Một số nội dung về đa giác và đa diện

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VŨ THỊ THU HẰNG MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI, 2016 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài B NỘI DUNG CHƢƠNG 1: ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1.1 Đa giác 1.2 Các tính chất đa giác 1.3 Phân hoạch – Sự đồng phân đa giác 10 1.4 Hàm diện tích, tồn hàm diện tích 13 1.5 Diện tích tính đồng phân 19 1.6 Tính diện tích đa giác 21 1.7 Diện tích hình phẳng 24 1.8 Tính chất diện tích 25 1.9 Bài tập 26 CHƢƠNG 2: ĐA DIỆN - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 27 2.1 Đa diện 27 2.2 Đa diện lồi định lý Đề Các- Ơle 28 2.3 Sơ lƣợc sơ đồ phẳng hình đa diện 33 2.4 Phân hoạch khối đa diện 35 2.5 Thể tích khối đa diện 35 2.6 Bài tập 41 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận em nhận nhiều giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy cô bạn bè Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Giáo dục Tiểu học thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tâm giảng dạy truyền thụ kiến thức quý báu để em hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm – Khoa Toán, thầy trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ bảo em suốt trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, thư viện nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tận tình để em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Thu Hằng LỜI CAM ĐOAN Để hoàn thành khóa luận này, nỗ lực thân, giúp đỡ tận tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm, em sử dụng số tài liệu tham khảo ghi mục “Tài liệu tham khảo” Nhưng em xin cam đoan khóa luận kết nghiên làm việc thân hướng dẫn thầy giáo Phạm Thanh Tâm Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Thu Hằng A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình học phổ thông với môn học văn, lịch sử, địa,… môn toán môn học quan trọng thiết thực học sinh So với môn học khác, môn toán môn học đòi hỏi học sinh phải tư tưởng tượng cao Hình học nội dung học tập khó chương trình giáo dục phổ thông nói chung bậc tiểu học nói riêng Học sinh lớp tiểu học có khả tưởng tượng chưa phát triển mức độ cao nên biểu tượng hình chữ nhật, hình vuông, hình tứ giác, hình bình hành,… chưa rõ nét Các em làm quen với hình học từ lớp với hình đơn giản hình tròn, hình vuông,… lên lớp cao nội dung hình học mà em học khó trừu tượng Từ lớp trở lên em bắt đầu học cách tính chu vi, diện tích thể tích số hình vuông, hình tam giác, hình lập phương số hình hộp Điều đòi hỏi em phải có tư trừu tượng trí tưởng tượng phong phú học tốt Mặt khác với em việc hiểu rõ chất công thức tính diện tích thể tích hình đa giác đa diện khó em trí tưởng tượng tư mang tính cụ thể Bởi có người giáo viên nắm vững kiến thức đa giác, đa diện truyền thụ cho học sinh hiểu điều Để nâng cao thêm hiểu biết thân giúp cho thầy cô giáo tiểu học nắm rõ đa giác đa diện, với niềm say mê hứng thú với toán hình giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm, giảng viên Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội Tôi định chọn đề tài “Một số nội dung đa giác đa diện” làm đề tài nghiên cứu Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu làm rõ số nội dung đa giác đa diện - Nhiệm vụ nghiên cứu: + Tìm hiểu số nội dung đa giác: Định lý Jordan, tính chất đa giác, phân hoạch đồng phân đa giác, diên tích đa giác, cách tính diện tích đa giác, tính chất diện tích + Tìm hiểu số nội dung đa diện: Định lý Jordan, phân loại đa diện, thể tích khối đa diện Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Một số nội dung đa giác đa diện - Phạm vi nghiên cứu: Định nghĩa đa giác đa diện, diên tích đa giác, thể tích khối đa diện Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, sách giáo trình - Sử dụng công cụ toán học Cấu trúc đề tài Chƣơng I: Đa giác, diện tích đa giác Chƣơng II: Đa diện – thể tích khối đa diện B NỘI DUNG CHƢƠNG ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1.1 Đa giác Định nghĩa 1.1.1 Đường gấp khúc n cạnh hình hợp thành n đoạn thẳng A1A2, A2A3,…, AnAn + 1, hai đoạn thẳng liên tiếp Ai – 1Ai AiAi + không nằm đường thẳng ( i = 2, 3,…, n) - Kí hiệu đường gấp khúc A1A2… An+1 - Các điểm Ai gọi đỉnh đường gấp khúc (có n + đỉnh), đoạn thẳng AiAi + gọi cạnh đường gấp khúc Từ định nghĩa ta suy hai cạnh liên tiếp Ai – 1Ai AiAi + có đỉnh chung Ai (xem hình 1) A2 A1 A4 A6 A5 A3 Hình Định nghĩa 1.1.2 Đa giác n cạnh đường gấp khúc n cạnh ( n ≥ 3) A1A2…An + cho đỉnh đầu A1 đỉnh cuối An + trùng nhau, cạnh đầu A1A2 cạnh cuối An An + ( coi hai cạnh liên tiếp) không nằm đường thẳng - Đa giác kí hiệu A1A2…An Đa giác n cạnh gọi n – giác - Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác , đoạn thẳng AiAi + gọi cạnh đa giác Góc Ai - 1Ai Ai + gọi góc đa giác đỉnh Ai ( xem hình 2) A2 A4 A3 A1 A1 A2 A5 A7 A8 A3 A4 A6 Hình Định nghĩa 1.1.3 Đa giác đơn đa giác mà cạnh không liên tiếp điểm chung (xem hình 3) A3 A4 A2 A1 A2 A5 A1 A3 A4 A6 Hình Định nghĩa 1.1.4 Đa giác đa giác có tất cạnh góc (xem hình 4) A2 A1 A1 A2 A4 A3 A32 A4 Hình Định lí 1.1.5 Cho H đa giác nằm mặt phẳng P tập P / H hợp hai tập hợp H H * có tính chất sau đây: i) Bất kì hai điểm thuộc vào hai tập hợp nối với đường gấp khúc điểm chung với H ii) Một đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai tập hợp H H * có điểm chung với H * iii) Tập H không chứa đường thẳng nào, tập H chứa đường thẳng Định nghĩa 1.1.6 Đa giác lồi đa giác mà nằm phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Hiển nhiên đa giác lồi đa giác đơn Định nghĩa 1.1.7 Tập H nói định lí Jordan gọi miền đa giác H Tập H * gọi miền đa giác H Mỗi điểm H gọi điểm đa giác H Mỗi điểm thuộc H * gọi điểm đa giác H Tập H H  P / H * gọi miền đa giác H Miền đa giác H kí hiệu  H  (xem hình 5) H H* H0 Hình Chứng minh định lí Jordan Ta chứng minh trường hợp H đa giác lồi Giả sử H đa giác lồi n cạnh Ta kí hiệu Si (i = 1, 2, …, n) n đường thẳng chứa cạnh H Vì H đa giác lồi nên H nằm phía Si Ta kí hiệu Si nửa mặt phẳng mở với bờ Si , chứa tập H / Si , Si* nửa mặt phẳng mở đối nửa mặt phẳng S i0 qua bờ chung đường thẳng Si , tức P  Si Si* (xem hình 6) Ta đặt: Si gian Trong trường hợp hai điểm A, B nằm Đ0 đoạn thẳng AB nằm Đ0 Định nghĩa 2.2.3 Định nghĩa Đề Các – Ơ le: Đối với khối đa diện ta kí hiệu Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt H đó, số   D   Đ – C + M gọi đặc số Ơ-le (còn gọi tắt đặc số) khối đa diện H Định lí 2.2.3.1 Mọi khối đa diện lồi có đặc số Chứng minh - Ta lấy sơ đồ phẳng D’ D Gọi Đ, C, M số đỉnh, số cạnh, số mặt D’ đặt   D ' = Đ – C + M, gọi   D ' đặc số sơ đồ D’ Ta phải chứng minh   D ' = (vì số đỉnh số cạnh D D’ nhau, số mặt D lớn số mặt D’ đơn vị) - Sơ đồ D’ xây dựng cách xuất phát từ sơ đồ đơn giản gồm đỉnh D’ bước bổ sung thêm cạnh D’ để tạo sơ đồ cuối sơ đồ D’ Có hai cách bổ sung thêm cạnh + Nối đỉnh cũ với đỉnh Khi ta sơ đồ có đặc số không thay đổi so với sơ đồ cũ, số đỉnh số cạnh tăng lên đơn vị, số mặt không thay đổi + Nối hai đỉnh cũ với Khi ta không làm thay đổi đặc số sơ đồ, số đỉnh giữ nguyên, số cạnh số mặt tăng lên đơn vị - Bằng cách bổ sung cạnh trên, cuối ta sơ đồ D’ mà đặc số đặc số sơ đồ xuất phát Nhưng sơ đồ xuất phát có đỉnh, cạnh mặt nên đặc số Vậy   D '  29 Định nghĩa 2.2.4 Một đa diện gọi đa diện Đ đa diện lồi có tính chất sau: i ) Các mặt đa giác có số cạnh p ii ) Mỗi đỉnh đỉnh chung q cạnh Nhận xét 2.2.5 p ≥ 3, q ≥ Mỗi hình đa diện gọi đa diện loại {p, q} Tứ diện đa diện loại {3, 3}, hình lập phương đa diện loại {4, 3} Định lí 2.2.6 Tồn loại hình đa diện Chứng minh Từ Đ đa diện lồi nên ta có: m + đ – c = (2.2.1) Theo định nghĩa đa diện (điều kiện i) ta có: mp = 2c (2.2.2) Theo định nghĩa đa diện (điều kiện ii) ta lại có: đq = 2c (2.2.3) Từ (2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) ta có: 2c 2c  c  p q  Từ (2.2.4): 1 1    p q c (2.2.4) 1   0 p q  1   p q Từ điều kiện q ≥  (2.2.5) 1  nên từ (2.2.5) ta có: q 30 1 1     p p q  1   p6 p Từ p  nên ta có: p {3, 4, 5} a) Trƣờng hợp 1: p = 3, thay vào (2.2.5) ta q {3, 4, 5) Do ta có khả sau: -) Khả 1: p = 3, q = thay vào (2.2.4) ta được: c = 6, đ = 4, m = (xem hình 21) Loại {3, 3}: Hình tứ diện Hình 21 -) Khả 2: p = 3, q = thay vào (2.2.4) ta được: c =12, đ = 6, m = (xem hình 22) Loại {3, 4}: Hình mặt Hình 22 31 -) Khả 3: p = 3, q = thay vào (2.2.4) ta được: c = 30, đ = 12, m = 20 (xem hình 23) Loại {3, 5}: Hình 20 mặt Hình 23 b) Trƣờng hợp 2: p = 4, thay vào (2.2.5) ta q < mà q  nên q = Thay vào (2.2.4) ta được: c = 12, đ = 8, m = (xem hình 24) Loại { 4, 3}: Hình lập phương Hình 24 c) Trƣờng hợp 3: p = 5, thay vào (2.2.5) ta q  10 mà q  3 nên q  Khi thay vào (2.2.4) ta được: c = 30, đ = 20, m = 12 (xem hình 25) 32 Loại {5, 3}: Hình 12 mặt Hình 25 Vậy có loại hình đa diện là: - Loại {3, 3} gọi hình tứ diện đều, có đỉnh, cạnh, mặt - Loại {4, 3} gọi hình lập phương, có đỉnh,12 cạnh, mặt - Loại {3, 4} gọi hình tám mặt đều, có đỉnh, 12 cạnh, mặt - Loại {5, 3} gọi hình 12 mặt đều, có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt - Loại {3, 5} gọi hình 20 mặt đều,có 12 đỉnh,30 cạnh, 20 mặt Năm khối đa diện kể nhà triết học toán học Pla-tông (427-347 trước Công nguyên) tìm ra, chúng thường gọi thể Platông Các khối đa diện theo thứ tự bảng Pla-tông coi tượng trưng cho lửa, đất, khí, vũ trụ nước 2.3 Sơ lƣợc sơ đồ phẳng hình đa diện Cho hình đa diện D, bỏ mặt H đánh số mặt lại Mi, gọi đỉnh D Đj, cạnh D Ck Ta giả sử mặt phẳng có hình D’ gồm đa giác M’ i đôi điểm chung, điểm Đ’j đoạn thẳng C’k thỏa mãn tính chất sau đây: Tính chất 2.3.1 Nếu cạnh Ck cạnh mặt Mi đoạn thẳng C’k cạnh đa giác M’i ngược lại 33 Tính chất 2.3.2 Nếu đỉnh Đj mút cạnh Ck điểm Đ’j mút đoạn thẳng C’k ngược lại Trong trường hợp hình D’ gọi sơ đồ phẳng đa diện D (ứng với mặt H bỏ đi) A A’ D’ B B’ D C’ C Hình 26: Sơ đồ phẳng tứ diện ứng với mặt ABC bỏ Định nghĩa 2.3.3 Một hình đa diện gọi đơn liên có sơ đồ phẳng Định lí: 2.3.4 Hình đa diện lồi đơn liên Chứng minh Ta chọn mặt H đa diện lồi D Lấy điểm O nằm D gần mặt phẳng chứa H Dùng phép chiếu tâm O, ta chiếu D lên mặt phẳng chứa H Có thể chọn O cho ảnh D qua phép chiếu hình [H] Điều có nghĩa đường thẳng nối O với đỉnh D cắt mặt phẳng chứa H điểm điểm H Khi dễ thấy ảnh mặt (trừ mặt H), cạnh đỉnh D sơ đồ phẳng D ứng với mặt H, (xem hình 27) Hình 27 34 Chú ý 2.3.5 Không phải đa điện có sơ đồ phẳng, tức có đa diện không đơn liên Ví dụ: (xem hình 28) Hình 28 2.4 Phân hoạch khối đa diện Định nghĩa 2.4.1 Hình đa diện D gọi phân hoạch thành hình đa diện D1, D2, …, Dn nếu: i ) Các đa diện Di điểm chung, nghĩa i ≠ j D0i ∩ D0j = Ø n ii )  D    Di  i 1 Định nghĩa 2.4.2 Hai đa diện gọi đồng phân chúng phân hoạch thành hình đa diện đôi Tính chất 2.4.3 Bất kì đa diện có phân hoạch thành hình tứ diện Tính chất 2.4.4 Hai đa diện đồng phân với đa diện thứ ba đồng phân với 2.5 Thể tích khối đa diện 2.5.1 Hàm thể tích Định nghĩa 2.5.1.1 Gọi Π tập hợp đa diện không gian, hàm V :    gọi hàm thể tích V thỏa mãn tính chất sau đây: i ) Nếu D D’ hai đa diện ( tức có phép đẳng cự biến D thành D’) V(D) = V(D’) 35 ii ) Nếu đa diên D phân hoạch thành đa diện D1, D2, …, Dn V(D) = V(D1) + V(D2) + … + V(Dn) iii ) Nếu U hình lập phương có cạnh V(U) = Khi giá trị V(D) gọi thể tích đa diện D, thể tích khối đa diện [D] Định lí 2.5.1.2 Hàm thể tích tồn 2.5.2 Thể tích khối đa diện 2.5.2.1 Thể tích khối hộp chữ nhật Giả sử ta có khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c số nguyên dương Khi đó, mặt phẳng song song với mặt khối hộp, ta phân chia thành khối lập phương có cạnh (xem hình 29) Hình 29 Hiển nhiên số khối lập phương tích số a.b.c Theo tính chất 2, thể tích V khối hộp chữ nhật tổng thể tích khối lập phương theo tính chất 3, khối lập phương tích Từ ta suy công thức: V = abc 36 Trong trường hợp kích thước a, b, c khối hộp chữ nhật số dương tùy ý (không thiết phải số nguyên), người ta chứng minh công thức nói Như cách tổng quát ,ta có : Định lí 2.5.2.1.1 Thể tích hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c V = abc 2.5.2.2 Thể tích hình hộp đứng Định nghĩa 2.5.2.2.1 Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên khoảng cách hai đáy nên chiều cao hình hộp Định lí 2.5.2.2.2 Thể tích hình hộp đứng tích chiều cao diện tích đáy Chứng minh Giả sử ABCDA1B1C1D1 hình hộp đứng (AA1 vuông góc với mặt đáy ABCD) Ta lấy hình hộp chữ nhật A’B’C’D’A1’B1’C1’D1’ với A’A1’ = AA1 S(A’B’C’D’) = S(ABCD).Khi hình bình hành ABCD hình chữ nhật A’B’C’D’ đồng phân có diện tích Nhưng phân hoạch hình bình hành ABCD thành đa giác sinh phân hoạch hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 thành hình lăng trụ đứng Tương tự, phân hoạch hình chữ nhật A’B’C’D’ sinh phân hoạch hình hộp chữ nhật A’B’C’D’A1’B1’C1’D1’ thành hình lăng trụ đứng Từ suy hình hộp đứng cho đồng phân với hình hộp chữ nhật, chúng có thể tích Vậy: V  ABCDA1B1C1D1   V  A ' B ' C ' D ' A1 ' B1 ' C1 ' D1 ' =A'A1 '.S  A ' B ' C ' D ' =AA1.S  ABCD  37 2.5.2.3 Thể tích hình hộp Định lí 2.5.2.3.1 Thể tích hình hộp tích số diện tích mặt đáy chiều cao tương ứng Chứng minh Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, gọi S diện tích đáy ABCD chiều cao tương ứng h (h khoảng cách hai mặt phẳng ABCD A1B1C1D1) Ta dựng mặt phẳng qua BC vuông góc với mặt phẳng ABCD, cắt hai đường thẳng A1B1 C1D1 B2 C2 (xem hình 30) D3 D1 C3 D2 C1 B1 A1 A2 C2 B3 B2 C D B A Hình 30 Dựng mặt phẳng qua AD vuông góc với mặt phẳng ABCD, cắt A1B1 C1D1 A2D2 Dễ ràng thấy hai hình hộp ABCDA1B1C1D1 ABCDA2B2C2D2 đồng phân thể tích chúng Dựng mặt phẳng qua AB vuông góc với mật phẳng ABCD, cắt B2C2 A2D2 B3 A3 Dựng mặt phẳng qua CD vuông góc với mặt phẳng ABCD, cắt B2C2 A2D2 D3 C3 Tương tự hai hình hộp ABCDA2B2C2D2 ABCDA3B3C3D3 tích Nhưng ABCDA3B3C3D3 hình hộp đứng nên thể tích AA3.S(ABCD) = hS Tóm lại V(ABCDA1B1C1D1) = hS 38 Định lí 2.5.2.3.2 Thể tích hình lăng trụ tích số diện tích đáy chiều cao Chứng minh Trước hết ta xét hình lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 Lấy D D1 điểm cho ABDC A1B1D1C1 hình bình hành Khi ta hai lăng trụ ABCA1B1C1 DBCD1B1C1 tổng thể tích chúng thể tích hình hộp ABDCA1B1D1C1 Vậy: V  ABCA1B1C1   h.S  ABCD   h.S  ABC  Đối với hình lăng trụ tùy ý, ta phân hoạch thành hình lăng trụ tam giác hiển nhiên định lí 2.5.2.3.2 chứng minh, (xem hình 31) B D A C B1 D1 C1 A1 Hình 31 Định lí 2.5.2.3.3 Thể tích hình chóp phần ba tích số chiều cao diện tích đáy Chứng minh Giả sử cho hình chóp C có đỉnh S, đáy đa giác H với diện tích S có chiều cao h Ta gọi SA cạnh bên hình chóp Chia cạnh SA thành n phần nhau: SA1 = A1A2 = … = An-1A điểm chia A1, A2, …, An-1 39 Qua điểm chia Ai ta vẽ mặt phẳng song song với mặt đáy, cắt hình chóp theo thiết diện đa giác Hi đồng dạng với đa giác H Ta kí hiệu điểm A An đa giác H Hn, (xem hình 32) S A1 A2 A3 A C B Hình 32 Với i = 1, 2, …, n – 1, gọi Li hình lăng trụ có đáy đa giác Hi có cạnh bên AiAi+1 Khi  Li   C  , Li điểm chung Bởi vậy: V  C   V  L1    V  Ln1  i Đa giác Hi đồng dạng với đa giác H theo tỉ số n , h i S  H i     S  H  , chiều cao Li Như vậy: n n 40 2 h       Sh  n 1   V  C   S                n  1 n   n    n   n   n   Với i = 1, 2, …, n gọi Ki lăng trụ có đáy Hi cạnh bên AiAi-1 (xem S A0) Khi hợp Hi chứa [C] đó: V  C   V  K1   V  K    V  K n   Sh 2    n   n n3 n n   ; Chú ý    n  2 n3 n n     n  1    2 Ta đến:   1 1 Sh      Sh      2n 6n   2n 6n  Cho n tăng lên vô ta V  C   Sh , điều phải chứng minh 2.6 Bài tập 2.6.1 Cho hình chóp S ABCD, có SA vuông góc với (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông cân, có AB = BC = a, B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC Tính thể tích hình chóp S ABC 2.6.2 Tính thể tích khối tám mặt có cạnh a 2.6.3 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19, 20, 37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ 2.6.4 Tính thể tích hình hộp chữ nhật biết chiều dài 12, chiều rộng 8, chiều cao 16 41 KẾT LUẬN Trong đề tài em trình bày được: Định nghĩa đa giác, tính chất đa giác, phân hoạch – đồng phân đa giác, hàm diện tích – tồn hàm diện tích, diện tích tính đồng phân, cách tính diện tích đa giác, diện tích hình phẳng, tính chất diện tích số tập ứng dụng đa giác Định nghĩa đa diện, đa diện lồi, sơ lược sơ đồ phẳng hình đa diện, phân hoạch khối đa diện, thể tích khối đa diện số tập ứng dụng đa diện Tuy có nhiều cố gắng song nỗ lực thân điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Em kính mong thầy cô, bạn xem xét tham gia ý kiến để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Hình học sơ cấp thực hành giải toán, Nxb Đại học sư phạm, 2009 Sách giáo khoa toán lớp 1, 2, 3, 4, 5, Nxb Giáo dục Việt Nam, 2013 3.http://123doc.org/document/1309715-hinh-hoc-8-chuong-2-dagiac.htm http://text.123doc.org/document/1051157-mot-nghien-cuu-ve-day- hoc-dien-tich-da-giac-phang.htm 5.http://toanhoc247.com/cac-dang-bai-tap-ve-the-tich-khoi-da-diena462.html 6.http://123doc.org/document/571423-bai-dien-tich-hinh-thoi-toan8.htm 7.http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid =5768 43 [...]... biết rằng hai đa giác đồng phân thì có diện tích bằng nhau Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại Hai đa giác đơn bằng nhau thì đồng phân Bổ đề 1.5.2 Nếu đa giác H1 đồng phân với đa giác H2, đa giác H2 đồng phân với đa giác H3 thì đa giác H1 đồng phân với đa giác H3 Chứng minh Giả sử các đa giác H1 và H2 cùng được phân hoạch thành các đa giác Gi, i = 1, 2, …, n, các đa giác H2 và H3 cũng được... hình tứ giác MNBC là hình 2 thang đáy MN và BC Tính diện tích tứ giác MNIB 1.9.4 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G Diện tích tam giác ABG = 336cm2 Tính diện tích tam giác ABC 26 CHƢƠNG 2 ĐA DIỆN - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Đa diện Định nghĩa 2.1.1 Hình đa diện, hay còn gọi là đa diện, là hình hợp bởi các miền đa giác phẳng, thỏa mãn các tính chất sau đây: 1) Hai miền đa giác. .. ii) Miền đa giác H là hợp của các miền đa giác Hi H s H  H1  H 2   H s i 1 Nếu đa giác H được phân hoạch thành các tam giác thì cách phân hoạch đó gọi là tam giác phân Định nghĩa 1.3.2 Một đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của một đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó Định lí 1.3.3 Mọi n giác đơn bất kỳ luôn tồn tại một đường chéo phân hoạch đa giác thành hai đa giác có số cạnh bé... hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung 2) Mỗi cạnh của miền đa giác nào là cạnh chung của đúng hai miền đa giác 3) Với bất kì hai miền đa giác Đ và Đ’ luôn tồn tại dãy các miền đa giác Đ1, Đ2, …, Đk sao cho Đ1 là Đ, Đk là Đ’ và bất kì hai miền đa giác Đi và Đi + 1 của dãy đó đều có cạnh chung Mỗi miền đa giác nói trên được gọi là một mặt của đa diện, mỗi đỉnh, mỗi cạnh của miền đa giác đó lần... mỗi khối đa diện ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của H và khi đó, số   D   Đ – C + M được gọi là đặc số Ơ-le (còn gọi tắt là đặc số) của khối đa diện H Định lí 2.2.3.1 Mọi khối đa diện lồi đều có đặc số bằng 2 Chứng minh - Ta lấy một sơ đồ phẳng D’ nào đó của D Gọi Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của D’ và đặt   D ' = Đ – C + M, và cũng gọi   D ' là đặc số của... G và một cạnh của G’ bằng a Nếu hai đa giác H và G có diện tích bằng nhau thì hai hình chữ nhật H’ và G’ có cùng diện tích và có một cạnh bằng nhau, do đó phải bằng nhau Từ đó suy ra H và G đồng phân 1.6 Tính diện tích các đa giác Nhận xét 1.6.1 - Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó (tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp) - Diện tích hình tam giác bằng nửa tích số của một cạnh và. .. mặt nào nên đặc số của nó bằng 1 Vậy   D '  1 29 Định nghĩa 2.2.4 Một đa diện được gọi là đa diện đều nếu Đ là đa diện lồi có các tính chất sau: i ) Các mặt là những đa giác đều có số cạnh là p ii ) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh Nhận xét 2.2.5 p ≥ 3, q ≥ 3 Mỗi hình đa diện đều như vậy gọi là đa diện đều loại {p, q} Tứ diện đều là đa diện đều loại {3, 3}, hình lập phương là đa diện đều loại {4,... đỉnh và cạnh của đa diện (xem hình 15) Ta kí hiệu: - đ: là số đỉnh của hình đa diện - c: là số cạnh của đa diện - m: là số mặt của hình đa diện Hình 19 27 2.2 Đa diện lồi và định lý Đề Các- Ơle Định lí 2.2.1 Cho đa diện Đ nằm trong không gian Khi đó Đ chia không gian thành hai phần Đ0 và Đ* thỏa mãn các tính chất: i ) Bất kì hai điểm cùng thuộc Đ0 ( hoặc cùng thuộc Đ*) đều có thể nối với nhau bởi một. .. thành các đa giác G’j, j = 1, 2, …, m Ta hãy xét tập hợp các đa giác Gi G’j (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) Hiển nhiên chúng làm thành một phân hoạch mới của H2 Nhưng với mỗi i cố định, đa giác Gi được phân hoạch thành các đa giác Gi  G 'j (j = 1, 2, …, m) cho nên đa giác H1 cũng được phân hoạch thành các ' đa giác Gi  G j Tương tự, với mỗi j cố định, đa giác H3 được phân hoạch thành các đa giác Gi... 1.7.2 Một hình H được gọi là hình đơn giản nếu nó là hợp của một số hữu hạn miền tam giác, đôi một không có điểm trong chung Khi đó ta nói rằng hình H được phân hoạch thành các tam giác 24 Theo định nghĩa trên một miền đa giác hoặc một số hữu hạn miền đa giác đôi một không có điểm trong chung đều là hình đơn giản Định nghĩa 1.7.3 Nếu hình đơn giản H được phân hoạch thành các tam giác ∆i thì tổng diện ... chất đa giác, phân hoạch đồng phân đa giác, diên tích đa giác, cách tính diện tích đa giác, tính chất diện tích + Tìm hiểu số nội dung đa diện: Định lý Jordan, phân loại đa diện, thể tích khối đa. .. toán học Cấu trúc đề tài Chƣơng I: Đa giác, diện tích đa giác Chƣơng II: Đa diện – thể tích khối đa diện B NỘI DUNG CHƢƠNG ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1.1 Đa giác Định nghĩa 1.1.1 Đường gấp khúc... khối đa diện Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Một số nội dung đa giác đa diện - Phạm vi nghiên cứu: Định nghĩa đa giác đa diện, diên tích đa giác, thể tích khối đa diện Phƣơng