luyện thi thử HSG toán 9

Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề I: Bài 1: Rút gọn biểu thức: + 6 1 12 5 3 1 3 1 23 1 + Bài 2: Biết x;y;z 0 và = ++ ++ 222 )( zyx czbyax a 2 + b 2 + c 2 Chứng minh rằng: z c y b x a == Bài 3: Cho phơng trình bậc hai 2x 2 + 6x + m = 0.Với giá trị nào của m thì phơng trình có 2 nghiệm. Phân biệt x 1 x 2 thoả mãn 1 2 2 1 x x x x + 2. Bài 4: .Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình. m x + 4 y = m + 2 x + my = m Có nghiệm duy nhất (x;y) với x,y là các số nguyên. Bài 5: Giải phơng trình: 54 2 + xx = 22 x + x - 1 Bài 6: Cho parbol y = 1/2 x 2 và điểm I (0;2). M(m;0) a. Viết phơng trình đờng thẳng MI. b. Chứng minh đờng thẳng MI luôn cắt parbol tại hai điểm phân biệt. Bài 7: Cho a,b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: 22 11 baab + + 6 Bài 8: Cho tam giác ABC phân giác BE, CF cắt nhau ở O và 2 1 . = CF CD BE BD chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Đờng trung trực của AB cắt BC ở K. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACK. Bài 10: Cho đờng tròn (O) và một điểm P cố định ở bên ngoài đờng tròn .Một cát tuyến thay đổi qua P cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 1 Đáp án đề I:(Toán 9) Bài 1:(2đ) Ta có : 6 1 12 5 = 6 6 12 5 = 12 625 = 32 )23( = 32 23 (1.0đ) Vậy . 3 1 3 1 23 1 6 1 12 5 3 1 =++ 32 23 + 3 1 23 1 + = 6 23 + 6 2 + 3 3 = 6 33 = 2 3 (1.0đ) Bài 2 : :(2đ) Từ (gt) = ++ ++ 222 2 )( zyx czbyax a 2 + b 2 + c 2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + 2axby + 2 acxz + 2bcyz = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + a 2 y 2 + a 2 z 2 + b 2 x 2 + b 2 z 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 (0.5đ) (a 2 y 2 - 2abxy + b 2 x 2 ) + (a 2 z 2 - 2acxz + c 2 x 2 ) + (b 2 z 2 - 2bcyz + c 2 y 2 ) = 0 (0.5đ) (ay - bx) 2 + (az - cx) 2 + (bz- cy) 2 = 0 (0.5đ) ay -bx = 0 y b x a = az - cx = 0 z c x a = z c y b x a == (0.5đ) bz - cy = 0 z c y b = Bài 3 : :(2đ) Để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ta phải có: > 0 9 - 2m > 0 m < 2 9 (0.5đ) 1 2 2 1 x x x x + 2 21 21 2 2 1 2 2 xx xxxx + 21 2 21 )( xx xx + 0 (0.5đ) Vì : (x 1 - x 2 ) 2 0 với mọi x 1 x 2 do đó 21 2 21 )( xx xx + 0 x 1 x 2 0 (0.5đ) Theo viet ta có: x 1 x 2 = 2 m . Nên x 1 x 2 > 0 2 m >0 m > 0 Vậy giá trị của m cần tìm là: 0 < m < 9/2 (0.5đ) Bài 4: :(2đ) Ta có: m x + 4 y = m + 2 x + my = m m x + 4 y = m + 2 x = m - my m (m - my) + 4y = m +2 x = m - my m 2 - m 2 y + 4 y = m + 2 x = m - my (0.5đ) 2 (m - 2) (m + 2) y = (m + 1) (m +2) (*) x = m - my Để có nghiệm duy nhất thỳ pt (*) có nghiệm duy nhất. (*) có nghiệm duy nhất (m -2) (m + 2) 0 m 2 và m - 2 Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là: ( x = 2+m m ; y = 2 1 + + m m ) (0.5đ) Ta có; x = 2+m m = 1 2+m m và y = 1 - 2 1 +m Để x nguyên thì m + 2 là ớc của 2. m + 2 = 2 m = 0 m + 2 = -2 m = -4 m + 2 = 1 m = -1 m + 2 = -1 m = -3 (0.5đ) Để y nguyên thì m + 2 là ớc của 1 ta có: m + 2 = 1 m = -1 m + 2 = -1 m = -3 Vậy để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x,y là các số nguyên thì m = -1 hoặc m = -3. (0.5đ) Bài 5 : :(2đ) Điều kiện x 1 Ta có: 54 2 + xx = 22 x + x - 1 )5)(1( + xx = 22 x + x - 1 (0.5đ) đặt t = x - 1 t 0 khi đó phơng trình trở thành )6( +tt = t2 + t (0.5đ) t 2 + 6t = 2t + t 2 + 2t t2 2t = t t2 2t 2 = 4t 3 t 2 (t - 2) = 0 t = 0 hoặc t -2 = 0 (0.5đ) t - 2 = 0 t = 2 TMĐK t 0 Với t = 0 x - 1 = 0 x = 1 t = 2 x - 1 = 2 x = 3 Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x =3. (0.5đ) Bài 6: :(2đ) a. Giả sử đờng thẳng MI có pt là y = ax + b (0.25đ) Ta có 2= a. 0 +b 0= a. m +b b = 2 a = -2/m (0.5đ) Vậy đờng thẳng MI có pt là : y = - m 2 x + 2 (D). (0.25đ) b. Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: 3 m 2 2 = - m 2 x + 2 mx2 + 4x - 4m = 0. (0.5đ) = 4 + 4m 2 > 0 với mọi m. Vậy (D) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt. (0.5đ) Bài 7: :(2đ) Trớc hết ta c/m bất đẳng thức: yx 11 + yx + 4 Ta có: (x + y) 2 4yx xy yx + yx + 4 yx 11 + yx + 4 (0.75đ) Với a,b>0 ta có: 22 11 baab + + 22 2 4 baba ++ = 2 )( 4 ba + = 4 (0.5đ) ab 1 . 2 1 2 )( 4 . 2 1 ba + = 4 22 1 2 1 baab + + + ab2 1 4 + 2 (0.5đ) Vậy 22 11 baab + + b (0.25đ) Bài 8 : :(2đ) Đặt BC = a; AC = b; AB = c áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: CE AE BC AB = CE = ca ab ACBC ACBC + = + . (0.5đ) b ca CE BC OE BD + == (0.5đ) cba ca DE BD ++ + = ; cba ba CF CD ++ + = (0.5đ) A E F O B C Từ gt suy ra: 2 1 )( ))(( 2 = ++ ++ cba baca (a +b + c) 2 = 2 (a 2 +ab + ac +bc) a 2 = b 2 + c 2 vậy ABC là vuông (0.5đ) Bài 9: :(2đ) Kẻ tiếp tuyến AB . (0.5đ) Ta có: CAB = AKC (1) (0.5đ) Các tam giác cân ABC; KBA có chung góc ở đáy B nên CAB = AKB tức là CAB = AKC (2) (0.5đ) Từ (1) và (2) CAB = CABtức là AB = AB vậy AB là tuyến tuyến A B B C K 4 O của đờng tròn. (0.5đ) Bài 10: :(2đ) Phần thuận : I là trung điểm của AB suy ra OI AB I nằm trên đởng tròn đờng kính OP. Giới hạn I phải nằm trên cung I 1 I 2 phía trong đờng tròn tâm O . Phần đảo : Lấy I tuỳ ý trên cung I 1 I 2 phía trong (O) thì I là trung điểm của dây cung A B thuộc cát tuyến PA B . Kết luận : Quỹ tích của I là cung I 1 I 2 thuộc đờng tròn đờng kính OP . 0,75đ I 1 B I 0,25đ O P 0,75đ 0,25đ I 2 5 A Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề II: Bài 1: Chứng minh rằng: 22 2006 1 2005 1 1 ++ là một số hữu tỷ. Bài 2: Biết 2 111 === cba và 2 111 222 === cba Chứng minh rằng: a + b + c = abc. Bài 3: Cho hai phơng trình: x 2 + ax + b = 0 (1) x 2 - cx - d = 0 (2) Và các hệ số a,b, c, d thoả mãn a(a - c) + c (c - a) + 8 (d - b) > 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm. Bài 4: Cho hệ phơng trình: x + ym = 2 mx + 2y = 1 Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) mà x > 0 và y > 0. Bài 5: Giải phơng trình: x 2 - 3 + 3+x = 0 Bài 6: Cho parbol y = 1/2 x 2 (p) và đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx + 2 1 a. Chứng minh rằng với mọi m đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. b. Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt M,N. Bài 7: Cho a 1; b 1. Chứng minh rằng: 1ba + 1ab < ab. Bài 8: Trong tam giác ABC. Đờng phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2cm; DC = 4cm. Đờng trung trực của AD cắt đờng thẳng BC ở K tính độ dài KD. Bài 9: Hình thang ABCD (AB//CD) có BD 2 = AB . CD. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC. Bài 10: Cho đờng tròn (o; R) cố định và điểm A cố định thuộc đờng tròn, B là điểm di động trên đờng tròn. Tìm qỹ tích các điểm M sao cho B là trung điểm của AM. 6 Đáp án đề II Bài 1: :(2đ) Ta có : 22 2006 1 2005 1 1 ++ = 22 2006 1 2005 1 1 ++ + 2005 2 2005 2 + 2006 2 2006 2 (0,5đ) = 22 2006 1 2005 1 1 ++ + 2006.2005 2 2005 2 - 2006 2 (0,5đ) = ( 22 2006 1 2005 1 1 + ) 2 (0,5đ) Vậy 22 2006 1 2005 1 1 ++ = 2 22 ) 2006 1 2005 1 1( + = 22 2006 1 2005 1 1 + là số hữu tỷ. (0,5đ) Bài 2 : :(2đ) Từ (gt) 2 111 =++ cba 4) 111 ( 2 222 =++ cba (0,5đ) ) 4 111 2 111 222 = +++++ bcacabcba (0,5đ) mà =++ 222 111 cba 2 nên 1 111 =++ bcacab (0,5đ) 1= ++ abc cba a + b + c = abc (0,5đ) Bài 3 : :(2đ) Phơng trình (1) có: 1 = a 2 - 4b (0,5đ) 2 = c 2 + 4d 1 + 2 = a 2 + c 2 + 4d - 4b 2 ( 1 + 2 ) = 2 (a 2 + c 2 ) + 8 (d -b) (0,5đ) Từ gt a (a - c) + c (c - a) +8 (d - b) >0 8 (d - b) > 2 ac - a 2 - c 2 2 ( 1 + 2 ) = 2 (a 2 + c 2 ) + 8 (d -b) > a 2 + c 2 + 2ac = (a + c) 2 (0,5đ) 2 ( 1 + 2 ) > 0 1 + 2 > 0 Vậy ít nhất một trong 2 biểu thức 1 hoặc 2 dơng, do đó ít nhất một trong 2 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. (0,5đ) Bài 4: :(2đ) x + my = 2 mx - 2y = 1 x = 2 - my m (2 - my) - 2 y = 1 x = 2 - my y= 2 12 2 + m m (0,75đ) (vì m 2 + 2 0 m) 7 x = 2 4 2 + + m m y = 2 12 2 + m m Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất (x = 2 4 2 + + m m ; y = 2 12 2 + m m ) (0,25đ) Để x > 0 2 4 2 + + m m > 0 m > - 4 (0,5đ) y < 0 2 12 2 + m m < 0 m < 1/2 (0,5đ) -4 < m <1/2 vì m Z nên m = -3 ; -2; -1; 0. Vậy giá trị cần tìm của m là: -3; -2; -1;0. (0,5đ) Bài 5 : :(2đ) Điều kiện x -3 Đặt u = 3+x (u 0) u 2 = x +3 (0,5đ) Ta có hệ phơng trình: u 2 = x +3 x 2 - 3 +u = 0 u 2 - x = 3 (1) x 2 + u = 3 (2) (0,5đ) Từ (1) và (2) ta có: u 2 - x 2 - x - u = 0 (u +x) (u - x- 1) = 0 u = - x hoặc u = x + 1 (0,5đ) Với u = - x ta có: x 2 - x -3 =0 x = 2 131 + hoặc x = 2 131 (loại) Với u = x +1 ta có: x 2 + x -2 =0 x = 1 hoặc x = -2 (loại) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 2 131 + ; x =1. (0,5đ) Bài 6: :(2đ) a. Từ pt của đờng thẳng (d) y = mx + 1/2 2y = 2mx + 1 Gọi C (x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của (d) C (d) với mọi M. (0,5đ) Ta có: 2y 0 = 2mx 0 +1 m 2x 0 m = 2y 0 +1m 2x 0 = 0 2 y 0 - 1= 0 x 0 = 0 y 0 = 1/2 Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C (0; 1/2) (0,5đ) b. Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: m 2 2 = mx + 2 1 x 2 -2mx -1 = 0 (1) (0,5đ) = m 2 + 1 > 0 Pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt do đó (p) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt M,N. (0,5đ) Bài 7: :(2đ) 8 Ta có: a 1 a - 1 0; b 1 b - 1 0 (0,5đ) áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm a -1 và 1 ta đợc: b 1a = b 1).1( a < b . 22 11 aba = + (0,5đ) Tơng tự: a 1b < 2 ab (0,5đ) Do đó: a 1b + b 1a < 2 ab + 2 ab = ab (0,5đ) Bài 8 : :(2đ) Ta có: KDA = KAB +BAD; KDA = DAC + C nên KAB = C (0,5đ) KAB BCA (g.g) AC AB KA KB = Mặt khác: 2 1 4 2 === CD BD AC AB (0,5đ) vậy KB = 1/2 KA do đó KB = 1/2KD Theo tính chất đờng phân giác: 2 1 === AC AB DC BD DC KB KB = 2 4 2 = DC = 2 (cm) (0,5đ) Vậy KD = 2KB = 2.2 = 4 (cm) A K B D C Bài 9: (2đ) Từ (gt) BD 2 = AB . CD BD AB CD BD = (1) (0,25đ) Gọi E là giao điểm của đờng tròn ngoại tiếp ABD với DC. vì BED là hình thang cân. Nên AD = BE ABD = BDE(2) (0,25đ) Từ (1) và (2) ABD BCD (c.g.c) DAB = DBC(3) (0,25đ) Kẻ tiếp tuyến AC với đờng tròn C BD = DAB(4) (0,25đ) Từ (3) và (4) DBC = DBC BC BC (0,5đ) vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC A B OO C D E C 9 O tiếp xúc với BC. (0,5đ) Bài 10: :(2đ) Phần thuận: Qua A vẽ đờng kính AOI vì A cố định nên I cố định. Nối I với M trong tam giác AIM có AB = BM và OA = OI nên OB là đờng TB của tam giác AIM. (0,5đ) IM = 2OB = 2R M chạy trên đ- ờng tròn tâm I bán kính 2R. (0,5đ) M B A I o Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc đờng tròn (I,2R) nối A với M rồi lấy B là trung điểm của AM trong tam giác AIM ta có B A = B M vào OA = OI nên OB là đờng trung bình của AIM Vậy OB = R RMI == 2 2 2 . Do đó B phải nằm trên đờng tròn (O;R) (0,5đ) Giới hạn: khi A Q thì B O ; khi A S thì B S Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm M khi B di động trên đờng tròn (O,R) là đờng tròn (I;2R) trong đó I là điểm đối xứng với A qua O. (0,5đ) Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề III: Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: M = x x x x 211 21 211 21 + ++ + Bài 2: Cho x + y + z = 1 và 0 111 === zyx Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Bài 3: Giả sử phơng trình bậc hai: x 2 + ax + b + 1= 0 có hai nghiệm nguyên dơng. 10 O [...]... 1 viết phơng trình đờng thẳng M,N b Xác định hàm số Iy = ax + b biết đồ thi (D) của nó song song với MN và chỉ cắt (P) tại một điểm Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của: x4 2x y= Bài 8: Cho tam giác ABC Có AB = 4cm ; AC = 6cm đờng phân giác AD Điểm O chia trong AD theo tỷ số 2:1 Gọi K là giao điểm của BD và AC, tính tỷ số AK:KC Bài 9: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi I là trung... Vậy AK 5 4 = 2 = KC 5 5 D C (0,5đ) Bài 9: (2đ) Vì C là điểm chính giữa của cung AB nên AEI = IEB 0,5đ IE là phân giác của AEB 0,5đ EA IA = =3 EB IB 1 R OK = OA = 3 3 Vậy DK = 2/3R C C 0,5đ A 0,5đ O B I K E D Bài 10: (2đ) C Phần thuận: Kẻ OCAB Ta có OC cố M định (0,5đ) Xét 2 OMN và CDP có MN = OP; OMN=MOC (sole) A OM = OC (0,5đ) N O B nên OMN = COP MNO = CPO = 90 0 (0,5đ) Vậy khi M chạy trên nữa đờng... nữa đờng tròn (O) thì (P) chạy trên đờng kính OC cố định (0,5đ) Phần đảo: Cho M là điểm bất kỳ trên đờng tròn đờng kính OC Nối OM cắt nửa đờng tròn (O) tại đờng tròn M Kẻ M N AB (0,5đ) 0 Ta có CP O = 90 Xét hai tam giác vuông OM N và COP bằng nhau(cạnh huyền = cạnh góc vuông M N= OM Kết luận: Vậy quỹ tích của P là đờng tròn đờng kính OC trong đó C là điểm chính giữa của nửa đờng tròn (O) (0,5đ) . Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề I: Bài 1: Rút gọn biểu thức: + 6 1 12 5 3 1 3 1 23 1 + Bài 2: Biết x;y;z 0. đờng kính OP . 0,75đ I 1 B I 0,25đ O P 0,75đ 0,25đ I 2 5 A Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề II: Bài 1: Chứng minh rằng: 22 2006 1 2005 1 1 ++ là một số hữu tỷ. Bài 2: Biết. tròn (I;2R) trong đó I là điểm đối xứng với A qua O. (0,5đ) Trờng THCS Vĩnh hng Đề luyện thi Môn Toán Lớp 9 Đề III: Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: M = x x x x 211 21 211 21 + ++ + Bài