SỞ GDĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI, HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN: TỐN - THPT Hướng dẫn chấm gồm trang I TRẮC NGHIỆM: (10 điểm) Mỗi câu trả lời 0,25 điểm Câu 10 Câu 10 Câu 10 Câu 10 Đáp án A D C C B A B C D B Đáp án C B C D A B A D A D Đáp án A D A B C A D B D C Đáp án A B C B D C B A C D Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MÃ ĐỀ 123 Đáp án Câu C 21 B 22 C 23 D 24 A 25 B 26 A 27 D 28 A 29 D 30 Đáp án A D A B C A D B D C Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án A B C B D C B A C D Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MÃ ĐỀ 234 Đáp án Câu A 21 D 22 C 23 C 24 B 25 A 26 B 27 C 28 D 29 B 30 Đáp án A B C B D C B A D C Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án A D A B C A D B D C Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MÃ ĐỀ 345 Đáp án Câu A 21 B 22 C 23 B 24 D 25 C 26 B 27 A 28 C 29 D 30 Đáp án A D C C B A B C D B Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án C B C D A B A D A D Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MÃ ĐỀ 456 Đáp án Câu A 21 D 22 A 23 B 24 C 25 A 26 D 27 B 28 D 29 C 30 Đáp án C B C D A B A D A D Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án A D C C B A B C D B Trang 1/4 II TỰ LUẬN: (10 điểm) Bài Đáp án 1.1 a) (1,5 điểm) (2,5 điểm) + Ta có y ' = mx − ( m − 1) x + ( m − 1) + Trường hợp 1: m = ⇒ m = (loại) Khi đó, y ' = x − ≥ ⇔ x ≥ + Trường hợp 2: m ≠ Khi đó, hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ m > ⇔ ( m − 1) − 3m ( m − 1) ≤ m > m ≥1 ⇔ ⇔ m ≥1 m ≤ − + Vậy với m ∈ [ 1; +∞ ) thỏa mãn yêu cầu toán Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) + Hàm số ( 1) có hai điểm cực trị x1 , x2 ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt 1.2 (1,0 điểm) m ≠ ⇔ (*) − < m < − 3m ( m − 1) x2 = m x1 + x2 = m 5m − ⇒ x1 = ⇒ 18m − 25m + = + Khi x1 + x2 = −1 m x1 x2 = ( m − 1) ( m − 1) x1 x2 = m m ⇒m= m = (Thỏa mãn (*)) + Phương trình đường thẳng d : y = k ( x − 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x+2 = k ( x − 1) ⇔ kx − ( k + 1) x + k − = ( 1) x −1 0,25 (vì x = khơng nghiệm ( 1) ) + Ycbt ⇔ f ( x ) = kx − ( 2k + 1) x + k − có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < < x2 0,25 ⇔ k f ( 1) < ⇔ −3k < ⇔ k > 0,25 + Từ phương trình (1) hệ ⇒ y > −2 2 2 (2,0 điểm) + PT (1) ⇔ x + x + + = ( y + ) ( y + ) + (3) 0,25 ( ) ( ) + Xét hàm số f ( t ) = t ( t + ) ( 0; +∞ ) ⇒ f ' ( t ) = 2t + > ∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến ( 0; +∞ ) Trang 2/4 0,25 + Vì PT (3) có dạng f ( x + 1) = f ( ( y + 2) ) ⇒ 2 x + = y + ⇒ y ≥ −1 x + = y + vào phương trình (2) hệ, ta có y +1 ( y − 1) y = y + ( ) ⇔ y = (vì y = khơng nghiệm (4)) y −1 2 y +1 1 1 y + Xét hàm số g ( y ) = − D , với D = −1; ÷∪ ; +∞ ÷ y −1 2 2 ⇒ g ( y ) = y ln + > ∀y ∈ D ( y − 1) 0,25 + Thế 0,25 0,25 + Bảng biến thiên g ( y ) D 0,25 ⇒ Phương trình g ( y ) = có nghiệm D + Vì g ( −1) = g ( 1) = ⇒ g ( y ) = có nghiệm y = 1; y = −1 + Với y = ⇒ x = ±2 + Với y = −1 ⇒ x = + Vậy nghiệm ( x; y ) hệ ( −2;1) , ( 2;1) , ( 0; −1) 0,25 0,25 B 3.1 (1,5 điểm) A d P H + Gọi H hình chiếu vng góc B d + Khi d ( B, d ) = BH ≤ BA Đẳng thức xảy ⇔ H ≡ A ⇔ d ⊥ AB r uuur + VTPT ( P ) n( P ) = ( 1;3; −1) ; AB = ( −1; −2;3) r r uuur + Đường thẳng d thỏa mãn ycbt có VTCP u d = n( P ) , AB r ⇒ u d = ( 7; −2;1) + Phương trình đường thẳng d : x −1 y z = = −2 Trang 3/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A' C' B' 3.2 (2,0 điểm) E 30 K A C H B + Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ A ' H ⇒ BC ⊥ ( ABB ' A ' ) 0,25 + HK / / BC ⇒ HK ⊥ ( ABB ' A ') + Gọi HE đường cao tam giác HAA ' ⇒ HE ⊥ AA ' (*) + Vì HK ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ HK ⊥ HE ⇒ d ( HK , AA ') = HE = a 0,25 ) ( ( · · , KE + Vì AA ' ⊥ ( HKE ) ⇒ AA ' ⊥ EK , kết hợp (*) ⇒ ( AA ' B ) , ( AA ' C ) = HE · · = HEK = 300 (vì tam giác HKE vuông H nên HEK < 900 ) + Ta có HK = HE.tan 300 = a ⇒ BC = 2a ⇒ AB = 4a + Khi S ABC = BA.BC = 4a + Trong tam giác HAA ' vuông H , HE đường cao 1 1 1 ⇒ = + ⇒ = 2+ ⇒ HA ' = 2a 2 HE HA HA ' 3a 4a HA '2 + VABC A ' B 'C ' = HA '.S ABC = 8a 3 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Vì a1 + a2 ≤ a12 + a22 ∀a1 , a2 > Dấu “=” ⇔ a1 = a2 x2 y2 z2 P≥ + + + Ta có (1,0 điểm) y + z z + x2 x2 + y ÷ ÷ 0,25 + Đặt a = y + z , b = z + x , c = x + y b2 + c − a 2 a + c − b2 a + b − c ;y = ;z = 2 b2 + c − a c + a − b2 a + b2 − c ⇒P≥ + + ÷ a b c 2 ⇒ a + b + c = 2016 x = = 2 a +b +c 2 ( ) a1 + b1 + 1c ÷ − ( a + b + c ) 1 2 ≥ ( a + b + c ) a + b + c ÷− ( a + b + c ) = 504 2 Đẳng thức xảy a = b = c = 672 + Vậy GTNN biểu thức P 504 a = b = c = 672 -Hết - Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 ... 4a HA '2 + VABC A ' B 'C ' = HA '.S ABC = 8a 3 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Vì a1 + a2 ≤ a12 + a22 ∀a1 , a2 > Dấu “=” ⇔ a1 = a2 x2 y2 z2 P≥ + + + Ta có (1,0 điểm) y + z z + x2 x2