T 12h 12

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHẦN 1I.. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.. Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α nếu giá của n vuông góc vớ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (PHẦN 1)

I PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của n

vuông góc với ()

Nếu n là vectơ pháp tuyến của mp (α) thì kn (k  0) cũng là vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng ()

2 Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ

pháp tuyến n A;B;C  Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng ()

là n.M M 00  hay: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (1) (A2 + B2 + C2 >0)

Nhận xét: Nếu đặt D = - ( Ax0+ By0 + Cz0) phương trình trên trở thành:

Ax + By + Cz + D = 0 (2) (A2 + B2 + C2 >0)

(2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng có một vectơ

pháp tuyến là n A;B;C  

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(–1; –3; 6),C(2; –4; 5)

Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), mặt phẳng

(P): 2x + y – 3z + 5 = 0, mặt phẳng (Q): x – 2y + 5z + 4 = 0

Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(–1; 4; 7)

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất

3 Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz xét mặt phẳng () có phương trình: Ax + By +Cz + D = 0

D = 0  mặt phẳng () qua gốc tọa độ O

A = 0  mặt phẳng () // Ox (D  0) hoặc mặt phẳng () chứa Ox (D = 0)

Hãy phát biểu cho trường hợp tương tự B = 0 và C = 0

A = B = 0  mặt phẳng () //mặt phẳng (Oxy) (D  0) hoặc mặt phẳng ()

trùng mặt phẳng (Oxy) (D = 0)

Hãy phát biểu cho trường hợp tương tự A = C = 0 và B = C = 0

Đặc biệt: Xét mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 1 (a.b.c 0)

Rõ ràng mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0),

B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (30; 15; 6)

1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua các hình chiếu của M lên các trục tọa độ

2) Tìm tọa độ hình chiếu của O lên (P)