PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT Xử lý tín hiệu số

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TIỂU LUẬN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO CHỦ ĐỀ1: PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT Người hướng dẫn: TS NGUYỄN NGỌC MINH Nhóm học viên thực hiện: Nguyễn Ngọc Tú Đinh Hải Châu Nghiêm Xuân Hùng Lớp CH Kỹ thuật Viễn thông : M14CQTE02-B Hà Nội, tháng năm 2015 Mục lục bảng Mục lục hình Hình 1:Các bước xử lý phân tích DFT tín hiệu liên tục theo thời gian Hình 2: Đồ thị cửa sổ wR(n)10 WT(ejω) tương ứng Hình 3:Đồ thị cửa sổ wT(n - 5)10 hàm WT(ejω)  Hình 4: Đồ thị cửa sổ wC(n - 5)10 hàm WC(ejω) tương ứng Hình 5: Đồ thị cửa sổ wHn(n)10 hàm XHn(ejω) Hình 6: Đồ thị cửa sổ wHm(n)10 hàm XHm(ejω) MỞ ĐẦU Hiện hệ thống số lĩnh vực thông tin, xử lý tín hiệu… trở nên phổ biến thay hầu hết thiết bị tương tự lĩnh vực Để nghiên cứu tín hiệu đặc trưng tín hiệu băng tần, phổ… người ta hay sử dụng biến đổi Fourier thông thường Phép biến đổi Fourier thông thường nghiên cứu cho phép phân tích tín hiệu số hệ xử lý số có độ dài vô hạn theo hàm tần số ω liên tục Tuy nhiên hệ xử lý số thực tế lại xử lý tín hiệu số có độ dài hữu hạn ví dụ ảnh hay đoạn âm với tần số ω rời rạc Do người ta xây dựng phép biến đổi Furier cho dãy có độ dài hữu hạn có tần số rời rạc gọi phép biến đổi Fourier rời rạc Nó viết tắt theo tiếng Anh DFT (Discrete Fourier Transform) DFT ứng dụng rộng rãi nghiên cứu tín hiệu dạng giải tích Đặc biệt nghiên cứu phổ tín hiệu lọc số Để thực điều người ta dùng phương pháp xấp xỉ hàm tần số dãy vô hạn có độ dài lớn công thức nội suy DFT đòi hỏi tín hiệu có độ dài hữu hạn, thông qua cửa sổ trước phân tích Đối với tín hiệu hình sin, chiều rộng búp quan sát DFT phụ thuộc vào độ dài cửa sổ, với chiều dài cửa sổ tăng dẫn đến búp sóng hẹp Ngoài ra, tác động độc lập vốn có phân tích phổ sử dụng DFT lấy mẫu phổ liền kề Để tránh nhầm lẫn quan sát phân tích phổ, khoảng cách mẫu phổ giảm cách tăng size DFT theo hai cách Phương pháp thứ nhấtlà tăng kích thước DFT giữ độ dài cửa sổ cố định (yêu cầu zero-padding chuỗi cửa sổ) Điều không làm tăng độ phân giải Phương pháp thứ hai tăng chiều dài cửa sổ kích thước DFT, trường hợp khoảng cách mẫu phổ giảm khả giải thành phần hình sin gần tăng lên Trong tăng chiều dài cửa sổ độ phân giải thường mang lại lợi ích phân tích phổ tín liệu ổn định, bất biến thời gian Điều dẫn đến khái niệm Biến đổi Fourier phụ thuộc thời gian, chuỗi biến đổi Fourier gồm slides tín hiệu qua cửa sổ finite-duration.Biến đổi Fourier phụ thuộc thời gian có ứng dụng quan trọng bước trung gian tín hiệu lọc để phân tích giải thích tín hiệu time-varying DFT đóng vai trò quan trọng việc phân tích tín hiệu ngẫu nhiên, bất biến Một cách tiếp cận trực quan nhằm ước lượng mật độ phổ công suất tín hiệu ngẫu nhiên tính toán bình phương độ lớn DFT phân đoạn tín hiệu Các kết ước tính , gọi periodogram Một phương pháp khác ước tính hàm tự tương quan trực tiếp với DFT Phân tích phổ tín hiệu ứng dụng vô quan trọng biến đổi Fourier rời rạc, sở để nghiên cứu tín hiệu nội dung sâu Tuy nhiên, giới hạn nội dung môn học , tiểu luận "Phân tích phổ với DFT " xin phép đề cập tới khái niệm nội dung biến đổi DFT, sử dụng phương pháp cửa sổ để giới hạn dãy tuần hoàn có chiều dài vô hạn để phân tích phổ mà không sâu vào phân tích nội dung liên quan tới tín hiệu timevarying,biến đổi Fourier phục thuộc thời gian, periodogram ước tính hàm tự tương quan Các nội dung tiểu luận bao gồmcác vấn đề sau đây: - Biến đổi Fourier rời rạc DFT dãy tuần hoàn có chu kỳ N - Biến đổi Fourier rời rạc DFT dãy có chiều dài hữu hạn N - Xấp xỉ hàm tần số dãy vô hạn có độ dài lớnbằng phương pháp cửa sổ - Ứng dụng DFT phân tích phổ tín hiệu Do khả hạn chế nên việc nghiên cứu, tóm lược nội dung nhóm chưa sâu sắc không tránh khỏi sai sót Rất mong quan tâm giúp đỡ thầy giáo góp ý bạn học viên 1- PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 1.1- Biến đổi Fourier rời rạc DFT dãy tuần hoàn có chu kỳ N Đối với dãy tuần hoàn với chu kỳ N, ta thấy không cần thiết phải thực biến đổi Fourier liên tục mà cần lợi dụng tính chất tuần hoàn x% (n) N với chu kỳ N tính tuần hoàn biến e jω chu kỳ π , nghĩa cần lấy 2π điểm đặc biệt N đường tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N tín hiệu % tuần hoàn x( n) N - Định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn chu kỳ N: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT: Discrete Fourier Transform) dãy tuần % hoàn x(n) N có chu kỳ N định nghĩa nhưsau: 2π N −1 N −1 −j kn X%( k ) = ∑ x%( n ) e N = ∑ x%( n ) e − jωk n n =0 Trong đó: ωk = 2π k N với n =0 (1.1) k = ÷ N −  n = ÷ N − %n ) = x( %n + lN ) x% (n) dãy tuần hoàn chu kỳ N nên thỏa mãn: x( Nếu đặt: Ta có: − kn N W =e − jωk n =e −j WNkn = e − jωk n = e −j 2π kn N 2π kn N (1.2) WN = e −j 2π N −1 N ; W =e j 2π N ; WN = Theo cách đặt biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn chu kỳ N viếtlại sau: N −1 X%(k ) = ∑ x% (n)WNkn (1.3) n =0 Để viểu diễn cho gọn, người ta thường biểu diễn theo (1.3) : Ký hiệu toán tử: DFT [ x% (n ) ] = X%(k ) DFT x%( n )  → X%( k ) - Định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT với dãy tuần hoàn: Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT khác dấu (-), (+) hệ số 1/N trước dấu ∑ Vì ta cần xét DFT suy biến đổi IDFT Về mặt thuật toán Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT định nghĩa sau: x%( n ) = N 2π N −1 j kn ∑ X%( k ) e N (1.4) k =0 Hay viết lại cho gọn: x%( n ) = N N −1 ∑ X%( k ) W − kn N k =0 (1.5) Ký hiệu: IDFT  X%( k )  = x%( n ) Dạng toán tử: IDFT X%( k )  → x%( n ) - Biểu diễn DFT dạng ma trận: Xuất phát từ biểu thức (1.3) ~ N −1 ~ X (k ) = ∑ x(n).WNkn n =0 Ta khai triển: % (0)WN0 + x% (1)WN0 + x% (2)WN0 + + x% ( N − 1)WN0 k=0: X (0) = x% % (0)WN0 + x% (1)WN1 + x% (2)WN2 + + x% ( N − 1)WN( N −1) k=1: X (1) = x% % (0)WN0 + x% (1)WN2 + x% (2)WN4 + + x% ( N − 1)WN2( N −1) k=2: X (2) = x% ……………… ~ ~ ~ ~ ~ N −1 2( N −1) + + x( N − 1)WN( N −1)( N −1) K= N-1: X ( N − 1) = x(0)WN + x(1)WN + x(2)WN Ta ký hiệu:  X%( )   %   X ( 1)  X%( k ) =  X%( )    M    X%( N − 1)   ,  x%( )     x%( 1)  x%( n ) =  x%( )    M    x%( N − 1)    (1.6) WN0 WN0  WN1 WN WN = WN0 WN2   M M  ( N −1) WN WN WN0 WN2 WN4 M WN ( N −1)   K WN( N −1)   K WN2( N −1)  O M   N −1 N −1 K WN( ) ( )  (1.7) WN0 K Ta viết lại cho gọn biểu diễn theo ma trận sau: X%(k ) = x% (n).WN (1.8) - Các tính chất DFT dãy tuần hoàn chu kỳ N: Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc tóm tắt bảng 1.1, ta tập trung xem xét khái niệm phép chập tuần hoàn Phép chập tuần hoàn - Tích chập tuyến tính học: x3 ( n ) = x1 ( n )* x2 ( n ) = N −1 ∑ x1 ( m )x2 ( n − m ) (1.9) m =∞ Tích chập tuần hoàn (hay chập vòng) biểu diễn sau: N −1 % % % % % x% ( n) N = x1 ( n) N (∗) N x2 ( n) N = ∑ x1 ( m) N x2 ( n − m) N (1.10) m =0 Miền n Miền k N −1 ~ ∑ X (k )WN− kn N k =0 % ax% ( n ) N + bx2 (n ) N ~ x(n) = N −1 ~ ~ X (k ) = ∑ x( n)WNkn k =0 x% ( n − n0 ) N % aX% ( k ) N + bX ( k ) N W kn0 X%(k ) W x% ( n) % % x% (n ) N (∗) N x2 (n ) N X%( k + l ) X%(k ) X%(k ) N ln N % x% ( n ) N x2 ( k ) N N N N −1 ∑ X%1 (l ) N X%1 (k − l ) N N i =0 %% X% ( k ) N (∗) X ( k ) N X%(k ) = X%∗ (− k ) Re  X%(k )  = Re  X%∗ (− k )  ~  ~  Im  X (k )  = Im  X (−k )      ~ ~ X (k ) = X ( − k ) ~  ~  arg  X (k )  = − arg  X ( −k )      Bảng 1 Các tính chất DFT dãy tuần hoàn có chu kỳ N 1.2- Biến đổi Fourier rời rạc DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N ] [ ] Một dãy x(n) có chiều dài N nghĩa là: [ Như xét biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N đãthấy ưu điểm bật biến đổi Fourier rời rạc DFT biến đổi xuôi biến đổi ngược thực thuật toán, thực tế lúc gặp dãy tuần hoàn Bây giờ, ta xét dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn sau: L x(n) = 0, N − = N Hình 1.2 Biểu dãy hoàn dài Hình 1.2.1 Biểu1diễn dãydiễn không tuầnkhông hoàn cótuần chiều dài hữucó hạnchiều N x(n)N hữu hạn N x(n)N Ta coi dãy có chiều dài N chu kỳ dãy tuần hoàn có chu kỳ M sau: Hình 1.2 Biểu diễn dãy tuần hoàn có chiều dài chu kỳ M Quan hệ chu kỳ M chiều dài N phải thỏa mãn: M ≥ N (thường chọn M = 2γ nghĩa chọn dạng hàm mũ theo số 2) Nếu M=N, ta biểu diễn quan hệ dãy có chiều dài hữu hạn N x(n) Nvà ~ dãy tuầnhoàn có chu kỳ N x (n) N sau: (n ) N  x% x( n) N =  0 Hay biểu diễn cho gọn dạng sau: ≤ n ≤ N −1 n≠ x(n) N = x% ( n) N rect N (n) Như vậy, ta coi chiều dài hữu hạn N: x ( n ) N chu kỳ dãy tuần (n) M hoàn có chu kỳM: x% với M ≥ N ta áp dụng định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoànnhư xét cho dãy có chiều dài hữu hạn Sau thực biến đổi xong ta lấy kết khoanh vùng chu kỳ, từ ta xây dựng định nghĩa cho cặp biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn N - Định nghĩa cặp DFT dãy có chiều dài hữu hạn N Cặp biến đổi Fourier rời rạc dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N định nghĩa sau Biến đổi xuôi DFT  N −1 kn ∑ x ( n ) WN X ( k ) =  n=0 0  ≤ k ≤ N −1 k≠ DFT x ( n )  → X ( k ) DFT  x ( n )  = X ( k ) Ký hiệu: Hay: Biến đổi ngược IDFT 1  x ( n) =  N 0  N −1 ∑ X ( k)W − kn N k =0 ≤ n ≤ N −1 n≠ I DFT X ( k )  → x ( n ) I DFT  X ( k )  = x ( n ) Ký hiệu: Hay: - Các tính chất DFT dãy có chiều dài hữu hạn N Miền n 1  x ( n) N =  N 0  N −1 ∑ X (k ) k =0 N WN− kn Miền tần số rời rạc k ≤ n ≤ N −1 n≠  N −1 kn ∑ x (n) N WN ;0 ≤ k ≤ N − X (k ) N =  k =0 0  ax(n) N1 + bx(n) N2 = x (n) N3 , N = max [ N1 , N ] aX1 (k ) N3 + bX (k ) N3 = X (k ) N x (n − n ) N WNkn0 x( k ) N WN− k0 n x(n) X ( k − k0 ) N N −1 ∑ x (m) m =0 N X (k ) N X ( k ) N x2 ( n − m) N = x1 ( n) N (∗) N x2 ( n) N x1 (n) N x2 (n) N N N −1 ∑ X (l ) l =0 N X (k − l ) N x∗ (n) N X ∗ (−k ) N x ∗ ( − n) N X ∗ (k ) N 1 X (k ) N + X ∗ (−k ) N 2 1 X (k ) N − X ∗ (−k ) N 2 X ( k ) N = X ∗ ( −k ) N Re [ x( n) N ] j Re [ x(n) N ] Với x(n)N thực X ∗ ( k ) N = X ( −k ) N Re [ X (k ) N ] = Re [ X ( −k ) N ] Im [ X (k ) N ] = − Im [ X ( − k ) N ] X (k ) N = X ( − k ) N arg [ X (k ) N ] = − arg [ X ( −k ) N ] N −1 ∑ n =0 N −1 X (k ) N ∑ N h =0 Bảng Tính chất DFT dãy có chiều dài hữu hạn N x ( n) Bảng 1.2 tóm tắt tính chất biến đổi Fourier rời rạc thực với dãy có chiều dài hữu hạn 2- XẤP XỈ HÀM TẦN SỐ CỦA DÃY VÔ HẠN HOẶC CÓ ĐỘ DÀI RẤT LỚN DFT thường sử dụng để nghiên cứu phổ tín hiệu liên tục theo thời gian, tổng hợp lọc số, ví dụ phân tích tần số tín hiệu tiếng nói nhằm xác định mô hình hóa cộng hưởng khoang âm Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy xc (t ) thường đại diện cho dãy hữu hạn mẫu thời điểm cách tín hiệu sc (t ) , t để thời gian Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục sc (t ) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), thường gây hiệu ứng cưa Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) vô quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng 10 Các bước việc áp dụng DFT cho tín hiệu liên tục theo thời gian thể hình 2.1 Hình 1:Các bước xử lý phân tích DFT tín hiệu liên tục theo thời gian Các lọc khử cưa ( Anti-aliasing Lowpass Filter ) tích hợp để loại bỏ giảm thiểu hiệu ứng cưa tín hiệu liên tục theo thời gian chuyển thành chuỗi rời rạc Bằng công thức nội suy cho phép xác định gần hàm tần số XN(ejω) = FT[x(n)N] qua dãy phức X(k)N =DFT[x(n)N] Tuy nhiên, dùng DFT để xác định hàm tần số dãy x(n) vô hạn Nếu dãy x(n)N hữu hạn, có N lớn việc tính DFT để tìm X(k)Nvà XN(ejω) khó khăn khối lượng thời gian tính lớn Từ có yêu cầu xấp xỉ hàm tần số X(ejω) dãy x(n) vô hạn có độ dài N lớn hàm tần số XN(ejω) dãy hữu hạn x(n)N với N không lớn Để thực điều đó, cần "chặt" lấy đoạn thích hợp dãy x(n), biến thành dãy hữu hạn x(n)N , sau tính X(k)N =DFT[x(n)N], từ xấp xỉ hàm tần số XN(ejω) công thức nội suy 2.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến sai số xấp xỉ hàm tần số Việc "chặt" dãy vô hạn x(n) thành dãy hữu hạn x(n - n0)N , tương đương nhân với hàm cửa sổ w(n - n0)N có dạng:  ≠0 w(n − n0 ) N =  0 Khi n ∈ [ n , (n0 + N − 1)] Khi n ∉ [ n , (n0 + N − 1)] (2.1) Tức là: x(n − n0 ) N = x(n).w(n − n0 ) N Khi phổ rời rạc dãy hữu hạn x(n- n0)N tìm DFT: X (k ) N = DFT [ x(n − n ) N ] = n0 + N −1 ∑ x(n).w(n − n n = n0 jω ) N e − jkω1n (2.2) Sai số xấp xỉ hàm tần số X(e ) dãy x(n) vô hạn dùng hàm cửa sổ w(n n0)N tính qua DFT phụ thuộc vào yếu tố sau: Dạng hàm cửa sổ w(n - n0)N 11 Vị trí đặt cửa sổ, tức giá trị n0 Độ dài cửa sổ, tức giá trị N Để giảm sai số xấp xỉ, cần chọn dạng hàm cửa sổ w(n), vị trí đặt cửa sổ n0 độ dài cửa sổ N thích hợp 2.2 Các phương pháp giảm sai số xấp xỉ hàm tần số 2.2.1 Chọn vị trí đặt cửa sổ n0 Nguyên tắc chung chọn cửa sổ trùm lên vùng quan trọng dãy x(n), bỏ qua vùng quan trọng Vì thế, để chọn vị trí đặt cửa sổ n0 , cần biết dạng cụ thể dãy x(n) Thông thường người ta chọn cửa sổ vùng x(n) có giá trị lớn, bỏ qua vùng x(n) có giá trị nhỏ −n Ví dụ với dãy x(n) = u (n) mẫu có giá trị lớn nằm gần gốc tọa độ, vị trí cửa sổ cần chọn với n0 = 2.2.2 Chọn độ dài cửa sổ N Sai số xấp xỉ phụ thuộc lớn vào việc chọn độ dài hàm cửa sổ N, độ dài N dãy x(n)N Tất nhiên, N lớn sai số xấp xỉ nhỏ, thời gian tính DFTsẽ lớn Tuy nhiên, có trường hợp dạng cụ thể dãy x(n) mà việc tăng lớn N không ảnh hưởng nhiều đến độ xác hàm tần số xấp xỉ Vì thế, giá trị N để xấp xỉ phải chọn tối ưu theo yêu cầu sau: - Sai số cho phép hàm tần số xấp xỉ XN(ejω) so với X(ejω) - Dạng cụ thể dãy x(n) - Hạn chế thời gian tính DFT 2.2.3 Chọn hàm cửa sổ w(n) Dạng hàm cửa sổ ảnh hưởng lớn đến độ xác việc xấp xỉ hàm tần số Việc chọn hàm cửa sổ để xấp xỉ hóa hàm tần số, không phụ thuộc vào độ xác yêu cầu, mà phụ thuộc vào hạn chế thời gian tính toán, hàm cửa sổ cho độ xác cao việc tính toán phức tạp, thời gian tính lớn Do việc chọn hàm cửa sổ phụ thuộc vào tối ưu độ xác yêu cầu thời gian tính 2.4 Một số hàm cửa sổ thường dùng 2.4.1 Cửa sổ chữ nhật wR(n)N = rectN(n)  Khi n ∈ [ n0 , (n0 + N − 1)] wR (n − n0 ) N = rectN ( n − n0 ) =   Khi n ∉ [ n0 , ( n0 + N − 1)] Đặc tính tần số cửa sổ chữ nhật wR(n)N có dạng: 12 (2.3) W R (e jω 1− e ) = FT [rectN ( n)] = − jωN − e − jω sin ( Nω ) − j = e sin ( ω ) ( N −1).ω (2.4) Các tham số đặc tính tần số hàm cửa sổ bề rộng đỉnh trung tâm ∆Ω tỷ số biên độ đỉnh trung tâm đỉnh thứ cấp Đối với cửa sổ chữ nhật có: 4π ∆Ω R = N - Bề rộng đỉnh trung tâm: (2.5) - Tỷ số biên độ đỉnh trung tâm đỉnh thứ cấp đầu tiên:  3π  W R (e j ) ηR = W R (e j 3π N N sin = )   N   3π N  sin   N 2 (2.6) Với N = , η≈4,285 ; Với N = 50 , η≈4,705 ; Với N = , η≈4,5 ; Với N = 100 ,η≈4,711 3π η= Khi N →∞thì = 4,712 Như vậy, N tăng lớn, η thay đổi không nhiều giới hạn η N →∞ ηmax = 4,712 Trên thực tế người ta thường tính tham số theo dexiben (dB) ký hiệu λ: λ R = 20 log10 η = 20 log10 4,712 = − 13dB Khi N lớn cửa sổ chữ nhật có tham số: - ∆ωR = 4π/N - λR = -13 dB Đồ thị cửa sổ chữ nhật wR(n)10 đặc tính biên độ tần số WR(ejω)tương ứng hình 2.1 wR(n)10 -1 n Hình 2: Đồ thị cửa sổ wR(n)10 WT(ejω ) tương ứng 13 Khi xấp xỉ hàm tần số cửa sổ chữ nhật, độ xác búp sóng cao, độ gợn sóng búp sóng búp sóng phụ lớn 2.4.2 Cửa sổ tam giác wT(n)N 2|n−n |   1− wT (n − n0 ) N =  N   Khi | n − n0 | < N Víi mäi n kh¸c (2.7) Cửa sổ tam giác wT(n)N dãy đối xứng Có thể chứng minh được, cửa sổ tam giác wT(n)N tích chập hai cửa sổ chữ nhật: wT (n) N = N rect N (n) * rect N (n − 1) = 2 N w R (n) N * w R (n − 1) N 2 (2.8) Từ tìm đặc tính tần số cửa sổ tam giác: WT (e jω ) = N W R (e jω ).W R (e jω ).e − jω = N sin ( Nω ) sin (ω ) e − jNω (2.9) Đồ thị cửa sổ tam giác wT(n - 5)10 với n0 = , N = 10 , đồ thị đặc tính biên độ tần số WT(ejω) tương ứng hình 2.2 wT(n - 5)10 ,2 -1 ,4 ,6 ,8 ,8 ,6 ,4 jω ,2 Hình 03:Đồ thị n cửa sổ wT(n - 5)10 hàm WT(e )  10 11 Khi N lớn, cửa sổ tam giác có tham số: - ∆ωT = 8π/N - λT = -26 dB So sánh hàm biên độ tần số cửa sổ tam giác cửa sổ chữ nhật: - Vì ∆ωT = 2∆ωR nên XT(ejω)có đỉnh trung tâm rộng hơn, với hai sườn dốc XR(ejω) Hàm tần số xấp xỉ cửa sổ tam giác có sai số búp lớn dùng cửa sổ chữ nhật 14 - Vì λT= 0,5λR nên XT(ejω)có độ gợn sóng búp búp phụ thấp XR(ejω) Hàm tần số xấp xỉ cửa sổ tam giác có độ gợn sóng nhỏ dùng cửa sổ chữ nhật 2.4.3 Cửa sổ cosin wC(n)N  π (n − n0 )  N  cos N wC (n − n0 ) N =     Khi | n − n0 | ≤   Víi mäi N kh¸c (2.10) Cửa sổ cosinwC(n)N dãy đối xứng Khi biểu diễn dãy wC(n)N dạng: π n  π n  e N − e wC (n) N = cos =  N  − πN n (2.11) Theo tìm đặc tính tần số cửa sổ cosin: WC ( e jω  sin Nω − π  sin Nω + π   − j  N −1     2 2     )= + .e  sin ω − π  sin ω + π    2N   2N    (2.12) Wc(ejω) xếp chồng hai cửa sổ chữ nhật WR(ejω) ngược pha Đồ thị cửa sổ cosinWC(n - 5)10 với n0 = , N = 10 , hàm biên độ tần số WC(ejω) tương ứngtrên hình 2.4 wC(N - 5)10 ,9 ,9 ,8 ,8 ,5 ,5 ,3 ,3 n 10 Hình 4: Đồ thị cửa sổ wC(n - 5)10 hàm WC(ejω ) tương ứng Khi N lớn, cửa sổ cosin có tham số: - ∆ωC = 3π/N - λ C = -24 dB So sánh cửa sổ cosin với cửa sổ tam giác cửa sổ chữ nhật: 15 -∆ωC [...]... đổi Fourier rời rạc tín hiệu (DFT) là một công cụ tính toán rất mạnh để thực hiện phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc trong thực tế Chính vì vậy, DFT hiện nay đang được ứng dụng trong nhiều ngành khác nhau Một vài ứng dụng của DFT như: phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý ảnh, tổng hợp mạch lọc số, y học… Do DFT được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu rời rạc/ số nên nhiều nhà toán... quan sát được tín hiệu trong một khoảng thời gian hữu hạn nên phổ tính được chỉ là xấp xỉ của phổ chính xác DFT được ứng dụng rất hiệu quả trong việc tính toán phổ xấp xỉ này Trong thực tế, nếu tín hiệu cần phân tích là tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu đó đi qua một bộ lọc chống chồng phổ rồi lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B là băng thông của tín hiệu sau khi lọc Như vậy, tần số cao nhất... cả phổ của tín hiệu nữa - Phổ biên độ và phổ pha Phổ của tín hiệu gồm có hai phần: phổ biên độ (magnitude spectrum) và phổ pha (phasespectrum) Phổ biên độ chỉ ra độ lớn của từng hành phần tần số Phổ pha chỉ ra quan hệ phagiữa các thành phần tần số khác nhau Trong phần này, ta xét tín 19 hiệu rời rạc không tuầnhoàn có chiều dài hữu hạn Công cụ để tính phổ tín hiệu rời rạc không tuần hoàn là DTFT Để tính... phổ trong toàn dải tần số Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ 0 đến π thường được chuyển đổi thành tần số tương tự ftừ 0 đến fS/2 nếu tần số lấy mẫu là fS 3.2 Ý nghĩa của phổ Ta đã biết được ý nghĩa của phổ trong việc phân tích tín hiệu, từ phổ của tín hiệu ta biết được một số thông tin cần thiết Để tìm phổ của tín hiệu (cả liên tục và rời rạc), ta cần phải biết giá trị của tín hiệu tại tất cả các thời... nghiên cứu phân tích tín hiệu, một phương pháp quan trọng để giúp cho việc tính toán phân tích đơn giản, nhanh chóng được áp dụng mà không làm mất đi đặc tính phổ của tín hiệu là dùng phương pháp biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu (DFT) Phương pháp này đã khắc phục được nhược điểm cơ bản của DTFT thông thường khi phải phân tích miền tần số tín hiệu ở dạng liên tục, gây khó khăn, phức tạp cho việc tính toán... chứa trong tín hiệu rời rạc là Fs/2 Sau đó, ta phải giới hạn chiều dài của tín hiệu trong khoảng thời gian T0 = LT, với L là số mẫu và T là khoảng cách giữa hai mẫu Cuối cùng, ta tính DFT của tín hiệu rời rạc L mẫu Như đã trình bày trên, muốn tăng độ phân giải của phổ rời rạc, ta tăng chiều dài của DFT bằng cách bù thêm số 0 vào cuối tín hiệu rời rạc trước khi tính DFT. Giảm độ phân giải và rò phổ là hai... TÍCH PHỔ TÍN HIỆU 3.1 Khái niệm của phổ - Spectrum (Phổ) : Thực chất nên hiểu là một dạng hàm chuyển đổi Với một dạng sóng liên tục, phổ là sự chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số - Fourier spectrum: (Phổ Fourier) Là 1 hàm chuyển đổi rất hay được dùng trong xử lý tín hiệu số (DSP: Digital signal processing) Nó có thể được hiểu đơn giản là hàm biểu thị sự tương quan của 1 tín hiệu nào... DTFT Để tính phổ tín hiệu, ta qua hai bước: một là tính DTFT của tín hiệu là X(Ω ), hai là tínhbiên độ và pha của X(Ω) : X (Ω) = X (Ω) e jθ ( Ω ) (3.1) ở đây | X(Ω) | là phổ biên độ và θ(Ω) là phổ pha Ta dễ dàng chứng minh được rằng đối với tín hiệu thực, phổ biên độ là một hàm chẵn theotần số Ω và phổ pha là một hàm lẻ theo Ω Do đó, nếu biết phổ X(Ω) trong khoảng 0 đến π , ta có thể suy ra phổ trong... XX (Ω) = Hình 3.1- Phổ của tín hiệu dùng DFT: dán thêm N-L zeros mẫu vào x(n) rồi lấy DFT N điểm tạo nên phổ XX(k) Nhận xét: - Phổ XX(Ω) không nằm tại một vị trí như hình vẽ X(Ω) mà bị trải ra trong miền tần số do đặc tính của cửa sổ w(n)→ hiện tượng dò phổ - Như vậy, việc cửa sổ hóa sẽ làm sai lệch kết quả ước lượng phổ 3.4Độ phân giải tần số  Xét tín hiệu gồm 2 thành phần tần số: x(n)= cosΩ1n+ cosΩ2n,... tần số, mỗi tín hiệu đều có đặc điểm riêng của nó Ví dụ như, tín hiệu sin chỉ códuy nhất một tần số đơn, trong khi nhiễu trắng chứa tất cả các thành phần tần số Sự biếnthiên chậm của tín hiệu là do tần số thấp, trong khi sự biến thiên nhanh và những sườn nhọnlà do tần số cao Như xung vuông chẳng hạn, nó chứa cả tần số thấp và cả tần số cao Hình 3.1 minh họa cho điều đó Hình (a) là một sóng sin tần số ... cho phép phân tích tín hiệu số hệ xử lý số có độ dài vô hạn theo hàm tần số ω liên tục Tuy nhiên hệ xử lý số thực tế lại xử lý tín hiệu số có độ dài hữu hạn ví dụ ảnh hay đoạn âm với tần số ω rời... rạc tín hiệu (DFT) công cụ tính toán mạnh để thực phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc thực tế Chính vậy, DFT ứng dụng nhiều ngành khác Một vài ứng dụng DFT như: phân tích phổ tín hiệu xử lý. .. hiệu việc tính toán phổ xấp xỉ Trong thực tế, tín hiệu cần phân tích tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu qua lọc chống chồng phổ lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B băng thông tín hiệu sau