Giao trinh bai tap 3 bai tap qua trinh hap phu k2011 2014

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Bài toán thực tế Bài toán máy bay rơi Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay bay hết xăng, độ cao máy bay hết xăng mô tả phương trình H(t) = H0 + v0t − 16t 2, với H0(km) độ cao máy bay lúc hết xăng, v0(km/h) vận tốc máy bay lúc hết xăng Thời gian từ lúc hết xăng máy bay đạt độ cao lớn 0, 3h Hãy tìm vận tốc v0 máy bay hết xăng? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Bài toán thực tế ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Bài toán thực tế Thời gian từ lúc hết xăng máy bay đạt độ cao lớn 0, 3h, có nghĩa t = 0, v (0, 3) = Theo công thức, ta có v (t) = (H(t)) = v0 − 32.t Như v (0, 3) = v0 − 32.(0, 3) = ⇒ v0 = 9, 6(km/h) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận điểm x0 Giới hạn (nếu có) tỉ số f (x) − f (x0) , x→x0 x − x0 lim gọi đạo hàm hàm số y = f (x) x0 ký hiệu f (x0) hay y (x0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Định nghĩa Định nghĩa Đạo hàm trái y = f (x) x0 giới hạn trái (nếu có) f (x) − f (x0) x − x0 x→x0− f−(x0) = lim Đạo hàm phải y = f (x) x0 giới hạn phải (nếu có) f (x) − f (x0) x − x0 x→x0+ f+(x0) = lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Định nghĩa Định lý Hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 có đạo hàm trái đạo hàm phải x0 chúng phải f (x0) = f−(x0) = f+(x0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Định nghĩa Ví dụ Hàm số y = f (x) = |x| = x, x −x, x < |x| − |0| x = lim = x→0+ x − x→0+ x |x| − |0| −x f−(0) = lim = lim = −1 x→0− x − x→0− x Như f+(0) = = −1 = f−(0) Do hàm số đạo hàm x0 = f+(0) = lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Các quy tắc tính đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm Định lý Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u (x0) điểm x0 hàm số y = cu = cu(x) với c ∈ R có đạo hàm hữu hạn y điểm x0, lúc ta có đẳng thức y = cu = cu (x0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Các quy tắc tính đạo hàm Định lý Nếu hàm số u = u(x) v = v (x) có đạo hàm hữu hạn u = u (x) v = v (x) điểm x0 ∈ X điểm hàm số y = u ± v = u(x) ± v (x) có đạo hàm hữu hạn y điểm x0, lúc có đẳng thức y = u ± v = u (x0) ± v (x0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 10 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số lim x→(−1/e)− f (x) = lim Ví dụ x→(−1/e)− x ln e + x = +∞ Vậy x = − tiệm cận đứng phía trái e lim f (x) = lim x ln e + = ∞ ⇒ Không x→∞ x→∞ x có tiệm cận ngang Tiệm cận xiên: y = ax + b f (x) a = lim = lim ln e + =1 x→∞ x x→∞ x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 93 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ b = lim (f (x) − x) = x→∞ −x = x→∞ x lim x ln e + −1 = x→∞ x 1 = lim x = lim x ln + x→∞ ex x→∞ ex e Vậy tiệm cận xiên y = x + e lim x ln e + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 94 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y = (x − 3)e |x+1| đoạn [−2, 4] (x − 3)e x+1 , x y= (x − 3)e −x−1 , x   (x − 2)e x+1 , ⇒y = (4 − x)e −x−1 ,  , y =0⇔x =2 −1 < −1 x > −1 x < −1 x = −1 ⇒ f (−2) = −5e, f (4) = e , f (2) = −e , f (−1) = −4 Vậy GTLN = e , GTNN = −e TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 95 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ Ví dụ Khảo sát hàm số y = x 3.e −x Tập xác định D = R y = 3x 2.e −x + x 3.(−e −x ) = (3x − x 3)e −x x =0 y =0⇔ x =3 y = (6x − 3x 2)e −x + (3x − x 3)(−e −x ) = −x (x − 6x + 6x)e √  x = + √3 y =0⇔ x = 3− x = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 96 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ví dụ ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 97 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ x3 Tiệm cận: lim x = ⇒ y = tiệm cận x→+∞ e ngang phía phải Không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 98 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ Ví dụ √ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = − x Giải Tập xác định D = R x2 y =−3 ⇒ y = ⇔ x = Vậy ta (1 − x 3)2 có điểm dừng x = 0, x = 2x ⇒y =0⇔x =0 y =−3 (1 − x ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 99 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ví dụ ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 100 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ Hàm số tiệm cận đứng tiệm cận ngang Tiệm cận √ xiên: − x3 a = lim = −1 x→∞ √ x b = lim ( − x + x) = x→∞ √ lim = 3 x→∞ (1 − x ) − x − x + x Vậy tiệm cận xiên y = −x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 101 / 81 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ví dụ ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 102 / 81 Thực hành MatLab Tính đạo hàm Tính đạo hàm: diff(f) diff(f,x) Ví dụ: syms x; diff (x ˆ2 + 2) ⇒ ans=2*x Tính đạo hàm cấp n: diff(f,n) diff(f,x,n) Ví dụ: syms x; diff (exp(x ˆ2 + 1), 4) ⇒ ans = 12 ∗ exp(x ˆ2 + 1) + 48 ∗ x ˆ2 ∗ exp(x ˆ2 + 1) + 16 ∗ x ˆ4 ∗ exp(x ˆ2 + 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 103 / 81 Thực hành MatLab Khai triển Taylor-Maclaurint Khai triển Maclaurint đến bậc n: taylor(f,n) Ví dụ: syms x; taylor(exp(x)*log(1+x),5) ⇒ ans = x ˆ3/3 + x ˆ2/2 + x Khai triển Taylor x0 đến bậc n: taylor(f,n, x0) Ví dụ: syms x; taylor(exp(x+1),5, 1) ⇒ ans = exp(2)+exp(2)∗(x−1)+(exp(2)∗(x−1)ˆ2)/2+ (exp(2)∗(x −1)ˆ3)/6+(exp(2)∗(x −1)ˆ4)/24 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 104 / 81 Thực hành MatLab Giải phương trình tìm điểm nghi ngờ, điểm cực trị, điểm uốn solve(f) Ví dụ: syms x; solve(x ˆ2 − 1) ⇒ ans = 1; −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 105 / 81 Thực hành MatLab Vẽ đồ thị Vẽ hàm tham số: ezplot(x(t),y(t),[t1,t2]) Ví dụ: syms t; x=t;y=t ˆ2; ezplot(x,y,[0,2]) Vẽ hàm y=f(x): ezplot(f,[a,b]) Ví dụ: syms x; ezplot( x ˆ2 + 1,[0,2]) Định giá trị đặt Ox: set(gca,’xtick’,[x1, x2, ]) Định giá trị đặt Oy : set(gca,’ytick’,[y1, y2, ]) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 106 / 81 Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 107 / 81 [...]... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 13 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của hàm hợp Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3) y = 5 sin4(4x + 3) cos(4x + 3) .(4x + 3) = 20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 14 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của hàm ngược Đạo hàm... HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 27 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của hàm tham số Ví dụ Cho hàm số y = f (x) được xác định bởi công thức tham số x = 2 cos3 t, y = 3 sin3 t, t ∈ (0, π2 ) Tìm yx x(t), y (t) có đạo hàm ∀t và x (t) = −6 cos2 t sin t = 0, ∀t ∈ (0, π2 ) Do đó yt 9 sin2 t cos t 3 tan t yx = = = − xt −6 cos2 t sin t 2 3 tan t Đáp số y (x) = − 2 TS Lê Xuân Đại... 20 13 33 / 81 Đạo hàm cấp cao Một số công thức cơ bản Một số công thức cơ bản 1 (ax )(n) = ax lnn a 2.(e x )(n) = e x nπ 3 (sin ax)(n) = an sin ax + 2 nπ 4 (cos ax)(n) = an cos ax + 2 α (n) 5 ((ax + b) ) = an α(α − 1) (α − n + 1)(ax + b)α−n (−1)n−1(n − 1)! (n) 6 (loga |x|) = x n ln a (−1)n−1(n − 1)! (n) 7 (ln |x|) = xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 34... TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 15 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của hàm ngược Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàm y = x + x 3, x ∈ R Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo 1 hàm y = 1 + 3x 2 > 0, ∀x ∈ R nên xy = 1 + 3x 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 16 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Ý nghĩa... y liên tục khắp nơi và đơn điệu tăng, y = 1 + 5x 4 > 0, ∀x ∈ R nên 1 1 = x (y ) = y (x) 1 + 5x 4 Tiếp tục lấy đạo hàm theo y ta được 1 −20x 3 x (y ) = x (y ) = 1 + 5x 4 x (1 + 5x 4 )3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 30 / 81 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp 2 Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định theo tham số x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ (0, 2π) Tìm y (x) t... BIẾN TP HCM — 20 13 31 / 81 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp n Định nghĩa Đạo hàm cấp n của hàm số f (x) được tính theo công thức f (n)(x) = (f (n−1)(x)) , n ∈ N Tính chất Nếu f (x) và g (x) có đạo hàm cấp n thì c1f (x) + c2g (x), c1, c2 ∈ R cũng có đạo hàm cấp n và (c1f (x) + c2g (x))(n) = c1f (n)(x) + c2g (n)(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 32 / 81 Đạo hàm... CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 28 / 81 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp 2 Định nghĩa Nếu đạo hàm f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của f (x) Vậy f (x) = (f (x)) Ví dụ 2x + 3 Tìm f (0) x −2 −7 14 f (x) = ⇒ f (x) = (x − 2)2 (x − 2 )3 7 ⇒ f (0) = − 4 Cho f (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 29 / 81 Đạo hàm cấp cao Đạo... − 4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 1 x +2 TP HCM — 20 13 (n) 35 / 81 Đạo hàm cấp cao Một số công thức cơ bản Với α = −1, a = 1, b = ±2, ta có 1 x ±2 (n) = (−1)(−2) (−1−n+1)(x±2)−1−n (−1)n n! = (x ± 2)n+1 Vậy f (n) (−1)n n! (x) = 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 1 − (x − 2)n+1 (x + 2)n+1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 36 / 81 ... HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 17 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của những hàm sơ cấp Đạo hàm của những hàm sơ cấp 1 y = C = const ⇒ y = 0 2 y = x ⇒ y = 1 3 y = x µ(x = 0) ⇒ y = µx µ−1 Những trường hợp riêng 1 1 a) y = ⇒ y = − 2 x x √ 1 b) y = x ⇒ y = √ 2 x √ 1 c) y = n x ⇒ y = √ n n−1 n x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 18 / 81 Khái niệm đạo... TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 22 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của những hàm sơ cấp Định nghĩa sinh x Hàm số tanh x = được gọi là hàm tan cosh x hyperbolic Định nghĩa cosh x Hàm số coth x = được gọi là hàm cotan sinh x hyperbolic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 20 13 23 / 81 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến Đạo hàm của ... niệm đạo hàm hàm biến Đạo hàm hàm lũy thừa-mũ Định nghĩa Cho hàm số u = u(x) > v = v (x) xác định tập hợp X ⊂ R hàm số y = u v = (u(x))v (x) gọi hàm lũy thừa-mũ Định lý Nếu hàm số u = u(x) > v =... VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 25 / 81 Khái niệm đạo hàm hàm biến Đạo hàm hàm lũy thừa-mũ Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số f (x) = (x + sin x)x ln |f (x)| = ln |(x + sin x)x | = x ln |x + sin