Các kiến thức cơ bản 1.. Định nghĩa đạo hàm : cho hàm số y = fx xác định trên khoảng a;b và .Nếu tồn tại giới hạn được gọi là đạo hàm của hàm số fx tại điểm x0... Tính đạo hàm bằng định
Trang 1Chương V – ĐẠO HÀM
A Các kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa đạo hàm : cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
.Nếu tồn tại giới hạn
được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0
Ký hiệu là : f’(Xo) hay y’(Xo)
2.Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên một khoảng (a,b) nếu nó có đạo
hàm tại mỗi điểm x thuộc (a,b)
3 Quan hệ giữa sự liên tục và sự có đạo hàm
f(x) có đạo hàm tại x0 => f(x) liên tục tại x0
( ; ), ( ; )
0
( ) ( ) lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
0
0
0
f x
Trang 2Chương V – ĐẠO HÀM
4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Xét hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và có đạo hàm tại x0
* Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(x0;f(x0)) có hệ số góc k = f’(x0)
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(x0,f(x0)) là :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
5.Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Ví dụ : Vận tốc tức thời của một chuyển động s = S(t) là : V(t) = S’(t)
Trang 3
Chương V – ĐẠO HÀM
B Các dạng toán
I Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp : 1 Tính
2 lập tỉ số
3 Tính
Bài tập
Bài 1:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa
a) b) tại
c) với x> 1/2 d)
e) Tại x0 = 0 f)
y x
∆
∆
0
lim
x
y x
∆ →
∆
∆
2
f x = x + x + f x ( ) sin( ) = x 0
6
2
1 ( )
1 | |
f x
x
=
Trang 4Chương V – ĐẠO HÀM
Giải:
a)
b)
2
0 ( 1 ) ( 1) 2( )
∆ = − = − + ∆ − − = ∆ − ∆
( ) sin( )
∆ = − ⇔ = + ∆
y f π x f π π x π π ∆ ∆
∆ = − = + ⇔ = − + ∆
2
f x = x + x +
2
2( )
Trang 5Chương V – ĐẠO HÀM
e)
Ta có
6
2
y f
x
π
sin
3 2
2
x x
x
∆
∆
1 ( )
1 | |
f x
x
= +
1 1
1 ( )
1 | |
x x x x
f x
x
+
−
Nếu
0
x ≥
0
x ≤
Trang 6Chương V – ĐẠO HÀM
Ta có:
Nên
Vậy
c) d) f)
+ ∆ − = + ∆ − =
0
x
f
x
−
∆ →
+ ∆ −
∆
1 '( )
f x
x
=
1 '( )
f x
x
= f x '( ) = − sin( ) x
Trang 7Chương V – ĐẠO HÀM
Bài 2:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa
a)
b) Tại x0=2 ;x0=-2
Hàm số có đạo hàm tại x0=1 không?
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
3 4x 2 8 8 2 4 0
1 ( )
1 | |
x x
f x
x
§M
Nếu Nếu
0
x ≠
0
x =
2
( ) 5 7
f x = x − f x ( ) 3 = x2 − 4 x + 9
( ) sin x
Trang 8Chương V – ĐẠO HÀM
Giải
a)
2
f
x
x
∆ + − + − ∆ +
lim
x
∆ →
2
0 3 2 2 3 2
lim
∆ →
∆ + + ∆ + + + ∆ + ÷
2
= − = −
Trang 9Chương V – ĐẠO HÀM
b)
f’(2) = 7 , f’(-2)= -7
Xét tại x0=1
Suy ra:
Nên không tồn tại Vậy hs không có đạo hàm tại x0=1
2
x
+ ∆ − = + ∆ + + ∆ − − = ∆ + =
2
x
+ ∆ − = + ∆ − + ∆ + − = ∆ − = −
2
1
x p p <
+ ∆ − ≠ + ∆ −
0
lim
x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
Trang 10Chương V – ĐẠO HÀM
2.c) d) e) f)
'( ) 5
f x = f x '( ) 6 = x − 4 f x '( ) = c osx '( ) 1 1
2
f x
x
Trang 11Chương V – ĐẠO HÀM
Bài 3
a) Cho hàm số
b) Cho hàm số
c) Cho hàm số
Chứng minh hàm số liên tục trên tập số thực R
Hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 không ?
Kết quả: a) f’(0) = 0 b) f’(0) = 1/2 c) Không tồn tại f’(0)
2 1 sin 0
=
0
x ≠
0
x p =
Nếu
Tính f’(0)
1 osx 0
( )
c x
f x
−
=
0
x ≠
0
x p =
Nếu
Tính f’(0)
2
1 os 0
0
x ≠
0
x p =
Nếu
Trang 12Chương V – ĐẠO HÀM
Bài 4
a) Cho hàm số
b) Cho hàm số
c)
ax +b os2x-cos4x
x
=
0
x ≥
0
x p ≤
Nếu Tìm a,b để hàm số có
đạo hàm tại điểm x=0 ?
{ x 2
Nếu
3
x ≤
3
x p >
Nếu Tìm a,b để hàm số
không có đạo hàm tại điểm x=3 ?
Trang 13Chương V – ĐẠO HÀM
Giải
a) Hàm số có đạo hàm tại điểm x=0 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=0 Nên
Ta có
Suy ra b=0 thì hàm số liên tục tại x=0
Để hàm số có đạo hàm tại x= 0 thì
x + f x x − f x f
x + f x x + b f
c
f x
+ ∆ − = + ∆ −
Trang 14Chương V – ĐẠO HÀM
Ta có
Suy ra a = 2/3
Vậy thì hàm số có đạo hàm tại điểm x=0
b) Để hàm số không có đạo hàm tại x=3 thì hàm số phải không liên tục tại
x=3
a
+ ∆ − = ∆ =
x
2
3
a = b =
2
x + f x x − f x x + x x − x a a
Trang 15Chương V – ĐẠO HÀM
Trang 16
Chương V – ĐẠO HÀM
Trang 17
Chương V – ĐẠO HÀM
Trang 18
Chương V – ĐẠO HÀM
Trang 19
Chương V – ĐẠO HÀM
Trang 20
Chương V – ĐẠO HÀM