Đạo hàm - Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Chương V – ĐẠO HÀM A. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa đạo hàm : cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và .Nếu tồn tại giới hạn được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Ký hiệu là : f’(Xo) hay y’(Xo) 2.Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên một khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mỗi điểm x thuộc (a,b) 3. Quan hệ giữa sự liên tục và sự có đạo hàm f(x) có đạo hàm tại x0 => f(x) liên tục tại x0 ( ; ), ( ; ) o o x a b x x a b∈ + ∆ ∈ 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x ∆ → + ∆ − ∆ 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim o x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆ → → + ∆ − − = = ∆ − Chương V – ĐẠO HÀM 4 .Ý nghĩa hình học của đạo hàm Xét hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và có đạo hàm tại x0 * Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(x0;f(x0)) có hệ số góc k = f’(x0) * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(x0,f(x0)) là : y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 5.Ý nghĩa vật lý của đạo hàm Ví dụ : Vận tốc tức thời của một chuyển động s = S(t) là : V(t) = S’(t) Chương V – ĐẠO HÀM B. Các dạng toán I . Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp : 1. Tính 2. lập tỉ số 3. Tính Bài tập Bài 1:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa a) b) tại c) với x> 1/2 d) e) Tại x0 = 0 f) 0 0 ( ) ( )y f x x f x ∆ = + ∆ + y x ∆ ∆ 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ 2 ( ) 2 3 1f x x x= + + ( ) sin( )f x x= 0 6 x Π = 2 ( ) 2 3 1f x x x= + + 1 ( )f x x = 1 ( ) 1 | | f x x = + ( ) os( )f x c x= Chương V – ĐẠO HÀM Giải: a) b) 2 0 ( 1 ) ( 1) 2( )y y y f x f x x∆ = − = − + ∆ − − = ∆ − ∆ ( ) sin( )f x x= 6 6 x x x x π π ∆ = − ⇔ = + ∆ ( ) ( ) sin( ) sin( ) 2cos sin 6 6 6 6 6 2 2 x x y f x f x π π π π π ∆ ∆     ∆ = + ∆ − = + ∆ − = +  ÷  ÷     0 1 1x x x x x x∆ = − = + ⇔ = − + ∆ 2 ( ) 2 3 1f x x x= + + 2 0 0 0 2( ) '( 1) lim lim lim(2 1) 1 x x x y x x f x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ − ∆ − = = = ∆ − = − ∆ ∆ Chương V – ĐẠO HÀM e) Ta có 0 0 0 2cos sin 2cos sin 6 2 2 6 2 2 '( ) lim lim lim 6 2 x x x x x x x y f x x x π π π ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ∆ ∆         + +  ÷  ÷  ÷  ÷ ∆         = = = ∆ ∆ ∆ 0 0 sin 3 2 lim cos lim cos .1 6 2 6 2 2 x x x x x π π ∆ → ∆ → ∆    ÷ ∆       = + = =  ÷  ÷ ∆     1 ( ) 1 | | f x x = + 1 1 1 ( ) 1 | | x x x x f x x + −  = =  +  §M Nếu Nếu 0x ≥ 0x ≤ Chương V – ĐẠO HÀM Ta có: Nên Vậy c) d) f) 0 0 0 (0 ) (0) 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x f x f x x x x x + + + ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − ∆   = = =  ÷ ∆ ∆ + ∆ + ∆   0 0 0 (0 ) (0) 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x f x f x x x x x − − − ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − ∆   = = =  ÷ ∆ ∆ − ∆ − ∆   0 0 (0 ) (0) (0 ) (0) lim lim 1 x x f x f f x f x x − − ∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ − = = ∆ ∆ 0 (0 ) (0) '(0) lim 1 x f x f f x − ∆ → + ∆ − ⇒ = = ∆ 1 '( ) 2 1 f x x = − 2 1 '( )f x x = '( ) sin( )f x x= − Chương V – ĐẠO HÀM Bài 2:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa a) b) Tại x0=2 ;x0=-2 Hàm số có đạo hàm tại x0=1 không? c) d) e) f) g) h) i) k) 3 2 2 4x 8 8 4 0 1 ( ) 1 | | x x f x x + − +   = =  +   §M Nếu Nếu 0x ≠ 0x = 2 ( ) 3| 1|f x x x= + − ( ) 5 7f x x= − 2 ( ) 3 4 9f x x x= − + ( ) sin xf x = ( )f x x x= + Chương V – ĐẠO HÀM Giải a) 3 2 2 2 0 0 (0 ) (0) 4 x 8 8 4 '(0) lim lim x x f x f x f x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ + − ∆ + = = = ∆ ∆ 3 2 2 3 2 2 2 2 0 0 4 x 8 2 2 8 4 1 lim lim ( 4 x 8 2 2 8 4) x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ + − + − ∆ + = = ∆ + − + − ∆ + ∆ ∆ 2 2 2 2 0 3 2 2 2 3 1 4 8 lim 2 8 4 (4 x 8) 2 4 x 8 4 x x x x x ∆ →   ∆ ∆  ÷ = −  ÷ ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ + +   2 0 3 2 2 2 3 4 8 lim 2 8 4 (4 x 8) 2 4 x 8 4 x x ∆ →    ÷ = −  ÷ + ∆ + ∆ + + ∆ + +   1 5 2 3 3 = − = − Chương V – ĐẠO HÀM b) f’(2) = 7 , f’(-2)= -7 Xét tại x0=1 Suy ra: Nên không tồn tại Vậy hs không có đạo hàm tại x0=1 2 0 0 0 (1 ) (1) (1 ) 3(1 ) 3 1 lim lim lim ( 5) 5 x x x f x f x x x x x + + + ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ + + ∆ − − = = ∆ + = ∆ ∆ 2 0 0 0 (1 ) (1) (1 ) 3(1 ) 3 1 lim lim lim ( 1) 1 x x x f x f x x x x x − + − ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ − + ∆ + − = = ∆ − = − ∆ ∆ { 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 3| 1| x x x x f x x x + − − + = + − =M Nếu Nếu 1x ≥ 1x <p p 0 0 (1 ) (1) (1 ) (1) lim lim x x f x f f x f x x − + ∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ − ≠ ∆ ∆ 0 (1 ) (1) lim x f x f x ∆ → + ∆ − ∆ Chương V – ĐẠO HÀM 2.c) d) e) f) '( ) 5f x = '( ) 6 4f x x= − '( ) osxf x c= 1 '( ) 1 2 f x x = + [...]... ∆x → 0 Suy ra a = 2/3 Vậy 2 a = , b = 0 thì hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 3 b) Để hàm số không có đạo hàm tại x=3 thì hàm số phải không liên tục tại x=3 lim f ( x) ≠ lim f ( x) ⇔ lim (4 x − 1) ≠ lim− ( x 2 + a) ⇔ a ≠ 2 + − + x →3 x →3 x →3 x →3 Chương V – ĐẠO HÀM Chương V – ĐẠO HÀM Chương V – ĐẠO HÀM Chương V – ĐẠO HÀM Chương V – ĐẠO HÀM Chương V – ĐẠO HÀM ... tại f’(0) Chương V – ĐẠO HÀM Bài 4 a) Cho hàm số  ax +b f ( x) =  cos2x-cos4x  x b) Cho hàm số f ( x) = c) { x2 +a 4 x −1 Nếu x≥0 Nếu x p0 ≤ Nếu x≤3 Nếu x p3 > Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 ? Tìm a,b để hàm số không có đạo hàm tại điểm x=3 ? Chương V – ĐẠO HÀM Giải a) Hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=0 Nên lim f ( x ) = lim f ( x) = f (0) x →0+ x →0−... V – ĐẠO HÀM Bài 3 a) Cho hàm số b) c) Cho hàm số  f ( x) =  0  x 2 sin  f ( x) =   Cho hàm số  xcos x12  f ( x) =  0   1 x 1− cosx x 0 Nếu x≠0 Nếu xp0 = Nếu x≠0 Nếu xp0 = Nếu x≠0 Nếu Tính f’(0) xp0 = Tính f’(0) Chứng minh hàm số liên tục trên tập số thực R Hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 không ? Kết quả: a) f’(0) = 0 b) f’(0) = 1/2 c) Không tồn tại f’(0) Chương V – ĐẠO HÀM Bài 4 a) Cho hàm. .. = f (0) + x →0 x →0 lim− f ( x) = lim− x →0 x →0 cos2x - cos4x sin3x.sinx = 2 lim− =0 x →0 x x Suy ra b=0 thì hàm số liên tục tại x=0 Để hàm số có đạo hàm tại x= 0 thì lim− ∆x → 0 f (0 + ∆x) − f (0) f (0 + ∆x) − f (0) = lim+ ∆x → 0 ∆x ∆x Chương V – ĐẠO HÀM Ta có lim+ f (0 + ∆x) − f (0) a∆x = lim+ =a ∆x → 0 ∆x ∆x lim− f (0 + ∆x) − f (0) cos2∆x - cos4∆x sin3∆x.sin∆x 2 = lim− = 2 lim− = 2 2 ∆x → 0 ∆x . dạng toán I . Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp : 1. Tính 2. lập tỉ số 3. Tính Bài tập Bài 1 :Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa a) b) tại c) với. '( ) sin( )f x x= − Chương V – ĐẠO HÀM Bài 2 :Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa a) b) Tại x0=2 ;x0 =-2 Hàm số có đạo hàm tại x0=1 không? c) d) e) f)