LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT xử lý tín hiệu số

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC -***** - TIỂU LUẬN: Xử Lý Tín Hiệu Số Nâng Cao LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT Giảng viên : TS Nguyễn Ngọc Minh Nhóm : Nguyễn Huy Thắng Chu Quốc Thành Nguyễn Hải Hà Lớp : M14CQTE02-B Hà Nội – 7/2015 MỤC LỤC CHƢƠNG I: MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa 1.2 Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N 1.3 Biến đổi Fourier DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N 1.4 Các tính chất DFT CHƢƠNG 2: LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 14 2.1 LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 14 2.1.1 Tín hiệu ngắn 14 2.2.2 Tín hiệu nhập dài 15 CHƢƠNG KẾT LUẬN 18 Trong thời gian thực tiểu luận chúng em cố gắng để hoàn thành tiểu luận Song kiến thức, thời gian nghiên cứu, nên việc báo cáo tránh đƣợc thiếu sót Chúng em mong nhận đƣợc đóng góp thầy bạn để tiểu luận chúng em đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo: • Discrete Time Signal Processing 2nd • Advanced Digital Signal Processing and Noise Reduction, Second Edition • Linear Convolution with DFT • DFT based Linear Filtering BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU Từ trƣớc, ta thấy ý nghĩa việc phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc Công việc thƣờng đƣợc thực xử lý tín hiệu số DSP Để thực phân tích tần số, ta phải chuyển tín hiệu miền thời gian thành biểu diễn tƣơng đƣơng miền tần số Ta biết biểu diễn biến đổi Fourier X(Ω) tín hiệu x[n] Tuy nhiên, X(Ω) hàm liên tục theo tần số đó, không phù hợp cho tính toán thực tế Hơn nữa, tín hiệu đƣa vào tính DTFT tín hiệu dài vô hạn, thực tế ta có tín hiệu dài hữu hạn, ví dụ nhƣ ảnh, đoạn tiếng nói… Trong chƣơng này, ta xét phép biến đổi khắc phục đƣợc khuyết điểm DTFT Đó phép biến đổi Fourier rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform) Đây công cụ tính toán mạnh để thực phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc thực tế 1.1 Định nghĩa Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Fourier x(n) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: j X (e )    x ( n) e  j n n  Nhƣ phép biến đổi Fourier chuyển tín hiệu x(n) từ miền thời gian sang miền tần số ω (hay tần số f = ω/2π) Chúng ta dùng ký hiệu sau để mô tả phép biến đổi Fourier tín hiệu x(n) FT ( x(n))  X (e j ) FT x(n)   X (e j ) 1.2 Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N đƣợc định nghĩa nhƣ sau Đặt kn N W e  jk n e j 2 kn N Kí hiệu toán tử: N 1DFT  x n   X k     X  k    x  n .WNkn  n 0 DFT x  n     X k  Ví dụ 1: Cho dãy tuần hoàn chu kỳ N = 10 Tìm X  k  Giải n 0 n 0 X  k    x  n  WNkn  1.e j 0n4 5n9 1 x  n   0 2 kn 10 X k   1 e 1 e j 2 k 10 j 2 k 10  k  j 2 k k j sin e sin 4 j k 2 X k    e 10  A  k  e j  k   X  k  e j  k    k  j10 k sin  k j sin e 10 10 k  9 Lưu ý: Khi tính toán ta cần xác định với k chạy từ đến 9, chu kỳ khác lặp lại Từ định nghĩa: N 1 X  k    x  n  WNkn n 0 Ta khai triển X  0  x  WN0  x 1WN0  x  WN0   x  N  1WN0 X 1  x  WN0  x 1WN1  x  WN2   x  N  1WN N 1 X    x  WN0  x 1WN2  x  WN4   x  N  1WN2 N 1 X  N  1  x  0WN0  x 1WNN 1  x  2WN2 N 1   x  N  1WN N 1 N 1 Ta kí hiệu:  X 0     X 1  X  k    X  2       X  N  1     x  0     x 1  x  n    x  2       x  N  1    WN0 WN0 WN0  WN1 WN2 WN WN  WN0 WN2 WN4    WN0 WN N 1 WN2 N 1   WN N 1   WN2 N 1    WN N 1 N 1  Biến đổi Fourier rời rạc ngƣợc IDFT đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 2 j kn N 1 x  n    X  k  e N N k 0 Kí hiệu: Hay N 1 x  n    X  k  WN kn N k 0 IDFT X  k    x  n IDFT  X  k   x  n  Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT khác dấu (–) , (+) hệ số 1/N trƣớc dấu  Vì ta cần xét DFT suy biến đổi IDFT Về mặt thuật toán nhƣ N 1  X ( k )   x( n )W Nkn :  k  N  Cặp biến đổi Fourier rời rạc:  n 0  N 1  x( n )  X ( k )W N kn :  n  N    N k 0  Ví dụ 2: a) Tìm DFT dãy x(n)=an rectN(n) b) Vẽ phổ biên độ & pha DFT với a=3/4, N=16  Biến đổi DFT x(n): X( k )  N 1 a n 0 n W kn N  N 1   aW n 0 k N  n 1 aN   aW Nk WN0 1 aN X( k )  2  2a cos k  a2 N Vẽ: arg  X ( k )  arctg a sin a cos 2 k N 2 k 1 N 1.3 Biến đổi Fourier DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N Chúng ta xét biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N Ƣu điểm bật biến đổi Fourier rời rạc DFT biến đổi xuôi biến đổi ngƣợc đƣợc thực thuật toán Nhƣng thực tế lúc gặp dãy tuần hoàn Ta xét dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn nhƣ sau: x  nN D·y kh«ng tuÇn hoµn -1 N-1 n N Ta coi dãy có chiều dài N nhƣ chu kỳ dãy tuần hoàn có chu kỳ M nhƣ sau: D·y tuÇn hoµn xnM M ≥ N thƣờng chọn M =2 -1 DFT  x  n   X  k  Biến đổi ngƣợc IDFT: n M-1 M  N 1 kn  x  n WN X  k    n 0 0  Biến đổi xuôi DFT: Ký hiệu:  k  N 1 k DFT x  n    X k  1  x n   N 0  Ký hiệu: I DFT  X  k   x  n  N 1  X  k W  kn N k 0  n  N 1 n IDFT X  k    x  n Ví dụ 3: Hãy tìm biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn sau:x  n     n  x(n) -1 N-1 N n Áp dụng định nghĩa:  N 1 kn  x  n WN X  k    n 0 0   k  N  X(k) k Chỉ có giá trị x  n  n0  Ta có sơ đồ biểu diễn :  1 X k    0  n  N 1 n -1 N-1 1.4 Các tính chất DFT 1.4.1 Tuyến tính DFT DFT Nếu x1 ( n )N   X1( k ) N x2 ( n )N   X ( k )N DFT Thì a1 x1 ( n )N  a2 x2 ( n )N   a1 X1( k )N  a2 X ( k )N Nếu Lx  N1  N  Lx N  max{ N1 , N } 1.4.2 Dịch vòng DFT DFT Nếu x( n )N  WNkn X ( k ) N  X ( k ) N x( n  n0 )N  Với x( n  n0 )N  x( n  n0 )N rect N (n) gọi dịch vòng x(n)N n0 đơn vị Ví dụ 4: Cho: a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2) b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4 x(n) n N n Ta có x(n-2) x(n+3) -3 -2 -1 n n x(n) b) n N 4 3 x(n-1)4 n  4,1,2,3 x( n  )   3, ,1, 2 x( n  )4    1.4.3 Chập vòng DFT DFT Nếu x1 ( n )N   X1( k ) N x2 ( n )N   X ( k )N DFT Thì x1 ( n )N  x2 ( n )N   X1( k )N X ( k )N Với x1 ( n )N  x2 ( n )N  N 1  x1 ( m )N x2 ( n  m )N gọi chập vòng dãy x1(n) & x2(n) m 0 Và x2 ( n  m )N  x2 ( n  m )N rect N ( n ) gọi dịch vòng dãy x2(-m) n đơn vị Chập vòng có tính giao hoán: x1 ( n )N  x2 ( n )N  x2 ( n )N  x1 ( n )N Nếu Lx  N1  N  Lx chọn N  max{ N1 , N }     Ví dụ 5: Tìm chập vòng dãy x1 (n)  2,3, x2 (n)  1, 2,3, x3 ( n )N  x1 ( n )N  x2 ( n )N    N 1  x1 ( m )N x2 ( n  m )N với N-1n 0 m 0 Chọn độ dài N: N1  3, N   N  max{ N1 , N }  x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 :  n  m 0  2,3, 4,0 x ( m )   1,2,3,4 x ( m )  x ( m ) rect ( n )   1, , 3, 2 Đổi biến n-> m x1 ( m )  Xác định  4  x  x2(-m) m 0 m m m -3 -2 -1 2 3 x ( m ) x2 ( m )4  x2 ( m )rect ( n )  Xác định x2(n-m) dịch vòng x2(-m) n đơn vị với  n  Nhân mẫu x1(m) & x2(n-m) cộng lại x3 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 :  n  m 0 n=0: x3 ( )4  n=1: x3 (1 )4  n=2: x3 ( )4  n=3: x3 ( )4   x1 ( m )4 x2 (  m )4  26 m 0  x1 ( m )4 x2 (1  m )4  23 m 0  x1 ( m )4 x2 (  m )4  16 m 0  x1 ( m )4 x2 (  m )4  25 m 0 m Vậy x3 ( n )4  x1 ( n )4  x2 ( n )4   26, 23,16, 25  1.4.5 Tính đối xứng DFT DFT Nếu x( n )N   X ( k ) N x ( n )N   X  ( k )N 1.4.6 Quan hệ Parseval DFT Nếu x( n )N   X ( k ) N N 1  n 0 x( n )N  N N 1  X ( k )N k 0 1.4.7 Chập tuyến tính sử dụng DFT  Kết phép chập tuyến tính dãy x1(n)N1 x2(n)N2 giống với chập vòng thêm mẫu vào sau dãy x1(n) x2(n) để có chiều dài tối thiểu N1+N2 - 1: x1(n)N1 * x2(n)N2 = x1(n)N1+N2 -1  x2(n) N1+N2 -1  Lƣu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT đƣợc mô tả: Ví dụ 6: Cho dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n) Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) x3(n)=x1(n)5  x2(n)5  Chập tuyến tính dãy: x3 ( n )  x1( n )  x2 ( n )  { 1, , 3, ,1 }  Kết tƣơng tự phép chập vòng thêm vài mẫu vào sau dãy x1(n) x2(n) để có độ dài tối thiểu 5: x1 ( n )5  { 1,1,1, , } x2 ( n )5  { 1,1,1, , } x3 ( n )5  x1( n )5  x2 ( n )5  { 1, , 3, ,1 }    CHƯƠNG 2: LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 2.1 LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT Kết hai DFT tƣơng đƣơng với tích chập vòng chuỗi miền thời gian tƣơng ứng Một điều không may, tích chập vòng không dùng tới để xác định đầu lọc tuyến tính Trong trƣờng hợp này, tìm kiếm phƣơng pháp theo miền tần số tƣơng đƣơng phép chập tuyến tính Ta có Y(ω) = H(ω)X(ω)  Hàm liên tục theo tần số ω  Khó thực máy tính số → DFT: cách tính hiệu qủa tổng chập miền thời gian Lọc tuyến tính 2.1.1 Tín hiệu ngắn h(n) y(n) M 1 y ( n)   h( k ) x ( n  k ) k 0 x(n) chiều dài = L (n=0,1,…,L-1) h(n) chiều dài = M (n=0,1,…,M-1) y(n) chiều dài N = M+L-1 + Số mẫu phổ (tần số) cần thiết để biểu diễn chuỗi y(n) ≥ L+M-1 Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1 H(k), X(k): DFT N điểm h(n), x(n) (các số đƣợc đệm vào để tăng kích thƣớc chuỗi lên N) + y(n) = IDFTN{Y(k)} · Tổng chập vòng N điểm h(n) x(n) tƣơng đƣơng với tổng chập tuyến tính h(n) với x(n) · DFT đƣợc dùng để lọc tuyến tính (bằng cách đệm thêm số vào chuỗi tƣơng ứng) Tóm tắt 2.2.2 Tín hiệu nhập dài: chia nhỏ x(n) thành block có độ dài cố định + Overlap-Save + Overlap-Add Giả thiết +Bộ lọc có h(n): chiều dài M +T/h nhập x(n): đƣợc chia nhỏ thành block có chiều dài L >> M DFTn IDFTn với N = L+M–1 ■ Mỗi block liệu đƣợc xử lý bao gồm (M – 1) điểm block trƣớc L điểm t/h nhập ■ M-1 điểm block đƣợc set ■ Đáp ứng xung lọc đƣợc đệm thêm (L – 1) số để tăng chiều dài lên N ■ DFT N điểm h(n) đƣợc tính lần Đệm thêm (M-1) số vào block liệu đầu vào Ví dụ 7: Sử dụng DFT IDFT xác định đáp ứng lọc FIR với đáp ứng xung h(n) = {1, 2, 3} Với chuỗi đầu vào x(n) = { 1, 2, 2, 1} Ta có chuỗi đầu vào có độ dài L = với đáp ứng xung có độ dài M = phép chập tuyến tính hai chuỗi tạo chuỗi có độ dài N = Do kích cỡ DFT cần Để đơn giản ta tính toán với tám điểm DFT Ta đề cập đến cách tính toán DFT dùng biến đổi nhanh FFT Tám điểm DFT x(n) đƣợc tính nhƣ sau: X (k )   x(n)e j 2 kn /8 n 0 Khai triển ta đƣợc   2e  j k /4 2 43  j( ) 2 2 43 X(2) = -1 - j , X(3) =  j( ) 2 2 43  j( ) X(4) = 0, X(5) = 2 2 43  j( ) X(6)= -1 + j , X(7) = 2 X(0) = , X(1) = điểm DFT h(n) H (k )   h(n)e j 2 kn /8 n 0 =  2e j kn/4  3e j k /2  2e j k /2  e j 3 k /4 Khai triển H(0) = 6, H(1) =   j (3  2) , H(2) = 2  j H(3) =   j (3  2) , H(4) = H(5) =   j (3  2) , H(6) = 2  j H(7) =   j (3  2) Ta đƣợc Y (0) = 36, Y (1) = -14.07 – j17.48, Y (2) = j4, Y (3) = 0.07 + j0.515 Y (4) =0 , Y (5) = 0.07 – j0.515 , Y (6) = -j4, Y(7) = -14.07 + j17.48 Cuối điểm IDFT y(n)   Y (k )e j 2 kn /8 k 0 y(n)  {1,4,9,11,8,3,0,0} n= 0,1,2 Ta thấy sáu giá trị y(n) tạo thành tập hợp giá trị đầu mong muốn Hai giá trị lại không ta sử dụng DFT điểm IDFT, này, thực tế số lƣợng điểm cần thiết tối thiểu CHƯƠNG KẾT LUẬN Kể từ DFT cung cấp biểu diễn tần số rời rạc chuỗi thời gian hữu hạn miền tần số , nhƣ công cụ tuyệt vời để tính toán phân tích hệ thống tuyến tính đặc biệt để lọc tuyến tính Ví dụ, ta thiết lập hệ thống với đáp ứng tần số H (ω), kích thích với tín hiệu đầu vào với phổ X(ω) với phổ đầu Y(ω) = X(ω)H(ω) Chuỗi đầu y(n) đƣợc xác định từ phổ thông qua biến đổi Fourier ngƣợc Theo tính toán, vấn đề với cách tiếp cận miền tần số Y(ω), X(ω), H(ω) tính biến đổi liên tục ω Nhƣ hệ quả, tính toán đƣợc thực máy tính số với lý máy tính có tính lƣu trữ thực phép tính miền rời rạc Mặt khác, DFT không cho phép dùng để tính toán máy tính Do cách thức mà DFT đƣợc sử dụng để thực lọc tuyến tính miền tần số Đặc biệt, phƣơng thức tính toán nhƣ thay cho tích chập miền thời gian Trong thực tế, phƣơng pháp tiếp cận miền tần số dựa tính toán DFT hiệu so với tính tích chập miền thời gian, thuật toán gọi chung biến đổi Fourier nhanh ( FFT ) [...]... X(ω), H(ω) là tính năng biến đổi liên tục của ω Nhƣ một hệ quả, các tính toán không thể đƣợc thực hiện trên máy tính số với lý do các máy tính chỉ có tính năng lƣu trữ và thực hiện phép tính ở miền rời rạc Mặt khác, DFT không cho phép dùng nó để tính toán trên máy tính Do vậy cách thức mà DFT có thể đƣợc sử dụng để thực hiện lọc tuyến tính trong miền tần số Đặc biệt, một phƣơng thức tính toán nhƣ là... CHƯƠNG 2: LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 2.1 LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT Kết quả của hai DFT là tƣơng đƣơng với tích chập vòng của chuỗi miền thời gian tƣơng ứng Một điều không may, đó là tích chập vòng không dùng tới để xác định đầu ra của một bộ lọc tuyến tính Trong trƣờng hợp này, chúng ta tìm kiếm một phƣơng pháp theo miền tần số tƣơng đƣơng phép chập tuyến tính Ta có Y(ω) = H(ω)X(ω)  Hàm liên tục theo tần số ω... miền tần số , nó nhƣ một công cụ tuyệt vời để tính toán và phân tích hệ thống tuyến tính và đặc biệt là để lọc tuyến tính Ví dụ, ta thiết lập một hệ thống với đáp ứng tần số H (ω), khi kích thích với một tín hiệu đầu vào với phổ X(ω) với phổ đầu ra Y(ω) = X(ω)H(ω) Chuỗi đầu ra y(n) đƣợc xác định từ phổ của nó thông qua biến đổi Fourier ngƣợc Theo tính toán, vấn đề với cách tiếp cận miền tần số Y(ω),... của bộ lọc FIR với đáp ứng xung h(n) = {1, 2, 3} Với chuỗi đầu vào x(n) = { 1, 2, 2, 1} Ta có chuỗi đầu vào có độ dài L = 4 với đáp ứng xung có độ dài M = 3 phép chập tuyến tính của hai chuỗi này tạo ra chuỗi có độ dài N = 6 Do đó kích cỡ các DFT cần ít nhất là 6 Để đơn giản ta tính toán với tám điểm DFT Ta đã đề cập đến cách tính toán DFT dùng biến đổi nhanh FFT Tám điểm DFT của x(n) sẽ đƣợc tính nhƣ... các máy tính số → DFT: một cách tính hiệu qủa của tổng chập miền thời gian Lọc tuyến tính 2.1.1 Tín hiệu ngắn h(n) y(n) M 1 y ( n)   h( k ) x ( n  k ) k 0 x(n) chiều dài = L (n=0,1,…,L-1) h(n) chiều dài = M (n=0,1,…,M-1) y(n) chiều dài N = M+L-1 + Số mẫu phổ (tần số) cần thiết để biểu diễn duy nhất chuỗi y(n) ≥ L+M-1 Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1 H(k), X(k): DFT N điểm của h(n), x(n) (các số 0 đƣợc... tăng kích thƣớc chuỗi lên N) + y(n) = IDFTN{Y(k)} · Tổng chập vòng N điểm của h(n) và x(n) tƣơng đƣơng với tổng chập tuyến tính của h(n) với x(n) · DFT có thể đƣợc dùng để lọc tuyến tính (bằng cách đệm thêm các số 0 vào chuỗi tƣơng ứng) Tóm tắt 2.2.2 Tín hiệu nhập dài: chia nhỏ x(n) thành từng block có độ dài cố định + Overlap-Save + Overlap-Add Giả thiết +Bộ lọc có h(n): chiều dài M +T/h nhập x(n):... chiều dài L >> M DFTn và IDFTn với N = L+M–1 ■ Mỗi block dữ liệu đƣợc xử lý bao gồm (M – 1) điểm của block trƣớc và L điểm mới của t/h nhập ■ M-1 điểm của block đầu tiên đƣợc set bằng 0 ■ Đáp ứng xung của bộ lọc đƣợc đệm thêm (L – 1) số 0 để tăng chiều dài lên N ■ DFT của N điểm của h(n) đƣợc tính một lần duy nhất Đệm thêm (M-1) số 0 vào mỗi block dữ liệu đầu vào Ví dụ 7: Sử dụng DFT và IDFT xác định đáp... ( n )4  x2 ( n )4   26, 23,16, 25  1.4.5 Tính đối xứng DFT DFT Nếu x( n )N   X ( k ) N thì x ( n )N   X  ( k )N 1.4.6 Quan hệ Parseval DFT Nếu x( n )N   X ( k ) N thì N 1  n 0 2 x( n )N  1 N N 1  X ( k )N 2 k 0 1.4.7 Chập tuyến tính sử dụng DFT  Kết quả phép chập tuyến tính của 2 dãy x1(n)N1 và x2(n)N2 sẽ giống với chập vòng nếu thêm các mẫu 0 vào sau các dãy x1(n) và x2(n)... là N1+N2 - 1: x1(n)N1 * x2(n)N2 = x1(n)N1+N2 -1  x2(n) N1+N2 -1  Lƣu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT đƣợc mô tả: Ví dụ 6: Cho 2 dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n) Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) và x3(n)=x1(n)5  x2(n)5  Chập tuyến tính của 2 dãy: x3 ( n )  x1( n )  x2 ( n )  { 1, 2 , 3, 2 ,1 }  Kết quả sẽ tƣơng tự đối với phép chập vòng nếu thêm vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x1(n) và x2(n) để có độ dài tối... thực hiện lọc tuyến tính trong miền tần số Đặc biệt, một phƣơng thức tính toán nhƣ là thay thế cho tích chập miền thời gian Trong thực tế, các phƣơng pháp tiếp cận miền tần số dựa trên các tính toán DFT thì hiệu quả hơn so với tính tích chập miền thời gian, các thuật toán này gọi chung là biến đổi Fourier nhanh ( FFT )  ... Fourier DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N 1.4 Các tính chất DFT CHƢƠNG 2: LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 14 2.1 LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 14 2.1.1 Tín hiệu. .. ngƣợc Theo tính toán, vấn đề với cách tiếp cận miền tần số Y(ω), X(ω), H(ω) tính biến đổi liên tục ω Nhƣ hệ quả, tính toán đƣợc thực máy tính số với lý máy tính có tính lƣu trữ thực phép tính miền... LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT 2.1 LỌC TUYẾN TÍNH VỚI DFT Kết hai DFT tƣơng đƣơng với tích chập vòng chuỗi miền thời gian tƣơng ứng Một điều không may, tích chập vòng không dùng tới để xác định đầu lọc