On tap ung dung dao ham

Netschool.edu.vn S GIO DC V O TO HO BèNH TRNG THPT YấN THU C NGI THC HIN: Bựi Tun Anh HNG DN HC SINH TèM GI TR LN NHT, NH NHT BNG PHNG PHP O HM Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn NM HC 2010 2011 NI DUNG ễN TP TRONG TI LIU NY Chng ễn phng phỏp tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch kho sỏt trc tip hm s Chng H thng mt s dng toỏn tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng phng phỏp i bin s Chng H thng mt s dng toỏn tỡm GTLN, GTNN ca mt biu thc nhiu bin s bng phng phỏp i bin s Cỏc dng toỏn: a Cn c vo mi liờn h gia cỏc nhúm s hng biu thc phỏt hin cỏch i bin b Phng phỏp i bin s S = x + y, P = x.y i vi bi toỏn tỡm GTLN, NN ca biu thc i xng theo bin s x, y c Phng phỏp i bin s i vi biu thc i xng theo bin s x, y, z d Tỡm GTLN, NN qua biu thc trung gian (do biu thc ban u khụng cú du hiu i bin) CHNG ễN TP PHNG PHP TèM GTLN, GTNN CA HM S BNG CCH KHO ST TRC TIP HM S 1.1/ Phng phỏp gii bi toỏn: Tỡm GTNN, GTLN ca hm s y = f(x) trờn s D Phng phỏp chung - Lp bng bin thiờn ca hm s trờn s D Cn c vo bng bin thiờn kt lun Lu ý 1: Nu D l on [a; b] thỡ cú th lm nh sau: - Tớnh o hm y - Tỡm cỏc nghim ca y on [a; b], gi s cỏc nghim ny l x1, x2 - Tớnh f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: S ln nht (nh nht) cỏc s trờn l GTLN, (NN) ca f(x) trờn [a; b] Lu ý 2: Khi KL v GTLN, GTNN tỡm c phi nờu rừ nú t c x nhn giỏ tr no 1.2/ Bi t luyn - Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht nu cú ca cỏc hm s sau: f ( x) x x f ( x) x x Netschool.edu.vn f ( x) x x 2 Netschool.edu.vn f ( x) x 1 x f ( x) x x2 x f ( x) 2x x2 f ( x) sin x x, x ; 2 f(x)=5cosxcos5x, x 4 x , x 0; f ( x) x cosx+2sin y 2x 2x x x y x2 x x2 x 1, x 1;1 y x2 x 21 x2 3x 10 s inx+2cos CHNG H THNG BI TP TèM GTLN, NN CA HM S BNG PHNG PHP I BIN S 1.1/Phng phỏp gii Phng phỏp i bin s tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = f(x) (x thuc xỏc nh ca hm s hoc thuc mt s cho trc) Bc La chn cỏch t n ph t theo x Bc Chuyn K ca bin s x sang K ca bin s t Gi s tỡm c t K Bc Chuyn bi toỏn ban u thnh bi toỏn mi n gin hn C th l: Tỡm GTLN, GTNN ca hm s f(t) trờn s K 1.2/ Vớ d minh Trc tiờn s lu ý n sai lm m hc sinh thng gp gii mt bi toỏn bng phng phỏp i bin s núi chung, v bi toỏn tỡm GTLN, GTNN bng phng phỏp i bin núi riờng thụng qua vớ d sau: Vớ d Tỡm GTNN, GTLN ca hm s y sin x sin x sin x Sai lm thng gp t t t t t 2t Ta cú: f ' (t ) , f (t) = ; lim f ( x) (t t 1) t x t t = sinx, ta cú hm s theo t: f (t ) Bng bin thiờn ca hm s f(t) nh sau: t -2 f (t) + 0 - f(t) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn T BBT suy ra: M inf(t ) f (2) ; Maxf (t ) f (0) T ú cú GTNN, GTLN ca hm s ban u ln lt l v Phõn tớch sai lm Theo li gii trờn thỡ hm s f(x) nhn GTNN l khi: sinx = -2, iu ny khụng xy Mc dự ó la chn bin mi: t = sinx hp lớ nhng cha tỡm iu kin cho nú dn n bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca hm s theo bin s mi f (t ) t khụng tng thớch vi bi t t toỏn ban u (ngoi vớ d ang xột thỡ cỏc vớ d sau u phi lu ý iu ny) Li gii ỳng t t = sinx, iu kin t Bi toỏn quy v tỡm GTNN, GTLN ca hm s f (t ) t trờn on 1;1 t t Bng bin thiờn ca hm s f(t) trờn on 1;1 nh sau: t -1 f (t) + f(t) T bng bin thiờn suy GTNN, GTLN ca hm s f(t) trờn on 1;1 ln lt l (khi v ch t = -1) v (khi v ch t = 0) T ú cú: Maxy = t c v ch khi: x k , Miny = v ch khi: k Nhn xột Nu biu thc xỏc nh ca hm s cú th phõn chia thnh cỏc nhúm s hng v gia chỳng cú mt mi liờn h cho bi cỏc h thc toỏn hc cho phộp biu din chỳng qua thỡ ta cú th a bi toỏn ú v bi toỏn n gin hn bng phng phỏp i bin s Mi liờn h gia cỏc nhúm s hng biu thc xỏc nh hm s vớ d trờn l rừ rng d thy, iu ny giỳp ta phỏt hin cỏch i bin s khụng my khú khn, nhiờn cú nhng trng hp mi liờn h gia cỏc nhúm s hng c n kớn bờn trong, ũi hi nhiu phộp bin i v cú cỏch nhỡn tinh mi phỏt hin c Vớ d Tỡm GTNN v GTLN ca hm s y = sinx + cosx + sinx cosx Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Nhn xột v hng dn gii Xột mi liờn h gia hai nhúm s hng: sinx + cosx v sinx cosx, Chỳng cú mi liờn h vi bi h thc d thy sau (sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + 2sinx cosx, Nhn xột ú gi cho ta suy ngh, t n ph u sin x cos x sin x , vi iu kin ca bin s mi l u u2 u2 Khi ú sin x cos x v bi toỏn quy v tỡm GTNN, GTLN ca hm s f (u ) u 2 trờn on 2; Trờn on 2; d dng tỡm c GTNN, GTLN ca hm s f(u) ln lt l -1 (khi v ch u = -1) v (khi v ch u = 2 ) T ú cú GTNN, LN ca hm s ban u Vớ d 4 Tỡm GTNN, GTLN ca hm s y = sin x +cos x +sinx.cosx +1 Nhn xột v hng dn gii 2 Ta cú: sin4x + cos4x = sin 2 x v sin x cos x sin x T phõn tớch trờn ta thy nu t t = sin2x (iu kin t 1) ta cú hm s theo bin s t 2 sau: h(t ) t t V bi toỏn tr thnh tỡm GTNN, GTNN ca hm s h(t) trờn on [-1; 1] ỏp s: Maxy = Vớ d 17 k ; Miny = x k hoc x 12 12 x k (k Z ) Tỡm GTNN, GTLN ca hm s y x x ( x 1)(3 x) Nhn xột v hng dn gii Tp xỏc nh ca hm s l D 1;3 ý rng: x x ( x 1)(3 x) , Vỡ th nu t t x x thỡ g (t ) ( x 1)(3 x) t2 v ta cú hm s theo bin t sau: t2 t 2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn tỡm iu kin cho bin s t ta lu ý rng t ( x 1)(3 x) 4, x 1;3 , t ú suy t (hoc lp BBT ca hm s t ( x) x x trờn D 1;3 suy t ) t2 t trờn on 2; ỏp s: Maxy = x = 3; Miny = x 2 Bi toỏn quy v tỡm GTNN, GTLN ca hm s g (t ) BI TP T LUYN Tỡm GTLN, GTNN ca cỏc hm s sau bng phng phỏp i bin s: y= cos x cos x cos x y sin x cos x y cos x sin x sin x cos x y x6 x , x 1;1 y x3 1 x2 x x x x y 1 sin x cos x y = 3sin x 3cos x1 y = f(x)= (vi a l tham s) (cos x cos x) cos x y , vi x sin x(2cos x sin x) 4 2 y (4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos2 y 2(1 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x y = x x y sin x cos6 x a.sin x.cos x x x 8x 8x x 2x f ( x) x4 x2 x2 x2 x2 CHNG TèM GTLN, NN CA BIU THC Cể NHIU BIN S BNG PHNG PHP I BIN S 2.1/Phng phỏp gii tỡm GTLN, GTNN ca mt biu thc cú cha nhiu hn mt bin s no ú ta cú th dựng phng phỏp i bin s nh sau: Bc Biu din cỏc bin s ca biu thc ban u theo mt bin s mi Bc Tỡm iu kin cho bin s mi (da trờn iu kin ca cỏc bin s ban u) Bc Tỡm GTNN, GTLN ca hm s theo bin s mi tng ng vi iu kin ca nú Mt s bt ng thc c s thng s dng: 1/ Vi a, b, c bt k, ta cú: Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1/ a b 2ab /(a b) 4ab / 2(a b ) (a b) / a b c ab bc ca /( a b c) 3(ab bc ca) / 3( a b c ) (a b c) 2/ BT Cụsi - Vi a, b, c khụng õm, ta cú: a b ab , a b c 3 abc , a b c 27abc 2.2/ Vớ d minh a Cn c vo mi liờn h gia cỏc nhúm s hng biu thc phỏt hin cỏch i bin Vớ d Cho x, y, z l cỏc s dng Tỡm GTNN ca biu thc P xyz x yz xyz x yz Nhn xột v hng dn gii D thy x yz x y z xyz ta c biu thc theo bin s t l: , ú nu t t xyz xyz x yz P(t ) t t x y z 3 xyz 3 xyz xyz Do ú bi toỏn quy v tỡm GTNN ca hm s P(t ) t trờn khong 3; t t Vỡ P' (t ) 0, t nờn hm s P(t) ng bin trờn khong 3; t 10 T ú cú Min P(t ) P(3) , õy cng l GTNN ca biu thc P 3; p dng bt ng thc Cụsi cho ba s dng ta cú: t Vớ d Cho x, y khỏc Tỡm GTNN ca biu thc T x4 y x2 y x y y x4 y x2 y x Nhn xột v hng dn gii Ta cú: x2 y x y y x2 y x (2a) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 2 x y x4 y x2 y (2b) y x y x4 y x2 x y T (2a) v (2b) ta thy nu t t thỡ: T t 5t t , y x Cng t (2a) cú: t x2 y t y x2 Bi toỏn tr thnh: Tỡm GTNN ca hm s T (t ) t 5t t trờn D (; 2] [2; ) Ta cú: T ' ( x) 4t3 0t 4t (2t ) t6, ý rng t 0, x D nờn suy du ca T (t) trờn D v cú bng bin thiờn nh sau: t T (t) -2 - + T(t) -2 T bng bin thiờn suy GTNN ca T(t) trờn D l -2 v ch khi: t = -2 T ú cú: Min(T) = -2, t c v ch x = - y (x v y khỏc 0) Vớ d 1 Tỡm GTLN, NN ca H = x y Bit x, y tho iu kin x y x y Nhn xột v hng dn gii 1 Ta cú H = x y y x x y x y x ta cú hm s theo bin s t sau: H (t ) t t y x T iu kin rng buc x y ta suy ra: , ú t ;1 y 1 Bi toỏn tr thnh: Tỡm GTLN v GTNN ca hm s H (t ) t trờn on ; t t Vỡ H ' (t ) t ;1 nờn H(t) l hm s nghch bin trờn on ny t Vỡ th nu t t Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn T ú cú GTLN ca H(t) trờn on ; l khi: t = , cũn GTNN trờn on ny ca 2 H(t) bng khi: t = ỏp s: Max(H) = (x; y) = (1; 2) ; Vớ d Tỡm GTNN ca Q xy x y Min(H) = x = y (vi x, y 2) 1 vi x, y dng v x khỏc y x y Nhn xột v hng dn gii x y x2 y x y t t , thỡ theo t ta cú: Q(t ) Bin i: Q 2 t x y x y xy y x xy t y x y x xy x y Hn na d thy (vi x, y dng v x khỏc y) nờn ta cú t > y x Vỡ th quy v bi toỏn quen thuc: Tỡm GTNN ca hm s Q(t ) t trờn khong ; t t t 4t ' ' Ta cú Q' (t ) , Q ' ( t ) t BBT ca Q(t) trờn khong ; nh sau: (t 2) t Q (t) ' - + Q(t) T bng bin thiờn suy GTNN ca Q(t) trờn khong ; l Q(3) = ỏp s: Min(P) = t c v ch x2 + y2 3xy = Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn b Tỡm GTLN, NN ca biu thc M i xng vi bin x, y bit gi thit cho x, y tha mt ng thc no ú cng i xng vi x v y Cỏch gii: x y S (K S 4P ), xy P t Biu din gi thit M theo S v P (1) Biu din biu thc M theo S v P ri kt hp vi (1) biu din M theo bin S hoc P Tỡm K cho S hoc P (M theo bin no thỡ tỡm K cho bin ú) bng cỏch kt hp (1) v iu kin S 4P Tỡm GTLN, NN ca biu thc M vi iu kin tỡm c ca bin s tỡm c bc Lu ý: Cỏch tỡm K bc ch ỏp dng cho x, y bt k Vớ d nu gi thit cho thờm x > 0, y > thỡ phi lu ý S > v P > tỡm K cho chớnh xỏc Vớ d Cho x, y tho x + y = 1, Tỡm GTLN, GTNN ca M = (x3 + 1)(y3 + 1) Nhn xột v hng dn gii t S = x + y = 1, P = xy Ta cú: M = (xy)3 3xy (x + y) + (x + y)3 + = (xy)3 3xy + = P3 3P + Li cú = S2 4P suy ra: P Vy bi toỏn quy v tỡm GTNN, GTLN ca hm s M(P) = P3 3P + vi P Ta lp c bng bin thiờn ca M(P) trờn khong ; nh sau: P M(P) + M(P) -1 - 81 64 Netschool.edu.vn 10 Netschool.edu.vn T bng bin thiờn suy GTNN khụng tn ti cũn GTLN ca Q bng 4, t c v x y , gii h ta c x; y ; ; , 2 xy ch Vớ d Cho x, y tha x2 + y2 = 2, Tỡm GTLN, NN ca M = (x3 + y3) 3xy Nhn xột v hng dn gii Ta cú: M = 2(x + y)(x2 + y2 xy) 3xy = 2(x + y)(2 xy) 3xy (6a), Ngoi bin i gi thit ca bi toỏn ta cú: x2 + y2 = (x + y)2 2xy = (6b) Qua cỏc phõn tớch trờn thy rng nu t t = x + y s biu din c xy theo bin t, t ú biu din c biu thc M theo t Tht vy, t (6b) cú: xy ( x y)2 t , kt hp vi (6a) ta biu din c biu thc 2 ban u theo t l: M (t ) t t 6t x, y tn ti ta phi cú: (x + y)2 4xy nờn t2 2(t2 2) t ú cú t T ú cú GTNN, GTLN ca M (t ) trờn [-2; 2] l: Max(M) = 13 , Min(M) = -7 c Tỡm GTLN, NN ca biu thc M cú tớnh cht sau: Tớnh cht 1: M ph thuc vo i lng: x + y + z, xy + yz + zx hoc x2 + y2 + z2 Tớnh cht 2: Gi thit cho trc giỏ tr ca mt i lng: x + y + z, xy + yz + zx hoc x2 + y2 + z2 Cỏch gii: Gi s biu thc M cú mt i lng nờu trờn, ú cú th t mt hai i lng ca biu thc M l n ph t ri dựng gi thit ca bi toỏn ó cho v kt hp hng ng thc (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 2xy 2yz 2zx biu din i lng cũn li theo t Tỡm K cho t ta thng dựng mt ba BT sau: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx hoc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) hoc 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 Quy v bi toỏn n gin Vớ d Cho x, y , z tha x2 + y2 + z2 = Tỡm GTLN, NN ca R = x3 + y3 + z3 3xyz Nhn xột v hng dn gii Netschool.edu.vn 11 Netschool.edu.vn Ta cú: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy yz zx) = (x + y + z)(1 xy yz zx) Vit li gi thit ca bi toỏn thnh: (x + y + z)2 2(xy + yz + zx) = t t = x + y + z thỡ t (7b) ta cú xy + yz + zx = biu thc ban u theo t l: R(t) = (7a), (7b) t , kt hp vi (7a) ta biu din c (3t t3) D dng CM: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, t ú suy t suy t Tỡm GTLN, NN ca R(t) trờn on 3; , c: Max(R) = ; Min(R) = -1 d Trng hp biu thc ban u khụng cú du hiu i bin, ú quy v vic tỡm GTNN, GTLN bng cỏch i bin s i vi mt biu thc trung gian í tng: Nu tỡm GTLN, NN ca biu thc M khụng cú du hiu i bin s nhng ỏnh giỏ c M N thỡ thay vỡ tỡm GTLN, NN ca M ta i thc hin bi toỏn: tỡm GTLN, NN ca biu thc trung gian N Vớ d x y z Cho x, y , z > v x + y + z Tỡm GTNN ca M = x + y + z Nhn xột v hng dn gii Rừ rng khụng cú du hiu no biu din cỏc bin s ca biu thc cho bi toỏn theo mt bin s mi, ta s tỡm GTNN ca biu thc M ban u thụng qua vic tỡm GTNN ca mt biu thc trung gian T, biu thc ny c xỏc nh qua lp lun sau: + Trc ht theo BT Cụ si ta cú x y z M = x + y + z 3 xyz + tỡm T 3 xyz GTNN ca biu 3 , ng thc xy x = y = z (8a) xyz thc M ta i tỡm GTNN ca biu thc xyz t u 3 xyz thỡ vic tỡm GTNN ca biu thc T c quy v vic tỡm GTNN ca hm s trờn khong 0; (vỡ u 3 xyz x y z ) u 15 (u ) T D thy hm s T(u) nghch bin trờn khong 0; , nờn MinT (0; ] 2 2 T (u ) u Suy GTNN ca biu thc trung gian T l 15 (t c x = y = z) Netschool.edu.vn 12 Netschool.edu.vn Tc l T 3 xyz 3 15 , ng thc xy x = y = z (8b) xyz + T cỏc kt qu (8a) v (8b) suy GTNN ca biu thc M ban u l 15 t c v ch x = y = z Vớ d Cho cỏc s x, y , z thuc khong (0 ; 1) v tha xyz = (x 1)(y 1)(z 1) Tỡm GTNN ca biu thc N = x2 + y2 + z2 Nhn xột v hng dn gii Bin i gi thit: xyz = (x 1)(y 1)(z 1) xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do ú cú: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2(xy + yz + zx) = - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 4xyz (9a) x yz , t õy v (9a) suy ra: p dng BT Cauchy ta c xyz x yz N 2( x y z ) ( x y z ) , ng thc cú x = y = z (9b) 4t f (t ) t t = x + y + z (0 < t < 3) thỡ t (9b) ta cú: N 2t t 27 n õy, bng cỏch kho sỏt hm s ta c GTNN ca hm s f(t) trờn khong (0 ; 3) l 3 , t c v ch t T ú cú: Min(N) = , t c v ch x y z 4 Vớ d 10 Cho cỏc s thc dng tho món: x + y = Tỡm GTNN ca biu thc: P x y x y Nhn xột v hng dn gii Vỡ P > vi mi x, y > nờn P t GTNN v ch P2 t GTNN Kt hp vi gi thit x + y = 1, ta cú: P2 x2 y2 xy x2 y2 xy ( x y ) ( x y )3 3xy xy x y y x xy (1 x)(1 y ) x y xy 1 xy t f (t ) (t xy ) xy t T gi thit v BT ỳng ( x y)2 xy t xy Netschool.edu.vn 13 Netschool.edu.vn Chng minh c hm s f(t) nghch bin trờn on 0; , suy GTNN ca hm s ny 4 (chớnh l GTNN ca P2) l f ( ) , t ú cú kt qu bi toỏn BI TP Bi (PP th) 1/ Cho x + y = Tỡm GTLN, NN ca P = x3 + y3 + 3(x2 y2) + 3(x + y) 2/ Cho x, y v x + y = Tỡm GTNN ca P = 32x + 3y 3/ Cho x, y > v x + y =5/4 Tỡm GTNN ca P = x 4y 4/ Cho y 0, x2 x y 12 Tỡm GTLN, NN ca: xy + x + 2y +17 Bi (Da vo tớnh ng cp) 1/ Tỡm GTLN v GTNN ca M x2 xy y bit: a x2 xy y b x2 xy y 2/ Cho x2 + y2 = Tỡm GTNN, GTLN ca P 2( x xy ) xy y Bi (Du hiu i bin n gin) 1/ Cho x, y > Tỡm GTNN ca P xy x y xy x y x y Tỡm GTNN ca biu thc H y x y 3/ Cho x, y dng v x y Tỡm GTLN, NN ca: C xy xy 2/ Cho cỏc s dng x, y tha: x Bi (i bin s S = x + y, P = xy vi K S2 >= 4P hoc S = x2 + y2, P = xy K S2 >= 4P2) 1/ Cho cỏc s dng x v y tho x + y = Tỡm GTLN v GTNN ca cỏc biu thc sau: a A 1 , x y xy b B x y , y x c D = x2y2(x2 + y2) 2/ Cho x, y khỏc tho món: xy(x+y) = x2 + y2 - xy Tỡm GTLN ca N 3/ Cho s x, y tha món: y2 = x(x y) Tỡm GTLN, NN ca F = 1 3 x y x6 y x3 y y x 4/ Cho cỏc s thc khụng õm x, y khụng õm v tha x + y = Tỡm GTNN, GTLN ca: S 4x 3y 4y2 3x 25xy 5/ Cho x, y > tha x2y + y2x = x + y + 3xy Tỡm GTNN: A x y (2 xy 1) xy 6/ Cho x, y tha x2 + y2 + xy = Tỡm GTNN ca N = x3 + y3 3x 3y 7/ Cho x, y khụng õm v x2 + y2 + xy =3 Tỡm GTLN, NN ca P = x3 + y x2 y2 x4 y 8/ Cho x, y > v x - xy + y = Tỡm GTLN, GTNN ca P = 2 x y 2 9/ Cho x, y tha x2(2x2 1) + y2(2y2 1) = Tỡm GTLN, NN ca: P = x2(x2 4) + y2(y2 4) + Netschool.edu.vn 14 Netschool.edu.vn 2(x2y2 4) 10/ Cho x, y tha 2(x2 + y2) = xy + Tỡm GTLN, GTNN ca P = 7(x4 + y4) + 4x2y2 11/ Cho x, y l hai s thc dng tha x y Chng minh: x y 12/ Cho x, y dng v xy + x + y = CMR: 3x 3y xy x2 y y x x y Bi (PP Th) Cho x, y, z tha x + y + z = v x2 + y2 + z2 = Tỡm GTLN ca M = x5 + y5 + z5 Bi (i bin) x2 y2 1/ Cho x, y > v x + 2y xy = Tỡm GTNN ca M = 8y x 2/ Cho a, b -1 Tỡm GTLN ca: P = a b 3/ Cho cỏc s thc x, y tho món: x x y y Tỡm GTLN, GTNN ca x + y x 4/ Cho s x, y tha món: x + 4y = Tỡm GTLN, NN ca M = y x y x y 2 5/ Cho cỏc s x, y tha: x2 + xy + 4y2 = Tỡm GTLN, NN ca biu thc P = x3 + 8y3 9xy Bi 1/ Cho cỏc s thc x, y, z thay i tho ng thc x2 + y2 + z2 =1.Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc P = x + y + z + xy + yz + zx 2/ Cho x, y, z khụng õm v x2 + y2 + z2 = Tỡm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx + 3/ Cho x, y, z > v x + y + z = Tỡm GTNN ca M = x y z x yz xy yz zx x2 y z Bi (ỏnh giỏ trung gian) 1/ Cho x, y tha (x 4)2 + (y 4)2 + 2xy 32 Tỡm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy 1)(x + y 2) 2/ Cho x, y, z > v x + y + z = Tỡm GTNN ca P = 2(x2 + y2 + z2) 4xyz 9x + 2012 3/ Cho x, y > v x + y Tỡm GTNN ca A x y xy 1 x y x y xy Netschool.edu.vn 15 Netschool.edu.vn 4/ Cho cỏc s thc x, y thay i v tho x y Tỡm GTNN ca: A x y4 x y2 x y2 5/ Cho x, y, z > v cú tng bng Tỡm GTNN ca: Q x y z y z x 6/ Cho x, y, z > v x + y + z = Tỡm GTNN ca cỏc biu thc: x y 1 v B = x y z z x y z 7/ Cho a, b, c > v a2 + b2 + c2 = Tỡm GTNN ca M = a + b + c + abc 1 36 8/ Cho ba s dng x, y, z CMR: 2 x y z x y y z x2 z 1 9/ Cho a, b, c > 0, CMR: a b c abc 18 xyz 10/ Cho x, y, z v tha x y z Chng minh rng xy yz zx xyz 18 xyz 11/ Cho x, y, z > v x + y + z = CMR: xy yz zx xyz A = xy yz zx 12/ Cho a, b, c > v a2 + b2 + c2 = CMR: Cho x, y, z số thực d-ơng Tìm GTNN biểu thức P a5 2a3 a b5 2b3 b c5 2c3 c b2 c a2 c2 a b2 Netschool.edu.vn xyz x yz xyz x yz 16 [...]... Min(M) = -7 2 c Tỡm GTLN, NN ca biu thc M cú 2 tớnh cht sau: Tớnh cht 1: M ph thuc vo 2 trong 3 i lng: x + y + z, xy + yz + zx hoc x2 + y2 + z2 Tớnh cht 2: Gi thit cho trc giỏ tr ca mt trong 3 i lng: x + y + z, xy + yz + zx hoc x2 + y2 + z2 Cỏch gii: 1 Gi s biu thc M cú mt 2 trong 3 i lng nờu trờn, khi ú cú th t mt trong hai i lng ca biu thc M l n ph t ri dựng gi thit ca bi toỏn ó cho v kt hp hng ng thc... ra 3 t 3 2 Tỡm GTLN, NN ca R(t) trờn on 3; 3 , c: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1 d Trng hp biu thc ban u khụng cú du hiu i bin, khi ú quy v vic tỡm GTNN, GTLN bng cỏch i bin s i vi mt biu thc trung gian í tng: Nu tỡm GTLN, NN ca biu thc M khụng cú du hiu i bin s nhng ỏnh giỏ c M N thỡ thay vỡ tỡm GTLN, NN ca M ta i thc hin bi toỏn: tỡm GTLN, NN ca biu thc trung gian N Vớ d 8 1 x 3 2 1 y 1 z Cho x,... tỡm GTNN ca biu thc 3 xyz t u 3 3 xyz thỡ vic tỡm GTNN ca biu thc T c quy v vic tỡm GTNN ca hm s 9 3 3 trờn khong 0; (vỡ 0 u 3 3 xyz x y z ) u 2 2 3 3 15 (u ) T D thy hm s T(u) nghch bin trờn khong 0; , nờn MinT 3 (0; ] 2 2 2 2 T (u ) u Suy ra GTNN ca biu thc trung gian T l 15 (t c x = y = z) 2 Netschool.edu.vn 12 Netschool.edu.vn Tc l T 3 3 xyz 3 3 15 , ng thc xy ra x... y 1 z Cho x, y , z > 0 v x + y + z Tỡm GTNN ca M = x + y + z Nhn xột v hng dn gii Rừ rng khụng cú du hiu no biu din cỏc bin s ca biu thc cho trong bi toỏn theo mt bin s mi, ta s tỡm GTNN ca biu thc M ban u thụng qua vic tỡm GTNN ca mt biu thc trung gian T, biu thc ny c xỏc nh qua lp lun sau: + Trc ht theo BT Cụ si ta cú 1 x 1 y 1 z M = x + y + z 3 3 xyz + tỡm T 3 3 xyz 3 GTNN ca biu 3... th t mt trong hai i lng ca biu thc M l n ph t ri dựng gi thit ca bi toỏn ó cho v kt hp hng ng thc (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 2xy 2yz 2zx biu din i lng cũn li theo t 2 Tỡm K cho t ta thng dựng mt trong ba BT sau: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx hoc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) hoc 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 3 Quy v bi toỏn n gin Vớ d 7 Cho x, y , z tha món x2 + y2 + z2 = 1 Tỡm GTLN, NN ca R = x3 +... Netschool.edu.vn Tc l T 3 3 xyz 3 3 15 , ng thc xy ra x = y = z (8b) xyz 2 + T cỏc kt qu (8a) v (8b) suy ra GTNN ca biu thc M ban u l 15 t c khi v ch khi 2 x = y = z Vớ d 9 Cho cỏc s x, y , z thuc khong (0 ; 1) v tha món xyz = (x 1)(y 1)(z 1) Tỡm GTNN ca biu thc N = x2 + y2 + z2 Nhn xột v hng dn gii Bin i gi thit: xyz = (x 1)(y 1)(z 1) xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do ú cú: N = x2 +... 2( x y z ) ( x y z ) 4 , ng thc cú x = y = z (9b) 3 4t 3 f (t ) t t = x + y + z (0 < t < 3) thỡ t (9b) ta cú: N 2 2t t 2 27 3 2 n õy, bng cỏch kho sỏt hm s ta c GTNN ca hm s f(t) trờn khong (0 ; 3) l 3 3 3 1 , t c khi v ch khi t T ú cú: Min(N) = , t c khi v ch khi x y z 4 2 4 2 Vớ d 10 Cho cỏc s thc dng tho món: x + y = 1 Tỡm GTNN ca biu thc: P x y 1 x 1 y Nhn xột v hng dn gii... (1 x)(1 y ) 1 x y xy 1 1 2 xy 3 2 t 3 f (t ) (t xy ) xy t 1 4 T gi thit v BT ỳng ( x y)2 4 xy 0 0 t xy Netschool.edu.vn 13 Netschool.edu.vn 1 Chng minh c hm s f(t) nghch bin trờn on 0; , suy ra GTNN ca hm s ny 4 1 4 (chớnh l GTNN ca P2) l f ( ) 2 , t ú cú kt qu bi toỏn BI TP Bi 1 (PP th) 1/ Cho x + y = 1 Tỡm GTLN, NN ca P = x3 + y3 + 3(x2 y2) + 3(x + y) 2/ Cho x, y 0 v x... + yz + zx 2/ Cho x, y, z khụng õm v x2 + y2 + z2 = 3 Tỡm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx + 3/ Cho x, y, z > 0 v x + y + z = 3 Tỡm GTNN ca M = x 2 y 2 z 2 5 x yz xy yz zx x2 y 2 z 2 Bi 7 (ỏnh giỏ trung gian) 1/ Cho x, y tha (x 4)2 + (y 4)2 + 2xy 32 Tỡm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy 1)(x + y 2) 2/ Cho x, y, z > 0 v x + y + z = 3 Tỡm GTNN ca P = 2(x2 + y2 + z2) 4xyz 9x + 2012 3/ Cho x, y > 0 v x ... trờn on ; t t Vỡ H ' (t ) t ;1 nờn H(t) l hm s nghch bin trờn on ny t Vỡ th nu t t Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn T ú cú GTLN ca H(t) trờn on ; l khi: t = , cũn GTNN trờn on ny... trờn s D Phng phỏp chung - Lp bng bin thiờn ca hm s trờn s D Cn c vo bng bin thiờn kt lun Lu ý 1: Nu D l on [a; b] thỡ cú th lm nh sau: - Tớnh o hm y - Tỡm cỏc nghim ca y on [a; b], gi s cỏc... GTNN, GTLN ca hm s f (t ) t trờn on 1;1 t t Bng bin thiờn ca hm s f(t) trờn on 1;1 nh sau: t -1 f (t) + f(t) T bng bin thiờn suy GTNN, GTLN ca hm s f(t) trờn on 1;1 ln lt l (khi v ch t =