SỞ GDĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2 THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 LẦN 2 NĂM HỌC 2016– 2017 Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1(6,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) b) Câu 2(5,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp. Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát theo n. Câu 3(5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a (a>0). Lấy M thuộc AB, P thuộc CD sao cho AM=DP = . Mặt phẳng (α) chứa MP và song song với AC cắt tứ diện theo một thiết diện. Trình bày cách xác định thiết diện
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 LẦN NĂM HỌC 2016– 2017 TRƯỜNG THPT NGHI LỘC Môn thi: TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1(6,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 4sin b) x 3π − cos x = + 2cos ( x − ) 5x2 − x + 5x − = Câu 2(5,0 điểm) a) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp A = {1;2; ;20} Tính xác suất để ba số chọn hai số tự nhiên liên tiếp b) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un+1 = 2un + 3n , ∀n ∈ ¥ * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n Câu 3(5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a (a>0) Lấy M thuộc AB, P thuộc CD cho AM=DP = a Mặt phẳng (α) chứa MP song song với AC cắt tứ diện theo thiết diện a Trình bày cách xác định thiết diện b.Tính diện tích thiết diện Câu 4(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm M thuộc cạnh AB cho AM=2MB Biết B(6;4), phương trình CM: x + y − = 0, điểm D thuộc d: x − y + = Tìm tọa độ đỉnh A, C D Câu 5(2,0 điểm) Cho ba số thực dương thay đổi a, b, c thỏa mãn: a + b + c ≥ (a + b + c ) ab + bc + ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a (a − 2b + 2) + b(b − 2c + 2) + c(c − 2a + 2) + …………….Hết…………… abc Hd chấm Câu Đáp án a) (3,0 điểm) 4sin (6,0đ) Điểm x 3π − cos x = + 2cos ( x − ) (1) Phương trình cho tương đương với 2(1 − cos x) − cos x = + + cos(2 x − 3π ) 0,5 ⇔ −2cos x − cos x = − sin x 0,5 ⇔ sin x − cos x = cos x 2 0,5 π ⇔ sin(2 x − ) = cos x 0,5 π π ⇔ sin(2 x − ) = sin( − x) 0,5 π π 5π 2π x − = − x + k 2π x = 18 + k ⇔ ⇔ ( k ∈ ¢ ) π π π x − = + x + k 2π x = + k 2π 0,5 b) (3,0 điểm) Điều kiện xác định: x − ≥ 5x2 − (t ≥ 0) Ta có x = 6t + Đặt t = 0,5 Phương trình cho trở thành x + 6t + − = t ⇔ x + 6t + = (t + 1) 3 ⇔ x = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x + 1,0 x ≥ −1 x ≥ −1 5x2 − ⇔ = x + ⇔ 5x2 − ⇔ 2 x + 12 x + = = ( x + 1) 0,5 ⇔ x = −6 + 28 (tm đk) Vậy phương trình cho có nghiệm x = −6 + 28 0,5 a) (3,0 điểm) 0,5 Số cách chọn ba số đôi khác từ tập A C203 = 1140 cách 0,5 Số cách chọn ba số liên tiếp 18 cách 0,5 Số cách chọn ba số có hai số liên tiếp 17*2+17*16=306 1,0 Vậy xác suất cần tìm 1140 − 18 − 306 816 68 = = 1140 1140 95 1,0 b) (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, un +1 = 2un + 3n , ∀n ∈ ¥ * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n Với n ∈ ¥ * , ta có 0,5 un +1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = 2(un − 3n ) Xét dãy số (vn ), với = un − 3n , ∀n ∈ ¥ * Ta có: +1 = 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có công bội q = số hạng đầu −2 (2,0đ) 0,5 Suy = v1.q n−1 = −2n 0,5 Vậy un = + 3n = 3n − 2n 0,5 M thuộc cạnh AB cho AM = MB Biết B(6;4), phương trình CM: x + y − = 0, điểm D thuộc d: x − y + = Tìm A, C, D A M B I Gọi I giao điểm BD CM Ta có D uuur uur DI DC = = ⇒ BD = BI (1) BI BM C 0,5 I ∈ CM ⇒ I (t ;8 − t ) Từ (1), ta có: D(4t − 18;20 − 4t) Khi đó, D ∈ d ⇔ t = ⇒ D(0;2) uuur uuur C ∈ CM ⇒ C(c;8 − c);CB = (6 − c;c − 4),CD = ( −c;c − 6) 0,5 uuur uuur c = C(2;6) ⇒ Ta có: CB.CD = ⇔ c = C(6;2) uuur uuur Với C(2;6),AB = DC ⇒ A(4;0) 0,5 uuur uuur Với C(6;2),AB = DC ⇒ A(0;4) 0,5 (2,0đ) Từ giả thiết, ta có: (a + b + c) ≥ (a + b + c ) ab + bc + ca − 2(ab + bc + ca ) ⇔ (a + b + c + ab + bc + ca )(a + b + c − ab + bc + ca ) ≥ 0,5 a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ a + b + c ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ (b + c − a) ≥ 4bc (1) Vì vai trò a, b, c nên giả sử a = { a,b,c} Từ (1) ta có b + c − a ≥ bc 2 Khi đó, P = a + b + c − 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) + ≥ 2(a + b + c) + 1 = 2(b + c − a) + 4a + abc abc ≥ bc + bc + 4a + 0,5 abc 0,5 1 ≥ 4 bc bc 4a = abc abc Dấu xảy chẳng hạn a = b = , c = 2 Vậy giá trị nhỏ P 0,5 ... tập A C203 = 114 0 cách 0,5 Số cách chọn ba số liên tiếp 18 cách 0,5 Số cách chọn ba số có hai số liên tiếp 17*2+17*16=306 1,0 Vậy xác suất cần tìm 114 0 − 18 − 306 816 68 = = 114 0 114 0 95 1,0... uuur uuur Với C(2;6),AB = DC ⇒ A(4;0) 0,5 uuur uuur Với C(6;2),AB = DC ⇒ A(0;4) 0,5 (2,0đ) Từ giả thi t, ta có: (a + b + c) ≥ (a + b + c ) ab + bc + ca − 2(ab + bc + ca ) ⇔ (a + b + c + ab + bc