1.1. Lý thuyết chung về tập mờ
Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L. A. Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [14]. Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… ông đã tìm cách biểu diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1. [14] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x, U={x}. Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A(x) mà nó liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1]. Giá trị hàm A(x) biểu diễn mức độ thuộc của x trong A. A(x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và được gọi là hàm thuộc của tập mờ A.
Như vậy, giá trị hàm A(x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A càng cao. Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A(x), chỉ nhận 2 giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không. Rõ ràng, tập mờ là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển. Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ.
Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào đoạn [0,1], tức là = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con người.
Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục:
- Trường hợp U hữu hạn, U={ui : 1 i n}, ta có thể viết
- Trường hợp U vô hạn đếm được, U={ui : i=1,2,… }, ta viết
- Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết
Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ.
Định nghĩa 2. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1]. Tập lát cắt của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau :
A = {u U : A(u)}.
Tập A còn gọi là tập mức của A.
Định nghĩa 3. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó A(u)0, tức là support(A) = {u U : A(u)0}.
ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm thuộc A(u) trên U, tức là high(A) = sup{A(u) : uU}.
iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1. Ngược lại gọi là tập mờ dưới chuẩn.
iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được xác định như sau:
Định nghĩa 4. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A), được xác định là:
ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau:
Ví dụ 1. Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0 u 120}, A là một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau (hình 1):
Khi đó tập mức =0.5 của A là A0.5 = {u : 66 u 120} ;
support(A) = {u : 61 u 120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}.
Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ sau này.
Định nghĩa 5. [1,14] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm thuộc tương ứng là A và B, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ và lấy phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là
C = A B, hoặc C = A B, hoặc C = A~ với hàm thuộc được xác định như sau:
AB(u) = max(A(u), B(u)), u U,
AB(u) = min(A(u), B(u)), u U,
A~(u) = 1- A(u), u U.
Hay viết ở dạng thu gọn là
AB(u) = A(u) B(u)),
AB(u) = A(u) B(u)).
Ví dụ 2. [1] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh. Hai tập mờ G và K tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như sau:
Ta có kết quả của các phép toán trên hai tập mờ này với hàm thuộc thể hiện trong bảng sau:
Một lớp đặc biệt các tập mờ là lớp các quan hệ mờ, chúng là các tập mờ trên không gian tích Đề-các các miền cơ sở. Như tên gọi, quan hệ mờ mô tả mối quan hệ mờ giữa các đối tượng trong miền cơ sở. Về mặt hình thức chúng ta định nghĩa quan hệ mờ như sau.
Định nghĩa 6. [1] Cho U là tích Đề-Các của n miền cơ sở Ui, i=1, ,…, n. Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau:
Trong đó (u1,…,un) là hàm thuộc của tập mờ R. Dấu biểu diễn hình thức của hàm thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm được hoặc liên tục.
Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân nó cũng là tập mờ. Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây.
Định nghĩa 7. [1] Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ mờ trên VW. Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau:
RS = vV [R(u,v)S(v,w)]/(u,w)
Trong đó là một phép tính 2 ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép max . Nếu là phép min , thì ta có phép hợp thành max-min, nếu là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành max-product.
Ví dụ 3. Cho U = {u1, u2, u3}, V = {v1, v2} và W = {w1, w2}, với quan hệ mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận
và
khi đó phép hợp thành max-min là ,
và max-product là .
Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình lập luận xấp xỉ sau này.
Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn dưới dạng luật “if-then” và mỗi luật được xem như một quan hệ mờ
Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người. Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó