Các phương pháp thiết kế và hiện thực FIR, các Phương pháp thiết kế và hiện thực IIR xử lý tín hiệu số

Nó dẫn đến sự khuếch đại hoặcsuy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể,… Sử dụng bộ lọc số trong nhiều trường hợp như: để loại đi thành phần làm bẩntí

BÀI TIỂU LUẬN MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO

Đề tài: Các phương pháp thiết kế và hiện thực FIR, các Phương pháp thiết kế và hiện thực IIR

Giảng viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Ngọc Minh

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA QUỐC TẾ & ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

MỤC LỤC

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ 5

1.1 TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ 5

1.2 CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ 8

1.2.1 Phép biến đổi Z 8

1.2.2 Các tính chất của biến đổi z: 9

CHƯƠNG II: THIẾT KẾ BỘ LỌC CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN FIR 10

2.1 KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR 11

2.1.1 Khái niệm tổng hợp bộ lọc số FIR 11

2.1.2 Các tính chất tổng quát của bộ lọc số FIR 11

2.1.3 Các đặc trưng cơ bản của bộ lọc số FIR 12

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP MẠCH LỌC FIR 14

2.2.1 Phương pháp cửa sổ 15

2.2.1.2 Phương pháp cửa sổ Bartlett (tam giác) 22

2.2.1.3 Cửa sổ Hanning và Hamming 25

2.2.1.4 Phương pháp cửa sổ Blackman 26

2.2.1.5 Phương pháp cửa sổ Kaiser 27

2.2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số 28

2.2.3 Phương pháp lặp 31

CHƯƠNG III: THIẾT KẾ BỘ LỌC CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CÓ CHIỀU DÀI VÔ HẠN IIR 36

3.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ 36

3.1.1 Phương pháp bất biến xung 36

3.1.2 Phương pháp biến đổi song tuyến 40

3.1.3 Phương pháp tương đương vi phân 43

3.2 TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP 44

3.2.1 Bộ lọc tương tự Butterworth: 44

3.2.2 Bộ lọc Chebyshev 48

3.2.3 Bộ lọc tương tự Elip (Cauer) 53

LỜI MỞ ĐẦU

Tín hiệu xuất hiện ở nhiều ngành khoa học và kĩ thuật như: âm học, sinhhọc, thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển, rađa, vật lý học, địa chất học và khítượng học Có hai dạng tín hiệu được biết đến Đó là tín hiệu liên tục theo thờigian và tín hiệu rời rạc theo thời gian

Một tín hiệu rời rạc, cũng như một tín hiệu liên tục, có thể được biểu diễnbởi một hàm của tần số và được biết đến như là phổ tần của tín hiệu

Lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biếndạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn Nó dẫn đến sự khuếch đại hoặcsuy giảm trong một dải tần số, bỏ đi hoặc cô lập một thành phần tần số cụ thể,…

Sử dụng bộ lọc số trong nhiều trường hợp như: để loại đi thành phần làm bẩntín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệchtrong đo lường, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã được trộn lẫntheo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tínhiệu trong các thành phần tần số của chúng, để giải nén tín hiệu, để chuyển tínhiệu rời rạc theo thời gian sang tín hiệu liên tục theo thời gian

Tiểu luận này trình bày “Các phương pháp thiết kế và hiện thực FIR, cácPhương pháp thiết kế và hiện thực IIR” được chia thành 3 chương nhỏ:

Chương 1 Tổng quan về bộ lọc số: Chương này giới thiệu khái quát về lý

thuyết bộ lọc số và cơ sở toán học của bộ lọc số

Chương 2 Thiết kế bộ lọc số FIR: Chương này trình bày khái niệm, các tính

chất, đặc trưng cơ bản của bộ lọc số FIR và phương pháp tổng hợp bộ lọc sốFIR

Chương 3 Thiết kế bộ lọc số IIR: Chương này trình bày phương pháp tổng

hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự và các phương pháp tổng hợp các bộ lọctương tự thông thấp

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trong kỹ thuật tương tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trò quantrọng Người ta chia chúng làm 2 loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụđộng

Song thành phần cơ bản tác động đến biên độ _tần số tín hiệu là các thànhphần điện kháng như: điện cảm L và điện dung C Chúng được mắc với nhautheo những cấu trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc như: Bộ lọc thôngthấp, thông cao, thông một dải hoặc các bộ chặn tần v.v Để thiết kế chúngngười ta phải giải các phương trình vi tích phân Một phương pháp phổ biến nữa

là người ta xây dựng hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xácω), qua đó ta có thể xác), qua đó ta có thể xácđịnh chính xác đáp ứng của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xácđịnh

Chi kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số được xâydựng trên nền tảng là các chương trình, các thuật toán nhằm đáp ứng yêu cầucho các bộ lọc số Các chương trình, thuật toán này có thể đựơc thực hiện bằngphần mềm hoặc bằng các kết cấu cứng

Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số và bộ lọc tương tự có nhiều nét tươngđồng kể cả về chức năng cũng như phương pháp luận trong việc xây dựngchúng Trong chương này chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát về các bộ lọc số vàcông cụ toán học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm cơ sở cho việc nghiên cứu cácchương tiếp theo

1.1 TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của cácthành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho Bộ lọc số là hệ thống tuyến tínhbất biến theo thời gian Thông số vào và ra của hệ thống quan hệ với nhau bằngtổng chập

Bộ lọc số được chia làm hai loại cơ bản là bộ lọc IIR (Infinite-Duration

Impulse Response) có đáp xung h(n) vô hạn và bộ lọc FIR (Finite-Duration Impulse Response) có đáp ứng xung hữu hạn Bộ lọc IIR mang tính tổng quát

hơn bộ lọc FIR vì IIR là bộ lọc đệ quy còn bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy.

Để thấy rõ hơn ta xét

hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả (TTBBNQ) được mô tả bằng phương

trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N ≥ 1:

(1.1)

Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ vào ra là hệ đệ quy, sơ đồ cấu trúc của nó

gồm hai nhóm, nhóm thứ nhất là phần giữ chậm tác động vào x(n), nhóm thứ hai

là phần phản hồi giữ chậm phản ứng y(n) Trên hình 1.1 là sơ đồ cấu trúc dạng

chẩn tắc 1 của hệ

Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 1 của hệ IIR đệ quy

Đối với các hệ xử lý số TTBBNQ, đổi thứ tự của hai khối liên kết nối tiếp

không làm thay đổi phản ứng y(n), nên có thể đưa sơ đồ cấu trúc trên hình 1.1 về

dạng chuyển vị trên hình 1.2

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc chuyển vị của hệ IIR đệ quy

Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.2 bằng một dãy trễ, nhận được

sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.3 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả thiết M > N ).

Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy

Xét phương trình (1.1) khi các hệ số ar =0 thì phương trình trở thành:

Khi đổi vị trí các phần tử trễ, nhận được sơ đồ cấu trúc dạng chuyển vị trênhình 1.4b.

Hình 1.4: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR không đệ quy

Như vậy bộ lọc FIR chỉ là một dạng đặc biệt của bộ lọc IIR nhưng nó có ưu

điểm là đơn giản về mặt toán học và tính ổn định của nó cao hơn bộ lọc IIR.Bộlọc IIR có cấu trúc thường gọn nhẹ hơn và hệ số phẩm chất của nó thường caohơn so với bộ lọc FIR

1.2 CÔNG CỤ TOÁN HỌC ĐỂ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ.

Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trongmiền thời gian là phức tạp và khó khăn Để giải các bài toán được dễ dàng hơn,người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số

khác Biến đổi Laplace được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số

sử dụng biến đổi Z.

1.2.1 Phép biến đổi Z

Phép biến đổi Z được sử dụng cho các dãy số Biến đổi Z thuận để chuyển các dãy biến số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngược để chuyển các hàm biến số phức z thành dãy biến số nguyên n.

a Biến đổi Z thuận:

 Biến đổi Z hai phía: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa

của biến số phức Z:

Khi phân tích hệ xử lý số qua biến đổi Z, vận dụng các tính chất của biến đổi

Z sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán được dễ dàng hơn Các tính chất của biến

đổi Z được tóm tắt trong bảng sau:

Bảng 1: Các tính chất của biến đổi Z

CHƯƠNG II: THIẾT KẾ BỘ LỌC CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CÓ CHIỀU DÀI

HỮU HẠN FIR

2.1 KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR

2.1.1 Khái niệm tổng hợp bộ lọc số FIR

 Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phầncủa một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số

 Các thao tác của xử lý dùng để biến dạng sự phân bố tần số của các thànhphần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống số đượcgọi là sự lọc số

Các giai đoạn của quá trình tổng hợp lọc số:

- Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra

- Lượng tử hóa các thông số bộ lọc

- Kiểm tra, chạy thử trên máy tính

• Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến giai đọan đầu, tức làxác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra, thông thường cácchỉ tiêu cho trước là các thông số của Đáp ứng tần số

2.1.2 Các tính chất tổng quát của bộ lọc số FIR

2.1.3 Các đặc trưng cơ bản của bộ lọc số FIR

Ta có khi bộ lọc số FIR có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn nghĩa là:

(1.1)

Nếu biểu diễn trong miền z ta có hàm truyền đạt của bộ lọc số pha tuyến tínhtheo định nghĩa biến đổi z sẽ có dạng:

(1.2)Nếu biểu diễn trong miền tần số ω), qua đó ta có thể xác theo biến đổi Fourier ta có đáp ứng tần số:

Bây giờ chúng ta sẽ đi tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có nghĩa là

xác định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số và xét xem với đáp ứng

biên độ tần số tìm được có thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật bộ lọc số đặt

ra hay không Cần nhắc lại là các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế đã được

đề ra trong chương 3 với 4 tham số chính

+ Tần số giới hạn dải thông ω), qua đó ta có thể xácp + Độ gợn sóng dải thông δ1

+ Tần số giới hạn dải thông ω), qua đó ta có thể xács + Độ gợn sóng dải thông δ2

Đối với bộ lọc số FIR pha tuyến tính, căn cứ vào dạng pha đã cho ở (1.5) ta sẽnghiên cứu hai trường hợp:

- Ở đây được gọi là tâm đối xứng của bộ lọc FIR

- Khi θ(ω) =− αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại I, h(n) đối xứng.

- Khi θ(ω) =− αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại II, h(n) đối xứng.

Trường hợp 2

β ≠0 ⇒ θ(ω)= β − αω − π ω π

Tiến hành phân tích tương tự như trường hợp 1 ta rút ra được kết luận:

Trong trường hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính có pha ở dạng

θ(ω)= β − αω bộ lọc sẽ có quan hệ sau:

- Ở đây được gọi là tâm phản đối xứng của bộ lọc FIR

- Khi θ(ω)= β − αω và N lẻ, ta có bộ lọc số FIR loại III, h(n) phản đối xứng

- Khi θ(ω)= β − αω và N chẵn, ta có bộ lọc số FIR loại IV, h(n) phản đối xứng.

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP MẠCH LỌC FIR

Các khái niệm về tâm đối xứng, tâm phản đối xứng, chiều dài bộ lọc sốFIR N chẵn hay lẻ sẽ hình thành nên các đặc điểm của bộ lọc số Căn cứ vào cácđặc điểm của bộ lọc, chúng ta sẽ đitổng hợp các bộ lọc số FIR Thông thường có

3 phương pháp chính như sau:

- Phương pháp cửa sổ: Dùng các cửa sổ để hạn chế chiều dài đáp ứng xung của

bộ lọc số lý tưởng và đưa về nhân quả

- Phương pháp mẫu tần số: Trong vòng tròn tần số lấy các điểm khác nhau đểtổng hợp bộ lọc

- Phương pháp lặp tối ưu (phương pháp tối ưu - MINIMAX): phương pháp gầnđúng Tchebyshef, tìm sai số cực đại Emax của bộ lọc thiết kế với bộ lọc lýtưởng, rồi làm cực tiểu hoá đi sai số này: min|Emax| Các bước cực tiểu sẽ đượcmáy tính lặp đi lặp lại

2.2.1 Phương pháp cửa sổ

Phương pháp cửa sổ là một phương pháp đơn giản nhất Mục tiêu chínhcủa phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn để tổng hợp bộ lọc số FIRsao cho thực hiện được về mặt vật lý, nghĩa là các đáp ứng xung phải có chiềudài hữu hạn và nhân quả Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR được thực hiện quacác bước sau:

- Đưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ1, δ2, ω), qua đó ta có thể xácP, ω), qua đó ta có thể xácS trong miền tần số ω), qua đó ta có thể xác

- Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, nghĩa là xác định w( n )N

- Chọn loại bộ lọc số lý tưởng( thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải)tức là chọn h(n)

- Để hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n): w(n)N h (n) = hd(n)

Sau bước này tìm được ( ) d h n tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng

hệ số này có đáp ứng được các chỉ tiêu kỹ thuật đặt ra hay không thì phải thử lại

- Thử lại xem có thỏa mãn δ1, δ2, ω), qua đó ta có thể xácP, ω), qua đó ta có thể xácS hay không bằng cách chuyển sangmiền tần số

Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu các loại cửa sổ và các bước thiết kế

2.2.1.1 Phương pháp cửa sổ chữ nhật

Cửa sổ chữ nhật là cửa sổ đơn giản nhất

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:

WR (n)N = (2.12)

Nhận xét: wR(n)N = rectN(n)

Xét cửa sổ chữ nhật trong miền tần số ta có:

= = AR( )

Vì có dạng nên ta biến đổi tiếp:

Hình 2.1 Biểu diễn AR( )

Có hai tham số đánh giá cửa sổ là:

- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω), qua đó ta có thể xác

- Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm:

λ= 20 lg

Hai chỉ tiêu đánh giá chất lượng của cửa sổ

Đối với cửa sổ chữ nhật ta có:

- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω), qua đó ta có thể xácR =

- Tỷ số giữa biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm:

- Bề rộng đỉnh trung tâm Δω), qua đó ta có thể xác nhỏ thì dải quá độ giữa dải thông và dảichắn của bộ lọc sẽ nhỏ, nghĩa là tần số ω), qua đó ta có thể xácp và ω), qua đó ta có thể xács gần nhau

- Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp thứ nhất trên đỉnh trung tâm λ nhỏ dẫn đến độ gợnsóng δ1, δ2 nhỏ

- Nhưng đây là 2 tham số nghịch nhau, bề rộng đỉnh trung tâm muốn nhỏ thì tỷ

số λ sẽ lớn và ngược lại Do vậy tuỳ từng điều kiện bài toán chúng ta sẽ đưa racác tiêu chuẩn kỹ thuật riêng để chọn loại cửa sổ

Để đánh giá cửa sổ có tính đến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người

ta còn dùng tham số sau:

G ( ) = 20 lg (dB)

Ví dụ về tham số này sẽ được thể hiện trong hình 2.5

Ví dụ 2.1 Vẽ cửa sổ chữ nhật với N = 7

Nhưng trong ví dụ này ta có pha tuyến tính ( )= - , do vậy ta phải dịch

chuyển h(n) sang phải mẫu :

hd(3)=

Hàm truyền đạt của bộ lọc:

-Kết quả được sơ đồ bộ lọc FIR như sau:

Hình 2.4 sơ đồ bộ lọc FIR thông thấp với N = 7 trong ví dụ 2.2

Sau đây chúng ta sẽ xem xét đồ thị biểu diễn G e j

= 20lg  

 0

W W

j N j N

e e



(dB) của

cửa sổ chữ nhật với cácchiều dài N khác nhau:

Hình 2.5 Đồ thị với a)N=31; b)N=61, c) N=101

Nhận xét: Khi chiều dài cửa sổ N tăng lên thì tham số tỷ số giữa biên độđỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên độ đỉnh trung tâm  là không đổi đều bằng -13db, chỉ có các búp là hẹp đi tức là bề rộng đỉnh trung tâm sẽ nhỏ đi khi ta

tăng chiều dài N của cửa sổ, điều này dẫn đến chất lượng của cửa sổ sẽ tănglên

2.2.1.2 Phương pháp cửa sổ Bartlett (tam giác)

Định nghĩa: Trong miền n cửa sổ Bartlett được định nghĩa như sau:

n N N

T N

n

n n

Đối với cửa sổ tam giác thiết kế giống cửa sổ chữ nhật nhưng dạng hàm khácnhau:

   , nhưng dãi quá độ lại lớn hơn của sổ chữ nhật T  R

Ví dụ 2.4: Hãy thiết kế bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính dùng phương pháp

cửa sổ Bartlett với

1 2

2

c c HP

c

N n N

N n

Hình 2.8 Sơ đồ bộ lọc FIR thông cao với N=7 trong ví dụ 5.4

2.2.1.3 Cửa sổ Hanning và Hamming

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming được định nghĩa nhưsau:

2.2.1.4 Phương pháp cửa sổ Blackman

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Blackman được định nghĩa như sau:

1 2

1

N

m m

Hãy tìm cửa sổ Blackman trong các trường hợp sau đây:

1 a 0 0,5; a 1 0,5; a  m 0

2 a 0 0,54; a 1 0, 46; a  m 0; m 0,1

3 a 0 0, 42; a 1 0,5; a 3 0,08; a  m 0; m 0,1, 2

Giải:

1 Với các hệ số trên đây chính là cửa sổ Hanning WHan n N

2 Với các hệ số trên đây chính là cửa sổ Hamming WHam n N

3 Ta có đây là bộ tham số thông dụng nhất của cửa sổ Blackman

2.2.1.5 Phương pháp cửa sổ Kaiser

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Kaiser được định nghĩa như sau:

1

1 1

Trong định nghĩa 5.18 tham số  đặc trưng cho việc trao đổi năng lượnggiữa trung tâm và các đỉnh thứ cấp, để đạt hiệu quả cao khi thiết kế người tathường chọn 4    9

Trong cửa sổ Kaiser ta có thể thay đổi tham số  để thay đổi tỷ lệ giữa k

và  k

2.2.2 Phương pháp lấy mẫu tần số

Tư tưởng của phương pháp này là xây dựng một bộ lọc có đáp ứng xungchiều dài N và có đáp ứng tần số xấp xỉ với đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng

Cụ thể, ta có thể xét tại N mẫu rời rạc cách đều nhau trong khoảng từ 0 đến 2π,hàm đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế bằng đúng với hàm đáp ứng xung của bộlọc lý tưởng

Nếu như ta đã biết N mẫu rời rạc H(k) trên hàm đáp ứng tần số, tươngđương với N mẫu ảnh qua phép biến đổi Fourier rời rạc của dãy đáp ứng xungh(n), ta hoàn toàn có thể xây dựng hàm đáp ứng tần số H(ejω), qua đó ta có thể xácω), qua đó ta có thể xác) bằng phép nội suytheo công thức:

H(k) = H*(N-k) với k = 1,…,N-1