chuong 3 vec to quan he vuong goc

NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC TẬP ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com tailieutoanhoc7279@gmail.com 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] MỤC LỤC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN THỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Bài toán 02: THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƢỜNG THẲNG Bài toán 03: TÍNH GÓC GỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 11 Bài toán 04: TÌM TẬP HỢP HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MỘT ĐƢỜNG THẲNG HAY MỘT MẶT PHẲNG DI ĐỘNG 16 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 19 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng  α  vuông góc với đường thẳng nằm tromg  α  Vậy d   α   d  a, a  α  Điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  α  vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm tromg  α  d  a  d  b  a  α  a   α  ,b   α  a  b  M  d a Tính chất α M b  Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước  Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước Sự liên quan quan hệ song song quan hệ vuông góc  a b   α   b ( h1)    α   a a  b  a   α   a   b   α    α  β    a  β  (h3) a  α      α   β    α   a   α   β   a b ( h2) β  ( h4) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] a   α   a  b  a  α b    a  α    b  a (h5)  b   α   α  (h6) a b a a b β α α (h1) α (h2) (h3) a β a b b α α (h5) b' β a α (h4) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Phép chiếu vuông góc định lý ba đƣờng vuông góc 5.1 Định nghĩa : Cho đường thẳng d   α  d M Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng  α  gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  α  M' α 5.2 Định lí ba đƣờng vuông góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng  α  b đường thẳng không thuộc  α  đồng thời không vuông góc với  α  Gọi b' hình chiếu b  α  Khi a  b  a  b' 5.3 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng  α   Nếu d vuông góc với mặt phẳng  α  ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng  α  bẳng 900  Nếu d không vuông góc với mặt phẳng  α  góc d với hình chiếu d' α gọi góc đường thẳng d mặt phẳng  α  B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Phƣơng pháp: Muốn chứng minh đương thẳng d   α  ta dùng môt hai cách sau Cách Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt  α  d  a  d  b  a  α  a   α  ,b   α  a  b  I  Cách Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với  α   d a  d  α    α   a Các ví dụ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O có SA   ABCD Gọi H,K hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB,SC SD a) Chứng minh BC   SAB ,CD   SAD ,BD   SAC  b) Chứng minh SC   AHK  điểm I thuộc mặt phẳng  AHK  c) Chứng minh HK   SAC  HK  AI Lời giải a) Vì ABCD hình vuông nên BC  AB , lại có S SA   ABCD  SA  BC  BC  AB Vậy   BC   SAB   BC  SA I CD  AD Tương tự   CD   SAD  CD  SA K H D A Ta có đáy ABCD hình vuông nên BD  AC , BD  SA  BD   SAC O B C  BC   SAB   b) Ta có   BC  AH  AH   SAB  AH  BC  AH   SBC   AH  SC Vậy  AH  SB AK  SD  AK   SCD   AK  SC Tương tự  AK  CD SC  AH  SC   AHK  Vậy  SC  AK A   AHK    AI   AHK  AI  SC SC  AHK    SA  AB c) SA   ABCD    SA  AD Hai tam giác vuông SAB SAD ( có SA chung AB  AD ) suy SB  SD,SH  SK  SH SK   HK SB SD BD Mặt khác BD  AC  HK  AC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] HK  SC Vậy   HK   SAC  HK  AC  AI   SAC   HK  AI  HK  SAC     Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc O mặt phẳng  ABC  Chứng minh: a) BC   OAH  b) H trực tâm ΔABC c) 1 1    2 OH OA OB OC2 Lời giải OA  OB a) Ta có   OA   OBC   OA  BC 1 OA  OC  OH   ABC  Lại có   OH  BC   BC   ABC  A 2 H Từ  1   suy BC   OAH  b) Do OH   ABC  OH  AC  3 OB  OA  OB   OAC   OB  AC  OB  OC AC   OBH  AC  BH C O I   Từ     suy B  5 Lại có BC   OAH  AH  BC 6  Từ  5 ,   suy H trực tâm tam giác ABC  OI   OAH  c) Gọi I  AH  BC ,   BC  OI   BC   OAH  Ta giác OAI vuông O có đường cao OH nên ta có Tương tự cho tam giác OBC ta có 1   2 OH OA OI *  1 1 1 thay vào (*) thư      2 2 2 OI OB OC OH OA OB OC2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ví dụ Cho đường tròn  C  đường kính AB mặt phẳng  α  , đường thẳng d vuông góc với α A ; d lấy điểm S  A  C  lấy điểm M ( M khác A,B ) a) Chứng minh MB   SAM  b) Dựng AH vuông góc với SB H ; AK vuông góc với SM K Chứng minh AK   SBM  ,SB   AHM  c) Gọi I giao điểm HK MB Chứng minh AI tiếp tuyến đường tròn  C  Lời giải  SA   α  a) Ta có   SA  MB  MB   α  Lại có MB  MA 1   ( t/c góc chắn nửa đường tròn) Từ 1 ,   suy MB   SAM  S b) Ta có AK  SM , I MB   SAM ,AK   SAM   MB  AK H K M Suy AK   SBM   AK   SBM  Tương tự   AK  SB , SB  SBM     A B lại có AH  SB suy SB   AHK   AI   AHK  c) Ta có   AI  SB  SB   AHK   AI   α   AI  SA  SA  α      3   Từ  3 ,   suy AI   SAB  AI  AB hay AI tiếp tuyến đường tròn  C  Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A  1200 , cạnh BC  a Lấy điểm S   ABC cho SA  a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Chứng minh AO   SBC  Lời giải Để giải toán này, trước tiên chứng minh kết sau: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Trong không gian tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ( đường thẳng gọi trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đó) Chứng minh: Gọi M điểm cách ba đỉnh tam giác ABC O hình chiếu M  ABC  Δ Các tam giác vuông MOA,MOB,MOC có MO chung Vậy MA  MB  MC  OA  OB  OC  O tâm đường tròn ngoại M tiếp tam giác ABC Vậy tập hợp điểm M cách ba đỉnh tam giác đường thẳng vuông góc với mạt phẳng  ABC  tâm đường tròn ngoại tiếp tam C A giác ABC O B Quay lại toán Gọi M trung điểm BC , ta có ΔABC cân A  AM  BC S a BM AB    a Mặt khác AC  a sin 600 suy AS  AB  AC  a , điểm A cách ba đỉnh S,B,C O A ΔSBC , gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSBC AO C trục đường tròn ngoại tiếp ΔSBC suy AO   SBC  M B Bài toán 02: THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp: Để xác định thiết diện mặt phẳng  α  qua điểm O vuông góc d với đường thẳng d với hình chóp ta thực theo hai cách sau: Cách Tìm tất đường thẳng vuông góc với d ,  α  song song chứa đường thẳng ta chuyển dạng thiết diện song b O α I a song biết ( dạng 2, §2 chương II) Cách Ta dựng mặt phẳng  α  sau: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Dựng hai đường thẳng a,b cắt vuông góc với d có đường thẳng qua O ,  α  mặt phẳng mp  a,b  Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A,B với AB  BC  a,AD  2a ; SA   ABCD SA  2a Gọi M điểm cạnh AB ,  α  mặt phẳng qua M vuông góc với AB Đặt AM  x   x  a  a) Xác định thiết diện hình chóp cắt  α  b) Tính diện tích thiết diện theo a x Lời giải B   α   a) Ta có  BC  AB  BC  α  AB   A   α   Tương tự SA  AB  SA  α  AB   S α P N α I A D M K M   ABCD    Do  BC   ABCD    α    ABCD   MQ    BC  α  B C BC,Q  CD M   SAB    α      α    SAB   MN Tương tự SA   SAB    SA  α  N   SBC    α      α    SBC   NP  BC   SBC     BC  α  Q SA,N  SB BC,P  SC Thiết diện tứ giác MNPQ MQ BC  MQ b) Ta có  NP BC NP nên tứ giác MNPQ hình thang MQ AB  Mặt khác MN SA  MQ  MN suy thiết diện hình thang vuông M N SA  AB  SMNPQ   MQ  NP  MN GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] a) Ta có SH   ABCD  SH  AC S HK BD lại có   AC  HK AC  BD  AC   SHK  b) Dễ thấy ΔAHD  ΔDKC  AHD  DKC A mà AHD  ADH  900 K  DKC  ADH  900 hay DH  CK , mặt khác ta có H B J D SH  CK  CK   SDH  CK  SD C Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi H,K trực tâm tam giác ABC SBC Khẳng định sau a) AH,SK BC đồng qui A AH BC chéo B AH SK chéo C AH,SK BC đồng qui D AH,SK BC không đồng qui b) Khẳng định sau sai? A SB   CHK  B SB  HK C CH   SAB D Cả A, B, C sai C BC  HK D Cả A, B, C sai c) HK   SBC  Khẳng định sau sai? A HK   SBC  B BC   SAI  Bài làm: 33 a) Gọi I  AH  BC , để chứng minh AH,SK BC đồng qui S Ta cần chứng minh SI đường cao tam giác SBC , điều BC  SA BC  AI b) Ta có SB  CK CH  AB  CH   SAB   CH  SB thêm ta có  CH  SA K A Vậy SB   CHK  H b) Theo chứng minh ta có B C I GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] SB   CHK   SB  HK BC   SAI   BC  HK HK   SBC  Câu 34 Trong mặt phẳng  α  cho đường tròn đường kính cố định BC M điểm di động đường tròn Trên đường thẳng d vuông góc với  α  B lấy điểm A a) Khẳng định sau đúng? A mặt tứ diện ABMC tam giác vuông B mặt tứ diện ABMC tam giác vuông cân C tam giác ACM vuông A D tam giác ACM vuông cân M b) Gọi H,K hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? A AC   BHK  B BH  AC C A, B D.A, B sai c) Tìm tập hợp điểm H M di động A H thuộc đường tròn đường kính BK B H thuộc đường tròn đường kính AC C H thuộc đường tròn đường kính BM D H thuộc đường tròn đường kính AB d) Tìm vị trí M để đoạn AM lớn A M  C B M  B C M  H D M  K e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn A M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2  BC2 B M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2  BC2 C M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2  BC2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] D M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2  BC2 Bài làm: 34 AB  BM a) Ta có AB   α    suy tam giác ABM ABC vuông B AB  BC MC  MB Tiếp theo ta có   MC   ABM  MC  AB  MC  AM hay tam giác ACM vuông M A  BH  AM b) Ta có   BH   ACM   BH  MC K  BH  AC H AC  BH  Vậy   AC   BHK  AC  BK  C B c) Dễ thấy BK cố định BHK  900 nên điểm H thuộc đường M tròn đường kính BK Từ ta có tập hợp điểm M đường tròn đường kính BK d) MA2  AB2  BM2 mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn  BM  BC  M  C BH2  HK BK e) Ta có S BHK  BH.HK  không đổi nên  4 maxS BHK  Ta có BK BK  BH  HK , lúc ΔHBK vuông cân H nên BH  1 1 1   ;   2 2 BH BA BM BK AB BC2  1  1 1      nên   BC2  BM2 BA2 BM2 BA2 BC2  BA  MB  BA.BC 2BA2  BC2 Vậy maxS BHK  BK BA.BC  M giao điểm đường tròn đường kính   MB  2BA2  BC2 BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2BA2  BC2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAB tam giác SC  a Gọi H,K trung điểm cạnh AB AD a) Khẳng định sau sai? A SH   ABCD B SH  HC C A, B D A, B sai b) Khẳng định sau sai? A CK  HD B CK  SD C AC  SK D Cả A, B, C sai Bài làm: 35 a) Vì H trung điểm AB tam giác SAB nên S SH  AB Lại có SH  a a ,SC  a , HC = DH2  DC2  2 Do HC2  HS2  3a 5a   2a  SC2 4 A K D  ΔHSC vuông H  SH  HC H SH  HC  SH   ABCD  Vậy  SH  AB B C b) Ta có AC  HK AC  SH  AC   SHK   AC  SK Tương tự CK  HD ( 32) CK  SH  CK   SDH  CK  SD Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a,BC  a , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD  a a) Tính SA A SA  a B SA  2a C SA  3a D SA  4a b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB,CD I,J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K,L giao điểm K,L SB,SD với  HIJ  Khẳng định sau nhất? A AK   SBC  , B AL   SCD  C AK  SC D Cả A, B, C Bài làm: 36 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] a) ΔSBC vuông B  BC  SB mà BC  AD  BC   SAB  BC  SA S Tương tự ta có SA  CD nên SA   ABCD Ta có K  SB  SC2  BC2  a I L H SC  DS  DC2  a A D  SA  SB2  AB2  a J Vậy SA  a B C IJ  AC  IJ   SAC   IJ  SC b) Do  IJ  SA Lại có AH  SC   HIJ   SC  AK  SC Dế thấy BC   SAB  BC  AK 1 2  Từ 1 ,   suy AK   SBC  Lập luận tương tự ta có AL   SCD Câu 37 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  a,SA  a SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB AM  x   x  a  , mặt phẳng  α  qua M vuông góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S.ABC với  α  tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vuông C.hình thang D hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn A x  a B x    α   AB  SA Bài làm:37 Ta có   SA  AB a 3a D x  a   α   AB SA Tương tự   BC   BC  AB α C x  α M   SAB    α      α    SAB   MN Do SA   SAB    SA  α  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] M   α    ABC    BC   ABC    BC  α    α    ABC   MQ S P BC,Q  AC N   SBC    α      α    SBC   NP  BC   SBC     BC  α  N BC,P  SC C A Q M Thiết diện tứ giác MNPQ B b) Ta có MN SA,PQ SA  MN PQ MQ BC,NP BC  MQ NP nên MNPQ hình bình hành MN SA  Mặt khác NP BC  MN  NP Vậy MNPQ hình chữ nhật SA  BC  b) Ta có MQ  AM  x , MN MB MB.SA  a  x  a   MN    a  x SA AB AB a SMNPQ  MN.MQ   a  x  x  3[ maxSMNPQ  a2  a a2 x   ]  2 a a2 x  Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA   ABCD  SA  a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng  α  qua A vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện A S  a2 B S  a2 2 C S  a2 3 D S  4a 2 Bài làm: 38 Gọi K hình chiếu A SC K   α  Trong  SAC  gọi I  SO  AK Ta có S BD  SA    BD   SAC  BD  AC   BD  SC , mặt khác  α   SC nên BD I   α    SBD   Vậy  BD   SBD    BD  α  K α L I H B A O D HỆ 0946798489C 29 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]   α    SBD  HL BD,H  SD,L  SB Thiết diện tứ giác AHKL HL BD b) Do   HL  AK  S AHKL  AH.KL  BD  AK Ta có SA  AC  a  ΔSAC cân A , mà AK  SC nên K trung điểm SC  AK  HL BD  SC 2a  a 2 HL SH SI 2 2a     HL  BD  BD SD SO 3 2a a 2 Vậy SAHKL  a  3 Câu 39 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , đường cao SO  2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA' tam giác ABC Xét mặt phẳng  α  qua M vuông góc với AA' Đặt AM  x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt  α  Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A x  a B x  3a C x  3a D x  3a Bài làm: 39 Vì S.ABC hình chóp nên S SO   ABC  ( O tâm tam giác ABC ).Do SO  AA1 mà  α  AA1  SO α Tương tự ta có BC K α Trường hợp x  thiết diện điểm A A a Trường hợp  x  M thuộc đoạn AO  M  A C J I M O A1 Ta có : M   ABC    α      α    ABC   IJ  BC   ABC     BC  α  B BC,I  AB,J  AC M   α    SAA1      α    SAA1   MK Tương tự SO   SAA1    SO  α  SO,K  SA GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Thiết diện tam giác KIJ Trường hợp a a M thuộc đoạn x S OA  M  0;M  A F Tương tự trường hợp ta có: M   ABC    α    BC   ABC    BC  α  N E A J   α    ABC   IJ O BC, I  AB,J  AC M A1 I B M   α    SAA1     α    SAA1   MN SO   SAA1   SO  α  N   α    SBC      α    SBC   EF  BC   SBC     BC  α  SO,N  SA1 IJ,N  EF Thiết diện tứ giác IJEF Trường hợp x  a thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp: x   Std  , x  0x a  Std  a , SIJK  IJ.MK Ta có IJ Tương tự Vậy SIJK  BC  IJ AM x 2x    IJ  BC AA1 a 3 MK AM x    MK  2x SO AO a 3 2x 2x  2x a a , dễ thây IJEF hình thang nên SIJEF   IJ  EF  MN x 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31 C NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] 2x EF SN OM ,    IJ  BC SA1 OA1 a 3  EF  x  a a x  a x MN MA1    MN  3a  2x SO OA1 a  Vậy SIJEF       4x  3a 3a  2x Xét trường hợp ta thấy S td lớn trường hợp x 3a a a maxSIJEF  x 3a Câu 40 Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P  cạnh góc vuông tạo với  P  góc α,β Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P  Khẳng định sau nhất? A sin   2sin2 α  2sin2 β C sin   sin α  sin β B sin   sin2 α  sin2 β D sin   sin2 α  sin2 β Bài làm: 40 Kẻ CH   P  CKH góc CK  P  dễ thấy  CA, P  CAH  α, CB, P  CBH  β Đặt CH  h , ta có CA  AB2  CA2  CB2  h h ,CB  sinα sinβ h2 h2  sin α sin β C  1   h2    2  sin α sin β  A Xét tam giác ABC có CK.AB  CA.CB P H K B GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]  CK  CA.CB  AB  h sin α  sin β Ta có sinCKH  h h sin α sinβ  sin α  sin β    h  sin α sin β  CH  sin α  sin β CK Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O SO   ABCD , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng  ABCD   SBC  góc Gọi H hình chiếu A  SBC  a)Tính SA HB  A a a B a C a D a b) Tính góc đường thẳng SA với  ABCD A φ  arctan B φ  arctan C φ  arctan D φ  arctan Bài làm: 41 a) Dễ thấy  SA,  ABCD    SAO  φ nên SO  SAcosφ 1 S OI  BC  BC   SIO  Gọi I trung điểm BC ta có  SO  BC Kẻ OK  SI OK  BC nên OK   SBC  Kẻ At OK cắt CK H , ta có D  AH CK  AH   SBC  nên SA,  SBC   SAH  φ   CK   SBC   AH  SAcos φ  K H I O 2 A C B GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Từ 1 ,   ta có AH  SO Khi BH  a a a tam giác vuông HAB có AH  AB2  HB2  a     2 2 2 a  a  a a  SO  AH   SA  SO2  OA         2     a SO 3 b) tan φ     φ  arctan OA a 2 2 Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD , SC  a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng  ABCD   SAB  α β a) Tính SA A SA  a sinα B SA  acosα C SA  a tan α D SA  2a sinα b) Tính AB A a cos  α  β  cos α  β  B 2a cos  α  β  cos  α  β  C 3a cos  α  β  cos  α  β D a cos  α  β  cos  α  β  Bài làm: 42 a) Do SA   ABCD   SA,  ABCD  S  SAC  α  BC  AB  BC   SAB  Tương tự   BC  SA    SC,  SAB   SBC  β SA  SCsinα  asinα α b) SB  SCsinβ  asinβ D AB  SB  SA  a sin β  a sin α 2 β A 2 2 a C  cos 2β  cos 2α  2  a cos  α  β  cos  α  β  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34 B NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Câu 43 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi vuông góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A,B,C ba góc tương ứng tam giác ABC Đặt α  AOH,β  BOH,γ  COH Khẳng định sau nhất? A sin α sin β sin γ   sin A sin B sin C B sin 2α sin 2β sin 2γ   sin 2A sin 2B sin 2C C sin 2α sin 2β sin 2γ   sin A sin B sin C D sin α sin β sin γ   sin 2A sin 2B sin 2C Bài làm: 43 ( HS tự giải) Câu 44 Cho tứ diện ABCD có BDC  900 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC a) Tính CDA A CDA  600 B CDA  900 C CDA  450 D CDA  300 b)Khẳng định sau     A DA2  DB2  DC2   AB  BC  CA      B DA2  DB2  DC2   AB  BC  CA  C DA2  DB2  DC2   AB  BC  CA  D DA2  DB2  DC2   AB  BC  CA  Bài làm:44 2 D  BC  DH  BC   ADH  a) Vì   BC  AH  BC  DA 1 A Tương tự ta có  BDH  AC  DB  AC ,  DB  DC  DB   ACD    DB  AC  DB  DA  2 B H N M C Từ 1 ,   suy DA   BCD  DA  DC CDA  900 b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA,DB,DC đôi vuông góc GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có  AB  BC  CA   AB2  BC2  CA2  AB2  DA  DB2  Mà  BC2  DB2  DC2 nên  AB  BC  CA   DA2  DB2  DC2 CA  DA  DC2    Đẳng thức xảy AB  BC  CA  ΔABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D.ABC hình chóp đỉnh D Câu 45 Cho tứ diện OABC có cạnh OA,OB,OC đôi vuông góc M điểm thuộc miền tam giác ABC a) Tìm giá trị nhỏ T  A minT  MA2 MB2 MC2   OA2 OB2 OC2 B minT  D minT  C minT  b) Gọi H trực tâm tam giác ABC α,β,γ góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA,OB,OC Tìm giá trị lớn A  cot α cotβcot γ A max A  c) Tìm GTNN S  B max A  C max A  D max A  cosα  cosβ cosβ  cos γ cos γ  cosα   cos2 γ cos2 α cos2 β A minS  B S  C minS  D minS  Bài làm: 45 a) Gọi N  AM  BC , kẻ MM1 OA ta có O  OA   OBC   MM1   OBC    MM1 OA A1 kẻ MA1  OA,A1  OA Khi AM2  AA12  MA12  AA12  MO2  OA12  OM   AA1  OA1  AA1  OA1  A M1 B M  OM2  OA  OA  2OA1   OM2  OA2  2OA.OA1 Suy N C 2OA1 AM2 OM2   1 1 2 OA OA OA GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Tương tự gọi B1 ,C1 điểm tương tự A1 ta có 2OB1 MB2 OM2  1 OB OB2 OB2 2 2OC1 MC2 OM2   1 2 OC OC OC  3  1   OA1 OB1 OC1  Từ 1 ,   ,   ta có T  OM2     2   3 2   OA OB OC   OA OB OC  Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc  OA1 OB1 OC1  1 1 OM2 nên    T   2   3 2 2 OA OB OC OH OH  OA OB OC  Mặt khác OA1 NM SMBC   OA NA S ABC Tương tự OA1 OB1 OC1 OB1 SMAC OC1 SMAB nên   1  ,  OA OB OC OB S ABC OC S ABC Do T  OM2   OM  OH OH2 Vậy minT  M  H Cách Đặt OA  a,OB  b,OC  c Do A,B,C,M đồng phẳng nên tồn x,y,z cho OM  xOA  yOB  zOC x  y  z 1  Ta có AM  OM  OA   x  1 a  b  c , bình phương vô hướng ta AM2   x  1 a  y b2  z2c  Tương tự y b2 z c MA2  x      OA2 a2 a 2 MB2 x2a z2c MC2 x2a y2 b2   y   ,     z  1   2 2 OB b b OC c c  1 Vì T       a x2  b2 y2  c z2   b c  a 1 1    ax  by  cz    ( Theo Cauchy-Schwarz) b c  a Vậy minT  b) Dễ thấy α  AOH,β  BOH,γ  COH 2 1 1  OH   OH   OH      Ta có      1 2 2 OA OB OC OH  OA   OB   OC  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]  cos2 α  cos2 β  cos2 γ  1 Lại có  tan x  1 cot x  cos x   cos2 x  tan x  cot x *  Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị α,β,γ kết hợp với  1 thu cot β cot γ cot α    1  cot α  cot β  cot γ Đặt x  cot α,y  cot β,z  cot γ  x,y,z   toán trỏ thành Cho x,y,z  thỏa Ta có  y x z    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z y y x z x z     1   2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 x yz 1  y 1  z  yz  2  y  1  z  Tương tự ta có : 2 1 y xz  2  1 z 1  x 1  z  xy 1  x 1  y   4 Nhân theo vế BĐT   ,    ta xyz   dpcm  c) Tương tự câu b) ta có minS  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38 [...]... HỆ 0946798489 31 C NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] 2x 3 EF SN OM ,    IJ  BC SA1 OA1 3 a 3 3  EF  2 x 3  a a 3 6 x  a 3 x MN MA1   2  MN  2 3a  2x 3 SO OA1 a 3 6  Vậy SIJEF       2 4x 3  3a 3a  2x 3 3 Xét các trường hợp ta thấy S td lớn nhất trong trường hợp x 3a 2 a 3 a 3 và maxSIJEF  khi x 4 3 2 3a 3 8 Câu 40 Cho tam giác ABC tại C có cạnh huyền... 4 x  a 3 thì thiết diện là đoạn BC 2 b) Xét các trường hợp: x  0  Std  0 , x  0x a 3  Std  0 2 1 a 3 , thì SIJK  IJ.MK 2 3 Ta có IJ Tương tự Vậy SIJK  BC  IJ AM x 2x 3    IJ  BC AA1 a 3 3 2 MK AM x    MK  2x 3 SO AO a 3 3 1 2x 3 2x 3  2x 2 2 3 1 a 3 a 2 , dễ thây IJEF là hình thang nên SIJEF   IJ  EF  MN x 3 3 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31 C NGUYỄN... [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]   ab  a  2b2 2a 2  b2 2 Theo BĐT AGM ta có Vậy sin α   a ab 2  2b 2  2a 2 b 2   ab 3 4 a 2 b4 3 4 b2a 4  1 3 1 1 1  α  arcsin  maxα  arcsin khi a  b 3 3 3 Bài to n 04: TÌM TẬP HỢP HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MỘT ĐƢỜNG THẲNG HAY MỘT MẶT PHẲNG DI ĐỘNG Phƣơng pháp: Để giải các bài to n dạng này trước tiên ta cần nắm chắc lời giải của hai bài to n... x  a 3   MN    3 a  x SA AB AB a SMNPQ  MN.MQ  3  a  x  x  3[ maxSMNPQ  2 a2  a a2 3 x   ] 4  2 4 a a2 3 khi x  4 2 Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 2 Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng  α  đi qua A vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện A S  a2 2 3 B S  a2 2 2 C S  a2 3 3 D S  4a 2 2 3 Bài... O 2 A C B GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Từ 1 ,  2  ta có AH  SO 2 Khi BH  a a a 3 thì trong tam giác vuông HAB có AH  AB2  HB2  a 2     2 2 2 2 2 a 3  a 2  a 3 a 5  SO  AH   SA  SO2  OA 2         2 2  2   2  a 3 SO 3 3 b) tan φ   2   φ  arctan OA a 2 2 2 2 Câu 42 Cho hình... vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất A x  a 3 8 B x  3a 3 2 C x  3a 8 D x  3a 3 8 Bài làm: 39 Vì S.ABC là hình chóp đều nên S SO   ABC  ( O là tâm tam giác ABC ).Do đó SO  AA1 mà  α  AA1  SO α Tương tự ta cũng có BC K α Trường hợp 1 x  0 thì thiết diện là điểm A A a 3 Trường hợp 2 0  x  thì M thuộc đoạn AO  M  A 3 C J I M O A1 Ta có : M   ABC    α      α... 2 sin φ  π 1  33 ( do 0  φ  nên sin φ  0 ) 2 8  φ  arcsin 1  33 8 Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  là φ  arcsin 1  33 8 Ví dụ 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình vuông Tìm góc lớn nhất giữa đường thẳng BD1 và mặt phẳng  BDC1  Lời giải Cách 1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]...   SAA1      α    SAA1   MK Tương tự SO   SAA1    SO  α  SO,K  SA GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Thiết diện là tam giác KIJ Trường hợp 3 a 3 a 3 khi đó M thuộc đoạn x 3 2 S OA  M  0;M  A F Tương tự như trường hợp trên ta có: M   ABC    α    BC   ABC    BC  α  N E A J   α   ... 2 2a 2     HL  BD  BD SD SO 3 3 3 1 2a 2 a 2 2 Vậy SAHKL  a  2 3 3 Câu 39 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO  2a Gọi M là điểm thuộc đường cao AA' của tam giác ABC Xét mặt phẳng  α  đi qua M và vuông góc với AA' Đặt AM  x Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  α  Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x Xác định vị trí của M... Cả A, B, C đều sai Bài làm: 32 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] a) Ta có SH   ABCD  SH  AC S HK BD lại có   AC  HK AC  BD  AC   SHK  b) Dễ thấy ΔAHD  ΔDKC  AHD  DKC A mà AHD  ADH  900 K  DKC  ADH  900 hay DH  CK , mặt khác ta có H B J D SH  CK  CK   SDH  CK  SD C Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có SA ... NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Bài to n 03: TÍNH GÓC GỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phƣơng pháp: Để xác định góc đường thẳng a mặt phẳng  α  ta thực theo bước sau: A - Tìm giao...  cot φ  a  4sin2 φ  sinφ   sin φ  π  33 (  φ  nên sin φ  )  φ  arcsin  33 Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  φ  arcsin  33 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1 B1C1 D1... [CHƯƠNG III VECTO- QUAN HỆ VUÔNG GÓC]   ab  a  2b2 2a  b2 Theo BĐT AGM ta có Vậy sin α   a ab  2b  2a b   ab a b4 b2a  1  α  arcsin  maxα  arcsin a  b 3 Bài to n 04: TÌM