Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 1) ppt

Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 88 Chương III BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 Mở Đầu Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục ω. Chúng ta xem xét sự liên hệ biểu diễn ở hình 3.1. 3.2 Biến Đổi Fourier Của Tín Hiệu Rời Rạc 3.2.1 Đònh Nghóa Biến Đổi Fourier a. Đònh Nghóa Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) ∑ ∞ −∞= − = n njj enxeX ωω )()( (3.1) Công thức trên cho thấy, ta biến đổi tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n sang tín hiệu X(e jω ) trong miền tần số ω (tần số f = (ω/2π)). Ta ký hiệu sử dụng tóan tử sau : FT[x(n)] = X(e jω ) )()( ω j FT eXnx → b. Phương Pháp Thể Hiện X(e jω ) • Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo. Bởi vì X(e jω ) )(Im)](Re[)( ωωω jjj eXjeXeX += (3.2) Miền n Miền Z Miền ω Hình 3.1 ZT IZT FT IFT Quan hệ giữa Z T và FT Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 89 )](Re[ ω j eX : Phần thực của X(e jω ) )](Im[ ω j eX : Phần ảo của X(e jω ) • Thể hiện dưới dạng Modun và argument )](arg[ )()( ω ωω j exjjj eeXeX = (3.3) | | : là modun arg : gọi là argument. )( ω j eX : gọi là phổ biên độ của x(n). )(arg ω j eX : gọi là phổ pha của x(n). Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha, phần thực và phần ảo của X(e jω ). )]([Im)]([Re)( 22 ωωω jjj eXeXeX += (3.4) )](Re[ )](Im[ )](arg[ ω ω ω j j j eX eX arctgeX = (3.5) )](arg[)( ω ωϕ j eX≡ (3.6) Vậy ta có : )]( )()( ωϕωω jjj eeXeX = (3.7) • thể hiện dưới dạng độ lớn và pha Giả sử ta thể hiện )( ω j eX ở dạng sau đây : )(jjj e)e(A)e(X ωϕωω = (3.8) )()( ωω jj eXeA = (3.9)    <π+ ±±=≥π = ω ω ω , 0)e(A,)1k2( 2,1,0k;0)e(Ak2 )]e(Aarg[ j j j (3.10) 3.2.2. Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Fourier Chuỗi trong phương trình (3.1) là hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoã mãn điều kiện sau : ∑ ∞ −∞= ∞< n nx )( (3.11) Nếu điều kiện thoả mãn thì chuổi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của ω. Nhận xét : Về mặt toán học, chúng ta có quan hệ sau đây luôn đúng. 2 2 )()( ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞=       ≤= nn x nxnxE (3.12) nếu Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 90 ∑ ∞ −∞= ∞< n nx )( thì ∞<       ∑ ∞ −∞= 2 )( n nx và ta cũng có : ∑ ∞ −∞= ∞<= n x nxE 2 )( (3.13) Nếu tín hiệu x(n) thoả mãn điều kiện (3.11) thì x(n) là tín hiệu năng lượng. Biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng hữu hạn là luôn luôn tồn tại. Ví dụ 3.1: Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng E x của dãy x(n) sau : a. x 1 (n) = u(n) b. x 2 (n) = r(n) c. x 3 (n) = δ(n) d. x 4 (n) = rect N (n) Giải : a. ∑∑∑ ∞ = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞=== 0 1 1)()( nnn nunx ∑ ∞ = ∞== 0 2 1 1 n x E Vậy X 1 (e jω ) là không tồn tại. b. ∑∑∑ ∞ = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞=== 0 2 )()( nnn nnrnx ∑∑ ∞ −∞= ∞ = ∞=== nn x nnrE 0 22 2 )( vậy X 2 (e jω ) là không tồn tại. c. ∞<== ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= 1)()( 3 nn nnx δ ∑ ∞ −∞= == n x nE 1)( 2 3 δ vậy X 3 (e jω ) là tồn tại. d. ∑∑∑ − = ∞ −∞= ∞ −∞= ∞<=== 1 0 4 1)()( N nn N n Nnrectnx ∑ ∞ −∞= == n Nx NnrectE 2 4 )( Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 91 Vậy X 4 (e jω ) là tồn tại. 3.2.3 Biến Đổi Fourier Ngược (IFT) Chúng ta biết rằng X(e jω ) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là 2π và X(e jω ) tồn tại nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn. Vậy chúng ta có thể khai triển hàm X(e jω ) thành chuổi Fourier trong khoảng (-π, π) vì thế, chúng ta có thể xem những hệ số sau khi khai triển là x(n), có nghóa chúng ta có thể tìm thấy x(n) từ X(e jω ). Từ công thức (3.11) ta có : ∑ ∞ −∞= − = n njj enxeX ωω )()( nhân hai vế phương trình với e jωl , lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta có : ωω ω π π ωω π π ω deenxdeeX lj n njljj ∫ ∑ ∫ − ∞ −∞= − −       = )()( ta biết rằng : ∫ − −    ≠ = = π π ω π ω nj,0 nl,2 de )nl(j nếu nếu (3.14) vậy : ∫ ∑ − − ∞ −∞=    ≠ = = π π ω π ω nj0 nl)l(x2 de)n(x )nl(j n nếu , nếu , cuối cùng ta có : ∫ − = π π ωω ω π deeXlx ljj )( 2 1 )( (3.15) Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây : ∫ − = π π ωω ω π deeXnx njj )( 2 1 )( (3.16) nj n j enxeX ωω − ∞ −∞= ∑ = )()( Ta có thể dùng toán tử sau đây để biểu diễn biến đổi Fourier ngược : IFT[X(e jω )]=x(n) (3.17) Hoặc : )()( nxeX IFT j → ω (3.18) và để biểu diễn cặp biến đổi Fourier ta có : FT[x(n)]= X(e jω ) )()]([ nxeXIFT j = ω (3.19) Ví dụ 3.2 : Cho    ≤ = − lại còn ω ωω ω ω 0 e )e(X c nj j 0 Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 92 với n 0 : số nguyên Hãy tìm x(n), hãy vẽ X(e jω ) và x(n) với ω c = π/2, n 0 = 4 Giải : Từ biểu thức (3.15) ta có : )]([sin )( )](sin[ )( 1 2 1 2 1 )( 2 1 )( 0 0 0 )( 0 )( 0 0 nnc nn nn e nnj dedeeXnx c c c cc c c nnj nnj njj −= − − = − − = == − − − − ∫∫ ω π ω ω ω π ω ω ω π ω π ω π ω π π ω π π ωω với ω c = π/2, n 0 = 4 ta có :    ≤ = − lại còn ω ωω ω ω 0 e )e(X c nj j 0 -2π -π -π / 2 0 π / 2 π 2π |X(e j ω )| ω Hình 3.2a -5π/2 -2π -3π/2 -π -π / 2 0 π / 2 π 3π / 2 2π 5π/2 arg[X(e j ω )]=ϕ(ω) ω 10π Hình 3.2b Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 93 )4( 2 )4( 2 sin 2 1 )( − − = n n nx π π x(n) và X(e jω ) được vẽ trên hình 3.2.3.1    ≤ = lại còn ω πω ω 0 2/1 )e(X j 3.3 Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier 3.3.1. Tính Chất Tuyến Tính Giả sử có hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) và biến đổi Fourier của chúng là : FT[x 1 (n)]= X 1 (e jω ) FT[x 2 (n)]= X 2 (e jω ) Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x 1 (n) và x 2 (n) như sau : x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) (3.20) ở đây a và b là hai hằng số. nj 22 n 11 j e)]n(xa)n(xa[)e(X)]n(x[FT ω− ∞ −∞= ω +== ∑ 3.3.2 Tính Chất Trễ Giả sử y(n) là phiên bản trễ của x(n) là : y(n) = x(n – n 0 )(3.21) n 0 : số nguyên. Ta có nj n nj n j ennxenynyFTeY ωωω − ∞ −∞= − ∞ −∞= ∑∑ −=== )()()]([)( 0 Đổi biến số : l = n – n 0 , ta có : )()()( 00 ω ωω ωω j njnj lj n j eXeeelxeY −− − ∞ −∞= == ∑ (3.22) )n(x Hình 3.2 1 n 1/2π -1/3π 1/π Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 94 Biểu thức (3.21) và (3.22) thể hiện tính chất trễ của biến đổi Fourier. Nếu ta biểu diễn )( ω j eY ở dạng modul và argument, ta có : )()( ωω jj eXeY = (3.23) )](arg[)](arg[ 0 ωω ω jj eXneY +−= Từ biểu thức (3.23), ta thấy rằng tín hiệu x(n) trễ đi n 0 mẫu trong miền số độc lập n, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó sẽ tăng thêm một lượng -ωn 0 . Ví dụ 3.3: Cho x(n) = rect N (n – n 0 ) - Hãy tìm X(e jω ) - Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x(n). Giải : áp dụng tính chất trễ ta có : )]([)]([)()]([ 0 0 nrectFTennrectFTeXnxFT N nj N j ω ω − =−== lần lượt tính ta có : 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )( ) 2 1 ( 2 )1( 0 0 ω ω ω ω ω ω ω ω N e N eeeX N njNj nj j − +−−− − == Vậy phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau : 2 sin 2 sin )( ω ω ω N eX j = []             + − +−= 2 sin 2 sin arg) 2 1 ()(arg 0 ω ω ω ω N N neX j 3.3.3 Tính Chất Đối Xứng Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu x(n) là tín hiệu phức, ta có thể viết : x(n) = Re[x(n)] + jIm[x(n)] (3.24) Vậy dãy liên hợp của x(n) là x * (n) có dạng x * (n) = Re[x(n)] - jIm[x(n)] (3.25) Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x * (n)] và FT[x(n)] : Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 95 ∑ ∞ −∞= − == n njj enxeXnxFT ωω )()()]([ * * *** )()()]([                 == ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − n nj n nj enxenxnxFT ωω {} )()()( * * * * ωωω jj n nj eXeXenx −− ∞ −∞= ==       = ∑ Vậy )()]([ ** ω j eXnxFT − = (3.26) Nếu x(n) là thực thì : )()( * nxnx ≡ và )]([)]([ * nxFTnxFT = Vậy đối với tín hiệu x(n) thực, ta có quan hệ sau đây : )()( * ωω jj eXeX = − (3.27) hay )()( * ωω jj eXeX − = (3.28) Từ quan hệ (3.27) hay (3.28) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit (Hermitian Symmetry). Từ đây ta thấy rằng, đối với x(n) thực ta có : )](Re[)](Re[ ωω jj eXeX − = (3.29) )](Im[)](Im[ ωω jj eXeX − −= (3.30) Tức là )](Re[ ω j eX : là hàm chẵn của ω )](Im[ ω j eX : là hàm lẻ của ω Tương tự đối với modun và argument ta cũng có : )()( ωω jj eXeX − = (3.31) )](arg[)](arg[ ωω jj eXeX − −= (3.32) Vậy ta nói rằng )( ω j eX là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn )](arg[ ω j eX là phản đối xứng (hoặc đối xứng lẻ). Ví dụ 3.4: Cho )( 4 3 )( nunx n       = Hãy tính )](arg[,)()],(Im[)],(Re[),( ωωωωω jjjjj eXeXeXeXeX . Giải : Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 96 ∑∑∑ ∞ = − ∞ = − ∞ −∞= −       =       === 00 4 3 4 3 )()()]([ n n j n nj n n njj eeenxeXnxFT ωωωω n jj j j j ee e e       +− −− =       −       − − = − = − − 4 3 cos 2 3 1 sin 4 3 cos 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 1 ω ωω ωω ω ω Vậy ta có 2 4 3 cos 2 3 1 cos 4 3 1 )](Re[       +− − = ω ω ω j eX 2 4 3 cos 2 3 1 sin 4 3 )](Im[       +− = ω ω ω j eX áp dụng quan hệ (3.4) và (3.5) ta có : 2 4 3 cos 2 3 1 1 )(       +− = ω ω j eX ω ω ω cos 4 3 1 sin 4 3 arg)](arg[ − −= j eX 3.3.4 Tính Chất Biến Số n Đảo Giả sử có tín hiệu x(n) và biến đổi Fourier của nó là : [ ] )(arg )()()]([ ω ωω j eXjjj eeXeXnxFT == Bây giờ ta tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n) : ∑ ∞ −∞= − −= n nj enxnxFT ω )()]([ đổi biến số l = - n, ta có : ∑ ∞ −∞= −− ==− l ljj elxeXnxFT ωω )()()]([ vậy )()]([ ω j eXnxFT − =− Nếu x(-n) là thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có : [ ] [] )(arg)(arg )()()()]([ ωω ωωω jj eXjjeXjjj eeXeeXeXnxFT −−−− ===− − Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 97 Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bò đảo biến số n ngược lại quanh gốc toạ độ thì phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó bò đổi dấu. 3.3.5 Tích Chập Của Hai Tín Hiệu Giả xử ta có hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) )()]([ 11 ω j eXnxFT = ; )()]([ 22 ω j eXnxFT = Ta có dãy x 3 (n) như sau : x 3 (n) = x 1 (n) *ø x 2 (n) bây giờ ta tìm biến đổi Fourier của x 3 (n) theo hàm của )( 1 ω j eX và )( 2 ω j eX )()](*)([)]([ 3223 ω j eXnxnxFTnxFT == nj nkn nj k eknxkxeknxkx ωω − ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= − ∞ −∞= ∑∑∑∑ −=       −= )()()()( 2121 áp dụng tính chất trễ (3.3.2.2) ta có : kj k jjkj k j ekxeXeXekxeX ωωωωω − ∞ −∞= − ∞ −∞= ∑∑ == )()()(.)()( 12213 vậy : )().()( 213 ωωω jjj eXeXeX = 3.3.6 Tích Của Hai Dãy Nếu ta có : )()]([ 11 ω j eXnxFT = )()]([ 22 ω j eXnxFT = thì ( ) ' 2 ( 11321 )(. 2 1 )())]([)]().([ '' ω π ω π π ωωω deXeXeXnxFTnxnxFT jjj ∫ − − =≡≡ Chứng minh : () njjj n nj n j edeeXnxenxnxeX ωω π π ωωω ω π − − ∞ −∞= − ∞ −∞=       == ∫ ∑∑ 2 1 )()().()( ' 21213 '' ( ) ' 2 )( 1 '' )( 2 1 ω π π π ωωω deXenx jj n ∫ ∑ − −− ∞ −∞= = Vậy ta có : () ( ) ' 2 )( 13 '' )( 2 1 ω π π π ωωωω deXeXeX jjj ∫ − −− = (3.33) )(*)( 21 ωω jj eXeX= )e(X*)e(X j 1 j 2 ωω = (3.34) Quan hệ (3.33) và (3.34) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π. [...]... năng lượng theo hàm của tần số Ta ký hiệu nó là SXX(ejω) S XX (e jω ) = X (e jω ) 2 (3.39) Ta biết rằng năng lượng của tín hiệu x(n) là Ex : Ex = ∞ ∑ x ( n) 2 n = −∞ Xử Lý Tín Hiệu Số 99 Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Như vậy quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng tìn hiệu và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu đó Trong trường hợp x(n) là thực... phổ mật độ năng lượng của tín hiệu Xử Lý Tín Hiệu Số 100 Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục ( ) R xx (e jω ) = S xx (e jω ) = X e jω 2 (3.43) Quan hệ (3.43) ở trên gọi là đònh lý Weiner-Khintchine Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo, ta còn gọi là R x x (e jω ) là phổ mật 1 2 độ năng lượng chéo của x1(n) và x2(n) và ký hiệu là S x x (e ) jω 1 2... đương với việc dòch chuyển tần số của phổ X (e jω ) đi một lượng ω0 Phổ X (e jω ) được minh hoạ trong hình π 3.3 dòch đi một lượng 2 0 3 X(ejω) ω -2π -π 0 π/3 2π/3 π Hình 3.3a Xử Lý Tín Hiệu Số 98 2π Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục X(ejω) ω -2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π Hình 3.3b 3.3.9 Quan Hệ Parseval Nếu ta có FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) FT [ x 2 (n)] = X 2 (e... x1x2 (e jω ) = X 1 e jω X 2 e − jω ) (3.44) 3.3.11 Tổng Kết Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Đối Với Tín Hiệu Rời Rạc Bảng 3.1 Tính chất Ký hiệu Miền biến số n x(n) x1(n) x2(n) Cặp biến đổi Fourier 1 x ( n) = 2π Miền tần số liên tục ω X ( e jω ) X 1 ( e jω ) X 2 (e jω ) π jω jωn ∫ X ( e ) e dω X ( e jω ) = ∞ ∑ x ( n)e − j ωn n = −∞ −π Tuyến tính ax1 (n) + bx 2 (n) aX1(ejω) + bX2(ejω) Trễ x(n – n0) e... jω )] = − arg[ X (e − jω )] Liên hợp phức X * (e − jω ) * X (n) Biến số đảo x(-n) Tích chập X ( e − jω ) x1(n) * x2(n) Tích (đại số) Xử Lý Tín Hiệu Số X 1 (e jω ) X 2 (e jω ) 1 2π x1(n) x2(n) 101 π ∫π X − ' 1 1 (e j (ω −ω ) ) X 2 (e jω )dω ' Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Vi phân trong miềm ω nx(n) dX (e − jω ) j dω Trễ tần số e jω 0 n x ( n ) X (e j (ω... chúng ta có : ZT [x(n)] = X ( z ) = X (re jω ) = ∞ ∑ x(n)(re ω ) n = −∞ j −n = ∞ ∑ x ( n) r −n e − jωn (3.47) n = −∞ Từ biểu thức (3.47) ta có thể biến đổi Z X(z) như là biến đổi Fourier của dãy tín hiệu Xử Lý Tín Hiệu Số 102 2 ... đối xứng : (3.40) S XX (e jω ) = S XX (e − jω ) 3.3.10 Đònh Lý Tương Quan Và Đònh Lý Wiener Khintchine Nếu ta có : FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) FT [ x 2 (n)] = X 2 (e jω ) thì [ ] [ ] ∑r ( ) ( FT rx1x2 (n) = R x1x2 (e jω ) = X 1 e jω X 2 e − jω Chứng minh : FT rx1x2 (n) = = ∞ ∞ n = −∞ ∞ ∑ x ( m) ∑ x 1 m = −∞ n = −∞ 2 − jωn = x1 x2 ( n )e ∞ ) (3. 41) ∞ ∑ [ ∑ x1 (m)x2 (m − n)]e − jωn n = −∞ m = −∞ (m − n)e...Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục 3.3.7 Vi Phân Trong Miền Tần Số Nếu FT [ x(n)] = X (e jω ) Thì FT [nx(n)] = j Chứng minh : X ( e jω ) = dX (e jω ) dω ∞ ∑ x(n)e (3.35) − jω n n = −∞... Điều chế Quan hệ Parseval ∞ ∑ x ( n) x n = −∞ ∞ 1 ∑ x ( n) * 2 1 2π ( n) 1 2π 2 π ∫π X 1 * ( e j ω ) X 2 ( e j ω ) dω − π ∫π X (e jω 2 ) dω − n = −∞ X 1 (e jω ) X 2 (e − jω ) rx1 x2 (n) = Tương quan Đònh lý Kintchine Weiner ∞ ∑ x ( m) x m = −∞ 2 ( m − n) R xx (e jω ) = S xx (e jω ) = X (e jω ) – rx x (n) 1 2 3.4 So Sánh Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z Quan Hệ Giữa Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z Biến đổi . Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 88 Chương III BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG. Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục Xử Lý Tín Hiệu Số 97 Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bò đảo biến số n ngược lại quanh gốc