Tích phân liên kết b b a a Trong số toán tính tích phân I = ∫ f ( x)dx , ta tìm đến tích phân K= ∫ g ( x)dx tính I mối ràng buộc với K ( K gọi tích phân liên kết với I ) mI + nK = a Ta xác lập đẳng thức liên hệ I K : pI + qK = b Giải hệ phương trình ẩn I , K ta tính I K Ta thường gặp trường hợp : * I = K tính I+K từ suy I * K tính phân tính đơn giản , từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy I (và K) Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm bạn Thường biểu thức tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng bổ sung cho Chúng ta tìm hiểu qua số ví dụ : π Bài 1: Tính I = cos x.sin xdx ∫ Có thể tính trực tiếp tích phân – Một cách tính gián tiếp ? π ∫ cos x.cos xdx Vì sin x + cos x =1 , ta xét tích phân tương tự : K = π π Ta có : I +K = cos 2xdx = sin2x | = ∫ Mặt khác : K-I = π ∫ cos x(cos x − sin x)dx = (*) π ∫ cos 2xdx π π 1 π π = (1 + cos x)dx = ( x + sin x) |0 = ( + )= ( + ) (**) 4 ∫0 3 π Từ (*) (**) suy : I = ( − ) π Bài 2: Tính I = ∫ sin x dx sin x + cos x + π Xét toán (tích phân) tương tự : K = ∫ cosx dx sin x + cos x + Bằng phép thay biến x = π/2-t Ta có : dx =-dt , x = → t= π/2 , x = π/2→ t= Khi : I = = K π π cos x + sin x dx 1dx dx = π/2 Ta có : I + K = ∫ = ∫ - ∫ sin x + cos x + 0 sin x + cos x + π dx ∫ sin x + cos x + π π2 1 dx = dx Tính ∫ = ∫ sin( x + π / 4) + sin(π / 4) sin x + cos x + 1 π2 dx ∫ x π 2 sin( + )cos( x ) x π x cos[( + ) − ( )] π 1π 2 dx = [ cot( x + π ) + tan( x )]dx = = ∫ ∫ sin( x + π )cos( x ) 2 2 x π x [ ln sin( + ) − ln cos( )] |π0 /2 x π sin( + ) |π /2 = ln − ln = ln = ln x cos( ) ln Ta có : I=K I+K = ln2 → I=K = Chú ý : + Bạn không thay biến , tính I-K = = → I=K π cos3 x sin x dx Bài 3: I = ∫ 4 sin x + cos x π cos3 x sin x dx ta tính K = Nếu tính I = ∫ 4 sin x + cos x π sin x cos x dx ∫ 4 sin x + cos x Biểu thức K biểu thức I : sinx thay cosx cosx thay sinx Bằng phép thay biến x = π/2-t Ta cm I = K π π sin x cos x sin x dx dx Ta có : I+K = ∫ = ∫ 4 sin x + cos x + cos x Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx x = → t=1 , x = π/2 → t= -1 11 dt = = π/4 I+K = ∫ −1 + t Suy : I = π/8 Chú ý : (cos4x )’= -4 cos3xsinx - xét đến (sin4x )’= sin3xcosx Ta có: (sin4x + cos4x )’= - sin4x π π Khi : 4(I-K) = ∫ sin x dx = - ln( sin x + cos x )| π0 /2 = → I= K sin x + cos x dx Bài 4: I = ∫ x +3 0e e x dx 2x +3 0e * Chọn K = ∫ Ta có : 3I + K = ∫ dx = (1) * Tính K Để ý (e2x+3 )’= e2x 1 2e x dx 1 e2 + 2x = ln(e + 3) |0 = ln( ) (2) Khi : K = ∫ x e +3 2 1 e2 + Từ (1) (2) suy : I = − ln( ) x4 + I = dx Bài 5: ∫ x +1 Liên hệ đến đẳng thức : x6 +1 = (x2 +1) ( x4- x2 +1) , ta chọn x2 K =∫ dx x +1 1 x4 − x2 + 1 dx dx Ta có : I - K = ∫ = ∫ x +1 x +1 Đặt x = tant → dx = (1+tan2t)dt x = → t =0 , x = → t = π/4 π /4 π Khi : I-K = ∫ dt = x2 1 3x 1 K =∫ dx = ∫ dx = ln( x + 1) |10 = ln x +1 3 x +1 π suy : I = ln + Đây nội dung nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả tư linh hoạt bạn Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm Mời bạn giải số tập sau : Bài tập đề nghị : π Bài 1: a/ sin x.cos xdx ∫ π Bài 2: a/ ∫ π sin x dx cos x + sin x π Bài 3: a/ I = ∫ cos x dx cos x π b/ cos2 x.cos xdx ∫ π b/ sin 2012 xcos 2010 xdx ∫ π b/ ∫ 2sin x − 3cos x dx s inx + cos x + π c/ sin n xcos n + xdx ∫ 2sin x + dx Bài 4: a/ ∫ sin x + cos x + π 2sin x − 3cos x dx Bài 5: a/ ∫ s inx + cos x π sin x dx Bài 6: a/ * ∫ s inx + cos x π Bài a/ ∫ 1 dx x (1 + x ) + cosx dx π sin x − cos x + π cot x − tan x dx b/ ∫ π cotx + tan x π b/ ∫ π b/ ∫ x4 dx b/ ∫ + 2x −1 π cos5 x dx Bài : a/ * ∫ π sin x cos x dx sin x + cos x + 1 x 2e x dx c/ ∫ ( x + 2) π b/ * sin x dx π cosx ∫ Và bạn đề xuất thêm nhiều toán mà giải ta phải xét đến tích phân liên kết phải không Chúc bạn vui – thành công