ôn tập đạo hàm lớp 11 tham khảo
ÔN TẬP ĐẠO HÀM 11 Hoạt động 1: Củng cố định nghĩa đạo hàm điểm công thức tính đạo hàm y = f ( x) ( a ; b ) x0 ∈ ( a ; b ) Định nghĩa : Cho hàm số xác định khoảng , đạo hàm f ( x ) − f ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim x0 x → x0 x − x0 hàm số điểm : Chú ý : ∆x = x − x0 ; ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) • Nếu kí hiệu : f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y f ' ( x0 ) = lim = lim x → x0 ∆x → ∆x x − x0 y = f ( x) x0 • Nếu hàm số có đạo hàm liên tục điểm Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm u = u ( x) ; v = v ( x) ; C : Các quy tắc : Cho số ( u ± v ) ' = u '± v ' • ⇒ ( C.u ) ′ = C.u′ ( u.v ) ' = u '.v + v '.u • • C.u′ u u '.v − v '.u C ′ = , v ≠ ⇒ = − ( ) ÷ ÷ v2 u2 v u y = f ( u ) , u = u ( x) ⇒ y′x = yu′ u′x • Nếu Các công thức : ( C )′ = ; ( x)′ = • ′ ′ x n = n.x n −1 ⇒ u n = n.u n −1.u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ ) • u′ ′ ′ x = , ( x > 0) ⇒ u = , ( u > 0) x u • ⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u ( sin x ) ′ = cos x • ⇒ ( cos u ) ′ = −u ′.sin u ( cos x ) ′ = − sin x • ( ) ( ) ( ) ( ) ( tan x ) ′ = • ⇒ ( tan u ) ′ = cos x ( cot x ) ′ = − u′ cos u u′ ⇒ ( cot u ) ′ = − sin x sin u • Hoạt động 2: Tìm đạo hàm theo định nghĩa Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có cách sau : • Cách : Theo quy tắc Bước : Cho x số gia ∆x ∆y ∆x→ ∆x tìm số gia ∆y tìm ∆y = f ( x + ∆ x ) − f ( x ) Lập tỉ số lim Bước : Tìm giới hạn f ' ( x0 ) = lim x → x0 Cách : Áp dụng công thức: Bài 1: a) f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: y = f(x) = 2x − x + x0 = Cho x0 = số gia ∆x ta có: ∆y = f (1 + ∆x ) − f (1) = 2(1 + ∆x )2 − (1 + ∆x) + − = 2∆x + 3∆x ⇒ y '(1) = lim ∆x → Vậy b) ∆y = 2∆x + ∆x ∆y = lim (2∆x + 3) = ∆x ∆x →0 y = f(x) = − 2x x0 = –3 Cho x0 = -3 số gia ∆x ta có: ∆y = f (−3 + ∆x ) − f (−3) = − 2(−3 + ∆x ) − = − 2∆x − ⇒ ∆y − 2∆x − = ∆x ∆x ∆y − 2∆x − −2 −1 = lim = lim = ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x →0 − 2∆x + ∆x y '(−3) = lim Vậy c) y = f(x) = Bài 2: 2x + x −1 x0 = f) y = f(x) = x2 + x + x −1 x0 = Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x + 3x − x x =4 b) y = x + − x x =1 c) y= x−x x =2 ∆y ∆x π d) y = sin x + cos x x =0 e) y = sin x x = π f) y = tan x + x = Hoạt động 2: Rèn cơng thức tính đạo hàm theo cơng thức Phương pháp: Nắm công thức áp dụng vào tính Bài 3: Tính đạo hàm sau: y= a) c) y = x3 + x + b) 1 + ⇒ y ' = 3x + − x x x y = ( x − 1)( x + 2) ⇒ y' = 2x( x + 2) + 3x ( x − 1) = 5x − 3x + 4x y= d) e) x3 + x − x + ⇒ y ' = x + 6x − 2x + −11 ⇒ y' = 3x − (3x − 1)2 x − 3x + (4x − 3)(3 − 2x) + 2(2x − 3x + 1) −4x + 12x − y= ⇒ y'= = − 2x (3 − 2x) (3 − 2x) −1 ⇒ y' = x +1 ( x + 1)2 y= f) Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau : a/ y= 3x − x + y= 4x cot x x −1 Giải b/ ( 2 y = + 3x ÷ x ) x −1 c/ y= − + 3− x x x 7x d/ a/ b/ 3x − y′ = x2 y′ = 9x2 x − x2 − x + y′ = 2x2 c/ d/ 15 24 y′ = − + − + x x x 7x − x cot x − sin x x (2 ) x −1 Bài 5: Tính đạo hàm sau: y = ( 3x + ) ⇒ y ' = 30(3x + 6) 10 a) y = x2 + 2x ⇒ y ' = c) y= e) y= b) −4 x ⇒ y' = 2 ( x + 1) ( x + 1)3 x +1 x + 2x d) −1 3− x − 6x − x2 ⇒ y ' = − 2x x 6x − x 2 x − 3x + 2x-3 y= x − 3x + ⇒ y ' = − + 2 x x x − 3x + x f) 2x2 + y= ÷ x −3 Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: y = x3-3x2 – x + + sinx y = x + 3x − 2x − sin x + cos x sin x − cos x y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) y= y = (x8 – x)10 y = x y= x x 9.y=sin(cos23x) y = cos 10* y= sin [cos2(tan3x) ] y= 11, 2x − y= x2 + 12, y = ( x − x − 4) − x 13, 15, f(x) = y’ = y= 14, − 2x x − x +1 2x + x 4x +1 π x cot 3x − ÷ 4 π π ( x ) 'cot 3x − ÷+ x cot x − ÷÷ 4 16, g(x) = cos2x + cos π x cot 3x − ÷− π 4 x sin x − ÷ 4 = 2π 2π + x ÷+ cos2 − x÷ g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos 2π 2π 2π 2π + x ÷sin + x ÷+ cos − x ÷sin − x÷ = - sin2x -sin 4π 4π + x ÷+ sin − 2x ÷ = - sin2x + 2cos 4π sin(-2x) = -sin2x + sin2x = Bài 8: Xét tính liên tục tồn đạo hàm tính đạo hàm hàm số sau a) x2 − 4x + x > f ( x) = x −1 3 x − x ≤ Ta có ¡ ; x − 4x + lim f ( x) = lim+ = lim( x − 3) = −2 lim f ( x ) = lim(3x − 5) = −2 x →1+ x →1 x →1+ x −1 x →1− x →1− , lim f ( x) = −2 = f (1) Vậy x →1 Vậy hàm số liên tục x = x − 4x + +2 f ( x ) − f (1) x − 2x + x −1 lim+ = lim+ = lim+ = ⇒ y '(1+ ) = x →1 x → x → x −1 x −1 ( x − 1) f ( x) − f (1) 3x − + 3x − = lim− = lim− = ⇒ y '(1− ) = x →1 x →1 x − x −1 x −1 lim− x →1 Vậy hàm số không tồn đạo hàm x = 2 x + a x ≤ f ( x) = − x + bx x > b) Ta có lim f ( x) = lim+ (− x3 + bx) = lim− f ( x) = lim− (2x + a) = a x → 0+ x →0 , x →0 x →0 Vậy để hàm số liên tục R a = lim+ x →0 f ( x ) − f (0) − x + bx - a = lim+ =∞⇒ x →0 x x không tồn đạo hàm phải f ( x) − f (0) 2x + a − a lim− = lim− = ⇒ y '(0 − ) = x →0 x →0 x x Vậy với a, b hàm số có đạo hàm trái không tồn đạo hàm c) x ≤ x − 3x + x ≥ f ( x ) = x − 3x + = − x + 3x − < x < Vậy ta xét x = x = Tại x = Ta có lim+ f ( x) = lim( − x + 3x − 2) = lim− f ( x) = lim(x − 3x+2) = + − x →1 x →1 , x →1 x →1 lim f ( x) = = f (1) Vậy x →1 Vậy hàm số liên tục x = lim+ f ( x ) − f (1) − x + 3x-2 = lim+ = lim(2 − x) = ⇒ y '(1+ ) = + x →1 x →1 x −1 x −1 lim− f ( x) − f (1) x − 3x +2 = lim− = lim( x − 2) = −1 ⇒ y '(1− ) = −1 − x → x → x −1 x −1 x →1 x →1 Vậy hàm số khơng có đạo hàm x = Tương tự x = d) f ( x) = x Bài 9*: Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau: y= 1) x−2 Giải: ' Ta có: '' ''' 1.2 1.2.3 (1); ; ÷=− ÷= ÷ = ( x − 2) x−2 x − ( x − 2) x − ( x − 2) Ta dự đoán y(n) = (-1)n n! ( x − 2)n +1 (*) Ta chứng minh (*) quy nạp Từ (1) suy (*)đúng n = (k ) Giả sử (*)đúng với n = k, ta có với n = k+1 k! k (2) ÷ = (−1) ( x − 2) k +1 x−2 Lấy đạo hàm hai vế (2) ta được: ( k +1) ÷ x−2 = ( −1) k +1 k k ![( x − 2) k +1 ]' k +1 k !( k + 1)( x − 2) = ( − 1) ( x − 2) k + ( x − 2)2 k + Ta chứng minh (*)đúng (−1) k +1 = ( k + 1)! ( x − 2) k + Vậy với n ∈ N*, ta có: (n) n! n ÷ = (−1) ( x − 2) n +1 x−2 2x +1 2x +1 x − 5x + 1) y = 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; Hoạt động 3: Ôn tập giải PT, BPT chứa đạo hàm 5)y= Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau giải PT, BPT Bài 10 Giải bất phương trình sau: 1, y’ > với x < y = x − 3x + ⇒ y ' = 3x − 6x, y ' > ⇔ 3x − 6x > ⇔ x > y= 2, y’ < với 3, y’ ≥ x + x − x + ⇒ y ' = x + x − 2, y ' < ⇔ x + x − < ⇔ −3 < x < với x − 2x − ≥ x ≤ −1 x2 + x + (2x + 1)( x − 1) − x − x − x − 2x − y= ⇒ y'= = , y' ≥ ⇔ ⇔ 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) x ≥ x ≠ 4, y’>0 với −1 < x < y = x − x ⇒ y ' = 4x − 4x, y ' > ⇔ 4x − 4x > ⇔ x > 5, y’≤ với Bài 11:a) Cho y = 2x − x y'> 6, f ( x) = 1+ x Tính f ( 3) + ( x − 3) f ′ ( 3) với Tính y = x2 + 5x + f ′( x) , f ′ ( 3) , f ( 3) + ( x − 3) f ′ ( 3) a) - Ta có f ′( x) = 1+ x Suy f ′ ( 3) = Vậy f ( 3) + ( x − 3) f ′ ( 3) =2+ x −3 b)Ta có f ′( x) = − b) Cho 60 192 + x2 x4 60 64 f ( x ) = 3x + − + x x Giải pt f ′( x) = f ′ ( x ) = ⇔ − 60 + 192 = ⇔ x − 20 x + 64 = x2 = x = ±2 ⇔ ⇔ x2 x4 x = ±4 x = 16 y = f ( x) = Bài 12: Cho hàm số : a) c) f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈ ¡ f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ( 0; ) b) d) x − x + mx + Tìm m để : f ′ ( x ) > , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈ ( − ∞ ; ) Giải f’(x) = x2 – 4x + m a) b) a > 1 > f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇔ m≥4 ∆ ≤ 4 − m ≤ f ′ ( x ) > , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇔ x − 4x + m > 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m > − x + 4x = h( x), ∀ x ∈ (0; +∞) Bảng biến thiên hàm y = h(x) (Làm cho câu tiếp) max h( x ) = (0; +∞ ) Vậy m > f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ m < − x + 4x = h( x ), ∀x ∈ (0; 2) ⇒ m < h( x) = (0;2) c) f ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈ ( − ∞ ; ) ⇔ m ≥ − x + 4x, ∀x ∈ (−∞; 2) ⇒ m ≥ max h( x) = ( −∞;2) d) f ( x) = Bài 13: Cho hàm số : a) m m x − x + ( − m ) x + 5m + f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ b) f ′( x) = Tìm m để : có hai nghiệm dấu Giải y’ = mx2 – mx + (4-m) Nến m = y’ = > khơng thỏa mãn Nếu b) m≠0 f ′( x) = để a < m < f ′ ( x ) < , ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇒ 5m − 16m < ∆ < có hai nghiệm trái dấu cần: vơ nghiệm m < ac < ⇔ m(4 − m) < ⇔ m > Bài 14: Giải phương trình y’ = y = cos x + sin x + x ⇒ y'=0 ⇔ -sin x + cosx + 1= ⇔ sin x - cosx = a) b) π x = + k 2π π ⇔ sin( x − ) = ⇔ ,k ∈Z x = π + k 2π y = sin x − cos x + x ⇒ y ' = cos x + sin x + π −1 y ' = ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin( x + ) = ⇔ x = c) y = 20 cos x + 12 cos x − 15cos x ⇒ y ' = −60sin 3x − 60sin 5x + 60sin x kπ sin 4x = x = y ' = ⇔ sin 3x + sin 5x = sin 4x ⇔ 2sin 4x cos x = sin 4x ⇔ ⇔ ,k∈Z cos x = x = ± π + k 2π f (x) = Bài 15: Cho a) Giải PT: f '( x ) = Bài 16: Giải phương trình a) c) sin x cos3 x + cos x − 3(sin x + ) 3 y' = b) Tính f ''(0) biết : y = cos x + sin x y = sin x − cos x ; y = 3sin x + cos x + 10 x ; d) b) ; y = ( m − 1) sin x + 2cos x − mx Hoạt động : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm Phương pháp : Tính đạo hàm sau thay vào để hai vế Bài 18 : Chứng minh hàm số sau thoả mãn hệ thức: a, f ( x) = x + x − x − thoả mãn: f ' (1) + f ' (−1) = −4 f (0) Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2, f’(1) = 6, f’(-1) = 6, f(0) = -3 Thay vào thỏa mãn b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + = y'= −2 sin 2x Thay vào ta có: VT = −2 −2 −2 + 2cot 2x+ 2= + 2(1 + cot 2x) = + 2 = = VP 2 sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x y= c, x −3 x+4 y' = Ta có: thỏa mãn 2y '2 = (y − 1)y" −14 , y '' = ( x + 4) ( x + 4)3 Thay vào suy ĐPCM: d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y ' = −a sin x + b cos x, y '' = a cos x − b sin x bsinx = ĐPCM y’’ + y = thay vào: y’’ + y = acosx – b sinx + acosx + f ( x) = Bài 19: a) Cho hàm số cos x + sin x y = f ( x) = b) Cho hàm số Giải π π f ' ( ); f ' ( π ) ; f ' ; f ' 2 4 Tính cos x + sin x Chứng minh: π f ÷− f 4 f ( x) = cos x − sin x(1 + sin x) − cos x −1 ⇒ y'= = + sin x (1 + sinx) + sin x f '(0) = −1 π −1 π −2 = −1, f '(π ) = −1, f'( ) = , f '( ) = + sin 2 2+ π ' ÷ = 3 Câu b tương tự Bài 20: Cho hàm số a) y = x sin x chứng minh : y' − x = tan x cos x xy − ( y '− sin x ) + x ( 2cos x − y ) = ; f ( x ) = sin x + cos x Bài 21: Cho hàm số : f ' ( x) − 2g ' ( x) = , b) g ( x ) = sin x + cos x Chứng minh : Bài 22: a) Cho hàm số y = x + 1+ x2 b) Cho hàm số y = cot x Chứng minh : + x y' = y y '+ y + = Chứng minh : Hoạt động 4: Củng cố qua số câu hỏi trắc nghiệm Chương V: Đạo hàm Câu 93: TĐ1119NCB: Số gia hàm số , ứng với: là: A 19 B -7 C D PA: A Câu 94: TĐ1119NCB: Số gia hàm số theo là: A B C D PA: C Câu 95: TĐ1119NCB: Số gia hàm số ứng với số gia đối số là: A B C D PA: B Câu 96: TĐ1119NCH: Tỉ số hàm số theo x là: A B C D − PA: A Câu 97: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số là: A B C D PA: D Câu 98: TĐ1119NCH: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M(-2; 8) là: A 12 B -12 C 192 D -192 PA: B Câu 99: TĐ1119NCH: Một chất điểm chuyển động có phương trình (t tính giây, s tính mét) Vận tốc chất điểm thời điểm (giây) bằng: A B C D PA: C Câu 100: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số khoảng là: A B C D PA: A Câu 101: TĐ1119NCH: Phương trình tiếp tuyến Parabol điểm M(1; 1) là: A B C D PA: B Câu 102: TĐ1119NCH: Điện lượng truyền dây dẫn có phương trình cường độ dịng điện tức thời điểm bằng: A 15(A) B 8(A) C 3(A) D 5(A) PA: D Câu 103: TĐ1119NCH: Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định B Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định C Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định D Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định PA: A Câu 104: TĐ1119NCH: Đạo hàm hàm số bằng: A B -5 C D Khơng có đạo hàm PA: C Câu 105: TĐ1119NCV: Một vật rơi tự có phương trình chuyển động , t tính s Vận tốc thời điểm bằng: A B C D PA: A Củng cố: Các cơng thức tính đạo hàm Hướng dẫn nhà:Xem chữa làm tập sau: Bài Cho hàm số a) b) c) y = − mx + ( m − 1) x − mx + 3 y ' ≤ , ∀x ∈ ¡ y' = y' = mx + x − x+2 y' ≤ x12 + x22 = Xác định Tìm giá trị tham số m m để hàm số có để hàm số: y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( ; + ∞ ) y = x + 3x + mx + m ( ) y = mx + m − x + 10 ( 1) ( m tham số ) Xác định có nghiệm phân biệt Bài 5: Giải phương trình f’(x) = biết: 1, f(x) = cos 2x – cosx f ( x) = đoạn có độ dài Bài Cho hàm số y' = để : có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : Bài Cho hàm số có m có hai nghiệm phân biệt âm ; y= Bài Xác định sin x sin x − + cos x 2, f(x) = cosx + sinx – 2x – 3, m để hàm số có ... PA: D Câu 103: T? ?111 9NCH: Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định B Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định C Hàm số có đạo hàm điểm mà xác định D Hàm số có đạo hàm điểm mà xác... T? ?111 9NCB: Số gia hàm số theo là: A B C D PA: C Câu 95: T? ?111 9NCB: Số gia hàm số ứng với số gia đối số là: A B C D PA: B Câu 96: T? ?111 9NCH: Tỉ số hàm số theo x là: A B C D − PA: A Câu 97: T? ?111 9NCH:... T? ?111 9NCH: Đạo hàm hàm số bằng: A B -5 C D Khơng có đạo hàm PA: C Câu 105: T? ?111 9NCV: Một vật rơi tự có phương trình chuyển động , t tính s Vận tốc thời điểm bằng: A B C D PA: A Củng cố: Các công