Một số đa thức có dạng đặc biệt

Chương 2 trình bày lớp đa thức giá trị nguyên, trước tiên, mục đầu chươngchúng tôi trình bày các đa thức giá trị nguyên một biến.. Mục tiếp theo trìnhbày về đa thức giá trị nguyên nhiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ DIỆU THÚY

MỘT SỐ ĐA THỨC CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ DIỆU THÚY

MỘT SỐ ĐA THỨC CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

1.1 Đa thức và vành đa thức 3

1.2 Bậc của đa thức 4

1.2.1 Khái niệm và tính chất đơn giản 4

1.2.2 Phân tích đa thức thành các thừa số bất khả quy 6

1.3 Đa thức đối xứng 8

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về đa thức đối xứng 8

1.3.2 Các kết quả cơ bản về đa thức đối xứng 9

1.3.3 Bất đẳng thức Muirhead 11

Chương 2 Đa thức giá trị nguyên 14 2.1 Đa thức giá trị nguyên một biến 14

2.2 Đa thức giá trị nguyên nhiều biến 18

2.3 Dạng q-đồng dạng của đa thức giá trị nguyên 19

Chương 3 Đa thức Chebyshev 22 3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 22

3.2 Đa thức trực giao 28

3.3 Bất đẳng thức cho các đa thức Chebyshev 34

3.4 Hàm sinh 36

Chương 2 trình bày lớp đa thức giá trị nguyên, trước tiên, mục đầu chươngchúng tôi trình bày các đa thức giá trị nguyên một biến Mục tiếp theo trìnhbày về đa thức giá trị nguyên nhiều biến, mục cuối chương trình bày về dạng

q-đồng dạng của đa thức giá trị nguyên

Chương 3 trình bày lớp đa thức Chebyshev, phần đầu chương chúng tôitrình bày khái niệm và tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev Các mục tiếptheo trình bày về đa thức trực giao và bất đẳng thức cho đa thức Chebyshev,mục cuối chương trình bày về hàm sinh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hoàng Tôi xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hoàng, thầy đã định hướng chọn đề tài

và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng các thầy cô giáodạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Dạy nghề và Giáo dụcthường xuyên huyện Yên Bình tỉnh Yên Bái đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiệnthuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2016

Tác giả

Đào Thị Diệu Thúy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một vài kiến thức cơ bản về đa thức

và vành đa thức, bậc của đa thức, đa thức bất khả quy và cách phân tích đathức thành các thừa số bất khả quy Mục cuối chương chúng tôi trình bày vềđịnh nghĩa và một vài tính chất của lớp các đa thức đối xứng Các kết quảcủa chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1, 2]

Cho A là vành giao hoán đơn vị 1 và P là tập các dãy (a0, a1, , an, )

trong đó ai ∈ A với mọi i ∈ N và chỉ một số hữu hạn ai 6= 0 Ta định nghĩaphép cộng và nhân trong P như sau:

Khi đó, P cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán

có đơn vị là (1, 0, 0, ), phần tử không của vành này là (0, 0, 0, ) Đặt

1.2.1 Khái niệm và tính chất đơn giản

Cho đa thức f (x) ∈ A[x], với

khi đó n được gọi là bậc của đa thức f (x), kí hiệu là degf (x) Hay nói mộtcách khác, bậc của đa thức là số mũ cao nhất của x xuất hiện trong đa thức.

Đa thức khôngf (x) = 0 thường được hiểu là không có bậc, tuy nhiên các đathức có bậc 0 cùng với đa thức không được gọi chung là các đa thức hằng.Với các đa thức f =

Không quá khó để thấy rằng, với hai đa thức f (x) và g(x) thì ta luôn có

degf (x) + degg(x) ≤ max(degf (x), degg(x))

và

degcf (x) = degf (x) nếu c 6= 0

Định lý 1.2.1 NếuAlà một miền nguyên thì A[x] cũng là một miền nguyên.Chứng minh Giả sử f (x), g(x) ∈ A[x] là các đa thức khác 0 có bậc tươngứng là m và n :

f (x) = amxm + · · · + a1x + a0, am 6= 0g(x) = bnxn + · · · + b1x + b0, bn 6= 0

Theo định nghĩa về phép toán trên đa thức ta có

f (x)g(x) = ambnxm+n + · · · + (a0b1 + a1b0)x + a0b0

Vì A là miền nguyên và am, bn 6= 0 nên ambn 6= 0, do đó f (x)g(x) 6= 0

Vậy A[x] cũng là một miền nguyên Định lý được chứng minh 

Từ định lý trên ta có tính chất sau về bậc của đa thức

Mệnh đề 1.2.1 Nếu degf (x) = n, degg(x) = m, thì deg(f (x)g(x)) =

Định lý 1.2.2 (Bezout) Cho A là miền nguyên Phần tử c ∈ A là nghiệmcủa đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f (x) chia hết cho x − c trong vành

đa thức A[x]

Định nghĩa 1.2.2 Phần tử c ∈ A là nghiệm bội k của đa thức f (x) ∈ A[x]

nếu và chỉ nếu f (x) chia hết cho (x − c)k nhưng f (x) không chia hết cho

(x − c)k+1 trong vành đa thức A[x] Nếuk = 1 thìc gọi là nghiệm đơn,k = 2

thì c được gọi là nghiệm kép

Nếu c1, c2, , cr là những nghiệm trong miền nguyên A củaf (x) 6≡ 0 vớicác bội số theo thứ tự k1, k2, , kr thì

f (x) = (x − c1)k1(x − c2)k2· · · (x − cr)krg(x)

với g(x) ∈ A[x] và g(ci) 6= 0 Do đó nghiệm của đa thức f (x) không vượtquá bậc của đa thức f (x) và nếu hai đa thức có bậc không quá n bằng nhautại n + 1 phần tử phân biệt của miền nguyên A thì chúng bằng nhau

1.2.2 Phân tích đa thức thành các thừa số bất khả quy

Cho f (x) và g(x) là các đa thức một biến với các hệ số trên trường K

Ta nói rằng f (x) chia hết cho g(x) nếu g(x) 6= 0 và tồn tại h(x) ∈ K[x] saocho f (x) = g(x)h(x)

Định lý 1.2.3 Cho f (x) và g(x) là các đa thức một biến với các hệ số trêntrường K với g(x) 6= 0 Khi đó, ta luôn viết được f (x) = g(x)p(x) + r(x)

với p(x), r(x) là các đa thức có hệ số trên K mà degr(x) < degg(x)

Đa thức d(x) gọi là một ước chung của f (x) và g(x) nếu cả f (x) và g(x)

cùng chia hết cho d(x) Ước chung d(x) của f (x) và g(x) được gọi là ướcchung lớn nhất nếu d(x) chia hết cho bất kì ước chung nào khác của f (x) và

g(x) Một phương pháp nổi tiếng để tìm ước chung lớn nhất là thuật toánEuclide Ta mô tả phương pháp này như sau: Giả sử rằngdegf (x) ≥ degg(x)

Đặt r1(x) là phần dư sau khi chia f (x) cho g(x) và đặt r2(x) là phần dưsau khi chia g(x) cho r1(x), và tổng quát đặt rk+1(x) là phần dư sau khichia rk−1(x) cho rk(x) Vì bậc của các đa thức ri(x) là giảm ngặt, nên với

n nào đó, ta có rn+1(x) = 0, tức là rn−1(x) chia hết cho rn(x) Ta thấy

rằng, cả f (x) và g(x) cùng chia hết cho rn(x) vì rn(x) chia hết cho các đathức rn−1(x), rn−2(x), Hơn nữa, nếu f (x) và g(x) chia hết cho đa thức

h(x) thì rn(x) cũng chia hết cho h(x) vì h(x) chia hết r1(x), r2(x), Do đó

rn(x) = (f (x), g(x))

Từ thuật toán Euclide ta có kết quả quan trọng sau:

Định lý 1.2.4 Nếu d(x) là ước chung lớn nhất của các đa thức f (x) và

g(x), thì tồn tại các đa thức a(x) và b(x) sao cho

d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x)

Một đa thức f với các hệ số trên trường K được gọi là khả quy trên K

nếu f = gh, trong đó g và h là các đa thức có bậc dương với các hệ số trên

K Trái lại ta nói f là bất khả quy trên K

Cho f = f1 fs là một phân tích thành thừa số của đa thức f trêntrường K thành các thừa số f1, , fs trên K Từ cách phân tích này của f,

với fi = aixi +"các hạng tử bậc thấp hơn", ta dễ dàng thu được cách phântích f = ag1· · · gs trong đó a = a1· · · as bằng cách đặt gi = fi

ai

Ta có kết quả sau đây

Định lý 1.2.5 Cho K là một trường Khi đó một đa thức f (x) ∈ K[x] khác

0, không là ước của 1, đều có thể được phân tích thành các thừa số bất khảquy và sự phân tích này là duy nhất

Chứng minh của định lí này, bạn đọc có thể xem trong [2] trang 48

Hệ quả 1.2.1 Nếu đa thức qr chia hết cho một đa thức bất khả quy p, thìhoặc q hoặc r chia hết cho p

Hệ quả 1.2.2 Một đa thức với hệ số nguyên (với hệ số cao nhất là 1) là bấtkhả quy trên Z nếu và chỉ nếu đa thức đó bất khả quy trên Q

Một trong những tiêu chuẩn tốt nhất xác định các đa thức bất khả quy

là tiêu chuẩn Eisenstein dưới đây

Định lý 1.2.6 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho f (x) = a0+ a1x + · · · + anxn làmột đa thức với các hệ số nguyên sao cho hệ số an không chia hết cho một sốnguyên tố p, nhưng các hệ số còn lại a0, , an−1 chia hết cho p và a0 khôngchia hết cho p2 Khi đó f là bất khả quy trên Q

p−1 + Cp1xp−2+ · · · + Cpp−1.

Do đó đa thức f (x) là bất khả quy trên Q

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về đa thức đối xứng

Trong mục này ta sẽ trình bày định nghĩa và ví dụ về các đa thức đối xứng.Trước tiên, ta nhớ lại định lý Vi-et trong đại số như sau Giả sử x1, , xn

là n nghiệm của đa thức

với mọi hoán vị σ của tập hợp {1, , n} Ở đây một hoán vị của tập hợp

Sn gồm n phần tử là một song ánh σ : Sn → Sn

Từ tính chất của đa thức em(x1, , xm) ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.1 Một đa thức f (x1, , xn) được gọi là đối xứng nếu vớibất kì hoán vị σ ∈ Sn, ta có

f (xσ(1), , xσ(n)) = f (x1, , xn)

1.3.2 Các kết quả cơ bản về đa thức đối xứng

Các đa thức đối xứng cơ bản tạo thành một cơ sở của vành các đa thứcđối xứng Ta xét tính chất này như sau

Định lý 1.3.1 Cho f (x1, , xn) là một đa thức đối xứng trong vành đathức A[x1, , xn] Khi đó, tồn tại một đa thức g(y1, , yn) ∈ A[y1, , yn]

sao cho f (x1, , xn) = g(σ1, , σn) Đa thức g(y1, , yn)này là duy nhất.Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp trong đó f là đa thức thuần nhất

Ta nói rằng bậc của một đơn thức xλ1

Do đó bậc của đơn thức có bậc cao nhất của f1 nhỏ hơn bậc của đơn thức

có bậc cao nhất của f Ta tiếp tục áp dụng phép toán tương tự ở công thức(1.3.1) cho f1 Sau một số hữu hạn bước thực hiện phép toán như vậy ta thuđược đa thức 0 Từ đó quay ngược lại ta có thể tìm được đa thức g

Bây giờ ta chứng minh tính biểu diễn duy nhất của f (x1, , xn) =g(σ1, , σn) Khi đó, ta chỉ cần kiểm tra rằng nếu

g(y1, , yn) =Xai ···i yi1· · · yin

là một đa thức khác không, thì sau phép thay thế các biến

Rõ ràng từ chứng minh của định lí 1.3.1 ta thấy, nếu f (x1, , xn) là một

đa thức đối xứng với các hệ số nguyên, thì f (x1, , xn) = g(σ1, , σn),

trong đó các hệ số của g cũng là các số nguyên

Từ định lí 1.3.1 về đa thức đối xứng, ta suy ra rằng nếu x1, , xn là cácnghiệm của đa thức

trong đó g là một đa thức đối xứng.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng tỏ f chia hết cho ∆ Thật vậy, nếu f

Nếu x1 = x2, thì v = 0 và do đó f1(u, 0, x3, , xn) = 0 Điều này có nghĩa

là f1 chia hết cho v, tức là f chia hết cho x1 − x2 Tương tự, f chia hết cho

Để mỗi phân hoạch λ ta có thể gắn với một đa thức đối xứng thuần nhất

Thật vậy, tổng (1.3.2) trong trường hợp này gồm (n − 1)! số hạng xn1 và

nếu và chỉ nếu |λ| = |µ| và λ ≥ µ Dấu bằng đạt được nếu λ = µ và

Bổ đề 1.3.1 Nếu λ = Rijµ thì Mλ(x) ≥ Mµ(x) và dấu bằng xảy ra khi

x1 = · · · = xn, (ở đây ta giả sử các số x1, , xn là dương)

Chứng minh Với mọi cặp chỉ số p, q thỏa mãn 1 ≤ p < q ≤ n, hiệu

đóλj < µj vớij nào đó Hiển nhiên,i < j vàµj > 0.Do đó, ta có thể áp dụng

Rj vào µ Từ đó ta thu được một dãy ν mà trong đó νi = µi+ 1, νj = µj− 1,

và νk = µk với k 6= i, j Hơn nữa, do λi > µi và λj < µj ta thu được

Chương 2

Đa thức giá trị nguyên

Trong chương này chúng tôi trình bày lớp đa thức giá trị nguyên, trướctiên, mục đầu chương chúng tôi trình bày các đa thức giá trị nguyên mộtbiến Mục tiếp theo trình bày về đa thức giá trị nguyên nhiều biến, mục cuốichương trình bày về dạng q-đồng dạng của đa thức giá trị nguyên Chươngnày được tham khảo chính trong chương 3 của [2]

Định nghĩa 2.1.1 Đa thức p(x) ∈ Q[x] được gọi là đa thức nhận giá trịnguyên nếu p(x) nhận các giá trị nguyên tại mọi x nguyên

Ví dụ 2.1.1 Xét đa thức ẩn x là pk(x) với k ∈ Z, k > 0, xác định bởi

pk(x) = Cxk = x · (x − 1) · · · (x − k + 1)

k! ,

khi đó pk(x) = Cxk là một đa thức giá trị nguyên

Giải Ta chứng minh đa thứcpk(x) = Cxk là một đa thức nhận giá trị nguyênbằng cách quy nạp theo k ≥ 1 Thật vậy, với k = 1, điều này là hiển nhiên.Giả sử rằng pk(x) = Cxk là một đa thức nhận giá trị nguyên Ta phải chứngminh pk+1(x) là đa thức giá trị nguyên

+) Ta biết rằng Cxk+1 = 0 với mọi x = 0, 1, 2, , k Suy ra pk+1(x) nguyênkhi x = 0, 1, 2, , k

Vậy pk+1(x) = Cxk+1 là một đa thức giá trị nguyên.

Từ ví dụ trên, ta thấy rằng theo một nghĩa nào đó, các đa thức nhận giátrị nguyên được biểu diễn thông qua các đa thức Cxk Hơn nữa, theo địnhnghĩa, ta đã yêu cầu p(n) ∈ Z với mọi n ∈ Z để p(x) trở thành một đa thứcnhận giá trị nguyên, thực tế ta có thể giảm bớt các giả thiết đó mà vẫn suy

ra được p(x) là đa thức nhận giá trị nguyên như định lý sau đây

Định lý 2.1.1 Giả sử pk(x) là một đa thức bậc k nhận giá trị nguyên tạicác giá trị x = n, n + 1, , n + k (với n là số nguyên nào đó cho trước).Khi đó

pk(x) = c0Cxk + c1Cxk−1 + c2Cxk−2 + · · · + ck, (2.1.1)trong đó c0, c1, , ck là các số nguyên

dưới dạng

pk(x) = c0Cxk + c1Cxk−1 + · · · + ck,

trong đó c0, c1, , ck là các số hữu tỉ Ta sẽ chứng tỏ các hệ số ci là các sốnguyên, với i = 0, , k

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo k ≥ 0 Với k = 0, đa thức

p0(x) = c0, theo giả thiết ta có thể giả sử p0(x)nhận giá trị nguyên tại x = n

với n tùy ý Do đó c0 là số nguyên Bây giờ, ta giả sử quy nạp rằng định lý

đã đúng với mọi đa thức có bậc không vượt quá k Xét đa thức

các giá trị của pk(n) chỉ khác các số nguyên một đại lượng vô cùng nhỏ Tachứng tỏ rằng pk(x) thực sự là một đa thức giá trị nguyên.

Thật vậy, khai triển đa thức pk(x) theo cơ sở {C0

x, Cx1, Cx2, , Cxk}ta thuđược dưới dạng

pk(x) = c0Cxk + · · · + ck,

trong đó c0, c1, , ck ∈ Q Với k = 0, thì số c0 ∈ Q là gần tùy ý với một số

nguyên nào đó, và do đó c0 ∈ Z Giả sử k > 0 và kết quả đúng cho đa thứcbậc k − 1 Ta thấy đa thức

ck = pk(n) − c0Cnk − · · · − ck−1Cn1

cũng là các số nguyên Để chứng minh điều đó, ta chỉ cần chứng tỏ r(x) = 0

Lấy A là mẫu chung của các hệ số của pk(x) Khi đó Apk(x) là đa thức có

hệ số nguyên, và có

AR(x) = Af (x)

g(x) = Apk(x) +

Ar(x)g(x) .

theo định nghĩa của dãy có giới hạn là 0) Suy ra r(n) = 0 với mọi n nguyên

đủ lớn, tức là phương trình r(x) = 0 có vô số nghiệm nguyên, điều này chỉxảy ra khi r(x) ≡ 0

Vậy f (x) = g(x)pk(x) + 0, suy ra R(x) = pk(x) Từ đó pk(n) = R(n) ∈ Z

khi n ∈Z Chứng tỏ ck = pk(n) − c0Cnk− · · · − ck−1Cn1 cũng là số nguyên 

Từ định lý trên ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1 Giả sử f (x) và g(x) là các đa thức với các hệ số nguyên và

f (n) chia hết cho g(n) tại mọi số nguyên n Khi đó,

2.2 Đa thức giá trị nguyên nhiều biến

Cấu trúc của cơ sở của không gian các đa thức giá trị nguyên nbiến tương

tự với trường hợp một biến Ta có kết quả sau là sự mở rộng của công thức(2.1.1) từ trường hợp 1 biến sang trường hợp n biến

Định lý 2.2.1 Đa thức pd1 dn(x1, , xn) hệ số hữu tỉ bậc di đối với biến

xi nhận các giá trị nguyên tại x1 = a1, a1+ 1, , a1+ d1, , xn = an, an+

Chứng minh Ta chỉ chứng minh định lý khin = 2 vì trường hợp tổng quát

là hoàn toàn tương tự

Lấy x1 cố định thuộc tập {a1, , a1 + d1}, khi đó đa thức pd1d2(x1, x2)

nhận giá trị nguyên tại các điểm x2 = a2, , a2 + d2 Do đó, theo định lý2.1.1, với mỗi x1 ∈ {a1, , a1 + d1}, ta có đẳng thức

x1 = a1, , a1 + d1 Do đó lại theo định lý 2.1.1 ta suy ra được ck2(x1) códạng

2.3 Dạng q-đồng dạng của đa thức giá trị nguyên

Định nghĩa 2.3.1 Hệ số nhị thức Gauss hay hệ số q-nhị thức là

(Cnk)q = (q

n − 1)(qn−1− 1) · · · (qn−k+1− 1)(qk− 1)(qk−1 − 1) · · · (q − 1) .

Chú ý 2.3.1 (i) Ta thấy khi cho q → 1 thì hệ số nhị thức Gauss trở thành

hệ số nhị thức thông thường Cnk Thật vậy, ta có

(Cnk)q = (q − 1)

k.(1 + q + + qn−1) (1 + q + + qn−k)(1 − q)k.(1 + q + + qk−1) (1 + q).1

= (1 + q + + q

n−1) (1 + q + + qn−k)(1 + q + + qk−1) (1 + q).1

Do đó khi cho q → 1 vào đẳng thức trên ta được kết quả là

n.(n − 1) (n − k + 1)k.(k − 1) 2.1 =