Đa diện lồi và định lý Đề Các- Ơle

CHƯƠNG 2: ĐA DIỆN - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2.2. Đa diện lồi và định lý Đề Các- Ơle

Định lí 2.2.1. Cho đa diện Đ nằm trong không gian . Khi đó Đ chia không gian thành hai phần Đ0 và Đ* thỏa mãn các tính chất:

i ) Bất kì hai điểm cùng thuộc Đ0 ( hoặc cùng thuộc Đ*) đều có thể nối với nhau bởi một đường gấp khúc không có điểm chung với Đ.

ii ) Mọi đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai tập hợp khác nhau Đ0 và Đ* đều có điểm chung với Đ.

iii ) Tập Đ0 không chứa đường thẳng nào, còn tập Đ* chứa những đường thẳng.

Tập Đ0 được gọi là miền trong của đa diện Đ, mỗi điểm thuộc Đ0 gọi là điểm trong của Đ, hay điểm nằm trong Đ.Tập hợp Đ Đ0 gọi là khối đa diện tạo bởi Đ, vầ được kí hiệu là [Đ]. Vậy tập hợp [Đ] gồm những điểm của Đ và những điểm nằm trong Đ.

Tập Đ* gọi là miền ngoài của Đ, mỗi điểm thuộc Đ* gọi là điểm ngoài của Đ hoặc là điểm nằm ngoài Đ.

Định nghĩa 2.2.2. Một đa diện được gọi là lồi nếu nó nằm về một phía đối với bất kì mặt phẳng nào chứa mặt của đa diện đó (xem hình 20).

Hình 20

Nếu Đ là đa diện lồi thì miền trong của nó là giao của mọi nửa không gian mở có bờ là mặt phẳng chứa một mặt của Đ và Đ nằm trong nửa không

29

gian đó. Trong trường hợp này nếu hai điểm A, B nằm trong Đ0 thì đoạn thẳng AB nằm trong Đ0.

Định nghĩa 2.2.3. Định nghĩa Đề Các – Ơ le:

Đối với mỗi khối đa diện ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của H và khi đó, số  D Đ – C + M được gọi là đặc số Ơ-le (còn gọi tắt là đặc số) của khối đa diện H.

Định lí 2.2.3.1. Mọi khối đa diện lồi đều có đặc số bằng 2.

Chứng minh

- Ta lấy một sơ đồ phẳng D’ nào đó của D. Gọi Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của D’ và đặt D' = Đ – C + M, và cũng gọi  D'

là đặc số của sơ đồ D’. Ta phải chứng minh  D' = 1 (vì số đỉnh và số cạnh của D và D’ bằng nhau, còn số mặt của D lớn hơn số mặt của D’ một đơn vị).

- Sơ đồ D’ có thể xây dựng bằng cách xuất phát từ sơ đồ đơn giản nhất chỉ gồm một đỉnh nào đó của D’ và từng bước bổ sung thêm các cạnh của D’

để tạo ra sơ đồ mới và cuối cùng là được sơ đồ D’. Có hai cách bổ sung thêm một cạnh.

+ Nối một đỉnh cũ với một đỉnh mới. Khi đó ta được sơ đồ mới có đặc số không thay đổi so với sơ đồ cũ, vì số đỉnh và số cạnh tăng lên một đơn vị, còn số mặt không thay đổi.

+ Nối hai đỉnh cũ với nhau. Khi đó ta cũng không làm thay đổi đặc số của sơ đồ, vì số đỉnh vẫn giữ nguyên, còn số cạnh và số mặt đều tăng lên một đơn vị.

- Bằng cách bổ sung cạnh như trên, cuối cùng ta được sơ đồ D’ mà đặc số của nó bằng đặc số của sơ đồ xuất phát. Nhưng sơ đồ xuất phát chỉ có 1 đỉnh, không có cạnh nào và không có mặt nào nên đặc số của nó bằng 1. Vậy

 D' 1

  .

30

Định nghĩa 2.2.4. Một đa diện được gọi là đa diện đều nếu Đ là đa diện lồi có các tính chất sau:

i ) Các mặt là những đa giác đều có số cạnh là p.

ii ) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh.

Nhận xét 2.2.5. p ≥ 3, q ≥ 3.

Mỗi hình đa diện đều như vậy gọi là đa diện đều loại {p, q}. Tứ diện đều là đa diện đều loại {3, 3}, hình lập phương là đa diện đều loại {4, 3}.

Định lí 2.2.6. Tồn tại đúng 5 loại hình đa diện đều.

Chứng minh

Từ Đ là đa diện lồi nên ta có:

m + đ – c = 2. (2.2.1) Theo định nghĩa đa diện đều (điều kiện i) ta cũng có:

mp = 2c. (2.2.2) Theo định nghĩa đa diện đều (điều kiện ii) ta lại có:

đq = 2c. (2.2.3) Từ (2.2.1) (2.2.2) và (2.2.3) ta có:

2 2

c c 2

p  q  c

1 1 1 1

2

p q c

    (2.2.4)

Từ (2.2.4): 1 1 1 2 0 p   q

1 1 1

2 p q

   (2.2.5)

Từ điều kiện q ≥ 3 1 1 3

 q nên từ (2.2.5) ta có:

31

1 1 1 1 1

3 2 .

p     p q

1 1

6 p 6

 p    . Từ p3nên ta có:

p {3, 4, 5}

a) Trường hợp 1: p = 3, thay vào (2.2.5) ta được q {3, 4, 5). Do đó ta có các khả năng sau:

-) Khả năng 1: p = 3, q = 3 thay vào (2.2.4) ta được: c = 6, đ = 4, m = 4 (xem hình 21).

Loại {3, 3}: Hình tứ diện đều Hình 21

-) Khả năng 2: p = 3, q = 4 thay vào (2.2.4) ta được: c =12, đ = 6, m = 8 (xem hình 22).

Loại {3, 4}: Hình 8 mặt đều Hình 22

32

-) Khả năng 3: p = 3, q = 5 thay vào (2.2.4) ta được: c = 30, đ = 12, m = 20 (xem hình 23).

Loại {3, 5}: Hình 20 mặt đều Hình 23

b) Trường hợp 2: p = 4, thay vào (2.2.5) ta được q < 4 mà q3nên q = 3. Thay vào (2.2.4) ta được: c = 12, đ = 8, m = 6 (xem hình 24).

Loại { 4, 3}: Hình lập phương Hình 24

c) Trường hợp 3: p = 5, thay vào (2.2.5) ta được

10

q  3 mà q  3

nên q 3. Khi đó thay vào (2.2.4) ta được: c = 30, đ = 20, m = 12 (xem hình 25).

33

Loại {5, 3}: Hình 12 mặt đều Hình 25

Vậy có đúng 5 loại hình đa diện đều là:

- Loại {3, 3} gọi là hình tứ diện đều, có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt.

- Loại {4, 3} gọi là hình lập phương, có 8 đỉnh,12 cạnh, 6 mặt.

- Loại {3, 4} gọi là hình tám mặt đều, có 6 đỉnh, 12 cạnh, 8 mặt.

- Loại {5, 3} gọi là hình 12 mặt đều, có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt.

- Loại {3, 5} gọi là hình 20 mặt đều,có 12 đỉnh,30 cạnh, 20 mặt.

Năm khối đa diện đều kể trên được nhà triết học và toán học Pla-tông (427-347 trước Công nguyên) tìm ra, chúng thường được gọi là các thể Pla- tông. Các khối đa diện theo thứ tự trong bảng trên được Pla-tông coi là tượng trưng cho lửa, đất, khí, vũ trụ và nước.