Giao trinh bai tap do an hai quan benzen acetic complete 1212

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC - KỸ THUẬT MÁY TÍNH CẤU TRÚC RỜI RẠC CHO KHMT (CO1007) Nhóm: —- Bài tập lớn Thống kê mô tả Xác suất rời rạc với R GVHD: SV thực hiện: Nguyễn An Khương Huỳnh Tường Nguyên Nguyễn Văn A – 22102134 Trần Văn B – 88471475 Lê Thị C – 36811334 Phạm Ngọc D – 97501334 Kiều Thị E – 12341334 Tp Hồ Chí Minh, Tháng /2015 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Mục lục Kiến thức kết chuẩn bị 1.1 Tổng quan R 1.2 Thống kê mô tả 1.2.1 Các loại liệu 1.2.2 Tổng thể mẫu 1.2.3 Các loại biểu đồ đồ thị thông dụng 1.2.4 Phân tích môt tả giá trị mẫu 1.3 Xác suất 1.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.4.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc ví dụ 1.4.2 Phân phối xác suất biến ngãu nhiên rời rạc 1.4.3 Các đặc trưng số quan trọng của biến ngẫu 1.5 Một vài mô hình xác suất rời rạc quen thuộc 1.5.1 Mô hình 1.5.2 Mô hình 1.5.3 Mô hình 2 2 2 2 3 3 3 3 Một số toán minh họa 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài toán 3 10 13 Kết luận 20 Tài liệu 20 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 nhiên rời rạc Trang 1/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài báo cáo trình bày lời giải số toán thống kê mô tả mộ số toán liên quan đến mô hình xác suất rời rạc có sử dụng R Trong phần đầu, nhắc lại số kiến thức kết thống kê mô tả, mô hình xác suất rời rạc thông dụng, với số hàm R thông dụng mà sử dụng để tính toán kết lời giải toán Phần Đối với toán Phần 2, trước hết trình bày lời giải truyền thống, cách dùng công thức kết trình bày Phần Sau tính toán lại kết hàm R Các biểu đồ (nếu có) vẽ R nhúng vào LaTeX 1.1 Kiến thức kết chuẩn bị Tổng quan R Trong phần giới thiệu tóm lược ngôn ngữ R ứng dụng xác suất thống kê 1.2 Thống kê mô tả Trong phần tóm lược lại số kiến thức thống kê mô tả dạng liệu, mẫu ngẫu nhiên, loại biểu đồ, đồ thị, số đặc trưng mẫu 1.2.1 Các loại liệu 1.2.2 Tổng thể mẫu 1.2.3 Các loại biểu đồ đồ thị thông dụng 1.2.4 Phân tích môt tả giá trị mẫu Trong mục này, trình bày số bước để phân tích liệu thu thập trình lấy mẫu Một cách để mô tả phân phối giá trị mẫu, đặc biệt hữu ích mẫu lớn, xây dựng phân phối tần số (tần suất) giá trị mẫu 1.3 Xác suất Trong phần nhắc lại số khái niệm xác suất rời rạc Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 2/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 1.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc Trong phần trình bày lại số khái niệm kết quan trọng biến ngẫu nhiên rời rạc, với số đặc trưng chúng như: kỳ vọng, phương sai, mode, trung vị, moment cấp cao, mức phân vị, mà dùng để giải toán phần sau Đối với đặc trưng số, nêu hàm R để tính toán liên quan đến chúng 1.4.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc ví dụ 1.4.2 Phân phối xác suất biến ngãu nhiên rời rạc 1.4.3 Các đặc trưng số quan trọng của biến ngẫu nhiên rời rạc 1.5 Một vài mô hình xác suất rời rạc quen thuộc Trong phần nêu mô hình cụ thể mà sử dụng để giải toán phần sau Đối với mô hình nêu tường đặc trưng số quan trọng chúng, hàm R để tính toán đặc trưng số 1.5.1 Mô hình 1.5.2 Mô hình 1.5.3 Mô hình Một số toán minh họa Trong phần trình bày lời giải tường minh số toán giao đề nhóm Các tính toán R để kiểm tra kết biểu đồ minh họa nêu rõ 2.1 Bài toán Một công ty Mỹ sản xuất thành phần vi mạch điện tử lai (hybrid ) mua gốm từ nhà cung cấp Nhật Bản Các kiểm tra mắt thường trước đem in lưới Tấm gốm bị lỗi ảnh hưởng đến hiệu suất điện sản phẩm cuối suất tổng thể Để phản hồi cho nhà cung cấp, công ty khảo sát thay đổi số lượng lỗi X tìm thấy gốm Số liệu đo sau tập liệu BLEMISHES thể số lỗi tìm thấy 30 gốm Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 3/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 0, 2, 0, 0, 1, 3, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 0, 0, 5, 1, 0, 2, Biến X nhận giá trị 0, 1, 2, Các lệnh R sau cài đặt gói mistat, đọc tập liệu BLEMISHES số lỗi tìm thấy 30 gốm hiển thị chúng hình máy tính > # Sau dấu comment > install.packages("mistat", # Cài đặt gói mistat dependencies=TRUE) # tất gói có liên quan đến > library(mistat) # Gọi tập liệu hàm có gói > data(BLEMISHES) # Gọi tập liệu số lỗi 30 gốm > # BLEMISHES tập số liệu dạng bảng, vector (1 > # chiều) > help(BLEMISHES) # Đọc tất thông tin hỗ trợ tập liệu BLEMISHES > BLEMISHES # Đưa số liệu BLEMISHES hình máy tính Số liệu tập liệu BLEMISHES hình máy tính sau Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 plateID count 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 4/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Plate 30 30 Tính tần số, tần suất tần suất tích lũy của X? Vẽ biểu đồ tần số số lượng lỗi 30 gốm? Vẽ biểu đồ tần suất số lượng lỗi 30 gốm? Vẽ biểu đồ tần suất tích lũy số lượng lỗi 30 gốm? Hãy trích xuất ba dòng đầu tất cộ tập liệu BLEMISHES? Hãy trích xuất cột thứ hai tập liệu? Tính số lỗi trung bình liệu mẫu BLEMISHES? Hãy đo mức độ phân tán số lỗi (xung quanh giá trị trung bình) liệu? Lời giải Tần suất X hiển thị Bảng sau Bảng 1: Tần suất số lỗi gốm x Tần số fi Tổng 15 3 n = 30 Tần suất pi = fi /n 50 27 10 10 00 03 1.00 Tần suất tích lũy i Pi = k=0 pi 50 77 87 97 97 1.00 Trong R ta tạo bảng sau > > > > > library(mistat) data("BLEMISHES") X > > > library(mistat) data("BLEMISHES") X > > > library(mistat) data("BLEMISHES") X data("BLEMISHES") > X X barplot(cumsum(X), main="Tần suất tích lũy số lượng lỗi gốm", xlab="Số lỗi", ylab="Tần suất tích lũy") để thu biểu đồ tần suất Hình sau Toán tử $ trích xuất cột tên Dữ liệu BLEMISHES vector mà cấu trúc giống ma trận, mà cột (biến) khác kiểu (được gọi khung liệu) Do đó, ta truy xuất vào tập liệu với toán tử dấu ngoặc vuông [i, j] nhằm xác định phần tử cần trích xuất Dấu ngoặc vuông sử dụng vector Gọi lệnh help (“[”) dấu nhắc lệnh để biết thêm thông tin Dưới cách trích xuất dòng liệu BLEMISHES > BLEMISHES[1:3, ] # Trích xuất dòng từ đến 3, lấy hết tất cột plateID count Plate 1 Plate 2 Plate 3 > head(BLEMISHES,n=3) # Kết giống Ta dùng toán tử dấu ngoặc vuông để trích xuất cột thứ hai tập liệu sau Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 7/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 3: Tần suất tích lũy số lượng lỗi gốm > BLEMISHES[2] count Plate Plate 2 Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate Plate 10 Plate 11 Plate 12 Plate 13 Plate 14 Plate 15 Plate 16 Plate 17 Plate 18 Plate 19 Plate 20 Plate 21 Plate 22 Plate 23 Plate 24 Plate 25 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 8/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Plate Plate Plate Plate Plate 26 27 28 29 30 Số lỗi trung bình liệu mẫu BLEMISHES x ¯= 15 × + × + × + × + × + × = 0.9333333 15 + + + + + Trong R ta thực sau > > > > library(mistat) data("BLEMISHES") X > > > > library(mistat) data("BLEMISHES") X BLEMISHES[1:30, 2] [1] 0 3 1 0 0 1 0 > X mean(X) [1] 0.9333333 > var(X) [1] 1.581609 > sd(X) [1] 1.25762 2.2 Bài toán Trong toán này, Mai, Lan, Cúc ba thư ký công ty Công việc họ xử lý sổ sách theo khối lượng phân công sau Tỉ lệ khối lượng công việc ngày Mai Lan Cúc 60% 30% 10% Khi xử lý sổ sách, sai sót xảy tỉ lệ sai sót ba thư ký sau thống kê thời gian dài cho bảng sau Tỉ lệ sai sót Mai 0.3% Lan 0.7% Cúc 1% Vào ngày, người quản lý phát hồ sơ bị xử lý sai Hỏi số ba thư ký người đáng nghi để truy trách nhiệm hồ sơ này? Giả sử ngày ngày trên, ngày người quản lý phát hồ sơ bị xử lý sai Hỏi số ba thư ký người đáng nghi để truy trách nhiệm loạt sai sót này? Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 10/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Đặt biến cố sau Lời giải • M = {Một hồ sơ chọn Mai xử lý} • L = {Một hồ sơ chọn Lan xử lý} • C = {Một hồ sơ chọn Cúc xử lý} • A = {Một hồ sơ chọn ngẫu nhiên bị xử lý sai} Khi ta cần so sánh ba xác suất p(M |A), p(L|A), p(C|A) Theo công thức Bayes, ta có p(A|M )p(M ) p(A|M )p(M ) + p(A|L)p(L) + p(A|C)p(C) (0.003)(0.6) = (0.003)(0.6) + (0.007)(0.3) + (0.010)(0.1) 0.0018 = 0.0049 = 0.37, p(M |A) = p(A|L)p(L) p(A|M )p(M ) + p(A|L)p(L) + p(A|C)p(C) (0.007)(0.3) = (0.003)(0.6) + (0.007)(0.3) + (0.010)(0.1) 0.0021 = 0.0049 = 0.43, p(L|A) = p(A|C)p(C) p(A|M )p(M ) + p(A|L)p(L) + p(A|C)p(C) (0.010)(0.1) = (0.003)(0.6) + (0.007)(0.3) + (0.010)(0.1) 0.0010 = 0.0049 = 0.20 p(C|A) = Vậy Lan người có khả cao gây sai sót Trong R ta thực sau > > > > ti_le_khoi_luong_cong_viec > ti_le_khoi_luong_cong_viec plot(0:31,dbinom(0:31,size=31,prob=0.447)*100, xlim=c(-1,31+1),, lwd=2,col="blue",ylab="Xac suat",xlab="Gia tri cua X", main="Phan phoi Bernoulli voi n=31, p=0.447") để vẽ biểu đồ sau (Hình 5) Để vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất (tích lũy) X, trước hết ta tính trực Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 15/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 5: Biểu đồ phân phối xác suất điểm X ∼ binom(size = 31, prob = 0.447) R tiếp giá trị theo định nghĩa sau k F (k; 31, 0.447) = p(X ≤ k) = i=0 31 (0.477)i (1 − 0.477)31−i i Tức ta cộng dồn (tích lũy) giá trị xác suất Bảng giá trị k Trong R ta thực sau > pbinom(0:31,31,0.447) sau > cumsum(dbinom(0:31,31,0.447)) để thu kết [1] [6] [11] [16] [21] [26] [31] 1.057984e-08 7.910356e-04 1.117424e-01 7.246284e-01 9.918062e-01 9.999917e-01 1.000000e+00 2.756880e-07 2.963822e-03 1.979661e-01 8.302372e-01 9.971842e-01 9.999988e-01 1.000000e+00 3.490065e-06 9.236332e-03 3.141265e-01 9.055597e-01 9.991602e-01 9.999999e-01 2.860638e-05 2.444689e-02 4.513570e-01 9.529143e-01 9.997852e-01 1.000000e+00 1.707202e-04 5.586736e-02 5.939760e-01 9.791043e-01 9.999536e-01 1.000000e+00 Với kết ta phác thảo đồ thị F (k; 31, 0.447) tay Excel sau (Hình 6) Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 16/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 6: Đồ thị hàm phân phối xác suất tích lũy X ∼ binom(size = 31, prob = 0.447) Excel Trong R, ta dùng > plot(0:31,pbinom(0:31,size=31,prob=0.447), vertical=T, pch=16, col.points="NavyBlue", col="green3",lwd=2, cex.points=2, main="Ham phan phoi xac suat tich luy cua pp Bernoulli voi n=31, p=0.447", ylab="F(k;31,0.447)",xlab="Gia tri cua X") để có đồ thị sau (Hình 7) Xác suất để X nhận giá trị 17 p(X = 17) = 31 (0.477)17 (1 − 0.477)31−17 = 0.0753225 17 Trong R ta dùng > dbinom(17, size = 31, prob = 0.447) để có kết [1] 0.07532248 Xác suất để X nhận giá trị tối đa 13 13 p(X ≤ 13) = k=0 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k = 0.451356973636012479588353825140359266445093760671233547481214 Trong R ta dùng Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 17/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Hình 7: Đồ thị hàm phân phối xác suất tích lũy X ∼ binom(size = 31, prob = 0.447) R > pbinom(13, size = 31, prob = 0.447) để có kết [1] 0.451357 Xác suất để X nhận giá trị lớn 11 31 p(X > 11) = k=12 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k = 0.802033872504239656027123864970465728136613772232035160154335 Trong R ta dùng > pbinom(11, size = 31, prob = 0.447, lower.tail = FALSE) để có kết [1] 0.8020339 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 18/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Xác suất để X nhận giá trị 15 31 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k p(X ≥ 15) = k=15 = 0.406024003187110387197725259305841821175855219866824141685331 Trong R ta dùng > pbinom(14, size = 31, prob = 0.447, lower.tail = FALSE) để có kết [1] 0.406024 Xác suất để X nhận giá trị từ 16 đến 19 19 p(16 ≤ X ≤ 19) = k=16 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k = 0.254475827691107904969571717043382770032772215525688387442289 Trong R ta dùng > sum(dbinom(16:19, size = 31, prob = 0.447)) để có kết [1] 0.2544758 Hoặc ta dùng > diff(pbinom(c(19, 15), size = 31, prob = 0.447, lower.tail = FALSE)) để thu kết Kỳ vọng E(X) X 31 k · p(X = k) E(X) = k=0 31 k· = k=0 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k = 13.857 Trong R ta dùng Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 19/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính > library(distrEx) > X = Binom(size = 31, prob = 0.447) > E(X) để có kết [1] 13.857 10 Phương sai V (X) X 31 (k − E(X))2 · p(X = k) V (X) = k=0 31 = (k − 13.857)2 · k=0 31 (0.477)k (1 − 0.477)31−k k = 7.662921 Trong R ta dùng > var(X) để có kết [1] 7.662921 11 Độ lệch chuẩn sd(X) X sd(X) = V (X) = √ 7.662921 = 2.7682 Trong R ta dùng > sd(X) để có kết [1] 2.7682 12 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Y = 4X + 51.324 E(Y ) = E(4X + 51.324) = 4E(X) + 51.324 = × 13.857 + 51.324 = 106.752 Trong R ta dùng Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 20/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính > E(4 * X + 51.324) để có kết [1] 106.752 Kết luận Trong báo cáo trình bày tóm lược việc sử dụng R để giải số toán xác suất rời rạc xử lý số liệu mức độ thống kê mô tả Qua đó, giúp hiểu rõ ý nghĩa mô hình xác suất rời rạc liên quan bước đầu nắm việc sử dụng R tình toán phân tích liệu Tài liệu [Dal] Dalgaard, P Introductory Statistics with R Springer 2008 [K-Z] Kenett, R S and Zacks, S Modern Industrial Statistics: with applications in R, MINITAB and JMP, 2nd ed., John Wiley and Sons, 2014 [Ker] Kerns, G J Introduction to Probability and Statistics Using R, 2nd ed., CRC 2015 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 21/21 [...]... sai sót này? Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 10/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính 1 Đặt các biến cố như sau Lời giải • M = {Một hồ sơ được chọn do Mai xử lý} • L = {Một hồ sơ được chọn do Lan xử lý} • C = {Một hồ sơ được chọn do Cúc xử lý} • A = {Một hồ sơ được chọn ngẫu nhiên bị xử lý sai} Khi đó ta cần so sánh... Introductory Statistics with R Springer 2008 [K-Z] Kenett, R S and Zacks, S Modern Industrial Statistics: with applications in R, MINITAB and JMP, 2nd ed., John Wiley and Sons, 2014 [Ker] Kerns, G J Introduction to Probability and Statistics Using R, 2nd ed., CRC 2015 Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 21/21 ... Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính để thu được cùng kết quả [1] 0.3673469 0.4285714 0.2040816 2 Ta đặt lại các biến cố như sau • M = {Một hồ sơ được chọn do Mai xử lý} • L = {Một hồ sơ được chọn do Lan xử lý} • C = {Một hồ sơ được chọn do Cúc xử lý} • A = {8 hồ sơ được chọn ngẫu nhiên trong 8 ngày liên tiếp đều bị xử lý sai} • Ai = {Một hồ sơ được chọn ngẫu nhiên trong ngày thứ i bị xử lý sai},... mean(X) [1] 0.9333333 > var(X) [1] 1.581609 > sd(X) [1] 1.25762 2.2 Bài toán 2 Trong bài toán này, Mai, Lan, và Cúc là ba thư ký trong một công ty Công việc chính của họ là xử lý sổ sách theo khối lượng được phân công như sau Tỉ lệ khối lượng công việc trong ngày Mai Lan Cúc 60% 30% 10% Khi xử lý sổ sách, sai sót có thể xảy ra và tỉ lệ sai sót của ba thư ký sau khi được thống kê trong một thời gian... khóa 2015-2016 Trang 20/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính > E(4 * X + 51.324) để có kết quả là [1] 106.752 3 Kết luận Trong báo cáo này chúng tôi đã trình bày tóm lược về việc sử dụng R để giải một số bài toán xác suất rời rạc và xử lý số liệu ở mức độ thống kê mô tả Qua đó, giúp hiểu rõ được ý nghĩa của các mô hình xác suất rời rạc liên quan và bước đầu nắm... plot(0:31,dbinom(0:31,size=31,prob=0.447)*100, xlim=c(-1,31+1),, lwd=2,col="blue",ylab="Xac suat",xlab="Gia tri cua X", main="Phan phoi Bernoulli voi n=31, p=0.447") để vẽ được biểu đồ sau (Hình 5) 3 Để vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất (tích lũy) của X, trước hết ta có thể tính trực Bài tập lớn môn Cấu trúc Rời rạc cho KHMT (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 15/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính... (CO1007) - Niên khóa 2015-2016 Trang 16/21 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Hình 6: Đồ thị của hàm phân phối xác suất tích lũy của X ∼ binom(size = 31, prob = 0.447) bằng Excel Trong R, ta dùng > plot(0:31,pbinom(0:31,size=31,prob=0.447), vertical=T, pch=16, col.points="NavyBlue", col="green3",lwd=2, cex.points=2, main="Ham phan phoi xac suat tich luy cua pp... 0.20 p(C|A) = Vậy Lan là người có khả năng cao nhất gây ra sai sót này Trong R ta thực hiện như sau > > > > ti_le_khoi_luong_cong_viec ... factor(BLEMISHES$count,levels=0:5) X