BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016

BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016 BỘ đề THI HSG CHUYÊN TOÁN THI vào lớp 10 VĨNH PHÚC 2016

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất thí sinh Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) mx  y   Cho hệ phương trình:  (với x, y ẩn; m tham số) x  y   a) Giải hệ phương trình cho với m  b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn điều kiện 3x  y   Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d  có phương trình y  3x  m (m tham số) Xác định tất giá trị tham số m để: 1  a) Đường thẳng  d  qua điểm A 1;   2  b) Đường thẳng  d  cắt trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (2,0 điểm) 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x 3 x a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   x  P  m có nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho BC dây cung (không phải đường kính) đường tròn tâm O, bán kính R  Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng qui H (D, E, F chân đường cao) a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) Gọi A ' trung điểm BC , A1 trung điểm EF , K điểm đối xứng với B qua O Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành R AA1  OA ' AA ' c) Xác định vị trí A để DE  EF  FD đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương lớn kí hiệu n!  1.2.3 n (tích n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng: với số nguyên dương lớn không vượt n! phân tích thành tổng gồm không n số nguyên dương, cho hai số khác số ước số n! ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh……………………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất thí sinh ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a x  y   Thay m  vào hệ ta có:   x  y  x  y 1 x  y 1 x  y 1        y  1  y   y  y    y  y         x  1   x  y    y  2    y  2      x    y        y   3 1 Vậy, hệ có nghiệm  x; y   ;   1;   2 2 b mx  (3x  1)  (m  3) x   Thay y  3x  vào hệ có:   x   3x  1  2 x  x     (m  3) x  m     x  1     m  19  x  5    19 Vậy, m  m  Điểm 2,0 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 2,0 1  Đường thẳng  d  qua điểm A 1;      3  m 2  5 1   m  Vậy, m   d  qua điểm A 1;   2 2  b m  d  cắt trục toạ độ điểm A  0; m  B  ;0  3  m SOAB   OA.OB  18  m  18  m2  54  m  3 a 0,5 1,0 0,25 0,25 a 2,0 0,5 Điều kiện:  x  15 x  11 x  2 x  P    x  x  1 x 3 x 15 x  11  x 2 x 3  x 1 x 3  x 1 x  3 3 x  2 x  3   x  3 x 1 15 x  11    x 1 x  3  x 1 x  3  b 15 x  11  0,25 5x  x   x 1 x  3  x 1 x  3  x 1  x    x   x 1 x  3 x   x  3 P  m   x  3 x5 3x  m  Đối chiếu ĐK có:  0,25 0,25 0,25 x  2m  x  2m 2m   3  m  Vậy, 3  m  0,25 0,25 3,0 A K E C' F B a B' A1 H D O A' C   BFC   90o suy tứ giác BFEC nội tiếp Do BEC   FAE   ) BAC  AEF   ABC (cùng bù với góc CEF 0,5   90o , CH  AB  CH / / AK Lại có BAK  tứ giác AHCK hình bình hành AE AA1  (1) , đó: AA’ trung tuyến ABC , AA1 Ta có: AEF ∽ ABC  AB AA ' trung tuyến AEF AE AB AE AB AE OA '   BKC  Do BAC  ABE ∽ KBC        2 KC KB 2OA ' R AB R 0,5 Từ suy AEF ∽ ABC (đpcm)  b Ta có BCK  90o , AH  BC  AH / / KC AA1 OA '   R AA1  OA ' AA '  AA ' R Gọi B’, C’ trung điểm AC, AB Ta có: OB '  AC, OC '  AB  OA ', OB ', OC ' đường cao tam giác OBC, OCA, OAB Từ (1) (2) suy ra: c 0,5 0,25 0,25 0,25 SABC  SOBC  SOCA  SOAB  (OA '.BC  OB ' AC  OC ' AB)  2SABC  OA '.BC  OB ' AC  OC ' AB (3) AA AA1 Theo phần b suy ra: OA '  R , mà tỷ số trung tuyến tam AA ' AA ' AA1 EF giác đồng dạng AEF ABC nên  AA ' BC FD ED Tương tự có: OB '  R , ; OC '  R AC AB thay vào (3) ta được: 2SABC  R( EF  FD  DE ) Do AD  AA '  AO  OA '  AD  R  OA ' , dấu xảy A điểm cung lớn BC Mà R không đổi, nên EF  FD  DE lớn  SABC lớn  AD lớn  A điểm cung lớn BC 0,25 0,25 0,25 1,0 Với n   n!  Ta có:   2;4   3;5   3;6     khẳng định với n  0,25 Giả sử khẳng định với n  k  k  3, k    Ta chứng minh khẳng định với n  k  Thật vật: Giả sử a số nguyên dương tuỳ ý a   n  1! , chia a cho n  với số dư r thương d Khi đó: a  d  n  1  r ,  r  n  0,25 m Theo giả thiết, d  n !  d   di di 1  i  m  số tự nhiên khác i 1 đôi một, ước n! Đồng thời m  n Khi đó: a  d1  n  1   dm  n  1  r tổng có không n  số khác đôi ước  n  1! (đpcm) -Hết 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x x   x  x  x  10 x  2 x3  3x3 y  b) Giải hệ phương trình:   xy  x   Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p để p  lập phương số tự nhiên b) Trong bảng 1111 ô vuông ta đặt số tự nhiên từ đến 121 vào ô cách tùy ý (mỗi ô đặt số hai ô khác đặt hai số khác nhau) Chứng minh tồn hai ô vuông kề (tức hai ô vuông có chung cạnh) cho hiệu hai số đặt hai ô lớn Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F tương ứng chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A, B, C; gọi M giao điểm tia AO cạnh BC; gọi N , P tương ứng hình chiếu vuông góc M cạnh CA, AB a) Chứng minh HE  MN  HF  MP b) Chứng minh tứ giác EFPN nội tiếp BD  BM  AB  c) Chứng minh   CD  CM  AC  Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh rằng: 1    2  a b  b c  c2a Câu (1,0 điểm) Điểm M  x; y  mặt phẳng tọa độ gọi điểm nguyên, x y số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên đỉnh tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng coi diện tích tam giác 0) ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không chấm điểm cho phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a x   Đk: 4 x  x    x   4 x  10 x   Điểm 3,0 0,25 Ta thấy x  không nghiệm phương trình cho, suy x  Khi đó, phương trình cho tương đương: Đặt x  x 8 x   1 x  10 x 0,25   t    (1) trở thành  1 t t 2 x t   t  9t     t  0,5 Kết hợp với điều kiện t    t  49   x x    Với t   x   16  x  16 x     1 x  x x    0,5 49 x  4 b Ta thấy x  không thỏa mãn hệ cho, suy x  Vậy, phương trình cho có nghiệm x   2  y      x Hệ cho tương đương:   y3        x Đặt  a  cho có dạng x 0,5  a   y   a  y   a  ay  y  3     y   3a a  y y  3y2   2  a  y a    vô nghiệm     a  y   y       2  y  1 Với a  y  y3  y     y  1  y  y      y  0,25 0,25 +) y  1  a  1  x  2  hệ cho có nghiệm  x; y    2;  1 +) y   a   x   hệ cho có nghiệm  x; y   1;  0,5 Vậy, hệ cho có nghiệm  x; y  là:  2;  1 1;  2,0 a Do p  lập phương số tự nhiên, suy p   z  z lẻ  z  2k  1, k  0,5 Khi đó, p    2k  1  p  k  4k  6k  3 Vì p nguyên tố nên k  p   33  p  13 Vậy, số nguyên tố p cần tìm 13 b Ta xét hàng có ô ghi số cột có ô ghi số 121, hiệu hai số ghi hai ô 120 Số ô vuông cách từ ô ghi số đến ô ghi số 121 nhiều 20 cặp ô vuông 0,5 0,25 (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ bảng ô ghi số ô ghi số 121 cách cặp ô vuông 1; a1  ,  a1; a2  a2 ; a3  ,  a3 ;121 a1 0,25 a2 a3 121 Nếu hiệu hai số hai ô kề qua 20 cặp ta có chênh lệch 20.5  100 Như  100  101  121 Do có hai ô kề cho hiệu hai số viết hai ô lớn 0,5 3,0 A E F P B H O N D M C a       FAE   180o PMN Ta có: EHF  PAN  180o  FHE  PMN 1 Do O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên 1    MAC  OAC  900  COA  900   ABC  HAF   , MAC   Lại có tứ giác AFHE APMN nội tiếp  HAF  HEF  MPN   Suy HEF  MPN  2 Từ (1) (2) suy MNP ∽ HFE  MP MN   HE  MN  HF  MP  HE HF   b Do  AEF  HEF  90o ,  APN  MPN  90o kết hợp với (2) Suy  AEF   APN c    Lại có  NEF   AEF  180o  NEF APN  180o hay  NEF  EPN  180o Do tứ giác EFPN nội tiếp BD SAHB HF  AB Ta có:   CD SAHC HE  AC BM SABM AB  MP   CM SACM AC  MN Suy BD  BM AB  HF  MP  CD  CM AC  HE  MN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 BD  BM  AB  Do HF  MP  HE  MN , suy    CD  CM  AC  0,25 1,0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,   a 2b  3 a 2b 3 ab2  a  b  b  a  2b a 2b 1  1 a b   1    a  ab2    a  a  2b  Suy 2 2a b 11 a b ab ta có 1   (a  2ab) (1) 2  a b 18 1 Tương tự, có: (2)   (b2  2bc) 2  b c 18 1 (3)   (c  2ca) 2  c a 18 Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu 1      a  b  c   Điều phải chứng minh 2 2  a b  b c  c a 18 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 + n  không thỏa mãn, ta chọn bốn điểm nguyên đỉnh hình vuông đơn vị, đó, tam giác có đỉnh ba bốn điểm nguyên xét có diện tích số nguyên + Ta chứng minh n  số nguyên bé thỏa mãn Ta chia điểm nguyên M ( x; y) mặt phẳng thành loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn Khi đó, điểm nguyên xét, có hai điểm loại, ta gọi hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC số nguyên Thật vậy: 0,25 0,25 0,25 + Nếu A B có hoành độ a, A, B loại, nên độ dài AB số chẵn Gọi h khoảng cách d (C; AB), với C (c1; c2 ), S ABC  AB  h số nguyên Tương tự với A, B tung độ, ta có diện tích tam giác ABC số nguyên + Xét trường hợp A(a1; a2 ), B(b1; b2 ) thuộc loại, a1  b1 , a2  b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1; a2 ) (Hình vẽ) Khi đó, theo lập luận trên, tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích số nguyên, suy S ACBD số nguyên Nhưng S ACBD  S ABC  S ABD , nên S ABC số nguyên Điều phải chứng minh -Hết 0,25 ... 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài:... Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 -2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 -2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất thí