Giáo trình bài tập dsp danh sach diem bai tap cac chuong 0 1 2 20072015

Chapter Sampling and Reconstruction Nguyen Thanh Tuan, Click M.Eng to edit Master subtitle style Ho Chi Minh City University of Technology Email: nttbk97@yahoo.com Content  Sampling  Sampling theorem  Spectrum of sampling signals  Anti-aliasing pre-filter  Ideal pre-filter  Practical pre-filter  Analog reconstruction  Ideal reconstructor  Practical reconstructor Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Introduction  A typical signal processing system includes stages:  The analog signal is digitalized by an A/D converter  The digitalized samples are processed by a digital signal processor  The digital processor can be programmed to perform signal processing operations such as filtering, spectrum estimation Digital signal processor can be a general purpose computer, DSP chip or other digital hardware  The resulting output samples are converted back into analog by a D/A converter Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Analog to digital conversion  Analog to digital (A/D) conversion is a three-step process x(t) Sampler t=nT x(t) x(nT)≡x(n) Quantizer xQ(n) Coder A/D converter x(n) t Digital Signal Processing 11010 n 111 xQ(n) 110 101 100 011 010 001 000 n Sampling and Reconstruction Sampling  Sampling is to convert a continuous time signal into a discrete time signal The analog signal is periodically measured at every T seconds ?  x(n)≡x(nT)=x(t=nT), n=…-2, -1, 0, 1, 2, 3…  T: sampling interval or sampling period (second);  Fs=1/T: sampling rate or frequency (samples/second or Hz) Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Example  The analog signal x(t)=2cos(2πt) with t(s) is sampled at the rate Fs=4 Hz Find the discrete-time signal x(n) ? Solution:  x(n)≡x(nT)=x(n/Fs)=2cos(2πn/Fs)=2cos(2πn/4)=2cos(πn/2) n x(n) -2  Plot the signal Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Example  Consider the two analog sinusoidal signals x1 (t )  2cos(2 t ), x2 (t )  2cos(2 t ); t ( s) 8 These signals are sampled at the sampling frequency Fs=1 Hz Find the discrete-time signals ? Solution: 71 )  2cos(2 n)  2cos(  n) Fs 81   2cos((2  ) n)  2cos( n) 4 11 x2 (n)  x2 (nT )  x2 (n )  2cos(2 n)  2cos(  n) Fs 81 x1 (n)  x1 (nT )  x1 (n  Observation: x1(n)=x2(n)  based on the discrete-time signals, we cannot tell which of two signals are sampled ? These signals are called “alias” Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction F2=1/8 Hz F1=7/8 Hz Fs=1 Hz Fig: Illustration of aliasing Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Aliasing of Sinusoids  In general, the sampling of a continuous-time sinusoidal signal x(t )  A cos(2 F0t   ) at a sampling rate Fs=1/T results in a discrete-time signal x(n)  The sinusoids xk (t )  A cos(2 Fk t   ) is sampled at Fs , resulting in a discrete time signal xk(n)  If Fk=F0+kFs, k=0, ±1, ±2, …., then x(n)=xk(n) Proof: (in class)  Remarks: We can that the frequencies Fk=F0+kFs are indistinguishable from the frequency F0 after sampling and hence they are aliases of F0 Digital Signal Processing Sampling and Reconstruction Spectrum Replication   Let x(nT )  x (t )  x(t )   (t  nT )  x(t )s(t ) where s(t )  n     (t  nT ) n   s(t) is periodic, thus, its Fourier series are given by s (t )   Se n  n j 2 Fs nt where Sn  1  j 2 Fs nt  ( t ) e dt   ( t ) dt  T T T T T  j 2 Fsnt Thus, s(t )   e T n   x (t )  x(t ) s(t )   x(t )e j 2 nf st which results in T n   Taking the Fourier transform of x (t ) yields X ( F )   X ( F  nFs ) T n   Observation: The spectrum of discrete-time signal is a sum of the original spectrum of analog signal and its periodic replication at the interval Fs Digital Signal Processing 10 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 31 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 32 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 33 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 34 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 35 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 36 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 37 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 38 Sampling and Reconstruction Homework Digital Signal Processing 39 Sampling and Reconstruction Homework 10 Digital Signal Processing 40 Sampling and Reconstruction Homework 11 Digital Signal Processing 41 Sampling and Reconstruction Homework 12  Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 3cos103πt – 4sin104πt (t: s) qua hệ thống lấy mẫu khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = KHz a) Viết biểu thức tín hiệu sau lấy mẫu x[n]? Xác định giá trị mẫu x[n=2] tín hiệu sau lấy mẫu b) Có hay khơng tần số lấy mẫu khác (Fsb ≠ KHz) cho kết tín hiệu sau lấy mẫu x[n]? Nếu không, chứng minh Nếu có, tần số lấy mẫu khác c) Vẽ phổ biên độ tín hiệu sau lấy mẫu phạm vi tần số từ đến 10 KHz d) Xác định biểu thức tín hiệu sau khôi phục e) Xác định biểu thức tín hiệu sau khơi phục trường hơp dùng thêm tiền lọc thơng thấp thực tế có biên độ phẳng tầm [-4 4] KHz suy giảm với tốc độ -1@0dB/decade bên ngồi dải thơng Digital Signal Processing 42 Sampling and Reconstruction Homework 13  Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = – 4sin6πt + 8cos10πt (t: s) qua hệ thống lấy mẫu khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu lựa chọn Fs = 7,@ KHz a) Vẽ phổ biên độ tín hiệu ngõ vào x(t) b) Vẽ phổ biên độ tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với x(t) c) Vẽ phổ biên độ tín hiệu sau lấy mẫu phạm vi tần số từ đến 10 KHz d) Tìm giá trị mẫu x[n=2] tín hiệu sau lấy mẫu e) Xác định biểu thức (theo thời gian) tín hiệu sau khơi phục f) Tìm điều kiện tần số lấy mẫu để khôi phục tín hiệu ngõ vào x(t) Digital Signal Processing 43 Sampling and Reconstruction Homework 14  Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = 14sin23t + 3sin14t (t: ms) qua hệ thống lấy mẫu khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = KHz a) Tìm giá trị mẫu x[n=4] tín hiệu sau lấy mẫu? b) Xác định biểu thức tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với tín hiệu ban đầu x(t)? c) Vẽ phổ biên độ tín hiệu sau lấy mẫu phạm vi tần số từ đến KHz? d) Xác định biểu thức tín hiệu sau khơi phục? e) Xác định biểu thức tín hiệu sau khôi phục trường hơp dùng thêm tiền lọc thơng thấp thực tế có biên độ phẳng tầm KHz suy giảm với tốc độ -4@dB/decade bên ngồi dải thơng? f) Xác định tập giá trị thích hợp (A, B, FA ≠ FB) tín hiệu ngõ vào x(t) = AsinFAt + BsinFBt (t: ms) để tín hiệu sau khơi phục (khi khơng dùng thêm tiền lọc) y(t) = 2sin2t (t: ms)? Digital Signal Processing 44 Sampling and Reconstruction Homework 15  Cho tín hiệu ngõ vào tương tự x(t) = – 2cos6t + 3sin14t (t: ms) qua hệ thống lấy mẫu khôi phục lý tưởng với tần số lấy mẫu Fs = KHz a) Tìm giá trị mẫu x[n=2] tín hiệu sau lấy mẫu? b) Xác định biểu thức (theo thời gian) tín hiệu chồng lấn (aliased signal) với tín hiệu ban đầu x(t)? c) Vẽ phổ biên độ tín hiệu sau lấy mẫu phạm vi tần số từ đến KHz? d) Xác định biểu thức (theo thời gian) tín hiệu sau khôi phục? e) Xác định biểu thức (theo thời gian) tín hiệu sau khơi phục trường hơp dùng thêm tiền lọc thông thấp thực tế có biên độ phẳng tầm KHz suy giảm với tốc độ -6@dB/decade bên ngồi dải thơng? f) Tìm điều kiện chu kỳ lấy mẫu Ts cho tín hiệu sau khơi phục (khi khơng dùng thêm tiền lọc) giống tín hiệu ban đầu x(t)? g) Tìm tần số lấy mẫu Fs lớn cho tín hiệu sau khơi phục (khi khơng dùng thêm tiền lọc) tín hiệu chiều khơng đổi Xác định giá trị chiều không đổi này? Digital Signal Processing 45 Sampling and Reconstruction ... x(nT)≡x(n) Quantizer xQ(n) Coder A/D converter x(n) t Digital Signal Processing 1 1 01 0 n 11 1 xQ(n) 1 10 10 1 10 0 01 1 01 0 00 1 00 0 n Sampling and Reconstruction Sampling  Sampling is to convert a continuous... 2cos (2? ?? n)  2cos(  n) Fs 81   2cos( (2  ) n)  2cos( n) 4 11 x2 (n)  x2 (nT )  x2 (n )  2cos (2? ?? n)  2cos(  n) Fs 81 x1 (n)  x1 (nT )  x1 (n  Observation: x1(n)=x2(n)  based on the discrete-time... signals x1 (t )  2cos (2? ?? t ), x2 (t )  2cos (2? ?? t ); t ( s) 8 These signals are sampled at the sampling frequency Fs =1 Hz Find the discrete-time signals ? Solution: 71 )  2cos (2? ?? n)  2cos( 