Thể tích của khối đa diện

CHƯƠNG 2: ĐA DIỆN - THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2.5. Thể tích của khối đa diện

Định nghĩa 2.5.1.1. Gọi Π là tập hợp các đa diện trong không gian, hàm V :   gọi là hàm thể tích nếu V thỏa mãn các tính chất sau đây:

i ) Nếu D và D’ là hai đa diện bằng nhau ( tức là có phép đẳng cự biến D thành D’) thì V(D) = V(D’).

36

ii ) Nếu đa diên D được phân hoạch thành các đa diện D1, D2, …, Dn thì V(D) = V(D1) + V(D2) + … + V(Dn).

iii ) Nếu U là hình lập phương có cạnh bằng 1 thì V(U) = 1.

Khi đó giá trị V(D) được gọi là thể tích của đa diện D, hoặc là thể tích của khối đa diện [D].

Định lí 2.5.1.2. Hàm thể tích là tồn tại và duy nhất.

2.5.2. Thể tích của các khối đa diện 2.5.2.1. Thể tích của khối hộp chữ nhật

Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương. Khi đó, bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (xem hình 29).

Hình 29

Hiển nhiên số các khối lập phương đó bằng tích số a.b.c.

Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương và theo tính chất 3, mỗi khối lập phương đó có thể tích bằng 1. Từ đó ta suy ra công thức:

V = abc.

37

Trong trường hợp các kích thước a, b, c của khối hộp chữ nhật là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng. Như vậy một cách tổng quát ,ta có :

Định lí 2.5.2.1.1. Thể tích hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c là V = abc.

2.5.2.2. Thể tích của hình hộp đứng

Định nghĩa 2.5.2.2.1. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên khi đó bằng khoảng cách giữa hai đáy nên nó bằng chiều cao của hình hộp đó.

Định lí 2.5.2.2.2. Thể tích của hình hộp đứng bằng tích của chiều cao và diện tích đáy.

Chứng minh

Giả sử ABCDA1B1C1D1 là hình hộp đứng (AA1 vuông góc với mặt đáy ABCD). Ta lấy một hình hộp chữ nhật A’B’C’D’A1’B1’C1’D1’ với A’A1’ = AA1 và S(A’B’C’D’) = S(ABCD).Khi đó hình bình hành ABCD và hình chữ nhật A’B’C’D’ đồng phân vì có diện tích bằng nhau. Nhưng mỗi phân hoạch của hình bình hành ABCD thành các đa giác sẽ sinh ra một phân hoạch hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 thành các hình lăng trụ đứng. Tương tự, mỗi phân hoạch của hình chữ nhật A’B’C’D’ cũng sinh ra một phân hoạch của hình hộp chữ nhật A’B’C’D’A1’B1’C1’D1’ thành các hình lăng trụ đứng. Từ đó suy ra hình hộp đứng đã cho đồng phân với hình hộp chữ nhật, và do đó chúng có cùng thể tích. Vậy:

 1 1 1 1  ' ' ' ' 1' 1' 1' 1'

V ABCDA B C D V A B C D A B C D

=A'A '.1 S A B C D  ' ' ' ' =AA .  1 S ABCD   .

38 2.5.2.3. Thể tích của hình hộp bất kì

Định lí 2.5.2.3.1. Thể tích của hình hộp bằng tích số của diện tích một mặt đáy và chiều cao tương ứng.

Chứng minh

Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, gọi S là diện tích đáy ABCD và chiều cao tương ứng là h (h là khoảng cách giữa hai mặt phẳng ABCD và A1B1C1D1).

Ta dựng một mặt phẳng đi qua BC và vuông góc với mặt phẳng ABCD, nó cắt hai đường thẳng A1B1 và C1D1 lần lượt tại B2 và C2 (xem hình 30).

Hình 30

Dựng một mặt phẳng đi qua AD và vuông góc với mặt phẳng ABCD, nó cắt A1B1 và C1D1 lần lượt tại A2D2. Dễ ràng thấy rằng hai hình hộp ABCDA1B1C1D1 và ABCDA2B2C2D2 đồng phân và do đó thể tích của chúng bằng nhau.

Dựng một mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mật phẳng ABCD, nó cắt B2C2 và A2D2 lần lượt tại B3 và A3. Dựng mặt phẳng đi qua CD vuông góc với mặt phẳng ABCD, nó cắt B2C2 và A2D2 lần lượt tại D3 và C3. Tương tự như trên hai hình hộp ABCDA2B2C2D2 và ABCDA3B3C3D3 có thể tích bằng nhau. Nhưng ABCDA3B3C3D3 là hình hộp đứng nên thể tích của nó bằng AA3.S(ABCD) = hS. Tóm lại V(ABCDA1B1C1D1) = hS.

C2 A1

D2

D3

D

B B3 B2

B1

C C1

C3

A2

A D1

39

Định lí 2.5.2.3.2. Thể tích hình lăng trụ bằng tích số của diện tích đáy và chiều cao.

Chứng minh

Trước hết ta hãy xét hình lăng trụ tam giác ABCA1B1C1. Lấy D và D1 là các điểm sao cho ABDC và A1B1D1C1 là những hình bình hành. Khi đó ta được hai lăng trụ bằng nhau ABCA1B1C1 và DBCD1B1C1 và tổng thể tích của chúng bằng thể tích hình hộp ABDCA1B1D1C1.

Vậy:

 1 1 1    

1 . .

V ABCA B C  2h S ABCD h S ABC

Đối với hình lăng trụ tùy ý, ta phân hoạch nó thành các hình lăng trụ tam giác thì hiển nhiên định lí 2.5.2.3.2. được chứng minh, (xem hình 31).

Hình 31

Định lí 2.5.2.3.3. Thể tích hình chóp bằng một phần ba tích số của chiều cao và diện tích đáy.

Chứng minh

Giả sử cho hình chóp C có đỉnh S, đáy là đa giác H với diện tích S có chiều cao h. Ta gọi SA là một cạnh bên của hình chóp. Chia cạnh SA thành n phần bằng nhau: SA1 = A1A2 = … = An-1A bởi các điểm chia A1, A2, …, An-1.

C1

B1

A1

D A C

B

D1

40

Qua mỗi điểm chia Ai ta vẽ mặt phẳng song song với mặt đáy, cắt hình chóp theo thiết diện là đa giác Hi đồng dạng với đa giác H. Ta kí hiệu điểm A là An

và đa giác H là Hn, (xem hình 32).

Hình 32

Với mỗi i = 1, 2, …, n – 1, gọi Li là hình lăng trụ có đáy đa giác Hi và có cạnh bên là AiAi+1. Khi đó    Li  C , và các Li không có điểm trong chung. Bởi vậy:

   1 ...  n 1

V C V L  V L  .

Đa giác Hi đồng dạng với đa giác H theo tỉ số

i

n , bởi vậy

 i 2  

S H i S H n

     , ngoài ra chiều cao của mỗi Li đều bằng h

n . Như vậy:

S

B A C

A3

A2

A1

41

  h 1 2 2 2 ... n 1 2 Sh3 12 22 ...  12.

V C S n

n n n n n

  

      

              

Với mỗi i = 1, 2, …, n gọi Ki là lăng trụ có đáy là Hi và cạnh bên là AiAi-1 (xem S là A0). Khi đó hợp các Hi sẽ chứa [C] và do đó:

   1  2 ...  n Sh3 12 22 ... 2.

V C V K V K V K n

     n   

Chú ý rằng

3 2

2 2 2

1 2 ... ;

3 2 6

n n n

   n   

 2 3 2

2 2

1 2 ... 1 .

3 2 6

n n n

   n   

Ta đi đến:

2 2

1 1 1 1 1 1

3 2 6 3 2 6 .

Sh Sh

n n n n

       

   

   

Cho n tăng lên vô cùng ta được   1

V C 3Sh, là điều phải chứng minh.