các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh lớp 11 bao gồm đề của nhiều tỉnh khác nhau qua các năm và có đáp án để giúp các bạn hiểu và vững kiến thức toán hơn. đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 có đáp án kèm theo, đề thi học sinh giỏi toán 11 có đáp án kèm theo.
S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2015 - 2016 Mụn thi: Toỏn - THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang CHNH THC x+3 cú th (C), ng thng (d) cú phng trỡnh y = x m x + Tỡm m (d) ct (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB vuụng ti O, (O l gc ta ) Cõu (2,5 im) Cho hm s y = Cõu (2,5 im) Gii phng trỡnh cos x(2sin x 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x Cõu (2,5 im) Mt dóy ph cú ca hng bỏn qun ỏo Cú ngi khỏch n mua qun ỏo, mi ngi khỏch vo ngu nhiờn mt nm ca hng ú Tớnh xỏc sut cú ớt nht mt ca hng cú nhiu hn ngi khỏch vo Cõu (2,5 im) Tớnh tớch phõn I= cos x.ln(sin x + cos x)dx Cõu (2,5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a , AC = a Tam giỏc SAB cõn v nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh khong cỏch t im D ti mt phng (SBC), bit gúc gia ng thng SD v mt phng ỏy bng 60o Cõu (2,5 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú A(5;2) M (1; 2) l ã ã im nm bờn hỡnh bỡnh hnh cho MDC v MB MC Tỡm ta im D bit = MBC ã tan DAM = Cõu (2,5 im) Gii h phng trỡnh ( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) + ( x + y 2) x + = x + y Cõu (2,5 im) Cho cỏc s x, y, z tha < x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = xy + yz + zx 2 (x xyz + y2 + z2 ) -Ht H v tờn thớ sinh:.S bỏo danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2015-2016 HNG DN CHM CHNH THC MễN TON-THPT Hng dn chm cú 06 trang I Mt s chỳ ý chm bi - ỏp ỏn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch Khi chm thi giỏm kho cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit, hp logic v cú th chia nh n 0,25 im - Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc vi ỏp m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi thang im ca ỏp ỏn - im bi thi l tng im cỏc cõu khụng lm trũn s II ỏp ỏn thang im Ni dung im x+3 Cõu Cho hm s y = cú th (C), ng thng (d) cú phng trỡnh: x + 2,5 y = x m Tỡm m (d) ct (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB vuụng ti O Phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d): x+3 = x m 0,5 x + x (m + 2) x + 2m + = (1) ( x 2) iu kin: = (m + 2)2 4(2m + 5) = m 4m 16 > (*) 2(m + 2) + 2m + 02 (m + 2).0 + 2m + 0,5 Vi iu kin (*) phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit x1; x2 v khỏc v khỏc 0, hay (d) ct (C) ti hai im phõn bit A( x1; x1 m 1); B( x2 ; x2 m 1) , khụng trựng uuur im O uuur Ta cú OA = ( x1 ; x1 m 1); OB = ( x2 ; x2 m 1) Vỡ tam giỏc OAB vuụng ti O nờn uuur uuur OA.OB = x1 x2 + ( x1 m 1)( x1 m 1) = x1 x2 (m + 1)( x1 + x2 ) + (m + 1) = (**) x1 + x2 = m + Theo nh lớ Viet ta cú: , thay vo (**) c: x1 x2 = 2m + 2(2m + 5) (m + 1)(m + 2) + ( m + 1) = m = Th li vo (*) thy tha Vy m = tha bi toỏn Cõu Gii phng trỡnh sau cos x(2sin x 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x 0,5 0,5 0,5 2,5 Ta cú: (1) cos x(2sin x 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x sin x cos x cos x + 4cos x sin x + 2cos x 3sin x = sin x cos x + 2sin x sin x 4sin x cos x cos x sin x + 2cos x = 2sin x( cos x + sin x 2cos x) ( cos x + sin x 2cos x) = (2sin x 1)( cos x + sin x 2cos x) = 0,5 2sin x = (2) cos x + sin x 2cos x = 0(3) x = + 2k (2) sin x = x = + 2k (3) cos x + sin x = cos x cos(2 x ) = cos x 2 x = x + k x = + 2k 6 x = x + 2k x = + k 18 Vy phng trỡnh ó cho cú cỏc h nghim: k x = + 2k ; x = + k ; x = + (k  ) 6 18 Cõu Mt dóy ph cú ca hng bỏn qun ỏo Cú ngi khỏch n mua qun ỏo, mi ngi khỏch vo ngu nhiờn mt nm ca hng ú Tớnh xỏc sut cú ớt nht mt ca hng cú nhiu hn ngi khỏch vo Ngi khỏch th nht cú cỏch chn mt ca hng vo Ngi khỏch th hai cú cỏch chn mt ca hng vo Ngi khỏch th ba cú cỏch chn mt ca hng vo Ngi khỏch th t cú cỏch chn mt ca hng vo Ngi khỏch th nm cú cỏch chn mt ca hng vo Theo quy tc nhõn cú 5.5.5.5.5 = 3125 kh nng khỏc xy cho ngi vo ca hng Suy s phn t ca khụng gian mu l: = 3125 cú ớt nht mt ca hng cú nhiu hn khỏch vo thỡ cú cỏc trng hp (TH) sau: TH1: Mt ca hng cú khỏch, mt ca hng cú khỏch, ba ca hng cũn li khụng cú khỏch no TH ny cú C51.C53 C41 C22 = 200 kh nng xy TH2: Mt ca hng cú khỏch, hai ca hng cú khỏch, hai ca hng cũn li khụng cú khỏch no TH ny cú C51.C53 C42 P2 = 600 kh nng xy TH3: Mt ca hng cú khỏch, mt ca hng cú khỏch, ba ca hng cũn li khụng cú khỏch no TH ny cú C51.C54 C41 = 100 kh nng xy TH4: Mt ca hng cú khỏch, cỏc ca hng khỏc khụng cú khỏch no TH ny cú C51 = kh nng xy Suy cú tt c 200 + 600 + 100 + = 905 kh nng thun li cho bin c cú ớt nht mt ca hng cú nhiu hn ngi khỏch vo 905 181 = Vy xỏc sut cn tớnh l: P = 3125 625 Cõu Tớnh tớch phõn I= cos x.ln(sin x + cos x)dx 0,5 0,5 0,5 0,5 2,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2,5 I= cos x.ln(sin x + cos x)dx = = 2 0,5 ln(sin x + cos x) cos x.dx ln(1 + sin x) cos xdx 0,5 2cos x du = + sin x dx u = ln ( + sin x ) t dv = cos xdx v = ( + sin x ) 4 I= ( + sin x ) ln ( + sin x ) cos xdx 2 0 1 2ln = ln sin x = 2 Cõu Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a , AC = a Tam giỏc SAB cõn v nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh khong cỏch t im D ti mt phng (SBC), bit gúc gia ng thng SD v mt ỏy bng 60o 0,5 0,5 0,5 2,5 S A D K H B I C Gi H l trung im ca AB, tam giỏc SAB cõn nờn SH AB Vỡ tam giỏc SAB nm mt phng vuụng gúc vi ỏy nờn SH ( ABCD ) Suy gúc gia SD ã v mp(ABCD) l SDH = 60o SH = HD tan 60o = HD ã D thy tam giỏc ABC u cnh a nờn ãABC = 60o HAD = 120o Theo nh lớ Cụ sin: a2 a 7a HD = AH + AD AH AD.cos1200 = + a .a ữ = a a 21 hay SH = HD = 2 Ta cú AD / / BC AD / /( SBC ) d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) 0,5 0,5 Suy HD = 0,5 ng thng AH ct (SBC) ti B nờn d ( A,( SBC )) BA = = d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC )) d ( H ,( SBC )) BH K HI BC , HK SI Vỡ BC HI , BC SH BC ( SHI ) BC HK Vỡ HK BC , HK SI HK ( SBC ) HK = d ( H ,( SBC )) Vỡ thy tam giỏc ABC u cnh a nờn CH AB hay tam giỏc HBC vuụng ti H Ta cú 1 1 1 = + = + + 2 2 HI HS HI HS HB HC 4 4.29 = + 2+ = 21a a 3a 21a 609a a 609 Suy HI = Vy d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC )) = HI = 58 29 Cõu Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú A(5;2) ã ã M (1; 2) l im nm bờn hỡnh bỡnh hnh cho MDC v = MBC ã MB MC Tỡm ta im D bit tan DAM = 0,5 2,5 B A M D E C Gi E l im th t ca hỡnh bỡnh hnh MABE, d thy MECD cng l hỡnh bỡnh ã ã hnh nờn MEC = MDC ã ã ã ã M MDC = MBC suy MEC hay t giỏc BECM ni tip = MBC ã ã ã Suy BMC + BEC = 180o BEC = 180o 90o = 90o ã Ta cú AMD = BEC (c.c.c) ãAMB = BEC = 90o hay AMD vuụng ti M DM 1 = DM = MA MA 2 Ta cú MA = MD = 2 AD = MA2 + MD = 40 AD = 40 ( x + 5) + ( y 2) = 40 Gi s D( x; y ) ta cú 2 MD = ( x + 1) + ( y + 2) = Gii h phng trỡnh trờn c hai nghim: (3; 4), (1;0) Vy cú hai im D tha bi l: D(3; 4), D (1;0) Cõu 7: Gii h phng trỡnh ã = Vỡ tan DAM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2,5 ( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) + (1) ( x + y 2) x + = x + y (2) x + y iu kin: x + t t = x + y (t 0) PT (1) tr thnh (Vỡ t + + 0,5 0,5 t + 3t = 2t + + t + 3t 2t + = 3t 2t (t 2)(t + 2) + =0 3t + 2t + (t 2)(t + + )=0 3t + 2t + t = 0,5 > t ) 3t + 2t + Vi t = suy x + y = y = x Thay y = x vo (2) ta cú: ( x x) x + = x x 0,5 x ( x x + 1) + x + 1( x x + 1) = ( x x + 1)( x + x + 1) = x 2x + = 2x + = x x x = 1+ 2 x + = x Suy y = Vy h ó cho cú mt nghim: (1 + 2;1 2) Cõu 8: Cho cỏc s x, y, z tha < x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = xy + yz + zx 2 (x xyz + y2 + z2 ) 0,5 2,5 Vỡ < x y z nờn x( x y )( y z ) ( x xy )( y z ) 0,5 x y x z xy + xyz x y + xyz x z + xy xy + yz + zx xyz = ( x z + xy ) + yz xyz ( x y + xyz ) + yz xyz = y ( x + z ) Theo bt ng thc Cụ si ta cú: 0,5 0,5 y ( x2 + z ) = y ( x + z )( x + z ) 3 x2 + y + z y + ( x2 + z ) + ( x2 + z ) ữ =2 ữ 3 Do ú P = xy + yz + zx 2 (x xyz + y2 + z2 ) x2 + y + z x2 + y + z ữ ữ 3 x2 + y + z t = t ữ (t > 0) Ta cú P f (t ) = 2t t f '(t ) = 6t 6t = 6t (1 t ) = t = Lp bng bin thiờn ca hm f (t ) suy 1 c f (t ) f (1) = = P 2 1 Ta thy P = x = y = z = Vy giỏ tr ln nht cn tỡm l Max P = 2 x = y = z = 0,25 0,5 0,25 Ht - S GIO DC V O TO LNG SN Kè THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 NM HC 2011 2012 Cõu (4 im) x + x (2 y) + x y(2x + 1) = Gii h phng trỡnh 2x + 3xy = Cõu (4 im) Gii phng trỡnh cos2x 3sin 2x + 2(x + ) = Cõu (4 im) u1 = 2012 Cho dóy s (un) xỏc nh nh sau: u n +1 = 2012u n + u n u1 u u u + + + + n ) Tỡm lim( u2 u3 u u n +1 Cõu (4 im) (n N*) Cho hỡnh hp ABCD.ABCD P v Q l hai im ln lt trờn hai cnh AB v AD cho AP = AB;AQ = AD I v J l hai im ln lt thuc on BQ v AP cho IJ song song vi AC IB' Hóy xỏc nh t s QB' Cõu (4 im) Cho a, b, c l s thc dng tha a.b.c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S= a2 b2 c2 + + (ab + 2)(2ab + 1) (bc + 2)(2bc + 1) (ac + 2)(2ac + 1) -Ht - Cõu Cõu Ni dung T x + x (2 y) + x y(2x + 1) = (x y)(x + 1) = 2 TH1: x = y th vo pt : 5x = x = y = TH2: x = y = Vy nghim ca h (1;1), (1; 1) Cõu Cõu Cõu PT cos2x 3sin 2x + 5(cos x + sinx) = (cos x sin x) 3(1 + 2sin x.cos x) + 5(cos x + sinx) = (cos x + sinx)(2cos x 4sin x + 5) = cos x + sinx = (2cos x 4sin x + = VN) t anx = x = + k (k Z) - CM c dóy tng : u n +1 u n = 2012u n > n - gi s cú gii hn l a thỡ : a = 2012a + a a = > 2012 VL nờn limun = + un u 2n (u u n ) 1 = = n +1 = ( ) - ta cú : u n +1 u n +1u n 2012u n +1u n 2012 u n u n +1 1 1 lim( )= Vy : S = 2012 n + u1 u n +1 20122 12 IB' = QB' 29 ỏp s 12/29 Cõu a2 4 = = (ab + 2)(2ab + 1) (b + )(2b + ) (b + + 2b + ) (b + ) a a a a a ỏp s : 1/3 DY S ễN Bi u 2n cho {un }xỏc nh nh sau: u1 = 1; u n +1 = u n + 2012 u1 u u + + + n ) Tớnh: A = lim( u3 u n +1 n + u Solution u 2n - CM c dóy tng : u n +1 u n = > n 2012 a a = > vụ lý - gi s cú gii hn l a thỡ : a = a + 2012 nờn limun = + un u n2 2012(u n +1 u n ) 1 = = = 2012( ) - ta cú : u n +1 u n +1u n u n +1u n u n u n +1 ) = 2012 Vy : A = 2012.lim(1 u n +1 n + Bi u 2n + 2011.u n cho {un }xỏc nh nh sau: u1 = 2; u n +1 = 2012 u1 u un + + + ) Tớnh: B = lim( u3 u n +1 n + u Solution u n (u n 1) > n dóy tng 2012 b + 2011.b - gi s dóy cú gii hn b b = b = 1;b = vụ lý vỡ b > 2012 nờn limun = + - t gi thit : u n (u n 1) = 2012(u n +1 u n ) un u n (u n 1) 2012(u n +1 u n ) 1 = = = 2012( ) nờn : u n +1 (u n +1 1)(u n 1) (u n +1 1)(u n 1) u n u n +1 1 ) = 2012 Vy : B = 2012.lim(1 u n +1 n + - ta cú : u n +1 u n = Bi (lng sn 2010-2011) (u n 7u n + 25) 1 + + + ) Tớnh: C = lim( u3 un n + u 1 = HD: u n u n u n +1 cho {un }xỏc nh nh sau: u1 = 8; u n +1 = Mt s lu ý v dóy s: 2u n t un = tan ( phi chn phự hp vi u1) u 2n Cú dng cn liờn tip : t un = cos c c c c 2 + Cú dng : u n + dựng cụ si dng : u n + dựng cụ si u n + un un 2u n 2u n Dng u n +1 = f (n).u n vit t u2 n u n +1 , nhõn v vi v v gin c Dng u n +1 = u n + f (n) vit t u2 n u n +1 , cng v vi v v gin c n(n + 1) (Note: + + + + n = n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + + n = n(n + 1) 13 + 23 + + n = [ ] ) b Dng u n +1 = a.u n + b a v cp s nhõn bng cỏch t v n = u n + a Dng u n +1 = a.u n + b.u n gii ptr c trng: k a.k b = Nu cú dng : u n +1 = Kè THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 Mụn thi: Toỏn Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 01 trang v cú cõu) Câu 1: sin x.sin x + cos x.cos x = 1)Giải phơng trình: (1) tan( x ) tan( x + ) 2)Gii bt phng trỡnh sau: x x + x ( x + x 3) x + ( x + 10 ) Câu 2: Cho cỏc hp cỏc s nguyờn liờn tip nh sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , ú mi hp cha nhiu hn hp trc nú phn t, v phn t u tiờn ca mi hp ln hn phn t cui cựng ca hp trc nú n v Gi Sn l tng ca cỏc phn t hp th n Tớnh S999 u1 = 2012 Cõu Cho dóy s (un) xỏc nh nh sau: u n +1 = 2012u n + u n u1 u u u + + + + n ) Tỡm lim( u2 u3 u u n +1 (n N*) Cõu Cho hỡnh hp ABCD.ABCD P v Q l hai im ln lt trờn hai cnh AB v AD cho AP = AB;AQ = AD I v J l hai im ln lt thuc on BQ v AP cho IJ song song vi AC IB' Hóy xỏc nh t s QB' Cõu a) Cho a, b, c l s thc dng tha a.b.c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: a2 b2 c2 S= + + (ab + 2)(2ab + 1) (bc + 2)(2bc + 1) (ac + 2)(2ac + 1) b) Cho a, b, c v a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a3 b3 c3 P= + + + b2 + c2 + a2 -Ht P N THI HSG Cõu Ni dung im Cõu Điều kiện sin x ữ.cos x ữ sin x ữ x + m ( m  sin x + cos x + ữ ữ 3 ) ( *) Ta có tan x ữtan x + ữ = cot x + ữ.tan x + ữ = 3 Suy (1) 1 sin x [ sin x sin x ] + cos x [ cos x cos x ] = 8 1 sin x [ cos x cos x ] + cos x [ cos x + cos x ] = sin x + cos x cos x + cos x sin x cos x = 4 1 1 cos x + cos x cos x = cos x [ + cos x ] = cos x = cos x = x = + k ( k  4 Kết hợp điều kiện (*) ta đợc x = + k ( k  ) iu kin: x Khi ú ta cú: sin x sin x + cos3 x cos x = ( x + 3) = x2 + 6x + x2 + x2 + + = x + 18 < x + 20 = ( x + 10 ) x + < ( x + 10 ) x + ( x + 10 ) < Bt phng trỡnh ó cho tng ng vi x x + x ( x + x 3) x x + x ( x + x 3) ( x2 x + x (x ) ( x + x 3) x ( x x ) x ( x + ) x ) x ( x + ) ( x + ) ( x 34 x + 108 ) x 17 181 x 34 x + 108 x 17 + 181 KL : S = 3;17 181 17 + 181; + Cõu ) Ta thy hp th n cha n s nguyờn liờn tip m s cui cựng l n ( n + 1) Khi ú Sn l tng ca n s hng mt cp n ( n + 1) s cng cú s hng u u1 = , cụng sai d=-1(coi s hng cui cựng + + + + + n = hp th n l s hng u ca cp s cng ny), ta cú ) 1 Sn = n 2u1 + ( n 1) d = n ( n + 1) 2 Vy S999 = 999 ( 999 + 1) = 498501999 Cõu - CM c dóy tng : u n +1 u n = 2012u n > n - gi s cú gii hn l a thỡ : a = 2012a + a a = > 2012 VL nờn limun = + un u 2n (u u n ) 1 = = n +1 = ( ) - ta cú : u n +1 u n +1u n 2012u n +1u n 2012 u n u n +1 1 1 lim( )= Vy : S = 2012 n + u1 u n +1 20122 Cõu 12 IB' = QB' 29 ỏp s 12/29 Cõu 5a a2 4 = = (ab + 2)(2ab + 1) (b + )(2b + ) (b + + 2b + ) (b + ) a a a a a ỏp s : 1/3 Cõu 5b a3 Ta cú: P + = P+ = 1+ b a b3 + b2 + 1+ b2 + 1+ c a 2 1+ b2 c3 + c2 + + 1+ a 1+ b 2 + + a2 b3 + c2 + b2 + c2 + + c2 1+ a2 a6 b6 c6 3 + + 16 16 16 2 1+ a2 1+ a2 3 P+ (a + b + c ) = 2 23 2 + c3 P c2 + + = 2 2 2 PMin a = b = c = Sở GD&ĐT BC GIANG Trng THPT Nhó Nam 2 = Kỡ thi hc sinh gii toỏn lp 11 Nm hc 2012 2013 XUT Mụn thi: toỏn 11 THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu I: (2 im) 1.Gii phng trỡnh: (1 + t anx)cos3x + (1 + cot x)sin x = 2sin 2x Tỡm cỏc nghim khong ( ; ) ca phng trỡnh: 2sin 3x + ữ = + 8sin 2x cos 2x Cõu II: (3 im) Cú bao nhiờu s t nhiờn gm ch s khỏc ú cú s chn v s l ? Cho k l s t nhiờn tha k 2011 k k k k + C15 C 2011 + + C55 C2011 = C 2016 Chng minh rng: C50 C2011 u1 = 11 3.Cho dóy s (un) xỏc nh bi : u n +1 = 10u n + n, n N Tỡm cụng thc tớnh un theo n Cõu III: (2 im) Cho Pn= 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) lim Un Gi Un l s hng tng quỏt ca Pn Tỡm n + (x + 2012) 2x 2012 4x + Tỡm gii hn: lim x x Cõu IV: ( im) Cho t din ABCD cú AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M l im tựy ý trờn cnh AB, (P) l mt phng qua M v song song vi AC v BD ct BC, CD, DA ln lt ti N, P, Q Tỡm v trớ ca M v iu kin ca a, b, c thit din MNPQ l hỡnh vuụng, tớnh din tớch thit din trng hp ú Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn Xỏc nh im M bờn tam giỏc cho MA + MB + MC nh nht -Ht - H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Sở Gd&Đt BC GIANG Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 Năm học 2012-2013 hớng dẫn biểu điểm Chấm đề thức (Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán 11 THPT -Câu I Nội dung Điểm 2.0 (1.0 ) K: sin x cos x > Khi ú pt tr thnh: 0.25 sinx + cos x = sin x cos x (1) K: sinx + cos x > dn ti sinx > 0;cos x > Khi ú: (1) sin 2x = x = KL nghim : x= 0.25 + k 0.25 + 2m 0.25 (1.0 ).K: sin 3x + ữ (1) Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi pt: sin 2x = x = + k; x= + k 12 12 Trong khong ( ; ) ta nhn cỏc giỏ tr : 11 x= ; x= ; x= ; x= 12 12 12 12 Kt hp vi k (1) ta nhn c hai giỏ tr tha l: x= ; 12 x= 12 II 0,25 0.25 0.25 0,25 3.0 (1.0 ) TH1: Trong s chn ú cú mt s S cỏc s tỡm c l 5.C24 C35 5! = 36000 (s) 0.5 0.25 TH2: Trong s chn ú khụng cú mt s S cỏc s tỡm c l C34 C35 6! = 28800 (s) / s 36000 + 28800 = 64800 s (1.0 ) D thy ( + x ) ( + x ) 2011 = (1+ x) 2016 0.25 ; v M = ( + x ) = C50 + C15 x1 + C52 x + C35 x + C54 x + C55 x 5 N = (1+ x) 2011 k 2011 2011 = C02011 + C12011x1 + + C 2011 x k + + C 2011 x P = (1+ x) 2016 k 2016 2016 = C02016 + C12016 x + + C 2016 x k + + C 2016 x Ta cú h s ca x k P l Ck2016 Vỡ P = M.N , m s hng cha x k M.N l : k k 2011 2 k k 2011 C C x + C xC x + C x C x 0.25 k k 2011 3 k k 2011 +CxC x 4 k k 2011 +CxC x 5 k k 5 2011 +CxC x nờn k k k k C50 C2011 + C15 C2011 + + C55 C 2011 = C2016 (1 im) Ta cú: u1 = 11 = 10 + u = 10.11 + = 102 = 100 + u = 10.102 + 9.2 = 1003 = 1000 + un = 10n + n (1) D oỏn: Chng minh: Ta cú: u1 = 11 = 101 + , cụng thc (1) ỳng vi n=1 Gi s cụng thc (1) ỳng vi n=k ta cú : uk = 10k + k Ta cú: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Cụng thc(1) ỳng vi n=k+1 Vy un = 10n + n, n N III 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 (1 ) Ta cú: k(k + 3) = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) 0.25 Cho k=1,2,3,,n ta c 1.4.2.5.3.6 n(n + 3) 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n + 1) (n + 3) Un= 3(n + 1) 0.25 Sn = (n + 3) 0.25 lim Un = lim = n + n+ 3(n + 1) 2.(1 im) 0.25 2x 4x + x 2x + 2012 2012 Ta cú L = Lim ữ x x x Lim x 2x = 0.25 x Lim x Lim x 2x 2x 2` = Lim = Lim = x x x( (1 2x) + 2x + 1) x ( (1 2x) + 2x + 1) 4x + 4x = Lim = Lim =2 x x( 4x + + 1) x x 4x + + 16096 Vy L = + 2012 2012.2 = 3 IV 0.5 0.25 3.0 1.(2 ) +) Chng minh c MNPQ l hỡnh bỡnh hnh MN = NP M l trung im ca AB v a = c +) MNPQ l hỡnh vuụng MP = NQ +) Lỳc ú SMNPQ = b 2.(1 ) Dựng phộp quay quanh A vi gúc quay 600 bin M thnh M; C thnh C 0.5 1.0 0.5 0.25 Ta cú MA+MB+MC = BM+MM+MC MA+MB+MC nht bn im B,M,M,C thng hng 0.5 Khi ú gúc BMA=1200, gúc AMC=1200 Ta c v trớ ca M tam giỏc ABC 0.25 Chỳ ý: Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im ti a Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 Sở GD&ĐT BC GIANG Năm học 2012 2013 Trng THPT Nhó nam Mụn thi: toáN 11 THPT XUT Thi gian lm bi: 180 phỳt Bi (2 im) Gii phng trỡnh: a) 2+ = + 2sin x tan x + cot x 25 2sin x ữ 2cos x + ữ+ tan x Gii phng trỡnh: =0 cos x + sin x + ( )( ) Bi (3 im) u1 = Cho dóy s ( un ) xỏc nh bi u = un + + + 2un n + Tỡm cụng thc s hng tng quỏt un ca dóy s Cho n l s t nhiờn, n Chng minh ng thc sau: ( ) n N * n 2Cn0 + ( n 1) Cn1 + ( n ) Cn2 + + 22 Cnn2 + 12 Cnn = n(n + 1)2n2 2 Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ch s khỏc v khỏc m mi s luụn cú mt hai ch s chn v hai ch s l Bi (2 im) Cho dóy s {x k } xỏc nh bi: x k = k + + + 2! 3! (k + 1)! n Tớnh : lim n x1n + x2n + x3n + + x2012 Cho hm s : + x sin x với x f ( x) = x với x = Tớnh o hm ca hm s ti x = v chng minh rng hm s t cc tiu ti x = Bi (3 im) Cho tam giỏc u ABC ã M l mt im nm tam giỏc cho MA2 = MB + MC Hóy tớnh gúc BMC Mt im S nm ngoi (ABC ) cho t din SABC u , gi I, K l trung im ca cỏc cnh AC v SB Trờn ng thng AS v CK ta chn cỏc im P,Q cho PQ// BI Tớnh di PQ bit cnh ca t din cú di bng Ht -H v tờn : S bỏo danh : P N V BIU IM THI CHN HC SINH GII LP 11 CP TNH MễN: TON NM HC: 2012 - 2013 Bi Li gii im 1.(1 ) Bi cos x iu kin : sin x tan x + cot x > ( 1) 2sin x + cos x Ta cú : tan x + cot x = = sin x sin x 0.25 Do ú phng trỡnh ó cho tng ng vi : ( + 2) sin x = + sin x sin x = sin x sin x = sin x = sin x = ( Tha iu kin (1) ) sin x = ( )( ) Gii cỏc phng trỡnh trờn ta c : x = + k ; x = + k ; x = + k ( k Z ) 12 12 0.25 0.25 0.25 (1 ) x + l cos x x + l1 K: cos x ( l; l1; l2 ; l3 Z ) sin x x + l2 2; x + l3 pt 2sin x ữ 2cos x + + ữ+ tan x = sin x cos x ữ = 2sin x tan x sin x = 2sin x cos x sin x = 2sin x cos x sin x = tan x ( sin x 1) ( sin x ) ( + tan x ) = cos x x = + k sin x = tan x = x = + k ( loai ) So vi iu kin x = + m ( m Z ) l nghim phng trỡnh ó cho 0.25 0.25 0.25 Chỳ ý: Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im ti a K THI CHN HC SINH GII CP TNH BèNH NH Mụn: TON LP 11 Nm hc: 2010 2011 (Thi gian lm bi: 150 phỳt) Gii phng trỡnh: sin x ữ = sin x Cho P(x), Q(x) l hai a thc h s nguyờn tha iu kin P(x3) + x.Q(x3) chia ht cho x2 + x + Gi d l c chung ln nht ca hai s P(2011) v Q(2011) Chng minh d chia ht cho 2010 Cho hm s f kh vi trờn [ 0;1] v tha f(0)=0; f(1)=1 Chng minh rng: tn ti hai s phõn bit a, b ( 0;1) cho f (a ) f (b) = Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc V ng cao OH ca t din ã ã ã ã t A = CAB , B = ãABC , C = BCA , = ãAOH , = BOH , = COH Chng minh rng: sin sin sin = = sin A sin B sin 2C Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a b c 1 + + ữ ( a + b + c ) + + ữ b c a a b c ************ HT ************ ... 2 011 2 k k 2 011 C C x + C xC x + C x C x 0.25 k k 2 011 3 k k 2 011 +CxC x 4 k k 2 011 +CxC x 5 k k 5 2 011 +CxC x nờn k k k k C50 C2 011 + C15 C2 011 + + C55 C 2 011 = C2016 (1 im) Ta cú: u1 = 11. .. + x ) ( + x ) 2 011 = (1+ x) 2016 0.25 ; v M = ( + x ) = C50 + C15 x1 + C52 x + C35 x + C54 x + C55 x 5 N = (1+ x) 2 011 k 2 011 2 011 = C02 011 + C12011x1 + + C 2 011 x k + + C 2 011 x P = (1+ x)... ABC 0.25 Chỳ ý: Hc sinh gii cỏch khỏc ỳng cho im ti a Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11 Sở GD&ĐT BC GIANG Năm học 2012 2013 Trng THPT Nhó nam Mụn thi: toáN 11 THPT XUT Thi gian lm bi: 180