Bài tập ròng rọc

Lời nói đầuTrong cơ học ta thường bắt gặp các bài toán chủ yếu liên quan đến các máy cơ đơn giản, mặt phẳng nghiêng, chuyển động tròn…Vì đây là những dạng toán phức tạp nhiều phương pháp

I Lời nói đầu

Trong cơ học ta thường bắt gặp các bài toán chủ yếu liên quan đến các máy cơ đơn giản, mặt phẳng nghiêng, chuyển động tròn…Vì đây là những dạng toán phức tạp nhiều phương pháp giải khác nhau Ở đây tôi chỉ dừng lại ở việc đề xuất một số phương pháp và cách giải các bài toán liên quan đến ròng rọc Các bài toán về ròng rọc thường phức tạp và nhiều cách giải; có thể giải theo phương pháp động lực học chất điểm, theo phương pháp năng lượng hoặc là theo phương pháp động lực học vật rắn tuỳ theo điều kiện cụ thể của ròng rọc Để giải được dạng bài tập này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức liên quan đến các định luật Newton, các công thức tính công, năng lượng, định luật bảo toàn cơ năng, mô men quán tính…

Vì vậy, qua chủ đề này, tôi hi vọng sẽ giúp các bạn biết áp dụng những công thức mình đã học vào việc giải bài tập, và qua đó ta hiểu vật lý sâu hơn

Trong quá trình trình bày phương pháp và tiến hành giải không tránh khỏi thiếu sót kính mong quý thầy cô đóng góp thêm để đề tài được hoàn chỉnh hơn

II Một số phương pháp giải và bài tập mẫu về ròng rọc

1 Phương pháp động lực học

- Phương pháp động lực học là phương pháp vận dụng các kiến thức động học (ba định luật Niuton và các lực cơ học) để giải các bài toán cơ học

Các bước khảo sát chuyển động như sau:

- Xác định vật cần khảo sát

- Chọn hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát

- Phân tích các lực tác dụng lên vật, vẽ giản đồ vectơ lực

- Viết biểu thức định luật II Niu ton dưới dạng véc tơ:

∑F=m a (*)

- Chiếu các vectơ của phương trình (*) lên hệ toạ độ xOy tìm ra các phương trình đại

số dưới dạng:

Ox: ∑F x =F1x +F2x+ =ma x

Oy: ∑F y =F1y +F2y + =ma y

Trong đó Fx và Fy là các giá trị đại số của hình chiếu của hợp lực F, ax và ay là các giá trị đại số của hình chiếu của véc tơ gia tốc a xuống các trục Ox và Oy

- Giải các hệ phương trình đại số đó

Đối các bài tập về ròng rọc người ta thường chọn khối lượng ròng rọc không đáng kể và dây không giãn, bỏ qua ma sát

1.1 Các dạng bài tâp liên qua đến ròng rọc

*Loại 1: Hệ vật chuyển động qua ròng rọc cố định và ròng rọc động

a Phương pháp:

Cách 1: Đề bài tìm gia tốc

+ Đưa hệ vật về một vật m = m1+ m2 +……

+ Áp dụng định luật II Niuton cho vật m: ∑F=m a

Cách 2: Đề bài tìm lực căng của sợi dây

+ Xét từng vật riêng biệt Áp dụng định luật II Niuton cho từng vật.

+ Có bao nhiêu vật thì lấy bấy nhiêu phương trình Giải hệ phương trình đó, tìm kết quả

b. Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho cơ hệ như hình vẽ Biết m1=1,5 kg; m2= 1kg, khối lượng ròng rọc và dây treo không đáng kể, bỏ qua ma sát Hãy tìm:

a, Gia tốc chuyển động của hệ

b, Sức căng của dây nối các vật m1 và m2 Lấy g =10m/s2

Giải

a Tìm gia tốc

Cách 1:

+ Lực tác dụng vào hệ vật: P1, P2

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hệ vật

+ Áp dụng định luật II Niuton, với: m = m1 +m2=2,5kg

a

m

P

P1 +2 =  (1)

Chiếu (1) xuống phương ta chọn: P1+ P2= ma

Suy ra: 1 2 1 2 (m1 m2)

m

g m

g m g m m

P P

a= 10.(1,5-1)/2,5=2m/s2

Cách 2:

Chọn trục Ox làm chiều dương

+ Xét vật m1: chịu tác dụng của trọng lực P1; sức căng của sợi dây T

Áp dụng định luật II Newton vào m1:

1

1

1 T m a

P + =  (1)

Chiếu (1) lên trục Ox:

1

1

1 T m a

P − =

+ Xét vật m2: Chịu tác dụng của P1, T'

Áp dụng định luật II Newton vào vật m2 :

2 2

2 T' m a

P +=  (2)

Chiếu (2) lên trục Ox: +P2 −T' =m2a2

Dây không dãn nên: a1= -a2

Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây nên T=T’

Suy ra: P2 −T = −m2a1

Viết lại: P1 −T =m1a1

1 2

2 T m a

P − = −

2 1

2 1

1 2m/s

m m

P P

+

−

=

b) Tìm lực căng của sợi dây T

Ta có: T = m2a2 + P2 =m2(a2+g)=1(2+10)=12N

Bài tập 2: Hai vật có khối lượng m1 và m2 được nối qua hệ hai ròng rọc như hình vẽ Bỏ qua ma sát, khối lượng dây nối và khối kượng rò1ng rọc, dây không dãn

Tính gia tốc chuyển động và sức căng dây khi thả cho hệ chuyển động Áp dụng

m1=m2=1kg Lấy g=10m/s2

Giải:

Ta chưa thể biết chiều chuyển động của mỗi vật Ta chọn chiều

dương cho mỗi vật như hình vẽ

Khi thả hệ chuyển động, sau thời gian t vật m1 sẻ chuyển động

được quảng đường S1 và m2 chuyển động quảng đường S2 mà:

S1 =2S2

1

1 2

1

t a

2

2 2

2

1a t

S =

Xét vật m1: áp dụng định luật II Newton: P1 +T=m1a1(1)

Chiếu (1) lên chiều dương đã chọn: P1 −T =m1a1

Xét vật m2: áp dụng định luật II Newton: P2 +T' =m2a2 (2)

Chiếu (2) lên chiều dương đã chọn: −P2 +T' =m2a2

Mặt khác T’ = 2T nên: −P2 + 2T =m2a2

Viết lại: P1 −T =m1a1

−P2 + 2T =m2a2

a1 = 2a2

m m

m m a

2 1

2 1 1

4

) 2

( 2

+

−

=

+ Nếu m1>m2/2 thì các vật chuyển động theo chiều dương

+ Nếu m1 = m2/2 Khi thả không vận tốc đầu, các vật đứng yên

Từ hệ trên ta suy ra: g

m m

m m T

2 1

2 1 4

3

+

=

- Áp dụng cho trường hợp m1 =m2:

Suy ra: a1 = 0,4.g = 4m/s2

a2 = 2m/s2

Và T = 0,6mg = 6N

T’ = 2T = 12N

*Loại 2: Hệ vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng có ròng rọc

a) Phương pháp

+ Xét từng vật riêng biệt

+ Phân tích lực tác dụng lên từng vật

+ Áp dụng định luật II Newton cho từng vật

Chú ý: Fms = kN= kPcosα

b) Bài tập mẫu

Cho một hệ như hình vẽ, m1= 6kg; m2=5kg, hệ số ma sát k= 0,3 và α= 300 Tìm:

a Gia tốc của chuyển động

b. Lực căng của sợi dây Lấy g=10m/s2

Giải:

a Tìm gia tốc a

Chọn chiều dương là chiều chuyển động

Xét vật m1:

Lực tác dụng vào vật m1: trọng lực P1, phản lực N1, lực căng của sợi dâyT , lực ma sát

ms

F

Áp dụng định lật II Newton: P1+N1+T+Fms =m1a (1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động:

-P1sinα + T – Fms = m1a (a)

Xét vật m2:

Lực tác dụng vào vật m2: trọng lực P2, lực căng của sợi

dâyT

Áp dụng định luật II Newton: P2+T=m2a (2)

Chiếu (2) lên phương chuyển động: P2 – T = m2a (b)

Từ (a) và (b) suy ra:

2 1

1

2 sin

m m

F P

P

+

−

−

= α

Với Fms = kN= kP1cosα =km1gcosα

Nên

2 1

1 1

2 2

1

1 1

2 2

1

1

m m

km m

m g m

m

g km g

m g m m

m

F P

P

+

−

−

= +

−

−

= +

−

−

Vậy a= 0,4m/s2

b Tìm sức căng của sợi dây T

Từ (b) suy ra: T= P2- m2a=m2(g-a) = 5(10 -0,4)=48N

Trong các bài tập ở trên người ta thường cho dây không dãn, bây giờ ta xét cho trường hợp dây có thể co giãn như là lò xo.

Loại 3: Hệ ròng rọc nối lò xo

a) Phương pháp

Ta vẫn tiến hành giải theo từng bước như bài toán ở trên

+ Xét từng vật riêng biệt

+ Phân tích lực tác dụng lên từng vật

+ Áp dụng định luật II Newton cho từng vật

Chú ý: Độ lớn của lực căng dây T bằng với lực đàn hồi Fdh của lò xo

b) Bài tập mẫu:

Vật B kéo vật A qua một sợi dây vắt qua ròng rọc và một lò xo Cho biết vật A chuyển động đều trên mặt bàn nằm ngang, và lò xo bị dãn 1cm so với khi không biến dạng Khối lượng của vật A là 1,5kg, độ cứng của lò xo là 60N/m, gia tốc rơi tự do g=10m/s2

a Hãy tính hệ số ma sát giữa vật A và mặt bàn

b. Tính khối lượng của vật B Ròng rọc và lò xo co khối lượng không đáng kể

Giải:

a Tính hệ số ma sát

Chọn chiều dương là chiều chuyển động

Xét vật A: Áp dụng định luật II Newton:

a m F

T

N

PA+ ++ms = A (1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động: -Fms + T=0 (vì

a=0)

 Fms = T = k.∆l = 60.0,01=0,6N

Mặt khác: Fms = µN =µP

Suy ra: µ =Fms/P =0,6/15= 0,04

b. Tính mB

Xét vật B: Áp dụng định luật II Newton:

a

m

T

PB += B(2)

Chiếu (2) lên phương chuyển động: PB – T = mBa

Vì B chuyển động đều a = 0 suy ra: PB = T = 0,6N

Mặt khác PB= mBg =0,6N

Suy ra: mB = 0,6/g = 0,06kg

Ngoài các bài tập giải theo phương pháp động lực học chất điểm như ở trên ta còn bắt gặp một số bài toán trong phần tĩnh học vật rắn.

2 Phương pháp giải các bài toán cân bằng vật rắn

a Phương pháp

+ Chọn hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát

+ Phân tích các lực tác dụng lên vật, vẽ giản đồ vectơ lực

+ Sử dụng điều kiện cân bằng của vật rắn, viết biểu thức véc tơ cho từng vật:

∑F=0 (*)

+ Chiếu các vectơ của phương trình (*) lên hệ toạ độ xOy tìm ra các phương trình đại số dưới dạng:

Ox: ∑F x =F1x +F2x+ = 0

Oy: ∑F y =F1y+F2y + = 0

+ Giải hệ các phương trình đại số đó ta được đại lượng cần tìm

b Bài tập mẫu

Hai vật m1 và m2 được nối với nhau qua ròng rọc như hình vẽ Hệ số ma sát giữa vật m1

và mặt phẳng nghiêng là µ Bỏ qua khối lượng ròng rọc và dây nối Dây nối không co dãn Tính tỉ số giữa m2 và m1 để vật m1:

a. Đi lên đều

b. Đi xuống thẳng đều

c. Đứng yên( lúc đầu vật đứng yên)

Giải:

a. m1 đi lên thẳng đều

• Các lực tác dụng vào m1:

+ Trọng lực P

+ Phản lực N1

+ Lực căng T có độ lớn T = P2

+ Lực ma sát fms hướng xuống dọc theo mặt phẳng nghiêng

• Vì vật chuyển động thẳng đều:

0 1

1 +N +T+f ms =

P   

• Chiếu xuống Ox: P1sinα – T + fms = 0

Hay: P1sinα – P2 + µN1= 0 (1)

Chiếu xuống Oy: N1 – P1cosα = 0

N1 = P1cosα (2)

Từ (1) và (2) : P1sinα – P2 + µ P1cosα = 0

P1 (sinα + µcosα) = P2

 P1/P2 = sinα + µcosα

Hay m1/m2 = sinα + µcosα (3)

b. m1 đi xuống thẳng đều:

Trường hợp này lực ma sát fms hướng lên

Lý luận tương tự như trên ta có:

P1sinα – P2 - µN = 0

N = P1cosα

=> P1sinα – P2 - µ P1cosα = 0

=> P2/P1 = sinα - µcosα

Hay : m2/m1 = sinα - µcosα (4)

c. m1 đứng yên:

Lúc ban đầu vật đứng yên:

• Biểu thức (3) cũng là giá trị lớn nhất của m2/m1 để vật m1 còn đứng yên (để chuẩn bị chạy lên)

• Biểu thức (4) cũng là giá trị bé nhất của m2/m1 để vật m1 còn đứng yên (để chuẩn bị chạy xuống)

Vậy để vật m1 đứng yên thì: sinα - µcosα ≤ m 2 /m 1 ≤ sinα + µcosα

Bên cạnh sử dụng phương pháp động lực học để giải bài boán về ròng rọc ta có thể dùng phương pháp năng lượng để giải.

3 Phương pháp giải bài toán theo năng lượng

+ Xét từng vật hoặc cả hệ vật (tuỳ theo từng bài toán)

+ Chọn gốc thế năng

+ Tuỳ điều kiện bài toán ta có thể dùng công thức tính công, định lý bảo toàn công,

công thức tính động năng , thế năng, định lý biến thiên thế năng , định lý biên thiên động năng, định luật bảo toàn cơ năng

+ Gải các phương trình ta tìm được các đại lượng cần tìm.

3.1 Một số dạng bài tập

Loại 1: Dạng bài tập tính công của trọng lực

a Phương pháp

ms

f 

+ Sử dụng công thức tính công của trọng lực A = mgh

Với h = h1 – h2 : Vật * từ trên xuống h>0 => A>0

* từ dưới lên h<0 => A<0 Chú ý:

h1: độ cao của vật lúc đầu

h2: độ cao của vật lúc sau

b Bài tập mẫu

Cho cơ hệ như hình vẽ, m1 = 100g; m2=200g; α=300 tính công của trọng lực của hệ thống khi vật m1 đi lên không ma sát trên mặt phẳng nghiêng quãng đường 1m

Giải:

Nhận xét: m1 chuyển động 1m trên mặt phẳng nghiêng

m2 chuyển động 1m xuống phía dưới

Xét vật m1:

Công của trọng lực của m1:

A1 = m1g(h1 – h2) Tìm h1 – h2 ?

h1 – h2 = s.sin300

A1= - m1g sin 300

Vậy A1 = - 0,1.10.1.0,5 = - 0,5J

Xét vật m2:

Công của trọng lực của m2: A2 = m2gs = 0,2.10.1 = 2J

Vậy công của trọng lực của hệ là: A = A1+A2 = 1,5J

Loại 2: Áp dụng định luật bảo toàn công, định lý biến thiên thế năng, định lý biến thiên động năng

+ Định luật bảo toàn công:

- Không có máy nào làm cho ta lợi về công: Nếu máy làm tăng lực bao nhiêu lần thì giảm đường đi bấy nhiêu lần và ngược lại

- Độ lớn công của lực phát động bằng độ lớn công của lực cản:

C

A = ; Ad + AC =0

+ Định lý biến thiên thế năng:

Độ giảm thế năng bằng công của trọng lực: Wt2 – Wt1 = - A12

+ Định lýđộng năng: Wđ2 – Wđ1 = A12

b Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Xét hệ hai vật m1 = 2,5kg và m2 =1kg móc vào hai ròng rọc

cố định và động như hình vẽ Thả cho hệ chuyển động thì vật m1 dịch

chuyển một đoạn Vật m2 đi lên hay đi xuống bao nhiêu? Thế năng

của hệ tăng hay giảm bao nhiêu? So sánh với công của trọng lực Bỏ

qua khối lượng các ròng rọc và dây Lấy g = 10m/s2

Giải:

Tìm s2

Nếu hệ cân bằng: P2 = 2T => T = P2 /2

Xét vật m1:

Công A1 = T s1 ( lực căng của sợi dayy thực hiện 1 công)

Xét vật m2: Trọng lực P2 thực hiện một công A2 = P2.s2

Theo định luật bảo toàn công:

A1 =A2 => T.s1 = P2.s2 => s2 = s1/2 =1/2 = 0,5m

Tìm ∆Wt

Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu của một vật

Nên thế năng ban đầu của hệ Wt = 0

- Xét vật m1: đi xuống một đoạn s1, nên W’t1= - m1gs1

- Xét vật m2: đi lên một đoạn s2, nên W’t2 = m2gs2

Thế năng của hệ lúc này:

W’t= W’t1+W’t2 = m2gs2- C

Độ biến thiên thế năng của hệ

∆Wt = W’t – Wt = m2gs2- m1gs1 – 0

∆Wt= 1.10.0,5 – 2,5.10.1 = - 20J

Vậy thế năng của hệ giảm

Công của trọng lực AP

Ta có AP= AP1+AP2

Với AP1= m1gs1; AP2= - m2gs2

Nên AP= m1gs1 - m2gs2 = 20J = -∆Wt

Vậy: độ giảm thế năng của hệ bằng công của trọng lực

Bài tập 2: Hai vật A và B có khối lượng mA = 3kg và mB= 1kg được nối với nhau qua ròng rọc như hình vẽ, trong đó α= 300 Hệ thống luúc đầu đứng yên, sau đó ta thả cho

hệ chuyển động bỏ qua ma sát giữa vật A và mặt phẳng nghiêng; khối lượng ròng rọc

và dây nối coi như không đáng kể; dây nối không co dãn

a. Áp dụng định lý động năng để tính vận tốc của mỗi vật khi vật A đi được 1m

b. Chứng tỏ các vật chuyển động nhanh dần đề và tính gia tốc của chuyển động

Giải:

a. Vận tốc của mỗi vật:

Vì Psinα >P1 nên khi thả ra vật A trượt xuống còn vật B đi lên

• Xét vật A:

+ Các lực tác dụng vào A: P,T,N

+ Công của vật A khi nó di chuyển xuống dưới khoảng x:

A1= AP+ AT+AN = Psinα.x – T.x +0

+ Áp dụng địng lý động năng cho vật A:

mV22/2= Psinα.x – T.x (1)

• Xét vật B:

+ Các lực tác dụng vào B: P,T

+ Khi A di chuyển xuống khoảng x thì B đi lên x.

+ Công của B khi đi lên khoảng x:

A2=AP1+AT1 = - P1x + T x

+ Áp dụng định lý động năng cho vật B:

m1V2/2 = - P1x + Tx (2)

Cộng (1) và (2) ta được

gx m

m

m m

x m m

P P

V

x P P

V m

m

+

−

= +

−

=

−

= +

1

1 1

1 2

1

2 1

) sin

( 2 ) sin

(

2

) sin

( )

(

2

1

α α

α

(3)

Và : V = 2,5 ≈1,58m/s

b. Gia tốc chuyển động của các vật:

Biểu thức (3) có dạng: V2 = 2 ax

m m

m m

a

+

−

=

1

1 ) sin

= 1,25 m/s2

Cho ta kết luận A và B chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 1,25m/s2

Loại 3: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

a. Phương pháp

+ Xét cơ năng của hệ ở từng thời điểm

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ

W1=W2 với W= Wđ + Wt

b. Bài tập mẫu:

Hai vật A và B được nối với nhau bằng dây không giãn qua ròng rọc cố định với mA = 300g, mB= 200g Vật B trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng góc α =300 Lúc đầu vật A cách mặt đất h = 0,5m Lấy g= 10m/s2; bỏ qua khối lượng dây nối và ròng rọc

a. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng để tính vận tốc vật A và B khi A chạm đất

b. Khi vật A chạm đất thì vật B tiếp tục chuyển động đi lên trên mặt phẳng nghiêng một quảng đường là bao nhiêu?

Giải:

a. Vận tốc A và B khi chạm đất

Chọn mốc độ cao tại mặt đất thì:

• Cơ năng của hệ lúc thả:

W0 = mAgh+ mBgh1

• Cơ năng của hệ lúc chạm đất:

W1= mAV2/2 + mBV2/2 + mBgh2 với h2 = h1 +hsinα

Vì không có ma sát nên: W0 = W1

mAgh+ mBgh1 = mAV2/2 + mBV2/2 + mBg(h1 +hsinα)

( mA+mB)V2 =2( mA- mBsinα)gh

A

V h

h

1

h 3

V = 2m/s2

b Quãng đường vật B tiếp tục đi lên :

Khi vật A chạm đất, vật B do quán tính vật tiếp tục chuyển động chậm dần( do thành phần Psinα kéo xuống) nên sau đó vật B sẻ dừng lại

Cơ năng vật B lúc vật A dừng : mBgh2 + mBV2/2

Cơ năng vật B lúc dừng: mBgh3

Do không ma sát nên: mBgh2+ mBV2/2 = mBgh3

 h3 – h2 = V2/2g = 0,2m

Với h3-h2= lsinα nên: l= 0,4m

Trong phần này tôi chỉ dừng lại ở trường hợp khối lượng ròng rọc không đáng kể; nếu xét đến khối lượng của ròng rọc thì liên quan đến momen quán tính, phần này học sinh lớp 10 chưa học nên phức tạp.

III Một số bài tập và hướng dẫn giải:

1.Tự luận

Bài 1: Cho hệ thống (như hình vẽ bên dưới) Vật nặng có khối

lượng 20kg, ròng rọc A có khối lượng 1kg bỏ qua trọng lượng của

dây kéo; và dây không dãn

a) Cần tác dụng lên đầu dây C 1 lực F bằng bao nhiêu để cho hệ

thống ở trạng thái cân bằng ?

b) Độ lớn của lực F là bao nhiêu nếu cho vật nặng chuyển động

đều lên trên ? Biết lực ma sát giữa day kéo là ròng rọc tương

đương với một lực 25N

c) Tính công thực hiện để đưa vật nặng lên cao 4m bằng hệ thống

ròng rọc đó?

Bài 2: Cho hệ hai vật cân bằng như hình vẽ Biết

a) Xác định tỉ số giữa các đoạn AB và BC

b) Tính lực căng dây treo MC theo m

Bài 3:

Xác định sao cho hệ cân bằng Biết Khi hệ cân

bằng hợp lực tác dụng vào thanh đỡ AB bằng bao

nhiêu?

Bài 4: Cho hệ thống ròng rọc như hình vẽ.Bỏ qua trọng