 (? ?an −1 ) + an2 = (−1) an − 1an +1 − an2 (2.0 điểm) ( ) n −1 = ⋯ = (−1)n −1 a1a − a22 = (−1) ) 0.5 0.5 0.5 Suy anan +2 + (−1)n = an2 +1 số phương... http://toanhocmuonmau.violet.vn Kết hợp điều kiện ta hpt cho có hai nghiệm (x ; y ) = (2;2), (x ; y ) = (2 + 7;2 + ) 0.5 Câu8 (2đ) Với số nguyên dương n ta có anan +2 − an2 +1 = an ( 4an +1 + an ) − an2 ...http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2015 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu MƠN THI: TỐN LỚP 11 CHUN (Bản