BÀI tập DAO HAM LOP 11 CO CONG THUC

BÀI TẬP: CHƯƠNG ĐẠO HÀM Dạng : Tính đạo hàm định nghĩa: Bài 1:Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm ra: a) f ( x ) = x − 2x + c) f ( x ) = 3x + e f ( x ) = x − 3x + x =2 ; x =3 ; x =3 2x −1 x + x0 = b)  x − x x ≥ f ( x) =  10 x − 16 x < x0 = d) f ( x) = ; f) f ( x ) = 2x − x2 x2 − 3x + f ( x) = x =4 x+2 c) ; d) y = f(x) = Bài 2:Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : a) x =1 ; − 2x xo = –3 f ( x) = f ( x) = x f ( x ) = x3 − 3x + x + ; b) ; c) Dạng : Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm 1.1 Các quy tắc : Cho ( u ± v ) ' = u '± v ' u = u ( x) ; v = v ( x) ; C : ; x −1 x +1 số ( u + v − w) ' = u ' + v ' − w ' • ⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′ • ( u.v ) ' = u '.v + v '.u •  u  u '.v − v '.u , ( v ≠ 0)  ÷= v v2 C.u ′  C ′ ⇒ ÷ =− u u ⇒ y′x = yu′ u′x y = f ( u) , u = u ( x) • Nếu 1.2 Cơng thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : ax + bx + c  Dạng : y = a ' x + b' x + c' ax + bx + c dx + e  Dạng : y = ax + b  Dạng : y = cx + d (ab'−a' b) x + 2(ac'−a ' c) x + (bc '−b' c) ( a ' x + b' x + c ' ) ⇒ y’ = ad x + 2ae.x + (be − dc) (dx + e) ⇒ y’ = ad − cb ⇒ y’ = (cx + d ) 1.3 Các cơng thức Đạo hàm số: (C)’= Đạo hàm x: Đạo hàm hàm hợp: ( x ) '= (x ) n ' = n.x ( x) = ' ' ( ku ) n −1 x 1   =− x  x ' (u ) n ' = k(u) ' n −1 = n.u u ' u = u ' u ' ( ) ' ' 1   = − u u u Bài tập Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: Đạo hàm hàm số lượng giác: ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x ( tan x ) ' = ( sin u ) ' = u ' cos u ( cos u ) ' = −u ' sin u (sin n u ) ' = n sin n −1 u.( sin u ) (cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )' cos x ( tan u ) ' = u' cos u (tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )' sin x ( cot ) ' = − u' sin u (cot n u )' = n cot n −1 u.(cot u )' ( cot x ) ' = − x3 x − + x−5 1) y= − + − x x x 7x 4) y = x ( 3x − 1) y= 2) 2 7) y = ( x + 1)( − x ) y = ( x + 1)( x + 2) ( x + 3) 2  y =  + 3x ÷ x − x  10) ( ( ) y = 2x + x −1 16) y= 19) y = x +3 3) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6) y = ( x + 5) 8) y = x ( x − 1)( 3x + 2) 9) ) 13) y = x + x y = 2x − 11) y = x 12) y = ( 5x3 + x2 – )5 14) 15) y = ( x + 1) ( x − ) ( x + ) 2 x + 3x − 17) x + 6x + 20) y = y= x3 − x x2 + x + y= 18) x −1 + x + −x2 + 7x + x2 − 3x 21) y = ( x + 1) x + x + 22) 25) x − 2x + 2x + y= ( y = x2 + x ) 23) 31) + x3 − x 37)  x  y =  x + x − ÷ x−2÷   27) 3x − x + 2x − 32) y = 3x - 2 x - x +2 33) 35) y = x − 3x + 1+ x 1− x y= 38) 19) y = sin (x³ – x) x x 39/ y= x y = sin 7) sin x + cos x y= sin x − cos x 8) Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = sin x sin 3x 2) y = (1 + cot x ) 3) y = cos x sin x 5) y= sin x x + x sin x x +1 y = tan 7) y = + tan x (x + 2)2 (x + 1)3 (x + 3)4 1+ x 2 5) y = cos x sin x y= 36) y= (2x+3)10 40) y= x + x 41) y= x (x2- x +1) Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx y = cos x − cos3 x 2) y = cos (x3) 6) 3) y = x.cotx 4) y = (1 + cot x ) 30) y = (x + x) 29) y = ( x -3x+3)( x +2x-1) 34) y = (x + x) y= 2x2 − y= x+2 24) x +1 26) y = x − ; 2 28) y = ( x + 1)( − x ) y= 1+ x 1− x y= 42) y = π y = cot (2x + ) 9) y = sin (cos x) 1− x x (x2- x +1) 10) 11) y = cot + x 12) y = sin x sin 3x 20) tan (cos x) 6) 6) y = + tan x cos x y=− + cot x 3sin3 x 7) 9) y = sin p - 3x 15) y = sin(2sin x) 16) y= sin(sinx) 17) y = sin (cos3x) x sin x y= + tan x 18) 21) y = tan³ 18) 19) y= y= 1+ x2 x sin x + tan x sin x x + x sin x y= + sin x − sin x 8) y = sin x sin 3x 24)y = (x³ – sin 4x cos 2x)³ 4) 22) y = tan³ (x² + 1) 23) y = sin x tan² 2x y= (1 + sin 2 x ) 17) 25) y = x sin 2x – x² tan x 2sin x 20) y = f(x) = cos 2x sin(xπ+/ 3) 21)y = sin x − cos x g ( x) = cos x Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x) = sin x + cos x Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x) (∀x ∈ R) Bài 5: Cho y = x − x + Tìm x để: a) y’ > b) y’ < 4 Bài 6: Cho hàm số f(x) = + x Tính : f(3) + (x − 3)f '(3) π  π  cos x f ' ( ) ; f ' ( π ) ; f '  ; f '   2 4 + sin x Tính a) Cho hàm số π  π  cos x f  ÷− f '  ÷ = y = f ( x) = 3 + sin x Chứng minh:   b) Cho hàm số f ( x) = Bài 7: Cho hàm số y = x sin x chứng minh : y' − x = tan x a) ; b) cos x 4 6 Bài 8: Cho hàm số : f ( x ) = sin x + cos x , g ( x ) = sin x + cos x Chứng minh : f ' ( x) − 2g ' ( x) = xy − ( y '− sin x ) + x ( 2cos x − y ) = a) Cho hàm số y = x + + x Chứng minh : + x y ' = y b) Cho hàm số y = cot x Chứng minh : y '+ y + = Bài 9: Giải phương trình y ' = biết : a) y = sin x − cos x c) y = 3sin x + cos x + 10 x ; ; b) y = cos x + sin x ; d) y = ( m − 1) sin x + 2cos x − mx y = x3 − ( 2m + 1) x + mx − Bài 10: Cho hàm số Tìm m để : y ' < , ∀x ∈ ( ; ) a) y ' = có hai nghiệm phân biệt ; b) y ' ≥ , ∀x ∈ ¡ ; c) ; y ' > , ∀x > d) y = − mx + ( m − 1) x − mx + 3 Bài 11: Cho hàm số Xác định m để : a) y ' ≤ , ∀x ∈ ¡ b) y ' = có hai nghiệm phân biệt âm ; c) y ' = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : Bài 12:: Giải phương trình f’(x) = biết rằng: x12 + x22 = cos 3x   sin 3x  sin x + ÷  b) f(x) = +cosx-  cosx + sinx - 2x – ; đ) f(x) = sin2x + sinx – ; 60 64 − x +5; f(x) = 3x+ x c) f(x) = e) f(x) = 2cos2x + sin2x + Bài 13: :a)Giải phương trình 1+5y+6y/ = 0, biết y = b) Giải phương trình 1− x f ( x ) = sin x + cos4 x; g ( x ) = cos 4x , biết f '( x) = g '( x) x −1 Bài 14:: Cho hàm số y = f(x) = cos2x a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = x f ( x ) = ( x + 1) cos Giải phương trình: f ( x) − ( x + 1) f '( x) = Bài 15: Cho Bài 16: a) Cho hàm số f(x) = x − x Hãy giải bất phương trình f ’(x) ≤ f(x) 1+ x − x với x < Tìm x để f '( x) > − x b)Cho hàm số x2 − 5x + f ( x) = x − Hãy giải bất phương trình f '( x) ≤ Giải bất phương trình c)Cho hàm số Bài 17: Xác đònh để bất phương trình nghiệm với thuộc , y = f ( x) = m x f '( x) > R f '( x ) ≤ 0; ∀x ∈ R Bài 18::a) Cho hàm số: y = f ( x) = x − x + mx − Tìm m để y = f ( x ) = x − x + mx − Tìm m để b)Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong Phương pháp : • 1_Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( C ) : y = f ( x ) - Nếu cho hoành độ tiếp điểm - Nếu cho tung độ tiếp điểm ⇒ M ( x0 ; y0 ) , có phương trình : (1) - Nếu cho tọa độ tiếp điểm Mo(xo;yo) tính tt f '( x) ≥; ∀x ∈ R yo xo tính giải pt f ′ ( xo ) f ′ ( xo ) thay vào pt (1) tính yo = f ( xo ) yo = f ( xo ) ⇒ xo , tính ⇒ pt tt thay vào pt (1) f ′ ( xo ) ⇒ pt thay vào pt (1) pt tt • 2_Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị ta gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ f ' ( x0 ) = k ( C ) : y = f ( x) có hệ số góc k (2) y = f ( x0 ) x  Giải phương trình (2) tìm suy  Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :  Chú ý :  Hệ số góc tiếp tuyến y = k ( x − x0 ) + y0 M ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) k = f ′ ( x0 ) = tan α Trong chiều dương trục hồnh tiếp tuyến  Hai đường thẳng song song với hệ số góc chúng  Hai đường thẳng vng góc tích hệ số góc chúng −1 • 3_Biết tiếp tuyến qua điểm A ( x1 ; y1 )  Viết phương trình tiếp tuyến : y = f ( x) M ( x0 ; y0 ) : α góc A ( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ( *)  Vì tiếp tuyến qua  Giải phương trình(*) tìm x0 vào (3) suy phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = f ( x ) = x3 − x Bài 1: Cho đường cong ( C) trường hợp sau : M ( ; − 2) a) Tại điểm x = −1 ; hồnh độ c) Tại giao điểm A ( −1 ; − ) ; b) Tại điểm thuộc ( C ) với trục hồnh − 2x + x =2 ; a) Tại điểm có hồnh độ ( C ) với trục hồnh; điểm c) Viết pttt giao điểm ( C) : b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : c) Vng góc với đường thẳng : x + y − 2011 = ; 3x + y= ( C) 1− x Bài 3: Cho hàm số : ( C) d) Biết tiếp tuyến qua điểm Viết phương trình tiếp với 4x − y − = ; a) Viết pttt ( C ) có ( C) : y = x Bài 2: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến M ( −1 ; −1) d) Biết tiếp tuyến qua điểm ; ( C ) với trục tung ; b) Vết pttt d) Viết pttt ( C) ( C) A ( ; 0) giao điểm bết tt song song với ( d ) : 4x − y + = ( C ) biết tt vng góc với đường thẳng ( ∆ ) : x + y − = e) Viết pttt Bài 4: Cho đường cong a) Viết ptttt ( C) : y = 3x + 1− x ( C ) biết tt song song với ( d ) : x − y − 21 = ; ( ∆) : 2x + y − = ; c) Viết pttt ( C ) biết tt tạo với đường thẳng : Bài Cho hàm số y = − x − x2 a) Tại điểm có hồnh độ y= x0 = x+2 2x + b) Viết pttt x − y + = góc 300 ( C) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với ; ( C ) biết tt vng góc với : b) Song song với đường thẳng : ( d ) : x + 2y = ( 1) Bài 6: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Bài Cho hs Tìm điểm thuộc đồ thị mà qua kẻ tt y = − x3 + 3x − ( C ) với đồ thị ( C) Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx + ( Cm ) thẳng d : x + y + = góc α , biết ( C) Tìm m để đồ thị hàm số cosα = 26 ( Cm ) có tiếp tuyến tạo với đường x −1 x − Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần Bài Hàm số: lượt hai điểm phân biệt A, B khác gốc toạ độ O cho OA = OB y= ... 5) y = cos x sin x y= 36) y= (2x+3)10 40) y= x + x 41) y= x (x2- x +1) Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx y = cos x − cos3 x 2) y = cos (x3) 6) 3) y = x.cotx 4) y = (1 + cot x... 1+ x 1− x y= 42) y = π y = cot (2x + ) 9) y = sin (cos x) 1− x x (x2- x +1) 10) 11) y = cot + x 12) y = sin x sin 3x 20) tan (cos x) 6) 6) y = + tan x cos x y=− + cot x 3sin3 x 7) 9) y = sin... 2sin x 20) y = f(x) = cos 2x sin(xπ+/ 3) 21)y = sin x − cos x g ( x) = cos x Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x) = sin x + cos x Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x) (∀x ∈ R) Bài 5: Cho y = x − x +