PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT Xử lý tín hiệu số

Tuy nhiên các hệ xử lý số trong thực tế lại chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có độ dài hữu hạn ví dụ như một bức ảnh hay một đoạn âm thanh với tần số ω rời rạc.. Tuy nhiên, trong giới hạ

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

TIỂU LUẬN

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO

CHỦ ĐỀ1:

PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT

Nhóm học viên thực hiện: Nguyễn Ngọc Tú

Đinh Hải Châu Nghiêm Xuân Hùng

Lớp CH Kỹ thuật Viễn thông : M14CQTE02-B

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

MỞ ĐẦU

Hiện nay các hệ thống số trong các lĩnh vực thông tin, xử lý tín hiệu… đã trở nên phổ biến và thay thế hầu hết các thiết bị tương tự ở cùng lĩnh vực Để nghiên cứu tín hiệu cũng như các đặc trưng của tín hiệu như băng tần, phổ… người ta hay

sử dụng biến đổi Fourier thông thường Phép biến đổi Fourier thông thường trong nghiên cứu cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số có độ dài vô hạn theo hàm tần số ω liên tục Tuy nhiên các hệ xử lý số trong thực tế lại chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có độ dài hữu hạn ví dụ như một bức ảnh hay một đoạn âm thanh với tần số

ω rời rạc Do đó người ta xây dựng phép biến đổi Furier cho các dãy có độ dài hữu hạn và có tần số rời rạc và gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc Nó được viết tắt theo

tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform).

DFT được ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứu tín hiệu ở dạng giải tích Đặc biệt

là nghiên cứu phổ tín hiệu cũng như các bộ lọc số Để thực hiện được điều đó người

ta dùng phương pháp xấp xỉ hàm tần số của dãy vô hạn hoặc có độ dài rất lớn bằngcác công thức nội suy DFT đòi hỏi tín hiệu có độ dài hữu hạn, thông qua cửa sổtrước khi phân tích Đối với tín hiệu hình sin, chiều rộng của búp chính quan sátđược trong các DFT phụ thuộc vào độ dài cửa sổ, với chiều dài cửa sổ càng tăngdẫn đến búp sóng càng hẹp Ngoài ra, tác động độc lập vốn có trong phân tích phổ

sử dụng DFT là lấy mẫu các phổ liền kề Để tránh nhầm lẫn khi quan sát và phântích phổ, khoảng cách giữa các mẫu phổ có thể giảm bằng cách tăng size của DFTtheo một trong hai cách Phương pháp thứ nhấtlà tăng kích thước DFT trong khi vẫngiữ độ dài cửa sổ cố định (yêu cầu zero-padding của chuỗi cửa sổ) Điều này khônglàm tăng độ phân giải Phương pháp thứ hai là tăng cả chiều dài cửa sổ và kíchthước DFT, trong trường hợp này khoảng cách giữa các mẫu phổ giảm và khả nănggiải quyết các thành phần hình sin gần nhau được tăng lên

Trong khi tăng chiều dài cửa sổ và độ phân giải thường mang lại lợi ích trongphân tích phổ của tín liệu ổn định, bất biến về thời gian Điều này dẫn đến kháiniệm Biến đổi Fourier phụ thuộc thời gian, trong đó một chuỗi các biến đổi Fouriergồm các slides tín hiệu qua một cửa sổ finite-duration.Biến đổi Fourier phụ thuộcthời gian có những ứng dụng quan trọng như là bước trung gian của tín hiệu lọc và

để phân tích và giải thích các tín hiệu time-varying

DFT cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các tín hiệu ngẫu nhiên,bất biến Một cách tiếp cận trực quan nhằm ước lượng mật độ phổ công suất của tínhiệu ngẫu nhiên là tính toán bình phương độ lớn DFT của một phân đoạn tín hiệu.Các kết quả ước tính , được gọi là periodogram Một phương pháp khác là ước tínhhàm tự tương quan trực tiếp hoặc với DFT.

Phân tích phổ tín hiệu là một ứng dụng vô cùng quan trọng của biến đổi Fourierrời rạc, là cơ sở để nghiên cứu tín hiệu ở những nội dung sâu hơn

Tuy nhiên, trong giới hạn nội dung môn học , tiểu luận "Phân tích phổ với DFT

" xin phép chỉ đề cập tới các khái niệm và nội dung căn bản về biến đổi DFT, sửdụng phương pháp cửa sổ để giới hạn dãy tuần hoàn có chiều dài vô hạn để phântích phổ mà không đi sâu vào phân tích các nội dung liên quan tới tín hiệu time-varying,biến đổi Fourier phục thuộc thời gian, periodogram và ước tính hàm tựtương quan

Các nội dung chính của tiểu luận bao gồmcác vấn đề chính sau đây:

- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N

- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N

- Xấp xỉ hàm tần số của dãy vô hạn có độ dài rất lớnbằng phương pháp cửa sổ

- Ứng dụng của DFT trong phân tích phổ tín hiệu

Do khả năng còn hạn chế nên việc nghiên cứu, tóm lược nội dung của nhómcũng chưa được sâu sắc và không tránh khỏi sai sót Rất mong được sự quan tâmgiúp đỡ của thầy giáo và góp ý của các bạn học viên

1- PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)

1.1- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N

Đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N, ta thấy không cần thiết phảithực hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn của

- Định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N:

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT: Discrete Fourier Transform) của một dãy tuầnhoànx n%( )Ncó chu kỳ N được định nghĩa nhưsau:

x n% là dãy tuần hoàn chu kỳ N nên nó thỏa mãn:x( n ) x( n lN )% = % +

Theo cách đặt như trên thì biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn chu kỳ

N được viếtlại như sau:

1 0

( ) N ( )Wkn

N n

Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT chỉ khác dấu (-), (+) và hệ số 1/N trướcdấu ∑ .Vì vậy ta chỉ cần xét DFT rồi suy ra biến đổi IDFT Về mặt thuật toán là

( )( )( )( )

0 1 2 1

x x

( ) ( )

- Các tính chất của DFT đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N:

Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc sẽ được tóm tắt trong bảng 1.1, ở đây

ta tập trung xem xét khái niệm về phép chập tuần hoàn

1.2- Biến đổi Fourier rời rạc DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N.

Một dãy x(n) có chiều dài N nghĩa là:L x n[ ( )] [= 0,N− = 1] N

Như trên chúng ta đã xét biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu

kỳ N và đãthấy ưu điểm nổi bật của biến đổi Fourier rời rạc DFT là biến đổi xuôi vàbiến đổi ngược đều được thực hiện cùng một thuật toán, nhưng trên thực tế khôngphải lúc nào chúng ta cũng gặp dãy tuần hoàn

Bây giờ, ta xét dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn như sau:

Ta coi dãy có chiều dài N như trên là một chu kỳ của một dãy tuần hoàn có chu

kỳ M như sau:

Quan hệ giữa chu kỳ M và chiều dài N phải thỏa mãn:

M ≥ N (thường chọn M = 2γ nghĩa là chọn dạng hàm mũ theo cơ số 2)

Nếu M=N, ta có thể biểu diễn quan hệ giữa dãy có chiều dài hữu hạn N x(n)Nvàdãy tuầnhoàn có chu kỳ N

Hay biểu diễn cho gọn dưới dạng sau:

Hình 1.2.1 Biểu diễn dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N x(n)N. Hình 1.2 1 Biểu diễn dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N x(n)N.

Hình 1.2 2 Biểu diễn dãy tuần hoàn có chiều dài chu kỳ M

( )N ( )N N( )

x n =x n rect n%

Như vậy, nếu ta coi chiều dài hữu hạn N: x ( n )N là một chu kỳ của dãy tuầnhoàn có chu kỳM: x n%( )Mvới M ≥ N ta có thể áp dụng định nghĩa biến đổi Fourierrời rạc đối với dãy tuần hoànnhư đã xét ở trên cho dãy có chiều dài hữu hạn Saukhi thực hiện biến đổi xong ta lấy kết quả nhưng chỉ khoanh vùng trong một chu kỳ,

từ đó ta xây dựng được định nghĩa cho cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy cóchiều dài hữu hạn N

- Định nghĩa cặp DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N

Cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn

N được định nghĩa như sau

Biến đổi xuôi DFT

- Các tính chất của DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N.

1 0

X k N

−

=

∑

Bảng 1 2 Tính chất của DFT đối với các dãy có chiều dài hữu hạn N.

Bảng 1.2 tóm tắt các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier rời rạc được thựchiện với các dãy có chiều dài hữu hạn

2- XẤP XỈ HÀM TẦN SỐ CỦA DÃY VÔ HẠN HOẶC CÓ ĐỘ DÀI RẤT LỚN

DFT thường được sử dụng để nghiên cứu phổ tín hiệu liên tục theo thời gian,cũng như tổng hợp bộ lọc số, ví dụ trong phân tích tần số của tín hiệu tiếng nóinhằm xác định và mô hình hóa sự cộng hưởng của khoang âm thanh

Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãyx t c( ) thường đại diện cho một dãy hữuhạn các mẫu tại các thời điểm cách đều nhau của một tín hiệu s t c( ), trong đó t để chỉthời gian Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biếnđổi Fourier liên tục của s t c( )thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), vàthường gây ra hiệu ứng răng cưa Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần

số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng này

Các bước cơ bản trong việc áp dụng DFT cho tín hiệu liên tục theo thời gian được thể hiện trong hình 2.1.

Hình 2 1:Các bước xử lý trong phân tích DFT của một tín hiệu liên tục theo thời gian

Các bộ lọc khử răng cưa ( Anti-aliasing Lowpass Filter ) được tích hợp để loại

bỏ hoặc giảm thiểu hiệu ứng răng cưa khi tín hiệu liên tục theo thời gian đượcchuyển thành một chuỗi rời rạc Bằng công thức nội suy cho phép xác định gần

đúng hàm tần số XN(e jω) = FT[x(n) N ] qua dãy phức X(k) N =DFT[x(n) N] Tuy nhiên,

không thể dùng DFT để xác định hàm tần số của dãy x(n) vô hạn Nếu dãy x(n) N

hữu hạn, nhưng có N rất lớn thì việc tính DFT để tìm X(k) N và XN(e jω) cũng rất khó

khăn do khối lượng và thời gian tính quá lớn Từ đó có yêu cầu xấp xỉ hàm tần số

X(e jω) của dãy x(n) vô hạn hoặc có độ dài N rất lớn bằng hàm tần số XN(e jω) của dãy hữu hạn x(n) N với N không quá lớn Để thực hiện điều đó, cần "chặt" lấy một đoạn thích hợp của dãy x(n), biến nó thành dãy hữu hạn x(n) N , sau đó tính X(k) N

=DFT[x(n) N ], từ đó xấp xỉ hàm tần số XN(e jω) bằng công thức nội suy

2.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến sai số xấp xỉ hàm tần số

Việc "chặt" dãy vô hạn x(n) thành dãy hữu hạn x(n - n0) N , tương đương nhân nó

∉

− +

, [ 0

)]

1 (

, [ 0

) (

0 0

0 0 0

N

N n n n Khi

n n n Khi n

n

(2.1)Tức là: x(n−n0)N = x(n).w(n−n0)N

Khi đó phổ rời rạc của dãy hữu hạn x(n- n0) N có thể tìm được bằng DFT:

( ]

) ( [ )

(

N

N N

N

n n n

n jk

e n n w n x n

n x DFT

k

(2.2)

Sai số xấp xỉ hàm tần số X(e jω) của dãy x(n) vô hạn khi dùng hàm cửa sổ w(n

-n0) N và tính qua DFT sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố sau:

1 Dạng hàm cửa sổ w(n - n0) N

2 Vị trí đặt cửa sổ, tức là giá trị của n0.

3 Độ dài của cửa sổ, tức là giá trị của N.

Để giảm sai số xấp xỉ, cần chọn dạng hàm cửa sổ w(n), vị trí đặt cửa sổ n0 và độ

dài của cửa sổ N thích hợp.

2.2 Các phương pháp giảm sai số xấp xỉ hàm tần số

Ví dụ với dãy x(n)= 2 −n u(n)thì các mẫu có giá trị lớn nằm ở gần gốc tọa độ, vì

thế vị trí cửa sổ cần được chọn với n0 = 0

2.2.2 Chọn độ dài của cửa sổ N

Sai số xấp xỉ sẽ phụ thuộc rất lớn vào việc chọn độ dài hàm cửa sổ N, hay chính

là độ dài N của dãy x(n) N Tất nhiên, N càng lớn thì sai số xấp xỉ càng nhỏ, nhưng

thời gian tính DFTsẽ càng lớn Tuy nhiên, có những trường hợp do dạng cụ thể của

dãy x(n) mà việc tăng lớn N sẽ không ảnh hưởng nhiều đến độ chính xác của hàm tần số được xấp xỉ Vì thế, giá trị của N để xấp xỉ phải được chọn tối ưu theo các

yêu cầu sau:

- Sai số cho phép của hàm tần số được xấp xỉ XN(e jω) so với X(e jω).

∉

− +

)]

( , [ )

( )

(

1 0

1 1

0 0

0 0 0

0

N

N n n n Khi

n n n Khi n

n rect n

n

(2.3)

Đặc tính tần số của cửa sổ chữ nhật wR(n) N có dạng:

( )

).

1 (

2

2 1

1

sin

sin )]

( [ ) (

ω ω

ω ω

N R

j j

j

e

e n

rect FT

W

(2.4)Các tham số của đặc tính tần số các hàm cửa sổ là bề rộng đỉnh trung tâm ∆Ω

và tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên Đối với cửa sổ chữnhật có:

3

sin

sin

) (

) ( 3

0

N N

N N W

W

N R

R R

j j

e

e

π

ππ

1

20 log10 = log10 = −

=

η λ

Khi N lớn cửa sổ chữ nhật có các tham số:

Khi

n

n n n

n n

n w

N N

N T

0

2

|

| 2

Cửa sổ tam giác wT(n) N là dãy đối xứng Có thể chứng minh được, cửa sổ tam

giác wT(n) N là tích chập của hai cửa sổ chữ nhật:

2 2

2 2

) (

* ) ( )

(

* ) ( )

ω

ω

ω jN j

j j

N W

W N

4

4

2

2

2

2 sin

sin ).

( ).

( )

(

(2.9)

Đồ thị của cửa sổ tam giác wT(n - 5)10 với n0 = 5 , N = 10 , và đồ thị đặc tính

biên độ tần số WT(e jω) tương ứng trên hình 2.2

wT(n - 5)10

Khi N lớn, cửa sổ tam giác có các tham số:

- ∆ω T = 8π/N

- λ T = -26 dB

So sánh hàm biên độ tần số của cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ω T = 2∆ω R nên XT(e jω)có đỉnh trung tâm rộng hơn, với hai sườn ítdốc hơn XR(e jω) Hàm tần số được xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có sai số ở búpchính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật

- Vì λ T = 0,5λ R nên XT(e jω)có độ gợn sóng ở búp chính và các búp phụ thấphơn XR(e jω) Hàm tần số được xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có độ gợn sóng nhỏhơn dùng cửa sổ chữ nhật.

( cos )

0 0

N

n n

(

n

N e e n n

w

N

N C

π π

2

sin sin

2

sin )

(

2 2

2 2 2

π

ππ

π

ω

ω ω

ω

ω

(2.12)

W c (e jω) là xếp chồng của hai cửa sổ chữ nhật W R (e jω) ngược pha nhau.

Đồ thị của cửa sổ cosinW C (n - 5)10 với n0 = 5 , N = 10 , và hàm biên độ tần số

2

0 ,9 5

Hình 2 4: Đồ thị cửa sổ w C (n - 5) 10 và hàm W C (e jω ) tương ứng.

-∆ω C <∆ω R <∆ω T , xấp xỉ hàm tần số dùng cửa sổ cosin có sai số ở búp chính

lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật, nhưng nhỏ hơn dùng cửa sổ tam giác

- Vì λ T<λC<λR nên độ gợn sóng của hàm tần số xấp xỉ bằng cửa sổ cosin thấp

hơn dùng cửa sổ chữ nhật, lớn hơn dùng cửa sổ tam giác

2.4.4- Các cửa sổ Hanning w Hn (n) N và Hamming w Hm (n) N

- Hàm cửa sổ Hamming tổng quát có dạng:

=

kh¸c n mäi Víi

Khi

0

1 0

2

( )

W H e j

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

sin 4

sin 2

) 1 ( sin

4

sin 2

) 1 ( sin

sin )

(

π

ππ

π

ω

ω α

ω

ω α

ω

ω α

(

N H

=

kh¸c n mäi Víi

Khi

0

1 0

2 5 , 0 5 ,

sin 4

sin

sin 4

sin

sin 2

sin ) (

2 2

2 2 2

2

2 2 2

H

j j

π

ππ

π

ω

ω ω

ω ω

Hình 2 5: Đồ thị cửa sổ wHn(n) 10 và hàm XHn(e jω )

Khi N lớn, cửa sổ Hanning có các tham số:

- ∆ω Hn = 2,3π/N

- λ Hn = -32 dB

So sánh cửa sổ Hanning với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ω R <∆ω Hn <∆ω T nên búp chính của cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ chữ

nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác

- Vì λ Hn>λC>λR nên độ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của cửa sổ

Hanning thấp hơn các cửa sổ chữ nhật, tam giác, và cosin.

=

kh¸c n mäi Víi

Khi

0

1 0

2 46 , 0 54 ,

(

2 2

2 2 23 , 0

2 2

2 2 23 , 0

2

2 54 ,

H

j j

π

ππ

π

ω

ω ω

ω ω

So sánh cửa sổ Hamming với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

- Vì ∆ω R <∆ω Hm <∆ω T nên búp chính của cửa sổ Hamming lớn hơn cửa sổ chữ

nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác

- Vì λ Hm>λHn>λR nên độ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của hàm tần số

được xấp xỉ bằng cửa sổ Hamming là thấp nhất trong dạng các cửa sổ trên.

Như vậy, cửa sổ chữ nhật cho hàm tần số XN(e jω) gần giống X(e jω) ở búp sóng

chính, nhưng gây sai số lớn ở các vùng biên vì có sóng phụ lớn Cửa sổ tam giác

cho hàm tần số XN(e jω) có sai số ở búp sóng chính lớn hơn và sai số ở các búp sóng phụ nhỏ hơn so với dùng cửa sổ chữ nhật Các cửa sổ Cosin, và Hamming, Hanning

đạt được độ chính xác trung hòa của hai cửa sổ chữ nhật và tam giác ở cả vùng búp

sóng chính và các búp sóng phụ Độ gợn sóng của cửa sổ Hamming là nhỏ nhất.

3.SỬ DỤNG DFT TRONG PHÂN TÍCH PHỔ TÍN HIỆU

3.1 Khái niệm của phổ

- Spectrum (Phổ): Thực chất nên hiểu là một dạng hàm chuyển đổi Với mộtdạng sóng liên tục, phổ là sự chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số

- Fourier spectrum: (Phổ Fourier) Là 1 hàm chuyển đổi rất hay được dùng trong

xử lý tín hiệu số (DSP: Digital signal processing) Nó có thể được hiểu đơn giản làhàm biểu thị sự tương quan của 1 tín hiệu nào đó với 1 tập hợp các hàm sin và cos.Tại sao phải cần tìm sự tương quan này? Có nhiều lý do, nhưng lý do chính có lẽ là

do sin và cos là những hàm tuần hoàn hay sử dụng nhất trong thông tin bởi khảnăng mang thông tin của chúng Một tín hiệu nếu được chuyển thành các hàm sin vàcos thì sẽ có khả năng dùng trong thông tin Như ta đã biết, các hàm sin, cos đượcđặc trưng bởi 3 thông số: biên độ, tần số và pha Trong miền thời gian, cả 3 thông

số này đều được biểu diễn theo hàm của thời gian Phổ Fourier biểu diễn các thông

số biên độ và thời gian theo thông số tần số Như vậy mục đích chính của ta làchuyển đổi 1 tín hiệu (từ miền thời gian) sang miền tần số Việc chuyển đổi này chophép ta có thể xử lý tín hiệu 1 cách chính xác và tiện lợi hơn nhiều do làm việc trựctiếp với tần số, tài nguyên quan trọng bậc nhất của thông tin

Trong miền tần số, mỗi tín hiệu đều có đặc điểm riêng của nó Ví dụ như, tínhiệu sin chỉ códuy nhất một tần số đơn, trong khi nhiễu trắng chứa tất cả các thànhphần tần số Sự biếnthiên chậm của tín hiệu là do tần số thấp, trong khi sự biếnthiên nhanh và những sườn nhọnlà do tần số cao Như xung vuông chẳng hạn, nóchứa cả tần số thấp và cả tần số cao Hình 3.1 minh họa cho điều đó Hình (a) là mộtsóng sin tần số thấp, các hình sau (b)-(c) cộngthêm dần các sóng sin tần số cao dần